2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：數(shù)列求通項(xiàng)（學(xué)生版）（新高考專用）

專題6-2數(shù)列求通項(xiàng)

題型一：s“法

【典例分析】

例題1.(2024?陜西寶雞?模擬預(yù)料(理))已知等比數(shù)列｛。"｝的前”項(xiàng)和為S"，且

%+i=2S,+l(〃wN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

例題2.(2024?陜西?安康市高新中學(xué)三模(理))己知等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為

n+l

Sn=4-k.

(1)求實(shí)數(shù)人的值，并求出數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式；

例題3.(2024?山東煙臺(tái)?三模)己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，4=：,當(dāng)“22時(shí),

S；=anSn-an.

⑴求S“；

例題4.（2024?寧夏?銀川一中一模（理））已知數(shù)列｛%｝滿意?■+!!■++墨=*

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

【提分秘籍】

對(duì)于數(shù)列｛4｝，前九項(xiàng)和記為5.；

aa2

①Sn=%+出+%+n-l+%；②Ei=%+4+%+.n-l52)

①-②：S〃—S“_1=4("22)

S“法歸類

角度1：已知5“與4的關(guān)

系；或S"與〃的關(guān)系

用S“—S〃T，得到4例子：已知4E,=（a,+l）2,求4

角度2：已知功,與SRS”的s.—S“_1替換題目中例子：已知2%=S￡T（心2）；

關(guān)系；或％與的可

已知=an+l~JS〃+1

向+歷的關(guān)系

角度3：已知等式中左側(cè)含作差法（類似

例子：已知％+2%+3/+…+nan=2"求4

nS"-S"_1）

有：

i=l

【變式演練】

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)料）已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s.，q=4,%=8,且

S"+2-2S"M+S“=4?

⑴求證：數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列;

2.（2024?湖南啷陽市其次中學(xué)模擬預(yù)料）已知數(shù)列同｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4%=3S“+2.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

3.（2024?湖北?黃岡中學(xué)三模）已知等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S“，且％=1,久=7；

n+i

數(shù)列也J滿意4+優(yōu)++bn=2-2.

⑴求數(shù)列包,｝和也｝的通項(xiàng)公式；

4.（2024?四川?石室中學(xué)三模（文））已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“（〃eN*）,且

-S,+4^+???+—S=3n+5.

2222"

⑴求生,出及數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

題型二：累加法

【典例分析】

例題1.（2024?福建泉州?高二期末）已知數(shù)列｛?！埃凉M意：q=1,%=3,%=7,｛%+i-?！ǎ秊?/p>

等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

例題2.（2024?重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)料）已知12+22+...+川=4"（〃+1）（2,7+1）,數(shù)列｛%｝

6

滿意=/+2〃+1,%=1.

⑴求｛?！埃耐?xiàng)公式；

【提分秘籍】

累加法（疊加法）

若數(shù)列｛%｝滿意冊(cè)+「冊(cè)=/（〃）”N*）,則稱數(shù)列｛a”｝為“變差數(shù)列"，求變差數(shù)列｛%,｝

的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式

%=%+（%一）+（。3一%）■1---h（%,-4-1）=%+/⑴+/（2）+/⑶H----1"-1）伽N2）

求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。

詳細(xì)步驟：

出一％=/（I）

。3-。2=/（2）

=7（3）

=/（"T）

將上述1個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：

(出一％)+(%-a2)+(。4-％)+…+(4-a"-1)=/⑴+/(2)+/⑶++/("—1)

整理得：??-?1=/(1)+/(2)+/(3)+

【變式演練】

1.(2024?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中)已知數(shù)列｛4｝滿意％=3,七-《1=2"，

(1)求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式；

⑵令2=烏二L設(shè)數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為叫證明：

anan+l153

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)料)給出以下兩個(gè)條件：①為=3q=3,an+2-2an+1=Sn+1-Sn-2an.,

②％=1,(l+%)(l+*)=2"+i(%-*(〃eN*).請(qǐng)從這兩個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題

目補(bǔ)充完整，并求解.

已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且______.

⑴求數(shù)列包,｝的通項(xiàng)公式；

注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.(2024?河南洛陽?高二階段練習(xí)(理))在數(shù)列｛?｝中，q=O,a?-a?_1=2?-l(w>2).

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式.

題型三：累乘法

【典例分析】

例題1.(2024?浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為

S“，q=1，(〃+3)S“=nS?+1(?eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

例題2.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛?！埃凉M意ql)a“-加*=0.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【提分秘籍】

累乘法(疊乘法)

若數(shù)列｛““｝滿意女"=/(〃)(L),則稱數(shù)列｛%｝為“變比數(shù)列"，求變比數(shù)列｛冊(cè)｝的

通項(xiàng)時(shí)，利用%=%,絲?巴?旦----二6"⑴"⑵?/(3)????/(〃-1)(n>2)求通項(xiàng)

a

a2%n-\

公式的方法稱為累乘法。

詳細(xì)步驟：

"="1)

a｛

%=〃2)

a2

&=/(3)

a3

'=/(〃-1)

將上述“-1個(gè)式子相乘(左邊乘左邊，右邊乘右邊)得：

。1。2。3冊(cè)一1

整理得：&=/(1)"(2)/(3>"5—1)

【變式演練】

(、么2H+1

1.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛〃“｝滿意q=1,=.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在數(shù)列匕〃｝中，&=1,an=(〃22),求數(shù)列{an}

的通項(xiàng)公式.

3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛。,｝的首項(xiàng)為且滿意

(?+1)??=(，7T)a“_i(〃22,"eN*).求｛%｝的通項(xiàng)公式.

題型四：構(gòu)造法

【典例分析】

例題1.(2024?江蘇蘇州?高三階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”精,數(shù)

列他,｝滿意bn=3b+2(〃eN*,〃22),且4=6+1.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛"｝的通項(xiàng)公式；

例題2.(2024?海南華僑中學(xué)高三階段練習(xí))數(shù)列｛4｝中，已知%=3%1+2.4"(?eN*,

n>2),其中彳是非零的常數(shù).

(1)若q=5,a尸25,求證：數(shù)歹!J｛%-5向｝是等比數(shù)列；

例題3.(2024?廣東?模擬預(yù)料)已知數(shù)列｛4｝中，q=5且4=2%7+2"-1("..2,〃?^4*),

b,==

⑴求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【提分秘籍】

構(gòu)造法

類型1:用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如%+1=妨〃+0（%,P為常數(shù)，松片0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變

形為%+1+〃2=左（%+7〃）（其中：機(jī)=-）,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛冊(cè)+加｝,先求出

k-1

｛%+m｝的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

標(biāo)準(zhǔn)模型：?,7+1=kan+p（匕P為常數(shù)，切片。）或4=ka,T+p（匕P為常數(shù)，切彳。）

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

⑴形如%+1=4許+夕q"+i（weN*）,可通過兩邊同除4"+1,將它轉(zhuǎn)化為寢-q+P,從

qq

而構(gòu)造數(shù)列］孑I為等差數(shù)列，先求出|孑1的通項(xiàng)，便可求得｛見｝的通項(xiàng)公式.

（2）形如4+i=hZ"+q'M（“eN*）,可通過兩邊同除4"，將它轉(zhuǎn)化為名■=8之+1,

qqq

換元令：bn=2，則原式化為：bn+i=-bn+l,先利用構(gòu)造法類型1求出口，再求出｛〃〃｝

Qq

的通項(xiàng)公式.

（3）形如?！??！?1=3“+1%（左工0）的數(shù)列，可通過兩邊同除以變形為二-----=-k

%+i%

的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列十，先求出:的通項(xiàng)，便可求得｛區(qū),｝的通項(xiàng)公式.

【變式演練】

1.（2024?陜西?綏德中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿意4=1,a“M=2q,+l（"eN*）.

（1）寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)；

⑵求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)料）己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和為S“且滿意S”=2a,「2",數(shù)列也｝

是兩個(gè)等差數(shù)列1,4,7,10,…與4,9,14,19,…的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列.

（1）求出數(shù)列｛?｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

3.（2024?全國(guó)?高二單元測(cè)試）在①次J3=3（〃+1）?！?，@an+l=3a?-2,③-34=3"】

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.

已知數(shù)列｛4｝中，q=3,，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S..

題型五：倒數(shù)法

【典例分析】

例題1.（2024?陜西西安?高二期中（文））若%>0，。產(chǎn)1，%=於工（〃=1，2,）.

1+%

(1)求證：a?+i*an；

（2）令4=；，寫出的，%，。4，。5的值,視察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式4;

例題2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝中，%=；,an=an+x+2anan+x.

（1）求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式；

【提分秘籍】

倒數(shù)法

用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

類型1：形如%+1=上」（PM為常數(shù)，pq#0）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”,變形

pan+q

為一一=工+",即：從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列［先求出［-^］的通項(xiàng),

4+ianq隅+i/q

即可求得冊(cè).

ka

類型2：形如%+1=———（P應(yīng)為常數(shù)，pwO,q^Q,左。0）的數(shù)列，通過兩

pan+q

141P71cjD

邊取“倒”，變形為——+f,可通過換元：以=一，化簡(jiǎn)為：2+1==優(yōu)+；（此

n

4+1kankankk

類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如%+i=kan+p（k,p為常數(shù),

切片。）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為%+1+〃2=左（%+如（其中：

由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+加｝,先求出｛%+；〃｝的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式.）

【變式演練】

1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，a2=1,an=an+l+2anan+l.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝,滿意q=2,4+1=]韋.

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.

⑵求知.

3.（2024?廣東梅縣東山中學(xué)高三期中）已知數(shù)列｛%｝中，4=1,

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

[%2J

蚪逐轅新?？级亻泔?/p>

1.（2024?新疆和靜高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知等差數(shù)列｛4｝滿意%+%=12,

心+q=20,數(shù)列｛2｝滿意伉=1,2+=3".求｛4｝,但｝的通項(xiàng)公式；

（2）在數(shù)列｛%｝中，q=6,%=4<*-6（心2,〃eN*）,

①求證：｛%-2｝是等比數(shù)列;

2.（2024?云南?昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高三階段練習(xí)）己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S",4=4,

⑴證明數(shù)列｛4-2｝為等比數(shù)列，并求出％的通項(xiàng)公式；

3.（2024?福建省福州延安中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，

a

2=3%=3,an+2-2an+1=Sn+1-Sn-2an；

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

4.（2024?福建省永泰縣其次中學(xué)高三期中）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，且與和S,