人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊《圓的有關(guān)性質(zhì)（第2課時(shí)）》示范教學(xué)課件

圓的有關(guān)性質(zhì)

（第2課時(shí)）

連接圓上任意兩點(diǎn)的______叫做弦，經(jīng)過______的弦叫做直徑．如圖，_______________是弦，_________是直徑．線段圓心AB，CD，ACAB

______任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。甠_____半圓的弧叫做優(yōu)??；______半圓的弧叫做劣?。?/p>

如圖，___________________________是優(yōu)弧，_____________________是劣弧，是______．圓上大于小于OBACDE半圓剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得出什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？探究ABOCD圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．

分析：要想證明這個(gè)結(jié)論，只需要證明圓上任意的一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點(diǎn)也在圓上．OC

D

A

證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A

為⊙O上除點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn)．A′

M過點(diǎn)A

作AA′⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A′，垂足為M，連接OA，OA′．證明在△OAA′中，∵OA＝OA′，∴△OAA′是等腰三角形．又AA′⊥CD，∴AM＝MA′．即CD是AA′的垂直平分線．這就是說，對于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A′，因此⊙O關(guān)于直線CD對稱．OC

D

A

A′

M圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．OC

D

如果我們在圓形紙片上任意畫一條弦AB，如圖，觀察這個(gè)圖形，它還是軸對稱圖形嗎？若是，請找出它的對稱軸．探究OB

A如圖，作出垂直于弦AB的直徑CD，沿著這條直徑所在的直線對折，圖形在這條直徑兩側(cè)的部分能完全重合，即圖形關(guān)于這條直徑所在直線對稱．設(shè)直徑CD與弦AB垂直于點(diǎn)E（如圖），在沿直徑CD所在直線對折的過程中，觀察圖中有哪些相等的線段和相等的?。骄縊E

C

D

OB

A

AE＝BE，

＝，

＝

．結(jié)合下面的動(dòng)圖，你能將你的發(fā)現(xiàn)歸納成一般結(jié)論嗎？思考結(jié)合下面的動(dòng)圖，你能將你的發(fā)現(xiàn)歸納成一般結(jié)論嗎？思考垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

符號(hào)語言：

∵CD是直徑，AB為⊙O的弦，且CD⊥AB，

垂足為E．

∴AE＝BE，

＝，

＝

．C

D

E

OB

A?垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。龠^圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊≡谶@個(gè)定理中，①過圓心，②垂直于弦，這兩個(gè)條件缺一不可，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件時(shí)才能推出結(jié)論③平分弦，④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣?。}設(shè)結(jié)論反過來，平分弦的直徑一定垂直于這條弦嗎？探究

請?jiān)诩埳袭嬕粋€(gè)以點(diǎn)O為圓心的圓，在⊙O上任意畫出一條弦CD（不是直徑）．找到弦CD的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E

作⊙O的直徑MN，MN與CD有什么位置關(guān)系？CDEMN測量∠MED的度數(shù)，得∠MED＝90°，即MN⊥CD．如果弦CD是直徑呢？OCDMNM1N1M2N2O兩條直徑任何時(shí)候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．猜想：如果有一條直徑平分一條不是直徑的弦，那么它就能垂直于這條弦，也能平分這條弦所對的兩條弧．你能對猜想進(jìn)行證明嗎？

已知：如圖，⊙O的直徑CD交弦AB（不是直徑）于點(diǎn)P，AP＝BP．求證：CD⊥AB，

＝，

＝

．證明：連接OA，OB，則AO＝BO．思考∴△AOB是等腰三角形．∵AP＝BP，∴CD⊥AB

，∴

＝，

＝

（垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條?。瓺ACBPO垂徑定理的推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

符號(hào)語言：∵在⊙O中，CD是直徑，弦AB不是直徑，且AE＝BE，

∴CD⊥AB，

＝，

＝

．C

D

E

OB

A?垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。龠^圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊≡谶@個(gè)推論中，“③平分弦”的“弦”一定是非直徑的弦，否則命題就不一定成立．題設(shè)結(jié)論E

例1

如圖，在⊙O中，弦AB的長為8

cm，圓心O

到AB的距離為3

cm，求⊙O的半徑．在Rt△OEA中，由勾股定理，得

∴OA＝5，即⊙O的半徑為5

cm．

∴AE＝AB＝4

cm．

OA2＝42＋32，解：過點(diǎn)O

作OE⊥AB，垂足為E，連接OA．ABO∵OE⊥AB，AB＝8

cm，

例2

如圖，

M

是⊙O中的弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心

O

交⊙O于點(diǎn)

E，并且CD＝6

cm，EM＝9

cm，求⊙O的半徑．在Rt△OCM中，由勾股定理，得解得r＝5，即⊙O的半徑為5

cm．

∴EM⊥CD，CM＝CD＝3

cm．

r2＝(9－r)2＋32，解：如圖，連接OC．設(shè)OC＝r

cm，則OM＝(9－r)cm．∵EM經(jīng)過圓心

O，M是CD的中點(diǎn)，CD＝6

cm，OCDEM

1．四變量：如圖，弦長a，圓心到弦的距離d，半徑r，弧的中點(diǎn)到弦的距離（弓形高）h，已知這四個(gè)變量中的任意兩個(gè)可求其他兩個(gè)．歸納

2．兩關(guān)系：（1）＋d2＝r2；（2）h＋d＝r．垂徑定理基本圖形的四變量、兩關(guān)系例3

趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1

400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37

m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23

m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．37m7.23m

分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形．解：如圖，用

表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點(diǎn)C，連接OA．ABOCD根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是

的中點(diǎn)，CD就是拱高.R

由題設(shè)可知

AB＝37，CD＝7.23，

∴AD＝

AB＝

×37＝18.5，

OD＝OC－CD＝R－7.23，

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2．

解得

R≈27.3．因此，趙州橋的主橋拱半徑約為

27.3

m．ABOCDR實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言描述已知和未知畫出圖形運(yùn)用相關(guān)知識(shí)數(shù)學(xué)問題的解實(shí)際問題的答案檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題歸納思考

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。^察垂徑定理及其推論的題設(shè)與結(jié)論，你能發(fā)現(xiàn)什么？對于一個(gè)圓和一條直線，如果具備下列