2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-新定義閱讀理解問(wèn)題

2024年中考復(fù)習(xí)專題(新定義閱讀理解問(wèn)題)

新定義學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個(gè)新定義(新概念或新公式)，通過(guò)閱讀題目供應(yīng)

的材料，理解新定義，再通過(guò)對(duì)新定義的理解來(lái)解決題目提出的問(wèn)題。其主要目的是通過(guò)對(duì)新定義的理解

與運(yùn)用來(lái)考查學(xué)生的自學(xué)實(shí)力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

解決此類題的關(guān)鍵是(1)深刻理解“新定義”一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論；(2)

重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”供應(yīng)的做題方法；歸納“舉例”供

應(yīng)的分類狀況；(3)依據(jù)新定義，運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想、分類探討以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決

題目中須要解決的問(wèn)題。

一'基礎(chǔ)練習(xí)部分

★例1：[2024——2024海淀期末】對(duì)于正整數(shù)〃，定義戶(")=1，.其中f(〃)表示〃的首

/(九),G10"'

位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.例如：F(6)=62=36,F(123)=f(123)=l2+32=10.

規(guī)定E15HE(必且如為正整數(shù)2?例如:FI(123)=F(123)=10,F2(123)=F(FI(123))=F(10)=L

⑴求:F2(4)=,F2024(4)=；

(2)里巾4)=89,則正整數(shù)m的最小值是.答案：(1)37,26；(2)6.

練習(xí)①：【2024通州一?！慷x一種對(duì)正整數(shù)，的“廠運(yùn)算"：①當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3〃+1；②當(dāng)

w為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為二(其中％是使得二為奇數(shù)的正整數(shù))，并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取〃=6,貝心

2k2k

631。5……，若”=1，則第2次“尸運(yùn)算”的結(jié)果是；若〃=13,

弟慧1次景>弟勰2次>弟黑3次>-----------------

則第2024次“產(chǎn)運(yùn)算”的結(jié)果是.答案：1,4

練習(xí)②：【2024門(mén)頭溝二?！课覀冎溃辉畏匠?=-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方

等于-1,若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“廣，使其滿意『=-1(即方程有一個(gè)根為i),并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)

數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍舊成立，于是有il=i,P=-l,?3=/2./=(-1)(-1)./=-/,

74=(Z.2)2=G1)2=1,從而對(duì)隨意正整數(shù)”，則戶=；

由于產(chǎn)+1=*.i=(產(chǎn))".匚Z?，同理可得由+2=-1,盧+3=-i,加=1那么i+尸+尸+產(chǎn)+...+產(chǎn)024+產(chǎn))24的值

為答案：-1，i

★例2：[2024宣武一?！咳魏我粋€(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pxq(p、q是正整數(shù)，且pSq),

假如pxg在n的全部這種分解中兩因數(shù)之差的肯定值最小，我們就稱pxq是n的最佳分解，并規(guī)定:

F(")=人p.例如18可以分解成1x18、2x9或3x6,這時(shí)就有尸(18)=3—=1—.給出下列關(guān)于F⑺的說(shuō)法:

q62

13

(1)/(2)=—；(2)F(24)=-；(3)F(27)=3；(4)若"是一個(gè)完全平方數(shù)，則F(a)=l.其中正

28

確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4答案：B

練習(xí)①：.【2024北京中考】在右表上我們把第i行第j列的數(shù)記為恁j(其中i,j都是不大于5的

止歪繳J，狗丁衣中州母T繳恁j,跳如「：三胃口'」，at,j=l；

a\,1〃1，2〃1，3441，5

當(dāng)時(shí)，恁j=0.例如：當(dāng)i=2,j=l時(shí)，恁j=〃2,1=1.按此規(guī)

定，3=____;表中的25個(gè)數(shù)中，共有____個(gè)1；計(jì)算。1,1%,42,1"2,2。2,3〃2,4。2,5

1+。1，2，恁2+〃1，3刈，3+。1，4。恁4+。1，5。勿，5的值為_(kāi)___?〃3,1〃3,2〃3,3〃3,4。3,5

〃4,1〃4,2〃4,3"4,4。4,5

〃5,1〃5,2。5答〃5,4。5,5

案：0；15；1.

練習(xí)②：【2024海淀二?！磕撤N數(shù)字化的信息傳輸中，先將信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)o和1組成的數(shù)字串，并對(duì)數(shù)字串進(jìn)行了加密后

再傳輸.現(xiàn)采納一種簡(jiǎn)潔的加密方法：將原有的每個(gè)1都變成10,原有的每個(gè)0變成01.我們用友表示沒(méi)有經(jīng)過(guò)加密的數(shù)字串.這樣對(duì)

友進(jìn)行一次加密就得到一個(gè)新的數(shù)字串4,對(duì)4再進(jìn)行一次加密又得到一個(gè)新的數(shù)學(xué)串A1,依此類推....例如：Ao；10,則At：1001.若

己知友：，則，。：，若數(shù)字串4。共有4個(gè)數(shù)字，則數(shù)字串，2中相鄰兩個(gè)數(shù)字相等的數(shù)對(duì)至少有對(duì).答案：

101,4

練習(xí)③：【2024燕山一?！咳魧⒋鷶?shù)式中的隨意兩個(gè)字母相互替換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為

完全對(duì)稱式.如在代數(shù)式a+b+c中，把。和b相互替換，得6+a+c；把。和。相互替換，得c+6+a；

把6和c.......；a+6+c就是完全對(duì)稱式.下列三個(gè)代數(shù)式：①(a—b)2；②ab+bc+ca；@a2b+b2c+c2a.其

中為完全對(duì)稱式的是

A.①②B.②③C.①③D.①②③答案：A

練習(xí)④：【2024西城一?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a力)若規(guī)定以下兩種變換：

@fia,b)=(-a,-b).如-1,2)=(-1,-2);②g(a,6)=(4a).如g(l,3)=(3,1)

依據(jù)以上變換，那么/(g(a,b))等于

A.(-b,-a)B.(a,b)C.(b,a)D.答案：A

★例3：[2024昌平二模】請(qǐng)閱讀下列材料：

ab23

我們規(guī)定一種運(yùn)算：=ad—be,例如：=2x5—3x4=10—12=—2.

cd45

-12

依據(jù)這種運(yùn)算的規(guī)定，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)干脆寫(xiě)出的計(jì)算結(jié)果；

-20.5

0.5%一1yx-y

(2)若)==一7,干脆寫(xiě)出x和y的值.

830.5-1

x0.5—九

(3)當(dāng)x取何值時(shí)，=0；答案：(1)3.5;(2)x=8,y=2.(3)x=

1lx

ab10/、

變式練習(xí)：【2024宣武一?！繉?duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,d規(guī)定一種運(yùn)算：=ad—be,如=1x(-2)

cd2-2

2-4

—0x2=—2,那么=25時(shí)，x=().

(3-x)5

1327233

(A)——(zB)—(C)—--(D)

4444答案：(D)

練習(xí)：①【2024北京中考(課標(biāo)卷)】用“☆”定義新運(yùn)算：對(duì)于隨意實(shí)數(shù)a、b,都有?！頱=〃+l。

例如7+4=42+1=17,那么5☆3=；當(dāng)根為實(shí)數(shù)時(shí)，〃[☆(%☆2)=。答案：10,26

②12024東城二?！繉?duì)于實(shí)數(shù)",v,定義一種運(yùn)算“*”為：M*v=MV+v.若關(guān)于x的方程x*(a*x)=—工

4

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則滿意條件的實(shí)數(shù)a的值是.答案：0

③【2024懷柔一?！楷F(xiàn)在我們定義一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“※”，使下列算式成立:4派8=16,10X6=26,

6X10=22,18X14=50.求(100X800)※8=；答案：2024

④【2024海淀二?！筷P(guān)于實(shí)數(shù)a,b,有十人=ab—l則((—2))>[5>(—4)]+：十/

的值是-答案：0.25

⑤【2024西城二模】用“&”定義新運(yùn)算：對(duì)于隨意實(shí)數(shù)a,6都有a&b=2a-b,假如x&(1&3)=2,

那么尤等于().

3「1

A.lB.—C.一D.2答案：c

22

⑥【2024豐臺(tái)二?！吭跀?shù)學(xué)中，為了簡(jiǎn)便計(jì)算記1!=1，2!=2xl,3!=3x2xl,

2008!2007!

n!="X(〃-1)x("-2)x...x3x2xl.nl貝|]-------------=.答案：1

2007!2006!

⑦【2024豐臺(tái)一模】對(duì)于實(shí)數(shù)%,規(guī)定(/)’=梃,H-1若(％2)'=一2,則兀二

⑧【2024大興一?！咳鐖D，要使輸出值y大于100,則輸入的最小正整數(shù)元是

A.19B.20C.21D.22

答案:⑦-1；⑧C

4一1(〃Wb)

★例4：【2024延慶二模】定義新運(yùn)算:〃十Z?=<--(a>b^b^0),則函數(shù)產(chǎn)3十x的圖象大致是

答案：B

變式練習(xí)：【2024-2025房山期末】閱讀下面的材料：

小明在數(shù)學(xué)課外小組活動(dòng)中遇到這樣一個(gè)“新定義'’問(wèn)題:

i(?。);

定義運(yùn)算“X”為：?！耸芮?※(-2)的值.

一色(0).

小明是這樣解決問(wèn)題的：由新定義可知a=l,b=-2,又》<0,所以IX(-2)=3?

請(qǐng)你參考小明的解題思路，回答下列問(wèn)題:

(1)計(jì)算：2※3=；

(2)若5※帆=得,則加=.

⑶函數(shù)y=2※尤(掙0)的圖象大致是(

2

(答案：(1)-；(2)±6;(3)D)

3

★例5：[2024豐臺(tái)一模】我們把函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).如函數(shù)y=2x+l

的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,，0),所以該函數(shù)的零點(diǎn)是-』.

22

(1)函數(shù)y=/+4x-5的零點(diǎn)是；

(2)如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形4BCO放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且頂點(diǎn)A在

尤軸上.若正方形A8CD沿x軸正方向滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B

落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)8為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),如此接著.頂點(diǎn)D的軌跡是一函數(shù)的圖象，

則該函數(shù)在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為.

答案：-5或1；71+1.

練習(xí)：①【2024海淀一?！咳羧切蔚哪骋贿呴L(zhǎng)等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形,

該邊所對(duì)的角稱為等徑角.已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數(shù)為—o答案：30?；?50°

②[2024石景山二模】定義：平面中兩條直線/i和/2相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上隨意一點(diǎn)M若p,q分別

是M到直線/i和L的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)3幻是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，依據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”

是(1,2)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.答案：4

③【2024宣武二?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為〃OP與x軸正方向的夾角為a

(0°<a<90°),用心a]表示點(diǎn)P的極坐標(biāo)，明顯，點(diǎn)P的極坐標(biāo)與它的直前坐標(biāo)存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如:

當(dāng)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，它的極坐標(biāo)為[、歷,45。].假如點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為[4,60。],那么點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)

可以為_(kāi)

A(2,2A/3)B.(-2,2V3)C.(2A/3,2)D.(2,2)答案：A

★例6：[2024宣武一?！繉?duì)于三個(gè)數(shù)表示。力,c這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，加〃表示

-1+2+34

a,b,c這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，如：M{-1,2,3}=---=-，min{—1,2,3}=—1；

a(aV-1)

町-1,2,4=匚”=胃min{-1,2,〃}

-1(6Z>-1)

解決下列問(wèn)題：

(1)填空：min{sin300,cos45°,kzn30°}=；若加及{2,2%+2,4-2x}=2,則x的取值范圍是；

(2)M[2,x+l,2x}=min[2,x+l,2x},那么x=；

②依據(jù)①，你發(fā)覺(jué)結(jié)論“若M{。力,c}二機(jī)沅{〃力,c},那么"(填大小關(guān)系)；

③運(yùn)用②，填空：若"={2%+)+2,%+2〉,2/〉}二加加{2%+丁+2,%+2丁,21-丁},貝1)1+,二；

(3)在同始終角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x+l,y=(x-l)2,y=2-x的圖象(不需列表，描點(diǎn))，通過(guò)圖象,

得出加"{x+1,(x-1)2,2-%}最大值為.

答案：⑴0.5,0<%<1；⑵①1,②a=b=c,③-4；(3)1

變式練習(xí)1：[2024東城一模】定義符號(hào)加〃{。力}的含義為：當(dāng)a=b時(shí)，min{a,b}=b；當(dāng)a<b時(shí),

min{a,b}=a,如：min{1,-2]=-2,2}=-1.

(1)求mm{x2-1,-2);

(2)已知加〃{/-2九+￡-3}=-3,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)已知當(dāng)-2勺合3時(shí)，加〃{X2-2工-15-(%+1)}=冗2-2、-15.干脆寫(xiě)出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

答案：(1)-2；(2)之-2；(3)-3<m<7

變式練習(xí)2:【2024東城二模】用加幾{〃，/?}表示“，方兩數(shù)中的最小數(shù)，若函數(shù)產(chǎn)加加{V+lJ-x2},則

y的圖象為

答案：C

變式練習(xí)3：①【2024西城一?！繉?duì)于實(shí)數(shù)o、d,我們可用如力{c,"}表示c、d兩數(shù)中較小的數(shù)，

如加〃{3,-1}=1.若關(guān)于x的函數(shù)產(chǎn)加〃{2/,a(x-/)2}的圖象關(guān)于直線％=3對(duì)稱，則。、/的值可能是

A.3,6B.2,-6C.2,6D.-2,6答案：C

變式練習(xí)4：[2024東城二?！坑眉印▄〃,/?/}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，若y=minlx1,x+2,10-x}(x>0)

則y的最大值為

A.4B.5C.6D.7答案：C

練習(xí)：【2024石景山二?！恳?guī)定：用{〃z}表示大于根的最小整數(shù)，例如{』}=3,{5}=6,{-1.3}=—1

2

一,7

等;用[河表示不大于m的最大整數(shù)，例如[―]=3,[4]=4,[—1.5]=-2,假如整數(shù)x滿意關(guān)系式:2{x}+3[x]=12,

2

則苫=.答案：2

變式練習(xí).【2024通州二?！繉?duì)于實(shí)數(shù)無(wú)，我們規(guī)定印表示不大于x的最大整數(shù)，例如[3]=3,

Y4-4-

[-2.5]=-3.若普=5,則x的取值可以是()

A.40B.45C.51D.56答案：C

二'提高練習(xí)部分

★例1：[2024—2024海淀期中】閱讀下面材料：

小丁在探討數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遇到一個(gè)定義：對(duì)于排好依次的三個(gè)數(shù)：尤1,X2,X3,稱為數(shù)列尤1,尤2,、3.計(jì)算I尤11，

片M,舊+；+1,將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列肛應(yīng)心的價(jià)值.例如，對(duì)于數(shù)列2,-1,3因?yàn)槟?2,

2+(1)2+(1)+3

1-1=-,1-1=-,所以數(shù)列2,—1,3的價(jià)值為

22332

小丁進(jìn)一步發(fā)覺(jué)：當(dāng)變更這三個(gè)數(shù)的依次時(shí)，所得到的數(shù)列都可以依據(jù)上述方法計(jì)算其相應(yīng)的價(jià)值.

如數(shù)列—1,2,3的價(jià)值為1；數(shù)列3,-1,2的價(jià)值為1；.…經(jīng)過(guò)探討，小丁發(fā)覺(jué)，對(duì)于“2,—1,

2

3”這三個(gè)數(shù)，依據(jù)不同的排列依次得到的不同數(shù)列中，價(jià)值的最小值為

2

依據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題：

(1)數(shù)列-4,-3,2的價(jià)值為；

(2)將“-4,-3,2”這三個(gè)數(shù)依據(jù)不同的依次排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為一,

取得價(jià)值最小值的數(shù)列為(寫(xiě)出一個(gè)即可)；

(3)將2,-9,。3>1)這三個(gè)數(shù)依據(jù)不同的依次排列，可得到若干個(gè)數(shù)列.若這些數(shù)列的價(jià)值的最小

值為1,則。的值為—.答案：(1)-(2)—3,2,—4或2,—3,—4.(3)11或4.

32

★例2：[2024西城一?！拷o出如下規(guī)定：兩個(gè)圖形Gi和G2，點(diǎn)P為Gi上任一點(diǎn)，點(diǎn)。為Gz上任

一點(diǎn)，假如線段PQ的長(zhǎng)度存在最小值，就稱該最小值為兩個(gè)圖形G,和G2之間的距離.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(l,0),則點(diǎn)2(2,3)和射線OA之間的距離為,點(diǎn)C(-2,3)和射線04之間

的距離為;

(2)假如直線y=x和雙曲線y=8之間的距離為應(yīng)，那么仁；

(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為將射線OE繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到射4

線。尸，在坐標(biāo)平面內(nèi)全部和射線0E,。尸之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記3

為圖形：

①請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形并描述圖形M的組成部分；(若涉及平面中某-5-4一3一2一至12345々

個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示)4

②將射線。尸組成的圖形記為圖形W,拋物線y=f-2與圖形”的公共《

部分記為圖形N,請(qǐng)干脆寫(xiě)出圖形W和圖形N之間的距離.

(答案：(1)3,A/13；(2)-1；(3)②4：3)

變式練習(xí)1：【2024年燕山一?！慷x：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的隨意線段AB及點(diǎn)P,任取線段A3

上一點(diǎn)。，線段P0長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)尸到線段的距離，記作d(Pf4B).

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),44,0),3(3,3),C(m,n),D(m+4,〃)是

平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).依據(jù)上述定義，解答下列問(wèn)題：

(1)4到線段的距離或4—。2)=;

⑵已知點(diǎn)G到線段OB的距離d(G-OB)=75,且點(diǎn)G的橫坐

標(biāo)為1,則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為.

⑶當(dāng)m的值變更時(shí)，點(diǎn)A到動(dòng)線段CD的距離d(A-8)始終為2,線段CD的中點(diǎn)為M.

①在圖⑵中畫(huà)出點(diǎn)M隨線段C。運(yùn)動(dòng)所圍成的圖形并求出該圖形的面積.

②點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2),m>Q,〃>0,作軸，垂足為是否存在機(jī)的值，使得以A、M,H

為頂點(diǎn)的三角形與AAOE相像，若存在，求出根的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：(1)2-72；(2)—2或1+VT5;⑶①16+4兀;②相=1或m=3或相=—

變式練習(xí)2：【2024密云二?！縖2024——2024通州期末】概念：P、Q分別是兩條線段。和。上隨

意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段。與線段方的距離.已知O(0,0),A(4,0),8(m,n),

C(777+4,n)是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).

(1)依據(jù)上述概念，當(dāng)相=2,”=2時(shí)，如圖1,線段8c與線段OA的距離是；當(dāng)相=5,〃=2時(shí)，如

圖2,線段與線段OA的距離(即線段V卜

48長(zhǎng))為；BCBC

(2)如圖3,若點(diǎn)B落在圓心為A,半7>:'一

徑為2的圓上，線段8C與線段OA的距離記J----」_>--------i-------->_J_(.)——>

為d,求d關(guān)于“I的函數(shù)解析式.0|ax°入x°\

(3)當(dāng)，"的值變更時(shí)，動(dòng)線段BC與線圖1圖2圖3

段04的距離始終為2,線段BC的中點(diǎn)為①求出點(diǎn)M隨線段8C運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)；②

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),m>0,論0，作MNLx軸，垂足為H,是否存在機(jī)的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的

三角形與AAOD相像？若存在，求出根的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

(答案：(1)2、y/5(2)7-m2+8m-12(3)①16+4兀；②存在，1、3或二)

''5

變式練習(xí)3：[2024門(mén)頭溝一模】概念：點(diǎn)P、Q分別是兩條線段。和b上隨意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度

的最小值叫做線段。與線段b的“志向距離”.已知O(0,0),A(6，1),B(m,ri'),C(HI,”+2)

是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).

(1)依據(jù)上述概念，依據(jù)上述概念，完成下面的問(wèn)題(干脆寫(xiě)答案)

①當(dāng)機(jī)=26，"=1時(shí)，如圖13-1,線段BC與線段的志向距離是；

②當(dāng)機(jī)=2/，”=2時(shí)，如圖13-2,線段8c與線段的志向距離為；

③當(dāng)m=2^3,若線段BC與線段OA的志向距離為石，則n的取值范圍是.

(2)如圖13-3,若點(diǎn)2落在圓心為A,半徑為1的圓上，當(dāng),侖1時(shí)，線段BC與線段。4的志向距離

記為d,則d的最小值為(說(shuō)明理由)

(3)當(dāng)初的值變更時(shí)，動(dòng)線段BC與線段的距離始終為1,線段BC的中點(diǎn)為G,求點(diǎn)G隨線段

BC運(yùn)動(dòng)所走過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少？

答案：⑴①百；②2；

③-lWnWl9.⑵d=0.5

(4)8+2%

變式練習(xí)4：【2024延慶一?！恳阎涸谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系尤Oy中，給出如下定義：線段A3及點(diǎn)P,

任取AB上一點(diǎn)。，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段AB的距---------------------------------

離，記作d(P—4B).

(1)如圖1,已知C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),。點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,

0),求點(diǎn)尸(2,1)到線段CD的距離d(尸-CD)為；

(2)已知：線段EF-.y=x(00爛3),點(diǎn)G到線段EF的距離d

(P-EF)為0,且點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1,在圖2中畫(huà)出圖，試求點(diǎn)

G的縱坐標(biāo).

(答案：(1)1；(2)3或-1。)

變式練習(xí)5：[2024豐臺(tái)一?！吭O(shè)點(diǎn)Q到圖形W上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)Q到圖形W的距

離.例如:正方形ABC。滿意41，0),B(2,0),C(2,1),￡)(1,1),那么點(diǎn)0(0,0)到正方形ABC。的距離

為1.(1)假如。尸是以(3,4)為圓心，1為半徑的圓，那么點(diǎn)。(0,0)到。尸的距離為；

(2)①求點(diǎn)Af(3,0)到直線y=2x+l的距離；

②假如點(diǎn)M。,。)到直線y=2x+l的距離為3,那么a的值是；

(3)假如點(diǎn)G(0,6)到拋物線yr2的距離為3,請(qǐng)干脆寫(xiě)出b的值.

(答案：(1)4；(2)①一-^―(2)O=1i3y[5(3)b=—3或Z?=—.)

54

變式練習(xí)6：【2024通州一模】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(2,3)、2(6,3),連結(jié)AA若

對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P,線段AB上都存在點(diǎn)。使得PQW1,則稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰拉

近點(diǎn)",5[

⑴推斷點(diǎn)。乙里)，是否線段AB的“鄰近點(diǎn)”(填“是”或“否”)；4/

553卜?----------W

(2)若點(diǎn)”(加，力在一次函數(shù)y=x-l的圖象上，且是線段的“鄰近點(diǎn)”，求機(jī)i

的取值范圍.「

(3)若一次函數(shù)產(chǎn)x+b的圖象上至少存在一個(gè)鄰近點(diǎn)，干脆寫(xiě)出b的取值范圍.°!123456

(答案：⑴是;(2)36區(qū)5;(3)—3—行<6<1+也.)

★例3：【2024年北京中考】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,對(duì)于隨意兩點(diǎn)Pi(xi,%)與P2(x2,y2)

的“特別距離”，給出如下定義：

若曲一|沙1個(gè)|，則點(diǎn)Pi與點(diǎn)P2的“特別距離”為由-詞;

若尤21cM加，則點(diǎn)Pi與點(diǎn)P2的“特別距離”為

例如:點(diǎn)Pi(l,2),點(diǎn)P2(3,5),因?yàn)閨1-3|<|2-5],所以點(diǎn)Pi與點(diǎn)P2的“特別距離”為|2-5|=3,

圖1

也就是圖1中線段P.Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線PiQ與垂直

于x軸的直線P2Q的交點(diǎn))。

(1)已知點(diǎn)A(-g,0),3為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“特別距離”為2,寫(xiě)出一個(gè)滿意條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②干脆寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“特別距離”的最小值；

3

(2)已知C是直線y=]X+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)C與點(diǎn)D

的“特別距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3,E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“特別距離”的最小值及相

應(yīng)的點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)。

(答案：(1)①(0,2)或(0,-2)；②g；(2)C(-|)|),E|)A>

時(shí)，1.)

變式練習(xí)：【2024密云一模】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的隨意兩點(diǎn)Pi(xi,yi),

P2(尤2/2)我們把|X1-尤2|+|丫1-竺|叫做Pl,P2兩點(diǎn)間的直角距離，記作d(Pl,P2).

(1)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p(x,y)滿意d(O,P)=l,請(qǐng)寫(xiě)出x與y之間滿意

的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出全部符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；

(2)設(shè)Po(xo,yo)是肯定點(diǎn)，Q(x,y)是直線y=ox+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們把d(Po,Q)的

最小值叫做Po到直線y=ax+b的直角距離.試求點(diǎn)M(2,l)到直線y=x+2的直角距

離.答案：(2)3.

★例4：【2024年北京中考】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和。C,給出如下定義：若。C上存

在兩個(gè)點(diǎn)A,B,使得NAPB=60。，則稱P為。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

己知點(diǎn)D(工，,E(0,-2),F(273,0)

22

(1)當(dāng)。O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D,E,F中，00的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是；

②過(guò)點(diǎn)F作直線交y軸正半軸于點(diǎn)G,使NGFO=30。，若直線上的點(diǎn)P(根,〃)是。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求相

的取值范圍；

(2)若線段EF上的全部點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍。

答案：(1)?D,E；?0<X<V3;(2)r>l

變式練習(xí)1：【2024西城二模】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)于。A上一點(diǎn)2及。A外一點(diǎn)P,給出

如下定義：若直線與無(wú)軸有公共點(diǎn)(記作M),則稱直線PB為。A的“x關(guān)聯(lián)直線”，記作加源

(1)已知。。是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，點(diǎn)尸(0,2),-------------Z---------------------

①直線/i：y=2,直線b：y=x+2,直線上：y=J§x+2,直線4：y--2x+2

都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,在直線//,5h,。中，是。。的“x關(guān)聯(lián)直線”的是；

②若直線/PBM是。。的“X關(guān)聯(lián)直線”,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)尤M的最大值是；

(2)點(diǎn)A(2,0),。4的半徑為1,

①若尸(-1,2)，。&的“無(wú)關(guān)聯(lián)直線”/PBM：y=kx+k+2,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

XMY當(dāng)尤M最大時(shí)，求左的值；

②若尸是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp>2,。4的兩條“x關(guān)聯(lián)

直線”/PCM,/PDN是。A的兩條切線，切點(diǎn)分別為C,D,作直線CD與x軸點(diǎn)

于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P的位置發(fā)生變更時(shí)，AE的長(zhǎng)度是否發(fā)生變更？并說(shuō)明理

由.

答案：(1)①4%；②(2)①左=嚀3；②AE的長(zhǎng)度不發(fā)生變更。

★例5：【2024年北京中考】在平面直角坐標(biāo)系my中，。。的半徑為r,P—s--------------?

是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于。C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在

一點(diǎn)P',滿意CP+CP，=2r,則稱P為點(diǎn)尸關(guān)于。C的反稱點(diǎn)，下圖為點(diǎn)P及其關(guān)于

。(？的反稱點(diǎn)P的示意圖。

(1)當(dāng)。O的半徑為1時(shí)。

①分別推斷點(diǎn)M(2,l),N(g,O),T(l,行)關(guān)于。0的反稱點(diǎn)是否存在，若

存在？求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)P在直線y=-x+2上，若點(diǎn)P關(guān)于。O的反稱點(diǎn)P，存在，且點(diǎn)P，不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的

取值范圍；

(2)當(dāng)。C的圓心在無(wú)軸上，半徑為1,直線y=-號(hào)X+2Q與無(wú)軸，》軸分別交于點(diǎn)A,B,若線段

A8上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于0c的反稱點(diǎn)P在0c的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍。

31r-

(答案：⑴①M(fèi)(2,l)不存在；N(Q,O)存在反對(duì)稱點(diǎn)V為(5,0)；7(1，石)存在反對(duì)稱點(diǎn)r為

(0,0);@0<x<2;(2)2<x<8)

變式練習(xí)：【2024—2024燕山期末】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為r,點(diǎn)P是與圓心C不

重合的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)P為期望CP上一點(diǎn)，滿意CP.CP。2,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)尸關(guān)于。C的反演

點(diǎn).右圖為點(diǎn)P及其關(guān)于。C的反演點(diǎn)CP，的示意圖.

(1)如圖1,當(dāng)。。的半徑為1時(shí)，分別求出點(diǎn)M(l,0),N

(0,2),T關(guān)于。。的反演點(diǎn)AT,N',T的坐標(biāo);

22

(2)如圖2,已知點(diǎn)4(1,4),2(3,0),以AB為直徑的。G

與y軸交于點(diǎn)C,。(點(diǎn)C位于點(diǎn)。下方)，E為的中點(diǎn).

①若點(diǎn)。，E關(guān)于。G的反演點(diǎn)分別為O，，E',求NEXTG

的大?。?/p>

②若點(diǎn)尸在0G上，且設(shè)直線AP與x軸

的交點(diǎn)為。，點(diǎn)。關(guān)于。G的反演點(diǎn)為Q，，請(qǐng)干脆寫(xiě)出線段GQ，

的長(zhǎng)度.

答案：⑴M'(l,0),N'(0,；),r(l,1)；(2)/￡'。'6=90?！?)^"或^^

變式練習(xí)2：【2024—2024石景山期末】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,P是坐標(biāo)系內(nèi)

隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P到。。的距離Sp的定義如下：若點(diǎn)P與圓心。重合，則Sp為。。

的半徑長(zhǎng)；若點(diǎn)尸與圓心。不重合，作射線OP交。。于點(diǎn)A,則Sp為線段AP

的長(zhǎng)度.[/p

圖1為點(diǎn)P在。。外的情形示意圖.

(1)若點(diǎn)夙LO),c(i,i),則SB=__；5C=__；sD

(2)若直線y=x+6上存在點(diǎn)使得S“=2,求b的取值范圍；圖1

(3)已知點(diǎn)P,Q在x軸上，R為線段PQ上睡意一點(diǎn).若線段PQ上存在一點(diǎn)T,滿意T在。。內(nèi)

且STNSR,干脆寫(xiě)出滿意條件的線段PQ長(zhǎng)度的最大值.

答案：(1)SB=0；SC=V2-1；SD=1;(2)-3V2<Z7<3A/2;(3)4.

★例6：[2024西城二模】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形G,給出如下定義：在圖形G

上若存在兩點(diǎn)ALM使為正三角形，則稱圖形G為點(diǎn)________________________________

P的T型線，點(diǎn)尸為圖形G的T型點(diǎn)，APMN為圖形G關(guān)于點(diǎn)A>A)

尸的T型三角形.

(1)如圖1,己知點(diǎn)40,一百)，8(3,0),以原點(diǎn)。為圓E

心的。。的半徑為1.在A,8兩點(diǎn)中，。。的T型點(diǎn)是,

畫(huà)出并回答。。關(guān)于該T型點(diǎn)的T型三角形；(畫(huà)出一個(gè)即可)X

(2)如圖2,已知點(diǎn)E(0,2),點(diǎn)F(加,0)(其中機(jī)>0).若

線段EF為原點(diǎn)。的T型線，且線段EF關(guān)于原點(diǎn)0的T型三角

形的面積為生叵，求機(jī)的值;

(3)若H(0,-2)是拋物線產(chǎn)爐+〃的T型點(diǎn)，干脆寫(xiě)出w的取值范圍.

(答案：(1)點(diǎn)A；(2)(3)?<--)

練習(xí)1：【2024—2024豐臺(tái)期末】在平面直角坐標(biāo)系g中，定U'

義點(diǎn)尸(x,y)的變換點(diǎn)為尸’(x+y,x-y).

(1)如圖1,假如0。的半徑為2夜，/1\

①請(qǐng)你推斷M(2,0),N(-2,-l)兩個(gè)點(diǎn)的變換點(diǎn)與。。的位置關(guān)系；-V-'5'y3X2-\2^''

②若點(diǎn)尸在直線廣尤+2上，點(diǎn)尸的變換點(diǎn)P'在。。的內(nèi)，求點(diǎn)

尸橫坐標(biāo)的取值范圍.-4

(2)如圖2,假如。O的半徑為1,且P的變換點(diǎn)P，在直線y=-2x+6

上，求點(diǎn)尸與。。上隨意一點(diǎn)距離的最小值.

答案：(1)①乂，(2,2)4(3,-1訃/1在圓上；N，在圓外；②-2<x小于0；(2)|710-1

練習(xí)2：[2024延慶一?！繉?duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和線段AB,給出如

下定義：在線段AB外有一點(diǎn)P,假如在線段A2上存在兩點(diǎn)C、D,使得NCPZA90。，/

那么就把點(diǎn)尸叫做線段AB的懸垂點(diǎn)./

(1)已知點(diǎn)A(2,0),O(0,0)----------Z-----

①若C(l,f,D(1,1),E(1,2),在點(diǎn)C,D,E中，線段A。的懸垂點(diǎn)是—；

②假如點(diǎn)P(如n)在直線y=x-1上，且是線段AO的懸垂點(diǎn)，求加的取值范圍；

(2)如下圖是帽形M(半圓與一條直徑組成，點(diǎn)M是半圓的圓心)，且圓M的半徑是1,若帽形內(nèi)

部的全部點(diǎn)是某一條線段的懸垂點(diǎn)，求此線段長(zhǎng)的取值范圍.

(答案：⑴①C,。；；②1一等〈根<1+等且相力1;(2)。22)

練習(xí)3：【2024海淀二?！咳鐖D1,在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，已知點(diǎn)4(-1,0),8(-1,1),C(l,0),D(l,l),

記線段A3為T(mén)i,線段CD為T(mén)2,點(diǎn)P是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).給出如下