山東中學(xué)聯(lián)盟2024屆高考考前熱身押題數(shù)學(xué)試題

山東中學(xué)聯(lián)盟2024屆高考考前熱身押題數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)隨機(jī)變量萬~N電*，P(0<-2)=0.3,則函數(shù)=/一段+1無零點(diǎn)的概率為()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=l+i,貝匹的虛部是()

,333.3.

A.一一B.—C.—1D.—I

5555

3.已知等差數(shù)列｛g｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：d>0；乙：｛Sj是遞增數(shù)列，則

()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條

件

4.已知函數(shù)〃x)=sinx(l+3，是偶函數(shù)，則加的值是()

A.-2B.-1C.1D.2

22

5.已知雙曲線-1=1(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為不凡,。為原點(diǎn)，若以山引

為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P,且內(nèi)尸|=e|。尸|,則C的離心率為()

A.5/3B.2C.-\/~5D.

6.已知Q>0,且6則下列不等式成立的是()

A.a+b<4B.log2tz+log2Z)>2

C.b\na>\D.4a+4b>3

7.已矢口sinxcosy+cosxsiny=',cos2x-cos2y=—,貝|sin(x->)=()

24

1131

A.-B.-C.——D.——

2444

8.已知函數(shù)〃尤)，g(x)均是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且

試卷第1頁，共4頁

/(x+l)+g(x+2)=2,/(x-l)-g(4-x)=4,若/(x)為奇函數(shù)，貝I］下歹1」說法正確的是()

A.“X)是周期函數(shù)B.y=g(尤+2)為奇函數(shù)

c.y=g'(x)關(guān)于x=2對(duì)稱D.存在xeN,使/(x)=2024

二、多選題

9.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線

C:/=8y,阿基米德三角形尸45,弦N8過C的焦點(diǎn)尸，其中點(diǎn)A在第一象限，則下列說法

正確的是()

A.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2B.C的準(zhǔn)線方程為尤=-2

C.若|/尸|=8,貝1J48的斜率為6D.面積的最小值為16

10.如圖在四棱柱48co-4月G"中，底面四邊形/BCD是菱形，//DC=120。，

AC^BD=O,4。，平面/BCD,4。=8。=2,點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于平面3CQ對(duì)稱，過點(diǎn)C

做任意平面&,平面。與上、下底面的交線分別為4和4,則下列說法正確的是()

A.〃〃2B.平面BCQ與底面/BCD所成的角為30。

C.點(diǎn)C到平面3CQ的距離為1D.三棱錐。'-/助的體積為必

2

II.在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(即伯努利試驗(yàn))中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P,則事件

A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布8(",0),事實(shí)上，在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個(gè)隨機(jī)變量

的應(yīng)用也很廣泛，即事件A首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)丫，我們稱y從“幾何分布"，經(jīng)過計(jì)

算￡代)=；,由此推廣在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事件A和彳都發(fā)生后停止，此

時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為Z,則尸(Z=Q=(l-p)ip+pi(l-p),左=2,3,…，那么下列

試卷第2頁，共4頁

說法正確的是()

A.P(X=5)=5p(l_p)4B.尸(y=左)=,左=1,2,3,…

c.p(y=3)的最大值為出D-"舟廠

三、填空題

12.已知向量麗=(1,2),將麗繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到詼的位置，則

西班=.

13.已知圓A/：x2+y2=4,圓N：(x-4)~+(>-4/=4,直線/與圓加,N分別相交于

4昆C,D四點(diǎn)，若S"=SACDN=6，則直線/的方程可以為,(寫出一條滿

足條件的即可).

14.在“BC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,函數(shù)

/'(x)=2sin(ox+?)(0>O,O<e<：,/(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為],且

/[y]=h將y=的圖象向右平移巳個(gè)單位得到y(tǒng)=g(x)的圖象且g(/)=2,"BC的

內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為2兀.則“3C的面積的最小值為.

四、解答題

15.已知A,B,C,。四名選手參加某項(xiàng)比賽，其中A,8為種子選手，C,。為非種子

選手，種子選手對(duì)非種子選手種子選手獲勝的概率為：，種子選手之間的獲勝的概率為:，

非種子選手之間獲勝的概率為3.比賽規(guī)則：第一輪兩兩對(duì)戰(zhàn)，勝者進(jìn)入第二輪，負(fù)者淘汰;

第二輪的勝者為冠軍.

(1)若你是主辦方，則第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)安排一共有多少不同的方案？

(2)選手A與選手D相遇的概率為多少？

(3)以下兩種方案，哪一種種子選手奪冠的概率更大？

方案一：第一輪比賽種子選手與非種子選手比賽；

方案二：第一輪比賽種子選手與種子選手比賽.

16.如圖，在五面體/8CDE萬中，?ADE1ffiABCD,ZADC=90°,即//平面48cD,

試卷第3頁，共4頁

AE=DE=DC=2EF,AB=3EF,二面角/一。C-尸的平面角為60。.

⑴求證：/BCD是梯形；

(2)點(diǎn)尸在線段上，且/P=2必，求二面角尸-尸。-8的余弦值.

17.已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為2(0,1)、5(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上，離心率為弓，直線

/:y=丘-g(后<0)與橢圓C交于W、N兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)上變化時(shí)，是否存在過點(diǎn)A的定直線加，使直線冽平分NM4N?若存在，求出該定直

線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

-k十皿//\J23冽+32m+5m+3^^,八

18.1已知函數(shù)/(x)=ex--------x+---------o------，其中機(jī)w0.

(加mJ

(1)求曲線V=/(X)在點(diǎn)(2,〃2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)/(x)的極小值小于0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)證明：2e"-2(x+1)Inx-x>0.

19.設(shè)a,bwZ,aw0.如果存在qeZ使得b=ag,那么就說6可被。整除(或。整除6),記

做ag且稱b是。的倍數(shù)，。是6的約數(shù)(也可稱為除數(shù)、因數(shù)).6不能被。整除就記做

。糜.由整除的定義，不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若a|b,b\c,則a|c；②a,b互

質(zhì)，若a|c,b\c,貝!|a6|c；③若a也,則。|￡；/也，其中c,eZ,i=1,2,3,.

⑴若數(shù)列｛%｝滿足，%=2"T,其前”項(xiàng)和為，，證明：279|S3000；

(2)若，為奇數(shù)，求證：優(yōu)+6"能被。+6整除；

⑶對(duì)于整數(shù)”與左，尸5，左)=?1,求證：尸(〃,1)可整除尸(〃㈤.

r=l

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)題意，求得-2＜尸＜2,結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（x）=/-分+1無零點(diǎn)，所以A=，2—4＜0,解得-2＜/?＜2,

又由尸（尸＜—2）=03,所以尸（一2＜尸＜2）=1—2尸（夕＜—2）=0.4.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=11+13i,得至lj-z=11—?3，結(jié)合復(fù)數(shù)的概

念，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)z（2-i）=i+i,可得z=l±i=a±DG±0=L+Li,

2-i555

所以-z=/13-所以三的虛部是一；3

故選：A.

3.D

【分析】利用公差d＞0,如TO,-9,-8,-7,0,1,2,…與S〃=〃，可判斷結(jié)論.

【詳解】若公差d＞0,如數(shù)列-10,-9,-8,-7,0,1,2,…，則數(shù)列的前〃項(xiàng)和S.

先減再增；

若｛S"｝是遞增數(shù)列，如S“=〃，則。"=1為常數(shù)列也為等差數(shù)列，且d=0；

所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件，故D項(xiàng)正確.

故選：D.

4.A

【分析】利用偶函數(shù)可得一sinx[l+5^jj=sinx[可求加的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=sinx[l+D是偶函數(shù)，所以/'（-x）=/（x）,

即/(-x)=sin(-x)1+---加--、=-sinxh1+

l-e-xJI

所以一"詈=1+言'所以二=2,即“2故A正確.

答案第1頁，共22頁

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)題意，得到|。尸|=|°周=c，且山尸|=百|(zhì)。尸|=Gc,在△。尸罵中，利用余弦定

理求得COS￡OP=-L,得至=兀一生=巴，結(jié)合tan/8。尸=2=百，利用離心率的

2-33a

定義，即可求解.

【詳解】由以山聞為直徑的圓與。的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P,可得用=c,

又由|耳尸|=6|0尸|=五,

在“咫中’由余弦定理儂平》=畫■產(chǎn)

1所以2片0尸=子271,

所以/丹?！?兀一二=:，所以tanN凡。尸=2=百，離心率e=￡=Jl+￡=2.

33aaya-

故選：B.

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)1的妙用進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，對(duì)原條件直接使用基本不等式，

勘=a+622而即可求解；C選項(xiàng)，將待證明表達(dá)式消去一個(gè)字母，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

知識(shí)解決；D選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)的分析可解決.

【詳解】因?yàn)閍+b=ab,所以1+：=1,

ab

對(duì)于A項(xiàng)：tz+Z)=(a+Z>)[-+-]=2+/U->2+2=4,

\ab)ab

八，3

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時(shí)取得等號(hào)，從而在。=3,6=大時(shí)。+6〉4,故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)閍b=a+bN2^,所以。624,

log2a+log2b=log2ab>log24=2,當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào)，log2a+log2b=2,故B

答案第2頁，共22頁

錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)?〃+所以6=---->0,所以q>1,

a-\

于是blnQ〉1等價(jià)于一^―Inq>1,等價(jià)于Ina>---,

a-\a

構(gòu)造函數(shù)/(%)=lnx+L_l(x〉l),/'(%)=―—-\=，

XXXX

所以/(無)在(1,+e)上單調(diào)遞增；

所以/(%)>7?⑴=0恒成立，所以不等式61na>l成立，故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)：根據(jù)B選項(xiàng)的分析，a+b=ab>4,

貝!J(G+A/F)-a+b+2y/ab>4+2y/4-8,段&+822五,

當(dāng)a=6=2時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)右+班=2也<3，故D錯(cuò)誤.

故選：C

7.D

【分析】先利用兩角和的正弦公式求出sin(x+y),再根據(jù)

cos2x-cos2y=8$[(》+#+(X-田]-<：05](苫+田-(》-田]結(jié)合兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)

即可得解.

【詳解】sinxcos7+cosxsiny=sin(x+y)=；,

cos2x-cos2y=cos[(x+_y)+(x-y)]-cos[(x+y)-(x-y)]=-2sin(x+y)sin(x-y)

所以sin(無-y)=一:.

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法變換給定等式可得/'(x+l)+/(l-x)=6及

g(2+x)+g(2-力=-2,再結(jié)合奇函數(shù)及等差數(shù)列通項(xiàng)求解、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求解判斷即得.

【詳解】函數(shù)/(x),g(x)均是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，/(x+l)+g(x+2)=2①，

1(x7)—g(4—x)=4②，將②式中x換為2-x得/(l-x)-g(2+x)=4③,

答案第3頁，共22頁

①+③得/(尤+l)+/(l-x)=6,則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,3)中心對(duì)稱；

將②式中x換為2+x得：/(x+l)-g(2-x)=4@,

①-④得：g(2+x)+g(2-尤)=-2/0,因此了=g(x+2)不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；

g,(2+x)-g,(2-x)=0,即g，(2+尤)=g，(2-尤)，所以y=g'(x)關(guān)于x=2對(duì)稱,C正確；

由/a+l)+/(l-x)=6及/(x)為奇函數(shù)，#/(x+l)-/(x-l)=6,

即/(x+2)-〃x)=6,而〃0)=0,/⑴=3,則〃2)=6,

當(dāng)x=2左-l,AeN*時(shí)，數(shù)列｛/(x)｝是首項(xiàng)為3,公差為6的等差數(shù)列，

貝l|/(x)=/(2左一1)=3+6(左一1)=6左一3=3x,

當(dāng)尤=2左★eN*時(shí)，數(shù)列｛/*)｝是首項(xiàng)為6,公差為6的等差數(shù)列，

則〃x)=/(2左)=6+6供-1)=6左=3x,因此xeN*時(shí)，/?=3x,顯然/(0)=0滿足上式，

即xeN,/(x)=3x,顯然/(x)=3x無周期性，且〃x)=3x=2024無解，AD錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)了=/(尤)的定義域?yàn)?。，Vxe。，

①存在常數(shù)a,6使得/(x)+/(2a-x)=26o/(a+x)+/(a-x)=26,則函數(shù)>=/(x)圖象

關(guān)于點(diǎn)(。,6)對(duì)稱.

②存在常數(shù)a使得/(%)=-x)of(a+x)=/(?-x),則函數(shù)y=/(%)圖象關(guān)于直線

X=〃對(duì)稱.

9.AD

【分析】設(shè)”(七,必)，3(工2，%)，直線45：歹=b+2,聯(lián)立方程組，求得玉+%2=8左，再入2=-16,

求得A,B兩點(diǎn)處的切線方程，可求得點(diǎn)P(4h-2)判斷A；求得準(zhǔn)線方程判斷B；由

|4F|=乂+2=8,可求得網(wǎng)46,6),進(jìn)而可求得如=心,判斷C；|第=8M+8,(J,*,

3

進(jìn)而可得又萩=16(1+/p,可求的最小值，判斷D.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)/(再,必)，B(x2,y2),直線/8:y=Ax+2,

答案第4頁，共22頁

聯(lián)立C:x2=Sy,消去V,得J_8Ax-16=0,A=64*+64＞0?

所以西+x2=8k,xxx2=-16,

由C:/=8y,得則點(diǎn)A處的切線：＞=:卬:-9；①，

448

同理點(diǎn)3處的切線：＞考②，聯(lián)立①②，得》=土白，尸-2,

4o2

所以，點(diǎn)尸(優(yōu)-2),故A正確;

對(duì)于B項(xiàng)，準(zhǔn)線方程為^=-2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，|/刊=必+2=8,得％=6,所以川4月,6),kAB=kAF=*=§，故C錯(cuò)誤；

4、33

對(duì)于D項(xiàng)，=必+%+4=左(玉+%)+8=8左2+8,點(diǎn)尸到直線的距離為：d=I,

y/1+k-

所以s/BP=~\AB\'d=~^2+8),4=16(1+^2)2，

當(dāng)上=0時(shí)，尸的面積有最小值16.故D正確.

故選：AD.

10.ABD

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可判斷A；由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得/COG

是平面與底面/BCD所成角的平面角，在RtA。4G中計(jì)算可判斷B；根據(jù)體積相等可

判斷C；點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于平面8G。對(duì)稱，由C'到平面8CQ的距離與C到平面8CQ的距

離相等，可得%一/她可判斷D.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?3CD-44GA是四棱柱，上、下底面平行且平面。與上、下底

面的交線分別為4和3所以〃〃2,故A正確；

答案第5頁，共22頁

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?。，平面4BCD,所以又因?yàn)?8c。是菱形，

所以&DL4C,且/?？?。=0,/C,/Qu平面4CG4，

所以AD1平面/CG4，OC|U平面/CG4，所以

平面BCQA底面48CO=5。，所以/COq是平面3CQ與底面/BCD所成角的平面角，又

因?yàn)?。=3。=2,ZADC^120°,

所以NC=4G=26，在RtA。4G中，tan/4OC|=E,所以//。6=60。，

所以NCOC]=90。-60。=30。，故B正確；

對(duì)于C項(xiàng)，VR—BDC=Vc—BDC[，即;x；x2x6x2=gx；x2x4x〃，所以〃=*,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于平面8。。對(duì)稱，由B項(xiàng)知NCOG=30。，

所以C'到平面BCXD的距離與C到平面BCQ的距離相等，即公OCsin30。=如，

2

所以C'到平面48。的距離〃=2公畝60°=2x且x走=。，Vc.=-x1x2x73x-=—,

2223222

故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解點(diǎn)到平面距離時(shí)，利用體積相等，將所求距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，

從而結(jié)合三棱錐體積求得結(jié)果.

11.BCD

【分析】對(duì)于A,X服從二項(xiàng)分布，使用二項(xiàng)分布求解即可；對(duì)于B,y服從“幾何分布”，

即丫=上表示進(jìn)行了左次，前左-1次未發(fā)生，故尸“=左)=0(1-01；對(duì)于c,y服從“幾何

分布“，即P(y=3)=p(l-p)2=p3-2p2+p,通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可求出最大值；對(duì)于

D,根據(jù)“幾何分布”求數(shù)學(xué)期望E(y),再根據(jù)尸(Z=左)公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望E(z)即可.

答案第6頁，共22頁

【詳解】對(duì)A項(xiàng)，因?yàn)閄~8(〃,p),所以尸(X=5)=CR(1-P)7,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B項(xiàng)，￥=左表示進(jìn)行了上次，前左-1次未發(fā)生，

所以尸(丫=左)="(1一？廣，故B正確；

對(duì)C項(xiàng)，P(Y=^=p(l-p^=p3-2p2+p,

令。(0=p3-2/+p,pe(O,l),

所以e'(p)=302-4p+l=(3p-l)(p-l)=0,

解得P=g或P=1(舍)

當(dāng)時(shí)，d(p)>0,夕(0在，,.單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，d(p)<0,夕(0在gj單調(diào)遞減，

所以夕(小

即p(y=3)的最大值為《，故C正確；

21

對(duì)D項(xiàng)，石(y)=p+2p(l—p)+3.1—力十??二一

P

21

所以2M1-0+300-p)-+...=--p①

P

用1一。代換。得：

2(l_,)P+3(l_p)p2+-.=—^-p)(2)

"P

由①②得

E(Z)=2[(1_p)p+0([_p)]+3[(]_p)p2+(]_p)2p]+…

=2p(l_p)+3p(l_p/H----b2(l-p)p+3(l-p)p:2H—

11/,X1

+=-1

=-PI-------\y~P)~rA\，

故D正確.

故選：BCD.

12.-5

【分析】利用已知可求得函=(2,-1),進(jìn)而可求得西.耳A

【詳解】因?yàn)槎?(1,2),將無繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到函的位置，則函=(2,-1),

答案第7頁，共22頁

故西年=西麗-西=麗麗-西=一5.

故答案為：-5.

13.J7=4+'（%-2）+2,y=（x-2）+2,y=x+y/l,y=x-五,

y=y/15^（x-2^+2,>=（4-VU）（x-2）+2,y=x+C，y=x-y[6,

尸里述±可遢卜一2用2）+26-2,

里史巧嗎76+2）+26一2,

-15-8G、>

16+8^+731+16^/26+21252,

15+8看'>

16+8力一任+三卜+26+2）一26一2,

16-86+/：■■芯卜_6+2回+6-25

16-86人3A迪卜_6+2回+6-25

16+8G+J3J+應(yīng)[.一6-26）+6+2月,

-15+873、'

16+8V3-731+16V[/_6_2^+6+2^（答案不唯一）

-15+8指、>

【分析】由已知直線/與平行或直線/過九W的中點(diǎn)，設(shè)出直線方程，根據(jù)

S/=￡sv=百結(jié)合圓心到直線的距離即可求解?

【詳解】對(duì)于一個(gè)半徑為2的圓，若一條直線被該圓截得的弦與圓心構(gòu)成面積為目的三角

形，則這意味著弦對(duì)應(yīng)的圓心角夕滿足：2-2sin"=g,即e或0=；.

由于弦到圓心的距離d=2cos￡,故d=6或1=1.

這就將命題轉(zhuǎn)化為：直線/到（0,0）的距離是6或1,至U（4,4）的距離也是百或1.

分別以（0,0）和（4,4）為圓心，以1為半徑作圓C1和2，以方為半徑作圓C百和。尺

答案第8頁，共22頁

則直線/需要滿足：與?；?相切，與2或。6相切?

首先，由于6+班＜4,故&,。/?,/€卜,6｝）不可能同時(shí)和一條豎直直線相切，從而/的斜

率一定存在.

①若直線/與G和2相切，則直線/經(jīng)過兩圓的內(nèi)位似中心（2,2）,或與兩圓圓心連線平行，

即斜率為1（此種情況亦可視為直線/經(jīng)過兩圓的外位似中心：方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）.

對(duì)于前一種情況，即直線了=左（》-2）+2到原點(diǎn)的距離為1,使用距離公式得到電駕=1,

對(duì)于后一種情況，即直線y=x+7"到原點(diǎn)的距離為1,使用距離公式得到=1,解得

m=±y[2?

所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線/可能是：y=土咨（x-2）+2,y=二夕（x-2）+2,

y=x+41,y=x—y/2；

②若直線/與％和％相切，則直線/經(jīng)過兩圓的內(nèi)位似中心（2,2）,或與兩圓圓心連線平行，

即斜率為1（此種情況亦可視為直線/經(jīng)過兩圓的外位似中心：&=0,1）方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）.

/、\2.-2k\廠

對(duì)于前一種情況，即直線尸左（》-2）+2到原點(diǎn)的距離為百，使用距離公式得到=

角軍得左=4±岳;

對(duì)于后一種情況，即直線＞=x+m到原點(diǎn)的距離為6,使用距離公式得到=6解得

所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線/可能是：y=（4+V15）（x-2）+2,y=（4-V15）（x-2）+2,

y=x+&,y=X-A/6；

③若直線/與￡和。心相切，則直線/經(jīng)過兩圓的內(nèi)位似中心（26-2,26-2）,或經(jīng)過兩圓

對(duì)于前一種情況，即直線＞=左1-2百+2）+26-2到原點(diǎn)的距離為1,使用距離公式得到

答案第9頁，共22頁

咚訓(xùn)二0二],解得「6一

TiTF15-8^

對(duì)于后一種情況，即直線>=左1+26+2）-2、Q-2到原點(diǎn)的距離為1,使用距離公式得到

巴訓(xùn)則=1，解得”更±逋坦叵,

717F15+8V3

所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線/可能是：16-8G+,3；16>k-2用2k2尋2,

-15-8逝、>

16-8括-"3：竺"1_26+2）+22,

16+8蘇+43手叵1+2521252,

15+8?1）

l6+8^-V31+W[/+2^+2x_2^_2；

15+86'

④若直線/與％和口相切，則直線/經(jīng)過兩圓的內(nèi)位似中心（6-2后,6-26）,或經(jīng)過兩圓

對(duì)于前一種情況，即直線>=左1一6+26）+6-26至1]原點(diǎn)的距離為行，使用距離公式得

到（6一理工5解得二6-86土方述;

7I7F15-8?

對(duì)于后一種情況，即直線尸十+26+2）-2於-2到原點(diǎn)的距離為百，使用距離公式得

到（6+過M3,解得口6+86±，3廣迤,

V1TF15+8V3

所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線/可能是：16-8e+，3；16>k-J2抬'小"2出，

15-8石、'

16-8括一出廠竺烏x_6+2百）+6-2&,

16+8G+J3：血[1_6-2⑹+6+20,

15+861）

答案第10頁，共22頁

厘殳與螞-6一2回+6+2技

15+8V3')

綜上，滿足條件的直線/一共有16種可能：y=qi(x_2)+2,y=、區(qū)(x-2)+2,

y=x+C，y=x-V2,y=(4+^3")(工-2)+2,y=^4-y/15^(x-2^+2,y=x+a,

y=x-46,昨16叱+篇*q_2G+2)+2G一2,

3兇三呼巫卜_2用+2)+26-2,

15-8V3,)

16+8^+731+16^/+26+2>2.2,

15+88,)

16+873-731+W3-/+2^+2A_2^_2)

15+8V3')

16-8君+，3；2處卜一6+26)+6-26,

15-8V3,)

168^731-16V[/_6+2^+6_2^；

15-8V3,)

16+8百+，3;@1(>6.2省)+6+26,

15+8V3')

16+8豆-，3^^[(X_6_2G)+6+2G.

15+8V3')

故答案為：y=2)+2,萬二4,(x—2)+2,y=x+亞，y=x-y/2,

y=(4+-2)+2,y=(4--2)+2,y=x+\j~69y=x—yj~6?

16-8^+A/31-16V|/_2^+2A2^_2)

15-8V3,)

16一8舁/^^^一2用2)+2省一2,

15-8V3,)

16+8石+J3廣電更卜+2退+2卜2反2,

15+86')

答案第11頁，共22頁

16+86一,3：+三卜+2用2)一2人2,

15+8V31)

區(qū)巫母遢卜_6+26)+6-26,

15-8V31)

16-8括-43；■"烏x_6+2百)+6-25

15-8V31)

16+86+/3：+穌卜_6-2⑹+6+25

15+861)

l6+8^-V31+W[/_6_2^+6+2^_(答案不唯一)

15+8V3''

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題總共有16種可能的答案，但只需答出其中1個(gè)即可.在時(shí)間寶貴

的考場(chǎng)上，全部將16條直線的方程求出顯然是不明智的做法.

14.3G

【分析】根據(jù)題意求出了(尤)的解析式，由平移規(guī)律得到V=g(x)的解析式，由g(4)=2得

到A,由面積公式和余弦定理,及+c-bc=』c-b-c，借助基本不等式即可求出6c的取

2

值，進(jìn)而得到面積最小值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為5，

所以丁=兀，可得①=2,

所以/(x)=2sin(2x+°),

LLl、t2兀?！?_p.2兀J71.一

月f以--v(p——F2klI,kGZ或---(p--------\-2AJT,keZ,

3636

jrjr

所以尹二---F2左兀,左EZ或9=—+2hi,keZ

26f

因?yàn)?<*苦,

所以e=F，即/(x)=2sinf2x+-^L

6

因?yàn)閷⒘?/(x)的圖象向右平移￡個(gè)單位得到y(tǒng)=g(x)的圖象,

6

答案第12頁，共22頁

所以g(x)=2sin

由g(/)=2,<2sin=2

1L

所以2/—=—■\-2kn,kGZ,即/=—+左兀,左EZ,

623

且0<4<兀，所以4=1.

因?yàn)锳A8C的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為2兀,

所以AABC的內(nèi)切圓的半徑為1,

(<?+Z)+c)xl=—Z>csiny,所以a+6+cbe,即—6—c,

在AASC中，由余弦定理得：a~=b2+c2-2bccos—,

所以J/+c°-be=^-bc-b-c,

2

_______h

所以y/lbc-bc<——be-2yjbc，

2

所以癡226，即6c212,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2y/3時(shí)取等號(hào)，所以“BC的面積的最小值為3#).

故答案為：373

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值,

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這

個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

15.(1)1;

/、23

(2)—

-48

(3)方案一種子選手奪冠的概率更大

【分析】(1)由題意分析知第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)情況分別為{/3,C。},{/D,BC},

即可得出答案;

答案第13頁，共22頁

(2)設(shè)事件/="選手A與選手。相遇”，分為對(duì)戰(zhàn)情況分別為｛/尻CD｝,｛/C,3。｝,

｛AD,BC｝,求出其概率，相加即可得出答案.

(3)設(shè)采用方案一，二種子選手奪冠的概率分別為耳，P2,由獨(dú)立事件的乘法公式求出耳、

P2,比較月，6的大小即可得出答案.

【詳解】(1)第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)情況分別為｛4及CD｝,｛AC,BD｝,｛AD,BC｝,故總方案數(shù)

3；

(2)設(shè)事件“選手A與選手。相遇”，

當(dāng)對(duì)戰(zhàn)為｛4D,3C｝時(shí)，A,。兩選手相遇的概率為1；

當(dāng)對(duì)戰(zhàn)為｛/氏CD｝時(shí)，A,。兩選手相遇的概率為:x；=：；

當(dāng)對(duì)戰(zhàn)為｛4C,3。｝時(shí)，A,。兩選手相遇的概率為=而；

111113

抽到三種對(duì)戰(zhàn)的概率均為W，貝尸++啟.

33343164X

23

綜上可知選手A與選手D相遇的概率為—.

48

(3)設(shè)采用方案一，二種子選手奪冠的概率分別為耳，P2,則

采用方案一，假設(shè)分組為｛/C,8。｝,

第一輪兩種子選手獲勝，則第二輪種子選手一定奪冠：-x-=^,

4416

第一輪選手4。獲勝，第二輪A獲勝：:3x：1x3：=A9，

44464

3139

第一輪選手獲勝，第二輪5獲勝：

44464

第一輪選手獲勝，則種子選手不能獲勝，

b2n99c27

所以片二一X—x2=——；

1166432

采用方案二：假設(shè)分組為｛/民8｝,

1133

第一輪選手4c獲勝，第二輪A獲勝：=

22416

1133

第一輪選手4。獲勝，第二輪A獲勝：=

22416

1133

第一輪選手sC獲勝，第二輪3獲勝：=

22416

答案第14頁，共22頁

1133

第一輪選手優(yōu)。獲勝，第二輪5獲勝：=

22416

則鳥=白3義4==3，所以《＞￡，

164

因此方案一種子選手奪冠的概率更大.

16.(1)證明見解析

⑵丈，

8

【分析】(1)由線面平行的性質(zhì)定理得CD〃E尸，同理得45〃跖，從而得C?！?5,再得

到CD+AB得證.

(2)取4D中點(diǎn)O由面面垂直得性質(zhì)定理可證的線面垂直，則可在。處建系，寫出各點(diǎn)坐

標(biāo)，求出面3CF和面PC尸的一個(gè)法向量，求夾角的余弦值即可.

【詳解】(1)在五面體跖中，E尸//平面48。，E尸u面CDEF,

面ABCDC面CDEF=CD,所以CD//EF同理可證48〃EF,

所以CD〃48且43=3EF豐2EF=CD；

所以/BCD是梯形.

(2)取中點(diǎn)O,3C中點(diǎn)連接OE,OM.

因?yàn)槊?圮_1面/88,交線為4D,CDu面/BCD,ZADC=90°,

所以CD,面所以Cd)E,CD，4D

所以N4DE是二面角/一。C-尸的平面角.即ZADE=60°,又4E=DE,

所以V/DE■為正三角形，以。為原點(diǎn)，以方，OM,礪分別為x,y,z軸(如圖)

建立空間直角坐標(biāo)系。-中z,設(shè)EF=I,

貝I|/E=DE=Z）C=2,AB=3,5（1,3,0）,C（-l,2,0）,歹（0,1,6），P（l,2,0）,

CB=（2,1,0）,3=而=卜1,-1,6）.

答案第15頁，共22頁

設(shè)面BC尸的一個(gè)法向量為五=（再,如4）,由]_L而，nlCF，得

nCB=2%i+y1=0

取Zi=G,得再=—1,yx=2,

h'CF=xi-yi+6Z[=0

所以為=(—1,2,g)

設(shè)面尸CF的一個(gè)法向量為玩=（工2J2/2）,由碗_L而，rnlFP得

m-CF=%-%+3^2=0

<

取z?=1,得了2=。，y2—垂＞，

m-FP=-x2-y2+V3Z3=0

所以應(yīng)=(0,后1)

所以cos欣力=告工2e+由3a

2x272—8

所以二面角尸-FC-3的平面角的余弦值為城.

8

丫2

17.(1)—+/=1

(2)存在,x-y+l=0

【分析】（1）根據(jù)題意，得到6=1,由e=@,求得。=2,即可求得橢圓C的方程的標(biāo)準(zhǔn)

2

方程；

k1

（2）假設(shè)存在定直線加，設(shè)為〃，聯(lián)立方程組求得X]+X2,X1X2，化簡(jiǎn)七M(jìn)-AN=，設(shè)直線/V、

/N及直線機(jī)的傾角分別為a,P,7,且直線相與直線/交于點(diǎn)P,利用斜率公式，化簡(jiǎn)

2

得到k'（kAM+kAN）=1kAM+以,）且kAM+30,求得〃=i,即可求解.

【詳解】（1）解：由橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為/（0/）、5（0,-1）,可得6=1,

又由e=￡