2024屆廣西高考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

2024屆廣西名校高考模擬試卷預(yù)測卷

數(shù)學(xué)

(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試卷

和答題卡上，并將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號涂黑.

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)，如

需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案.在試卷上答題無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.)

2

A/=(x|x<4)N=&0<x<3jAT

I若集合II>,1則()

A.(-2,2)B,[0,2)

C.[0,3)D.(-2,3)

2.若復(fù)數(shù)Z+l與d都是純虛數(shù)，則目=()

A.1B.72C.20D.2

3.“a=0”是“直線x—ay+2a—l=0(aeR)與圓爐+產(chǎn)=]相切”的()

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知(G：+1)(2X—I,展開式中的系數(shù)為48,則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知圓錐的高為3,若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1,則該圓錐的表面積為()

A.671B.66萬C.9%D.1271

6.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相

關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)F都近似服從正態(tài)分布.繪制了概率分布密度曲線，如圖

A.有26min可用B.有30min可用

C有34min可用D.有38min可用

2

過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與橢圓二+

7.y1(?>Z?>0)交于A,3兩點(diǎn)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，已知

ab2

ZAFB=60°,M2|AF|=|BF|,則橢圓的離心率為（）

A6R小c小D近

A-----D.-----C.D.----

3333

8.已知函數(shù)/（九）="一◎（a>l）,且在[1,2]有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

A.（1,2]B,（l,e）C.[2,e）D,（e,e2]

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)為，巧，…，相的平均數(shù)為七,方差為s；,中位數(shù)為加°,在這組數(shù)據(jù)中加

入一個(gè)數(shù)X。后得到一組新數(shù)據(jù)七,4，4，Xn,其平均數(shù)為了，方差為S2,中位數(shù)為相，則下列判斷

一定正確的是（）

21

A.x0=xB.SQ=sC.si>s'D,m0>m

5兀7兀

10.函數(shù)/（x）=Asin（ox+0）（A>O,o>O,—兀<0<兀）的部分圖像如圖所示，在一--上

的極小值和極大值分別為./（%）.，/（尤2），下列說法正確的是（）

A.y(x)的最小正周期為兀

B.卜一耳=71

C.7(％)的圖像關(guān)于點(diǎn)［受產(chǎn)內(nèi)］對稱

D.〃尤)在-上單調(diào)遞減

|_26

11.已知函數(shù)八％)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g(x)=(x-2)/(x),若g(4—x)=ga)"(—l)=-2,

/(2)=0,則().

A.7(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)(4,0)對稱B.7(%)是周期為4的周期函數(shù)

2023

C.g(5)=6D.Z/G)=°

i=l

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知向量a=(2,l),/?=(2,-2),(2a-b^±a,則1/.

13.如圖，四邊形ACEE是正方體—4與的一個(gè)截面，其中E，產(chǎn)分別在棱A3，BC上,

且該截面將正方體分成體積比為13:41的兩部分，則AE:6E的值為.

14.己知函數(shù)/(%)=◎-e"若〃尤)的圖象經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+G；+Z2,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"(1))處的切線方程為y=6x—3.

(1)求a/的值；

2

(2)證明：/(%)>------1.

5x

16.如圖，幾何體ABC。—AG。為直四棱柱ABC?！?AGA截去一個(gè)角所得，四邊形A5C。是菱形,

7T

^BAD=-,AB=2,DDl=3,點(diǎn)尸為棱5C的中點(diǎn).

(1)證明：平面ROP，平面GC3；

(2)求平面jDP與平面46G夾角的余弦值.

17.甲、乙是北京2022冬奧會(huì)單板滑雪坡面障礙技巧項(xiàng)目的參賽選手，二人在練習(xí)賽中均需要挑戰(zhàn)3次某

高難度動(dòng)作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.

(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為g.設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時(shí)，成功概率為0.5,受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會(huì)發(fā)生改

變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0」；若前一次失敗，則該次成

功的概率比前一次成功的概率減少0」.

(i)求乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概率；

(ii)求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率.

18.已知產(chǎn)為拋物線。:/=2/(°>0)的焦點(diǎn)，過產(chǎn)的動(dòng)直線交拋物線C于A3兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂

直時(shí)，|AB|=4.

(1)求拋物線。的方程;

(2)設(shè)直線AB的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線/相交于點(diǎn)拋物線C上存在點(diǎn)P使得直線

的斜率成等差數(shù)列，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

19.若有窮數(shù)列A:。1,/，…，4(〃〉4)滿足：q+%+J.=c(ceR"=l,2,,〃)，則稱此數(shù)列具有性質(zhì)匕.

(1)若數(shù)列A:-2,4,%，2,6具有性質(zhì)汁,求。2，%，。的值；

(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)兄，且4</<<%，〃為奇數(shù)，當(dāng)4，%>0(14。/<〃)時(shí)，存在正整數(shù)

k,使得勺-q=%,求證：數(shù)列A為等差數(shù)列.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.若集合”=印2<4},N=MH3},則.cN=()

A.(-2,2)B.[0,2)

C.[0,3)D.(-2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求集合M,再根據(jù)交集運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)椤?{小2<4}={%卜2<x<2},N={x|0<x<3},

所以McN=1x|0<x<2}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z+1與z?都是純虛數(shù)，則目=()

A.1B.V2C.2V2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)純虛數(shù)的概念可設(shè)z=-l+歷(8eR且bwO),再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，模長運(yùn)算即可

得所求.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z+1為純虛數(shù)，所以可設(shè)z=—l+歷(beR且/?0()),

則z?=l—b?—2歷，又1是純虛數(shù)，所以1—〃=0，即力2=1,

故忖=J(—1)2+Z?2=A/2.

故選：B.

3.“a=0”是“直線x—ay+2a—l=0(aeR)與圓必+,2=i相切,，的()

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出。的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義解出.

【詳解】由題知，圓的圓心為(0,0),半徑為1,

設(shè)圓心至!］直線x—ay+2a—l=0(aeR)的距離為d

|2tz-l|3

則公解得：。=°或

3

由此可知，“。=0”是“。=0或。=—”的充分不必要條件，

4

故選：A.

4.已知(G；+1)(2X—I,展開式中V的系數(shù)為48,則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

6r

【詳解】二項(xiàng)式(2x-I)的通項(xiàng)公式為：Tr+1=G(2域-?(-l)=G.26T.(_qr.尸

(ax+l)(2x—1)6的展開式中，

/的系數(shù)為aC；24x(—l)2+lxC：25><(—l)=15xl6a—32x6=48,

解得a=l.

故選：A

5.已知圓錐的高為3,若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1,則該圓錐的表面積為()

A.6?B.6百萬C.9萬D.12萬

【答案】C

【解析】

【分析】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算出圓錐底面半徑和母線長，可求圓錐的表面積.

【詳解】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示，

由已知=2,可知/。］5￡>=30,所以圓錐的軸截面為正三角形，

Af)

因?yàn)镾O=3,所以圓錐底面圓半徑AO=SO-tan30=5母線SA=----------=273,

cos60

則圓錐的表面積為S=7tx(J§y+7tx^/3x2\^3=9兀.

故選：C.

6.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相

關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)F都近似服從正態(tài)分布.繪制了概率分布密度曲線，如圖

所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車()

A.有26min可用B.有30min可用

C.有34min可用D.有38min可用

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，結(jié)合圖形，比較概率的大小可得答案.

【詳解】由題意，應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.

根據(jù)X和F的分布密度曲線圖可知，P（x<26）>P（y<26）,<30）>P（y<30）,

P（X<34）>P（y<34）,P（X<38）<P（Y<38）.

所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車.

故選：D.

22

7.過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與橢圓A+當(dāng)=1（。〉6〉0）交于4,3兩點(diǎn)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，已知

/b2

ZAFB=60°,且21A耳=忸耳，則橢圓的離心率為（）

A.—B.走C.&D.叵

3333

【答案】D

【解析】

【分析】作出另一個(gè)焦點(diǎn)，利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出基本量，再求離心率即可.

如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為G,連接AG,BG,

由橢圓的對稱性，可得四邊形A/方G為平行四邊形，

設(shè)伊耳=1,則忸同=|AG|=2,NE4G=120。，

由余弦定理得：

|FG|2=|AF|2+|AG|2-2|AF||AG|COSZFAG=12+22-2X1X2COS1200=7,

所以3G|=J7,因?yàn)?a=|AF|+|AG|=3,2C=\FG\=/7,

所以橢圓的離心率e=%=也.

2a3

故選：D.

8.已知函數(shù)/（%）="—依（?>1）,且〃工）在[1,2]有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

A.（1,2]B,（l,e）C.[2,e）D,（e,e2]

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)的意義等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlna-Inx-lna,再借助導(dǎo)數(shù)探討

函數(shù)g(x)在［1,2］有兩個(gè)零點(diǎn)作答.

【詳解】。>1，xe［l,2］,由f(x)=。得，ax=ax貝1Jxlna=lnx+lna,令

g(x)=xln?-lnx-ln?,

依題意，函數(shù)g(x)在［1,2］有兩個(gè)零點(diǎn),顯然g⑴=0,而g'(x)=lna-工在［1,2］上單調(diào)遞增,

X

則有l(wèi)na—l<g'(x)<Ina—g,當(dāng)lna—120或Ina-；<0,即a2e或1<a<加'時(shí)，g(x)在［1,2］上

單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

即有函數(shù)g(x)在［1,2］只有一個(gè)零點(diǎn)1,因此質(zhì)'<a<e，此時(shí)當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)

Ina

<九?2時(shí)，g'O)>。，

Ina

函數(shù)g(尤)在口,J—)上單調(diào)遞減，在(工,2］單調(diào)遞增，則g(x)mm=gQL)<g(l)=0,

InaInaina

要函數(shù)g(X?在U，2］有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)g(x)在(工,2］上有一個(gè)零點(diǎn)，即有g(shù)(2)=lna—ln220,解

Ina

得〃22,

所以〃取值范圍2?ave.

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)與，巧，…，x”的平均數(shù)為七,方差為s；,中位數(shù)為加°,在這組數(shù)據(jù)中加

入一個(gè)數(shù)X。后得到一組新數(shù)據(jù)%,占，巧，…，當(dāng)，其平均數(shù)為無，方差為$2,中位數(shù)為優(yōu)，則下列判斷

一定正確的是()

22

A.x0=xB.Sg=sC.>5D.m0>m

【答案】AC

【解析】

【分析】利用平均數(shù)公式、方差公式分別可以確定新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與原平均數(shù)、方差的大小關(guān)系，因

新加入數(shù)據(jù)不知與中位數(shù)大小所以無法確定新的中位數(shù)大小.

【詳解】：五土衛(wèi)士——=XO,x,+x2++xn=nx0,

n

..―—!——二------=—―7^=無()，平均數(shù)不變，所以A選項(xiàng)正確;

s；=1[(占一%)+(x2-x0)++(x“-Xo)],

所以s；〉s2,故B錯(cuò)誤，C正確；

對于D選項(xiàng)，由于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的大小關(guān)系不確定，

所以不能比較新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)的大小，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

5兀7兀

10.函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)(A>O,o>O,—兀<0<兀)的部分圖像如圖所示，/(%)在一~—上

的極小值和極大值分別為./(%).,/(9),下列說法正確的是()

A.7(%)的最小正周期為兀

B.卜一目=兀

C.7(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)［生產(chǎn)內(nèi)］對稱

D.7(%)在一彳,/上單調(diào)遞減

L26

【答案】BC

【解析】

【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到振幅和周期，求出。=半=1；C選項(xiàng)，根據(jù)玉,馬分別為極小值點(diǎn)和極大

JIJI

值點(diǎn)，由對稱性得到c正確；D選項(xiàng)，由圖象得到函數(shù)在一彳上單調(diào)遞減，在一彳上單調(diào)遞增.

_36」|_23_

T7TEJT

【詳解】A選項(xiàng)，由題圖可知A=后，-=------=兀，則T=2兀，故A錯(cuò)誤.

266

B選項(xiàng),①=言=1,所以/(九)=J^sin(x+°).

又"X)在極小值和極大值分別為了(玉)，/(々)，所以歸—司=兀，故B正確.

C選項(xiàng)，因?yàn)橥?馬分別為極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

故點(diǎn),0J為函數(shù)/(%)的圖像的對稱中心，故C正確.

5兀兀「-

D選項(xiàng)，-%十%二兀,從圖象可以看出函數(shù)/(力在-上單調(diào)遞減,

2-3L」

7171

在一5，一§上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)〃％)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g(x)=(x-2)/(x),若g(4—x)=g(x),〃—l)=-2,

"2)=0,貝ij().

A."%)的圖像關(guān)于點(diǎn)(4,0)對稱B.〃龍)是周期為4的周期函數(shù)

2023

c.g⑸=6D.Z/a)=°

i=\

【答案】ABCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)對稱性、周期性的定義探討函數(shù)性質(zhì)，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.

【詳解】對于A,由g(x)=(x—2)/(x),g(x)=g(4—x),得(x—2)/(x)=(2—x)/(4—x),

當(dāng)時(shí)，可得/(X)+/(4—％)=0；當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=0,也滿足/(%)+/(4—%)=0；

故+—4)=0,故〃力是周期為4的周期函數(shù)，

而“力為R上的奇函數(shù)，故其對稱中心為(0,0),故(4,0)也是“力的對稱中心，故AB正確.

對于C,顯然g(5)=g(4—5)=g(—1)=(—l—2)x/(—l)=—3x(—2)=6,故C正確；

對于D,由是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得"0)=0,/⑴=—/(—1)=2,

又〃2)=0,于是“3)=—〃l)=—2J(4)=〃0)=0,

因此〃1)+J(2)+〃3)+J(4)=O,

2023

所以X于6=505"⑴+7(2)+/(3)+/(4)]+/(2021)+/(2022)+/(2023)

1=1

=0+/(1)+/(2)+/(3)=0+2+0-2=0,故D正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對AB選項(xiàng)，根據(jù)題設(shè)的對稱性可得函數(shù)的周期為4,從而可判斷它們的正誤.對C選

項(xiàng)，結(jié)合條件代入運(yùn)算得解；對D選項(xiàng)，求出/。),/(2),/(3),/(4),利用函數(shù)周期性運(yùn)算判斷.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知向量a=(2,l),/?=(2,-2),(2a-Z?)_La,則卜卜.

【答案】2回

【解析】

【分析】由向量線性關(guān)系坐標(biāo)表示得2a-6=(4-44),根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，進(jìn)而應(yīng)

用坐標(biāo)公式求模.

【詳解】由2a_6=(4_44),X(2?-^)±a,

所以(2a—>>a=2(4—2)+4=0,可得沈=6.

所以人=(6,—2),故W=/36+4=2&U'

故答案為：2回

13.如圖，四邊形ACEE是正方體—4與4。]的一個(gè)截面，其中E，尸分別在棱A3，BC上,

且該截面將正方體分成體積比為13:41的兩部分，則AE:6E的值為.

【解析】

【分析】設(shè)5石=正方體的邊長為1,結(jié)合棱臺與正方體的體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)6石=九鉆，則吩=45C,正方體的邊長為1,則正方體體積V=l,

則棱臺BEF-A與G的體積為

/

X=g(，+S2+質(zhì),=g[g%+：xl2+

依題意得K_13_6(儲(chǔ)+"+1),化簡得9%+92—4=0,又2>0解得

V-13+41-1

2=-,

3

所以3￡=工45,則AE：6E=2.

3

故答案為：2.

14.已知函數(shù)/(%)=◎-e"若/(尤)的圖象經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(e,+s)

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，列出不等式并分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為能成立的問題求解即可.

【詳解】由〃尤)的圖象經(jīng)過第一象限，得五>0,使得/(力>0,即?！倒ぃ?/p>

設(shè)g(x)=《(x〉0),求導(dǎo)得,(x)=e'(：T),當(dāng)0<%<1時(shí)，g<x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(%)>0,

%X

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，則g(x)1nhi=g(l)=e,有a〉e,

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是(e,+。).

故答案為：(e,+oo)

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步囁.)

15.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+G；+b,曲線y=/(x)在點(diǎn)(I"⑴)處的切線方程為y=6x—3.

⑴求a,6的值；

2

(2)證明：/(%)>------1.

5x

【答案】(1)a=5,b=-2

(2)證明見解析

【解析】

/⑴=3

【分析】(1)由題意可得《U、<，即可得解;

1/U)=6

2

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=hu+5x—l+h，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值，即可得證.

5x

【小問1詳解】

函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+力)，r(x)=^+a，

X

將x=l代入y=6x—3,解得y=3,即/。)=3,

由切線方程y=6x-3,可知切線斜率/'(1)=6,

故Q+Z?=3,1+Q=6,

解得〃=5/=-2；

【小問2詳解】

由(1)知〃x)=lnx+5x-2,

29

要證f(九)>------1,即證lux+5x—1H----->0.

5x5x

/\2

設(shè)g(%)=lux+5%-1H---,

5x

貝Ug，(x)=25/+"2=(5x-l).x+2)

J乂

i2

令g'(x)=。，解得X=y，或X=-g(舍去),

當(dāng)時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(g,+co］時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增;

所以g(x)min=gg|=2Tn5〉0,

2

所以g(%)>0,即/(%)>------1.

5x

16.如圖，幾何體為直四棱柱ABC。-A4G2截去一個(gè)角所得，四邊形A3CD是菱形,

JT

/BAD=m，AB=2,DD]=3,點(diǎn)P為棱BC中點(diǎn).

(1)證明：平面平面GCB；

(2)求平面2。。與平面43cl夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

C3A/10

20

【解析】

【分析】(1)尋求證明平面2。尸的條件，得到。。L5C和DPL5C,即可得證；(2)先建立空

間直角坐標(biāo)系，分別求得平面2DP與平面4BG的法向量，求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到平

面D.DP與平面A.BQ夾角的余弦值.

【小問1詳解】

如圖，連接BD，

7T

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是菱形，且=

所以△3CD為等邊三角形，且點(diǎn)尸為棱的中點(diǎn)，

則DP,6c.

又幾何體ABCD-4G2為直四棱柱ABCD-ABCQi截去一個(gè)角所得,

則，平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以。。J_5C,

又DQDP=D,DPLBC,DD[±BC,所以3cl平面

又5Cu平面qcB,且3cl平面2。。，

所以平面D]OP1平面GC5.

連接斯，則EE〃。2,所以所立平面A3CD.

又因?yàn)樗倪呅蜛3CD為菱形，所以

則以產(chǎn)為原點(diǎn)，分別以FA,FB,FE所在直線為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則3(0』,0),A(6,0,3),。卜0,0),￡卜行,0,3),

所以％=(百1,3),陽=卜后T,3),

因?yàn)?cl平面D]DP，故5C=(-A-1,0)為平面D.DP的一個(gè)法向量,

設(shè)平面43G的法向量為”=(/,%,Zo),

則?〃=(),即|—%+3z()=0,

[BC；n=Q,[-y/3xo-yo+3zo=0,

則%=0,令Zo=l,則%=3,所以〃=(0,3,1),

nBC__3_3^/10

所以cos〈〃,3C〉=

|n|.|5c|-710x2-20'

故平面DXDP與平面48cl夾角的余弦值為士叵.

20

17.甲、乙是北京2022冬奧會(huì)單板滑雪坡面障礙技巧項(xiàng)目的參賽選手，二人在練習(xí)賽中均需要挑戰(zhàn)3次某

高難度動(dòng)作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.

(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為g.設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時(shí)，成功的概率為0.5,受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會(huì)發(fā)生改

變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加01；若前一次失敗，則該次成

功的概率比前一次成功的概率減少01.

(i)求乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概率；

(ii)求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率.

3

【答案】(1)分布列見解析，一

2

(2)(i)0.4；(ii)0.62.

【解析】

【分析】⑴由已知得X3,心，然后列出相應(yīng)分布列即可.

(2)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，列出相應(yīng)的計(jì)算公式，直接計(jì)算求解即可.

【小問1詳解】

由題意得，X~B則P（X=A）=C：，其中左=0,1,2,3,

小問2詳解】

設(shè)事件4為“乙在第，次挑戰(zhàn)中成功"，其中i=1,2,3.

(i)設(shè)事件8為“乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次”，則5=+

則P(B)=P(AW)+P(*)=P(A)P囚A)+P(4)P(4同

=0.5x(l-0.6)+(l-0.5)x0.4=0.4.

即乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概為0.4.

(ii)因P(4)=P(A4+A4)=P(A)P(4|A)+P(4)P(4|4)

=0.5x0.6+0.5x0.4=0.5,

且尸(4A,)=/(A4A+AAA)=p(A4A)+4A&A)

=0.5x0.6x0.7+0.5x0.4x0.5=0.31.

所以。(閡4)=3^=糕=。62,

即乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率為0.62.

18.已知P為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過P的動(dòng)直線交拋物線C于A,3兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂

直時(shí)，|AB|=4.

(1)求拋物線。的方程；

(2)設(shè)直線A3的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線/相交于點(diǎn)拋物線C上存在點(diǎn)尸使得直線

PAPM,P5的斜率成等差數(shù)列，求點(diǎn)p的坐標(biāo).

【答案】(1)V=4%

(2)尸(1,±2)

【解析】

【分析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，令*=%,求出縱坐標(biāo)的值，再根據(jù)|AB|=4進(jìn)行求

解即可；

(2)設(shè)直線A3的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出直線B4,PM,PB的斜率表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列和一元

二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得到一個(gè)等式，根據(jù)等式成立進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)镋(],0),在拋物線方程y2=2px中，

令％,可得y=±p,

2

所以當(dāng)直線與X軸垂直時(shí)|A同=2p=4,解得p=2,

拋物線的方程為/=4%.

【小問2詳解】

(2)因?yàn)閽佄锞€丁=4x的準(zhǔn)線方程為x=—1,

由題意可知直線A3的方程為尤=y+L

所以2).

y2-4%

聯(lián)立《‘消去X,得y2_4y_4=0,

X=y+1

設(shè)A(XQ1),3(X2，%)，則乂+%=4,%%=-4，

若存在定點(diǎn)p(不，％)滿足條件，則2原用=kPA+kPB,

y+2_v-yi,y-y

即Bn92---0-------0----+--0-----2,

xo+1%0—玉x0-x2

因?yàn)辄c(diǎn)P,均在拋物線上