2024年高考數(shù)學(xué)押題卷及答案（十二）

2024年高考數(shù)學(xué)押題卷及答案（十二）

一.填空題

1.設(shè)復(fù)數(shù)4=2+7/2=x-2，（xeR）,若zjz2為實(shí)數(shù)，貝（Jx為.

2.一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得圓面面積為乃，則球的體積為

3.若sin(tz-6)sin,-cos(tz-〃)cos〃=勿，且。是第二象限角，則sina=,

4.若某程序框圖如所示，則該程序運(yùn)作后輸出開(kāi)始

的y等于—.

X=1

x+y<4

5.已知點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足條件<,y=i

x>l

則點(diǎn)P到直線4x+3y+l=0的距離的最大值是

22

6、若雙曲線二―當(dāng)=1（。〉0/〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)到

ab

一條

漸近線的距離等于焦距嗚，則該雙曲線的漸近線方

程是.

7.已知不等式x-2x-3<0的解集為A,不等式X,2+X-6<0的解集

是B,不等式x2+ax+b<0的解集是AnB,那么a+b=,

8.如圖在三角形ABC中，E為斜邊AB的中點(diǎn)，CDXAB,

AB=1,

則（CA.C￡））（CA-CE）的最大值是.

9.如圖,線段AB=8,點(diǎn)C在線段AB上,且AC=2,P為線段

BC上的一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)、A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D,設(shè)

CP=x,APCD的面積為f(x),則的最大值為.

10.直線,3y+l=0與直線(a+1)『87+3=0互相垂直，a,R,且a8W0,則

加1的最小值

是.

23

11.函數(shù)/(x)=l+x+'+《的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

12.已知/(%)為偶函數(shù)，且/'(2+x)=/(2—x),當(dāng)—2WxV0時(shí),/(x)=2",

于(x)=2，，若neN*，an=/(“)，則=?

13.設(shè)點(diǎn)(°,6)在平面區(qū)域。=｛(心切|a|Wl,MlW1｝中按均勻分布出現(xiàn)，則橢圓

4+4=1(a>^>0)的離心率6<@的概率為

14.若數(shù)列｛%｝滿足端+i-肥=d(其中"是常數(shù)，〃eN*),則稱數(shù)列｛即｝

是“等方差數(shù)列”.已知數(shù)列｛2｝是公差為m的差數(shù)列，則爐。是“數(shù)列

｛%｝是等方差數(shù)列”的

條件.（填充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不

必要條件中的一個(gè)）

二.解答題

15.高三年級(jí)有500名學(xué)生，為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的

頻

學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測(cè)試分組頻率

數(shù)

中的數(shù)學(xué)成績(jī)，制成如下頻率分布表：

[85,95)①②

（1）根據(jù)上面圖表，①②③④處的數(shù)值分別為多

[95,105)0.050

少？

[105,115)0.200

（2）根據(jù)題中信息估計(jì)總體平均數(shù)是多少？

[115,125)120.300

（3）估計(jì)總體落在［129,150］中的概率.

[125,135)0.275.

[135,145)4③

[145,

0.050

155]

合計(jì)④

16.已知函數(shù)/（x）=4sin2x+2sin2x_2,XGR。

（1）求/（X）的最小正周期、/（X）的最大值及此時(shí)X的集合;

（2）證明：.函數(shù)/⑴的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱.

8

17.已知：矩形AEFD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M（2,0）,AE邊所在直線的方程

為：x-3y-6=0,點(diǎn)T（-1,1）在邊所在直線上.

（1）求矩形AEED外接圓產(chǎn)的方程。

⑵AABC是P的內(nèi)接三角形，其重心G的坐標(biāo)是（1,1）,求直線的方程.

18.如圖，海岸線MAN,NA=2，,現(xiàn)用長(zhǎng)為的攔網(wǎng)

圍成一養(yǎng)殖場(chǎng)，其中BeMACeMl.

（1）若BC=/,求養(yǎng)殖場(chǎng)面積最大值；

（2）若3、C為定點(diǎn)，BC<1,在折線MBCN內(nèi)選

點(diǎn)、D,使8。+。。=/,求四邊形養(yǎng)殖場(chǎng)如4C的最大面積.

19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足他=’：??！?%+二碇1其中爐1，2,

2n~

3,?

(1)求內(nèi)和%的值;

(2)求證：-------<—

an-lann-

(3)求證：1<a<n.

n+2

20.已知函數(shù)=(aeR).

(1)當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)/(X)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

理科加試

21.已知。+圭)”的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.

(1)求〃的值；

(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

22.“抽卡有獎(jiǎng)游戲”的游戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精

美卡片，卡片上分別印有“奧運(yùn)福娃”或“奧運(yùn)會(huì)徽”，要求參加游戲

的4人從.盒子中輪流抽取卡片，一次抽2張，抽取后不放回，直到4人

中一人一次抽到2張“奧運(yùn)福娃”卡才能得到獎(jiǎng)并終止游戲.

(1)游戲開(kāi)始之前，一位高中生問(wèn)：盒子中有幾張“奧運(yùn)會(huì)徽”卡？主

持人說(shuō)：若從盒中任抽2張卡片不都是“奧運(yùn)會(huì)徽”卡的概率為里.請(qǐng)

28

你回答有幾張“奧運(yùn)會(huì)徽”卡呢？

(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4人參加游戲，約定甲、乙、丙、丁依次抽取.用

J表示4人中的某人獲獎(jiǎng)終止游戲時(shí)總共抽取卡片的次數(shù)，求J的概率

分布及4的數(shù)學(xué)期望.

23.已知曲線c的方程＞2=3/一2心設(shè)丁=比，為參數(shù)，求曲線c的參數(shù)方程.

24.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為b(2,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)N(-1,0)的直線交曲線C于兩點(diǎn)，又A3的中垂線交y軸于點(diǎn)

ZW),

求的取值范圍.

參考答案

=

1.4.提示：Z1?z2=(2%+2)+(x—4)zER??x4-o

2.迪萬(wàn).提示：畫(huà)出簡(jiǎn)圖可知，由/+產(chǎn)=夫2得球的半徑為亞，利用球的體

3

積公式得丫=迪〃。

3

3.一亦?提示：依題意得cosa--m,a是第二象限角，sina<0,故

sina=—71-m2.

4.63.提示：對(duì)于圖中程序運(yùn)作后可知，所求的y是一個(gè)“累加的運(yùn)算”即

第一1步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31,第五步是63.

5.3提示：由圖可知：P(2,2)到直線4x+3y+l=0的距離的最大，由點(diǎn)到

直線的距離公式

可計(jì)算出，應(yīng)填3。

_22

6.x±6y=0。提示：對(duì)于雙曲線*-與=1(。〉0,?！?)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條

ab

漸近

線的距離因?yàn)?。，?」，因此b=Lc,a=47^=2

2c422

上=旦,因此其漸近線方程為x土Gy=0.

a3

7.-3。提不：由題意：A={x\-l<Zx<3,B={x|-3V冗<2,AB={x\-l<Zx

<2,由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a=-1/=-2.

9.272.

10.2.提示：由題意匕=-±兒=4'.?兩直線互相垂直，，G.左2=T，即

ab

2+1

f-XV=-1,則o=.*.|?M=^-tl=|?|+—^2.

a1)ba2|?|⑷

酬的最小值為2.

11.1.提不：對(duì)于/(%)=1+%+工2=(%+；)2+；＞0,因此函數(shù)/'(X)在R上單調(diào)

遞增，而對(duì)于/(—2)=—；＜0,A2)=/〉0，因此其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).

12.L提示：由題意可知f(x)為周期函數(shù)，周期為4,

則的0°8=/(2008)=/(4)=/(0)=1。

13.工o提示：屬幾何概型的概率問(wèn)題，〃的測(cè)度為4;e＜@,則

1622a

ae(O,1],6e(O,1],則d的測(cè)度為：，；.尸=吧瞥」.

'」'」4。的測(cè)度16

14.充分必要條件。

提示：一方面，由數(shù)列｛0｝是公差為m的等差數(shù)列及爐0得0=瓦,

歐+「獷=0,數(shù)列｛0｝是等方差數(shù)列；

另一方面，由數(shù)列｛bn｝是公差為m的等差數(shù)列及數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列得

b：+i-%=(仿+nni)2一[仇+(n-l)m]2=2blm+(2n-l)m2=d對(duì)任意的+eN都成

2

立，令ZFI與z?=2分別得2blm+m?=d,2b｛m+3m=d,兩式相減得爐0.綜

上所述，爐0是數(shù)列｛0｝是等方差數(shù)列的充分必要條件.

15.解：設(shè)抽取的樣本為x名學(xué)生的成績(jī)，則由第四行中可知0.3=上，

X

所以X=40..?.④40③處填0.1,②0.025,

①1。

(2)利用組中值估計(jì)平均數(shù)為

=90x0.025+100x0.0.5+110x0.2+120x0.3+130x0.275+140x0.1+150x0.05=

122.5,

⑶在［129,150］上的概率為9x0.275+0.1+9x0.05。0.292。

1011

16.解：/(x)=4sin2x+2sin2x-2=2sinx-2(l-2sin2x)

=2sin2x-2cos2x=2亞sin(2x-3

(1)所以f(x)的最小正周期T=兀

因?yàn)閤eE,所以，當(dāng)2x-四=2阮+生，即》=阮+現(xiàn)時(shí)，/(x)最大值為20;

428

(2)證明：欲證明函數(shù)“X)的圖像關(guān)于直線》=-生對(duì)稱，只要證明對(duì)任

8

意xwR,有/(---%)=/(一生+%)成立，

88

因?yàn)?2也sin［2(一］_%)_(］=2亞sin(-1一2%)=-2A/2COS2X,

/(-^+x)=2亞sin［2(-2+%)-彳］=2亞sin(-1+2%)=-242cos2x,

所以/(/7)=/(-生+%)成立，從而函數(shù)/⑺的圖像關(guān)于直線.，對(duì)

888

稱。

17.解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（"）-仁=；且AELAD

■.KAD=-3又在AD上

x-3y-6=0r_n

??.1一1]：?2即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（O「2）

又點(diǎn)是矩形AEED兩條對(duì)角線的交點(diǎn)點(diǎn)（2,0）即為矩形AE五。外接

圓的圓心，其半徑r=|M4|=20P的方程為（x-2y+V=8

（2）連AG延長(zhǎng)交于點(diǎn)N（XoJo），則N點(diǎn)是中點(diǎn)，連MN

G是AABC的重心,AG=2GN/.（1,3）=2（x0-l,y0-1）

3

九o二一

2

M是圓心，N是中點(diǎn).?.MNLBC,且KMN=-5

y0=|

：.KBC=^=即直線BC的方程為X—5y+ll=0

18.解：⑴設(shè)A3=x,AC=y,x>0,y>0.

/2=爐+y2-2xycos20>2xy-2xycos20，

I2l2

xy<--------------=-----A—

2-2cos204sin20

S--xysmlO<----二——2sincos0='

224sin2^4sin6

所以，匕甌面積的最大值為小丑，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取到.

4sin。

出設(shè)43=見(jiàn)4。=〃(加，”為定值).BC=2c(定值)，

由。a=~1,知點(diǎn)。在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，

5+OC=/=2a,乙5C

S/M\r\BDCL=-2,mnsin26為定值.

只需ADBC面積最大，需此時(shí)點(diǎn)。到的距離最大，即。必為橢圓短軸頂

2

點(diǎn).b7a-c。=Jg-c?.SMCD面積的最大值為:，2c.b=c.]g-c2,

因此，四邊形ACDB面積的最大值為工機(jī).〃.sin26+c.

2V4

ic/1\??1?1/1、2331/3、257

1y.\17?(1(\——,??Cl\—--(一)——**6Z7=----1-----X(—)=----.

°21224244464

(2),/an-a”T=-4?ti>0?<Aan>a“T>0.

n

._121.111

?,an=an-\+~an-l<an-\+~anan-l?------------<三

nnan-lann

1111、，11(11)

(3)----------z(----------)+(---<i±4

+22

a0ana0a\a0?2\10nJ23

1111+???+—1—=l+(l--)+(---)+---+(1

H----<1-1----------1---------2--

〃21x22x3(n-l)zi223n-1nn

1.

又a。<n.

??12i1/i\〃+〃一1

,an=an-i+—an-i<an-1+—(n-1)?a_=-----------%-i'

nnnxn

.n

,,an-l>~~an-

+n-l

.11n2n2

??瑪=an-i2>an-i+^a_?----------a=a_+—---------aa_.

nnnin+n-1nnx〃一1nnx

.111111

?------------>-............>-------=------------

a?_jann~+n-ln~+nnn+1

..3.151..1n+2.n+1

?Q]=—,??----<----1--------<1+|----------------,.?Q”〉-------

4an6n+1n+1n+1n+2

n+1

綜上所述,<品<n.

〃+2

20.解：(1)當(dāng)q=—3時(shí)，f[x}=^-x2-3x+3,

I.f'[x}=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

令廣(x)=0,得%[=-1,X2=3.

當(dāng)X<-1時(shí)，f(x)〉O,則/(x)在(-col)上單調(diào)遞增；

當(dāng)-1<x<3時(shí)，/''(x)<0,則/(%)在(-1,3)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>3時(shí)，/’(x)〉0,/(X)在(3,+8)上單調(diào)遞增.

/.當(dāng)x=-1時(shí)，仆)取得極大值為1+3+3=*

當(dāng)x=3時(shí)，y（x）取得極小值為/（3）=gx27-9-9+3=-6.

(2)f'(x)=x2-2x+a,4-4a=4(1-a).

①若ael,則△★(),??./(%)20在R上恒成立，，f(x)在R

上單調(diào)遞增.

'：f(0)=-a<Q,/(3)=2a>0,

.?.當(dāng)時(shí)，函數(shù)/'(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②若a<l,則(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)

為X1,X2,(豆〈為).

??為+X2—2,荀蒞—a.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x)J(x)的取值情況如下表:

X（-8,xJ為(X1,苞)苞（%，+°0）

/（x）+0—0+

f（x）/極大值極小值/

?Xy—2%]+。=0,??a——%；+2%]?

??/（'i）=§冗:一元;+"再一〃二]%：一％；++%；_2項(xiàng)~~%；+（a—2）/

=]%1k；+3（?！?）],

向理/0）=；%2卜；+3（。-2）].

:?/（X）?/（%2）=卜%21；+3（〃-2）]-[%2+3（Q-2）]

2

二—（x1x2）[（x1x2）2+3（a—2）（x；+冗;）+9（〃—2）j

=§a{〃2+3（a—2）[（%]+%2）2—2%]12]+9（?！?）2}

=—4（a2—3〃+3）.

9'7

令廣(茍)?廣(也)>0.,.解得a>0.

而當(dāng)0<a<l時(shí)，/（0）=-a<0J（3）=2a>0,

故當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是（0,+00）.

21.解：（1）由題設(shè)，得C：+LC；=2,XC：,

42

即/-9〃+8=0,解得〃=8,77=1（舍去）.

1>1c^+i

（2）設(shè)第r+1的系數(shù)最大，則孑l尸''

[T82，T

即8T2（r+1）'解得r=2或r=3.

上」.

[2r9-1

9

所以系數(shù)最大的項(xiàng)為n=7/，7；=7x2.

22.解：（1）設(shè)盒子中有“會(huì)徽卡”n張，依題意有，1-4=生

O28

解得n=3即盒中有“會(huì)徽卡”3張.

（2）因?yàn)镴表示某人一次抽得2張“福娃卡”終止時(shí)，所有人共抽取了

卡片的次數(shù)，

所以J的所有可能取值為1，2,3,4,p（j=i）=1=[；

514

「202「10102r\

「(12)=5J5?5?%j__￡.

「202020279

C8C6C8C6/

Z^?2x^?lX-x2Z^lX-?lX-v2X-?ly^?lo

D/.%5,J.%,5.—512.55_3.

IJJ0202020202020202021j

c1c1r4.c1-c1c2

p(=A\—3—5.—2=4J-3=2

U)0202「2「2

%c6J%7

概率分布表為:

J1234

PA21

1