九年級數(shù)學教案學案

課題：等腰三角形的性質和判定

學習目標：①會闡述、推證等腰三角形的性質判定定理.

②學會比較等腰三角形性質定理和判定定理的聯(lián)系與區(qū)別.

③經(jīng)歷綜合應用等腰三角形性質定理和判定定理的過程，體驗數(shù)學應用價值.

學習重點：等腰三角形的判定與性質的區(qū)別.

學習難點：用“基本事實”和“已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明等腰三角形性質定理和判定

定理。

學習過程:

一、情景創(chuàng)設:

以前，我們曾經(jīng)學習過三角形，你還記得按邊分可以怎樣分類嗎？

1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）

2、等腰三角形有哪些性質？

3、這些性質都是真命題嗎？你能否用從基本事實出發(fā)，對它們進行證明？

二、探索活動：

1、合作與討論：等腰三角形的兩底角相等

這是一道文字題，要分清題設和結論，畫出

圖形，寫出已知、求證和證明過程

已知；在△ABC中，AB=AC

求證；ZB=ZC

、思考與討論

2是徐明：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

3、通過上面兩個問題的證明，我們得到了等腰三角形的性質定理。

4、你能寫出上面兩個定理的符號語言嗎？（請完成下表）

文字語言圖形符號語言

在aABC中

等邊對等角*

??__________________O

在△ABC中，AB=AC

(1)VZBAD=ZCAD

??________，________。

(2)VBD=CD

三線合一

*

??________，________o

(3)VAD±BC

??________，________o

5、思考與探索

“等腰三角形的兩個底角相等"（1）寫出它的逆命題：

（2）畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明。

6、通過上面的證明，我們又得到了等腰三角形的判定定理：

思考：1、在△ABC中，ZA=110°,ZC=35°,則△ABC是______三角形。

2、如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,D是AC上一點，若

ZBDC=72°,則圖形中共有（）個等腰三角形。

A、1B、2C、3D、4

3有一個三角形，它的內角分別是20°,40°,120°,怎樣把這個三角

形分成兩個等腰三角形？分成的兩個等腰三角形的內角分別是多少？

三、典例分析

1、已知：如圖，AB=AC,BD±AC,垂足為點D。求證：ZDBC=-ZAo

2

2、已知：如圖（1）/EAC是aABC的外角，AD平分NEAC,且AD〃BC。

求證：AB=AC

(1)(2)

2、在上圖（2）中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分/EAC嗎？如果結論成立，你

能證明這個結論嗎？

思：如圖，△ABC中/ABC與/ACB的平分線交于點D.過點D作EF〃BC交AB于

點E、交AC于點F.

求證：EF=BE+CF.

四練習鞏固

（-）基礎練習

1、如果等腰三角形有兩邊長為3和7,那么周長為。

2、如果等腰三角形有一個角等于30°,那么另兩個角為。

（二）提高練習

1、如圖，在等邊AABC中，AF=BD=CE,求證：Z\DEF也是等邊三角形。

五拓展提高

1ZXABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE,DE交BC于P,求證:

DP=EP.

A

2

六小結與作業(yè)1、在本節(jié)課中，我們用基本事實又證明了哪些定理。

2、要等腰三角形中，底邊上的中線，底邊上的高，頂角的平分線是常用的輔

助線，能過畫輔助線，把一個等腰三角形分成一對全等的三角形。

3、實際上，我們以前曾學習過很多圖形的知識，（如：直角三角形全等，平

行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。對于這些圖形，我們通過動手操作也得到了它們

的性質和判定，在今后的學習中，我們將進一步證明它們的正確性

評價與反思

課題：1、2直角三角形全等的判定（一）

教學目標

1.使學生能熟練地應用判定一般三角形全等的方法判定兩個直角三角形全等.

2.使學生掌握斜邊、直角邊公理及其應用.

教學重點和難點

斜邊、直角邊公理的應用.

學習過程：

一、情景創(chuàng)設：

1、直角三角形全等的條件有哪些？

2、你認為具備這樣條件的兩個直角三角形一定全等嗎？為什么？

二、探索活動：

我們知道：斜邊和一對銳角相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“AAS”判定它們全等；

一對直角邊和一對銳角相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“ASA”或“AAS”判定它們全等;

兩對直角邊相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“SAS”判定它們全等.

如果兩個直角三角形的斜邊和一對直角邊相等(邊邊角)，這兩個三角形是否可能全等

呢？

如圖1(1),在AABC與4A'B'C中，若AB=A'AC=A'C',ZC=ZC

=Rt/,這時RtZsABC與Rt^A'B'C是否全等？

研究這個問題，我們先做一個實驗：

把Rt^ABC與RtZXA'B'C'拼合在?起(教師演示)如圖1(2),因為NACB=NA'C

B;=Rt/,所以B、C(C)、B'三點在一條直線上，因此，^ABB'是一個等腰三角形，

可以知道NB=NB'.根據(jù)AAS公理可知RtZ\A'B'C'^RtAABC.

下面，我們再用畫圖的方法來驗證：

畫一個RtZkABC,使/C=90°,直角邊AC的長為2cm,斜邊AB的長為3cm.

(5)把AABC剪下，兩位同學比較一下，看看兩人剪下的Rt△是否可以重合.

2.上面的實驗和操作，說明“斜邊和直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”.這就是

判定直角三角形的“斜邊、直角邊”公理(簡稱HL).

三、例題教學：

1、如圖，在AABC中，已知D是BC中點，DE_LAB,DF1AC,垂足分別

是E、F,DE=DF.

求證：AB=AC

2、如圖：如果NBAC=30°＞那么BC=-AB,你能證明這個結論嗎？

2

四、小結

由于直角三角形是特殊三角形，因而不僅可以應用判定一般三角形全等的四種方法，還可以

應用“斜邊、直角邊”公理判定兩個直角三角形全等.“HL”只能用于判定直角三角形全等,

不能用于判定一般三角形全等.所以判定兩個直角三角形全等的方法有五種：“SAS、ASA”、

“AAS”、"SSS”“HL".

五、練習鞏固

（一）、基礎練習

1具有下列條件的Rt/\ABC與RtZXA'B，C'（其中NC=NC'=Rt/）是否全等？如

果全等，在（）里填寫理由；如果不全等，在（）里打“X”：

(1)AC=A'C',NA=NA'....................................()

(2)AC=A‘C',BC=B，C'..................................()

(3)ZA=ZA\ZB=ZB/........................................()

圖3

2如圖3,已知NACB=NBDA=Rt/,若要使AACBgABDA,還需要什么條件？把它

們分別寫出來（有幾種不同的方法就寫幾種）：

)()()

3.已知，如圖,4ABC中，AB=AC,AD是角平分線，BE=CF,則下列說法

正確的有幾個)

(1)AD平分/EDF；(2)AEBD^AFCD；

(3)BD=CD；(4)AD1BC.

(A)1個(B)2個

(C)3個(D)4個

（二）提高練習

1、P10、第1題、第2題

2.已知：如圖,在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,ZA=30°BD=1,.求AB,AD

六布置作業(yè)

課題:1、2直角三角形全等

的判定（二）

學習目標:1、能證明角平分線的性質定理和逆定理、三角形三條角平分線交與一點;

2、從簡單的數(shù)學例子中體會反證法的含義；

3、逐步學會分析的思考方法，發(fā)展演繹推理能力。。

學習重點:角平分線的性質定理和逆定理、

學習難點：逐步學會分析的思考方法，發(fā)展演繹推理能力

學習過程：

一、復習引入：

1.角平分線的定義：A

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線

C

叫這個角的平分線.

oB

表達方式：

如圖：0C是/AOB的平分線，

，Z1=Z2（或/AOB=2N1=2N2或N1=N2=,NAOB）.

2

2.角平分線的畫法：

你能用什么方法作出NAOB的平分線OC?（可由學生任選方法畫出0C）.

可以用尺規(guī)作圖，可以用折紙的方法，

二、探索活動

一、角平分線性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.

【要點】條件：1.點在角平分線I.,2.點到兩邊的距離,

【符號語言】如圖點P在NAOB的平分線上，①

PD_LOA于D,PE±OBTE,②

；.PD=PE.③

【作用】證線段相等.

【輔助線添加提示】存在角平分線上的點,

作此點到角兩邊的垂線段.

圖1

【錯誤警示】1.學生在具體應用角平分線性質時，在做題步驟中往往出現(xiàn)類似漏寫,

2.對定理的圖形語言認識不足.

角平分線上的點到角兩邊的距離是指這個

點到角兩邊的垂線段的長度，而不是過此

點與角平分線垂直（或僅僅相交）的直線

與角兩邊相交所得的線段的長度.

學生往往出現(xiàn)如下錯誤：

如圖2?.?點P在NAOB的平分線上，

，PD=PE.

二、角平分線判定定理：

在一個角的內部，并且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

【要點】條件：L點在角的內部，

2.點到角兩邊的距離相等，

結論：3.點在角的平分線上.

【解釋】到角兩邊距離相等的點所在的射線有4條，如圖3,圖中的虛線即是，所以要

點1不可缺少.

【符號語言】如圖1，

；PD_LOA于D,PE_LOB于E,

.?.PD=PE,

，點P在NAOB的平分線上.

【作用】：證點在角平分線上，證角相等.

三、例題教學

例1、“如果一個點到角的兩邊的距離不相等，那么這個點不在這個角的平分線上?！蹦?/p>

認為這個結論正確嗎？如果正確，你能證明它嗎？

例2、如圖，^ABC的角平分線AD、BE相交與點0。（1）點0到4ABC各邊的距離相等

嗎？點0在NC的平分線上嗎？即證明：三角形的三條角平分線交于一點

思：三角形兩條外角平分線會交于一點嗎？三條呢？與

上題中的交點重合嗎？

四、分層練習

（一）、基礎練習

1.如果用“反證法”證明”等腰三角形的底角是銳ft”,

那么提出的假設應該是

2.△ABC由NC=90°,AD為角平分線,BC=32,BD：DC=9：7,則點D到AB的距離為（）

A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm

3.MABC內部取一點P使得點P至IJZ\ABC的三邊距離相等，則點P應是4ABC的哪三條

線交點.()

（A）高（B）角平分線（C）中線（D）邊的垂直平分

4.如下圖所示，直線小&b表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到

三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有:)

A.一處B.兩處C.三處D.四處

5.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD是NBAC平分線，DE1AB,垂足為E,若

AB=10,求4DBE的周長。

(-)能力提高

1已知(如右圖)BD_LAM于點D,CE±AN于點E,BD、CE交點F,

CF=BF,求證：點F在NA的平分線上.

2如圖，已知NB=NC=9。，M是BC中點，MN±AD,

若Nl=/2,求證N3=/4

你還有什么發(fā)現(xiàn)？

五小結與作業(yè)

評價與反思

課題：平行四邊形的性質

教學目標:

1、理解平行四邊形定義,能根據(jù)定義探究平行四邊形性質。

2、了解平行四邊形在生活中的應用，能根據(jù)平行四邊形的性質解決簡單的實際問題.

3、經(jīng)歷探索平行四邊形性質的過程，培養(yǎng)學生的動手能力、觀察能力及推理能力。

情感目標：在探究的過程中發(fā)展學生的探究意識、創(chuàng)新精神和合作交流的習慣，培養(yǎng)學

生用數(shù)學的意識和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

教學重點難點：平行四邊形性質的探究和應用。

學習過程：

--復習提問：

(1)什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關系是:

(2)平行四邊形的性質:

知識回顧：

①___________________________________________叫平行四邊形

②平行四邊形性質有__________________________________

二例題教學：

例1.公園有一片綠地，它的形狀是平行四邊形，綠地上要修幾條筆直的小路，如圖，AB=

15cm,AD=12cm,AC±BC,求小路BC,CD,OC的長，并算出綠地的面積.

例2：已知：如圖，OABCD中，E、F分別是AD、BC的中點,

求證：BE=DF.

三練習鞏固

1.在24版中，//：N6：NC：N〃的值可以是()

A.1：2：3：4B.1：2：

2：1

C.1：1：2：2D.2：1：2：1

2.如圖4.4-11,EF過DABCD的對角線的交點0,交AD于E,交BC于F,若AB

=4,BC=5,0E=l.5,那么四邊形EFCD的周長是()

A.16B.14C.12D.10

4.已知平行四邊形的周長為28cm,相鄰兩邊的差為4cm,求兩邊的長.

五小結與作、也

1、平行四邊形對邊相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分2、是中心對稱圖形，兩條

對角線的交點是對稱中心。3、夾在兩條平行線之間的平行線段相等。平行線之間的距離處處

相等。

評價與反思

課題：1、3矩形性質

學習目標：1.使學生能應川矩形定義、性質等知識，解決有關問題，進一步培養(yǎng)學生邏輯推理

能力。

2.能將矩形的性質定理綜合應用，激發(fā)學生的探索精神。

學習重點：矩形的性質

學習難點：矩形性質定理的綜合應用

學習過程：

一情境創(chuàng)設：

用教具演示如，從平行四邊形到矩形的演變過程，得到矩形的概念，并理解矩形與平行四邊

形的關系.（

二、探索活動：

1）在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上（作出對角線）,

拉動?對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的形狀.

①隨著/a的變化，兩條對角線的長度分別是怎樣變化的？

操作，思考、交流、歸納后得到矩形的性質.

矩形的性質：

2）、矩形與平行四邊形的對比：

邊角對角線對稱性

類別

開行四

邊形

矩形

3）如圖矩形ABCD,對角線相交于E,圖中全等三角形有哪些？準備說說看。

將目光鎖定在RtAABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性質嗎？現(xiàn)在我們借助于矩形

來證明

“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！?/p>

三、精講例題

例1如圖矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,且AC=2CD,

求證40CD為正三角形。

四、鞏固練習

1.矩形的內角平分線把矩形的條邊分成3和5兩部分，則該矩

形的周長是（）

A.16B.22C.26D.22

或26

2.矩形的兩條對角線的夾角是60°,，條對角線與矩形短邊的和為15,那么矩形對角線的長

為,短邊長為

6課本第16頁練習1,2

六小結與作業(yè)

從位置、形狀、大小等不同的角度，觀察和比較平行四邊形、矩形的對角線把它們分成的三

角形的異同，發(fā)現(xiàn)并應用直角三角形的判定證明矩形的特殊性質；反過來，我們又利用矩形

的性質證明“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半

評價與反思

課題：菱形的性質

教學目標：掌握菱形的性質判定，使學生能夠靈活運用菱形知識解決有關問題，提高能力

通過把矩形和菱形的定義、性質將易混淆的知識點分清楚，

教學重點：菱形的性質

教學難點：性質定理的運用生活數(shù)學與理論數(shù)學的相互轉化。

教學過程

-以舊引新

你能從一個平行四邊形中剪出一個菱形來嗎？

學生活動，由平行四邊形較短的邊折疊到較長的邊上，剪去不重合部分，可得到一個菱

形。

小組內互相交流學習，拓展思維，并由語言敘述自己的發(fā)現(xiàn)，引出菱形的概念（盡量由

學生歸納）。

行四菱形

菱形概念：Z_____________/組鄰邊相等,

1.叫菱形。

菱形也是特殊的平行四邊形，它有平行四邊形的性質

2、菱形的面積計算公式：（5_^感縊_____________________

②s=對角線乘積的一半

二.定理探索：

證明：菱形四條邊相等

1.已知平行四邊形ABCD,且AB=AD,求證1----------7?

//

①AB=BC=CD=DA//

三.例題講解L___/

例1.如圖3個全等的菱形構成的活動衣帽架，頂點A、E、F、C、G、

H是上、下兩排掛鉤，根據(jù)需要可以改變掛鉤之間的距離（比如AC兩點可以自由上下活動）,

若菱形的邊長為13厘米，要使兩排掛鉤之間的距離為24厘米，并在點B、M處固定，則B、

M之間的距離是多少？

例2、如圖是菱形花壇加它的邊長為200，N/吐60°,沿著菱形的對角線修建了兩條

小路和BD,求兩條小路的長和花壇的面積（分別精確到0.01m和0.01m2）.

四.鞏固練習

1若菱形的邊長等于一條對角線的長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為

五：課后小結

矩形、菱形各具有哪些性質？填寫下表：

矩形菱形

共有性質

特有性質

2.計算菱形的面積有兩種方法。我們在解題過程中要注意尋求簡捷途徑，這對于解決數(shù)學問

題是

六布置作業(yè)

評價與反思

課題：正方形性質

學習目標；1.掌握正方形的定義和性質，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關系

2.提高學生分析問題及解決問題的能力。

3.通過分析概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學生辨證唯物主義觀點

學習重點：正方形的性質。

學習難點：正方形知識的靈活應用

一、以舊引新：

1.正方形定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

引導學生分析：正方形、菱形、矩形、平行四邊形的關系。

矩形

有一組鄰邊相等，有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

教師問：正方形是在什么前提下定義的？

教師再問：包括哪兩層意思？

3.問：正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，那么它具有什么性

質呢？

正方形是平行四邊形、矩形、菱形這些圖形性質的綜合，因此正方形有以卜性質

正方形性質定理1:正方形的四個角都是直角，四條邊相等。

正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每一條對角線平分一

組對角。

4問題：四種特殊四邊形是否是軸對稱圖號，并找出對稱軸，平行四邊形不是的，矩形、

菱形、正方形是的。

例1、已知：如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點0；正方形A'B

與點0重合，A'B'交BC于點E,A，D，交CD于

點F。A

求證：0E=0F

注：①重合部分（四邊形AECF）與正方形ABCD的面積關系

②正方形ABCD改成矩形，結論還成立嗎？其它四邊形呢？

例2、如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上

一點，且NBAE=2NDAM。

求證：AE=BC+CE。

三鞏固練習

1.在邊長為2的正方形中有一點P,那么這個點P到四邊的距離之和是.

2、正方形ABCD中，AC=10,P是AB上任意一點,PE±ACTE,PF±BD于F,則PE+PF=_。

可以用一句話概括：正方形邊上的任意一點到兩對角線的距離之和等

于。

A.45°B.55°C.65°D.75°

4、如圖，將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點4、A,、…、A”分別是正方形的

中心，則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為（）

A.—cmB.—cm"

44AZ▼■B-pA

C."4cm。D.(—)"cm'

6以銳角的邊4C、48為邊向外作正方形47應和正方形/及祝連結跖、CF,

(1)試探索跖和成的關系？并說明理由.

(2)你能找到哪兩個圖形可以通過旋轉而相互得到，并指出旋轉中心和旋轉角.

課題：L3平行四邊形的判定

學習目標：1在探索平行四邊形的判別條件中，理解并掌握用邊、對角線來判定平行四邊形

的方法.2.會綜合運用平行四邊形的判定方法和性質來解決問題.

3.培養(yǎng)用類比、逆向聯(lián)想及運動的思維方法來研究問題.

重點、難點

1.重點：平行四邊形的判定方法及應用.

2.難點：平行四邊形的判定定理與性質定理的靈活應用.

教學過程：

新知探索：

一、引入新課

1、我們學過平行四邊形的性質有哪些？

2、平行四邊形是如何定義的？具備什么的四邊形是平行四邊形？請與同學交流。

二、平行四邊形的判定方法

1、定義；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、定理1；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

已知：求證：

定理2：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

已知：求證：

三、典型例題

例I、已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF?

求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

思：1若BE〃DF,四邊形BFDE是平行四邊形嗎？

2若BE_LAC于EDF_LAC于F,四邊形BFDE是平行四邊形嗎？

例2、如圖，如果OA=OC,OBVOD那么四邊形ABCD不是平行四邊形。這個結論成

立嗎？如果成立，你能證明嗎？

假設條件成立，結論不成立，然后由這個“假設”出發(fā)推導出與條件矛盾的結果，從而

證明結論一定成立，這種證明方法叫做反證法。

三、隨堂練習沙、一)7口

1.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O,/

(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么當BC=cm,CD-cm時，B

四眥ABCD為平行四邊膾

(2)若AOIOcm,BD=8cm,那么當A0=___cm,DOcm時,四邊形ABCD為平行四邊形.

3、在四邊形ABCD中，已知AB〃CD,請補充一個條件,使得四邊形ABCD

是平行四邊形。

四拓展提高

1.如圖所示，是某市部分街道示意圖，AF〃BC,EC1BC,BA//DE,BD〃AE.甲、乙兩人同時

從B站乘車到F站，甲乘1路車，路線是B-A-E-F；2乘2路車，路線是B-D-C-F.假

設兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達F站？說明理由

2.如圖，等邊三角形ABC的邊長為a,P為AABC內一點，且PD〃AB,PE〃

BC,PF〃AC,那么，PD+PE+PF的值為一個定值.這個定值是多少?請你說出這個定

值的來歷.

五小結與作業(yè)

兩組對邊分別平行'

1.從邊與邊的關系：一組對邊平行且相等的l的四邊形是平行四邊形

兩組對邊分別相等

2.從角與角的關系：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

3.從對角線的相互關系：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

評價與反思

課題：1.3矩形的判定

學習目標：1、使學生能夠掌握矩形的判定定理的證明并會靈活運用。

2、經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，從中體會探索結論的思考方法，理解對猜想進

行證明的必要性，不斷感受和情推理是人們正確認識事物的重要途徑。

學習重點：矩形的判定定理的證明及應川。

學習重點：矩形判定定理的綜合應用。

教學過程:

一創(chuàng)設情境:

制一個活動的平行四邊形教具，課堂上進行演示，使學生注意觀察四邊形角的變化,

二新知探索

（-）引入新課

1、我們學過矩形的性質有哪些?

（二）矩形的判定方法:

1、定義：有一個角是直角平行四邊形是矩形。

2、定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形。

定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形。

（2）回答：怎樣檢查?個門框是不是矩形

三、典型例題

例1、已知：如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,點E、F、G、H分別在

0A、OB、0C、0D上，且AE=BF=CG=DH

求證：四邊形EFGH是矩形

例2、已知：如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD的各邊上的點,且AE=CF=CG=AH?

求證：四邊形是EFGH是矩形。

例3如圖0四內角平分線相交于反F、G、H.

c

求證：四邊形砂是矩形

2四邊形ABCD的對角線相交于點0,在下列條件中，不能判斷它是矩形的是（）

A、AB=CD,AD=BC,BAD=90°B、AO=CO,SO=DO,AC=BD

C、ZBAD=ZABC=90°ZBCD+ZADC=180°D、ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC=90°

3如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,M是平行四邊形ABCD外一

點，且NAMC=90°,BMIMDo

4.已知：如圖所示，E是已知矩形ABCD的邊CB延長線上的一點，CE=CA,F是

AE的中點.求證：BF1FD

五創(chuàng)新思維

如圖所示△ABC是直角三角形，ZC=90°,現(xiàn)將AABC補成矩形，使AABC的兩個頂點為矩

形一邊的兩個端點，第三個頂點落在這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫兩個：矩

形ACBD和矩形AEFB.

解答問題

（1）設圖（2）中矢冊ACBD和矩形AEFB的面積分別為Si,S2,貝IJSIS2.（填“>”

“v”“=”）

（2）如圖（3）中AABC為鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，則符合要求的

矩形可以畫個，利用圖（3）把它畫出來.

六課堂小結

矩形的判定方法分兩類：從四邊形來判定和從平行四邊形來判定.

常用的判定方法有三種：定義和兩個判定定理.遇到具體題目，可根據(jù)條件靈活選用當

七布置作業(yè)

評價與反思

課題：1.3菱形的判定

學習目標：1、使學生能夠掌握菱形的判定定理的證明并會靈活運用。

2、經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，從中體會探索結論的思考方法，理解對猜想進

行證明的必要性，不斷感受和情推理是人們正確認識事物的重要途徑。

3、逐步學會分析和綜合的思考方法，培養(yǎng)學生演繹推理的能力。

學習重點：菱形的判定定理的證明及應用。

學習重點：菱形判定定理的綜合應用。

教學過程：

一創(chuàng)設情境：

引導學生回顧探索四邊形是菱形的條件的過程，同時引導學生從四邊形、平

行四邊形、菱形之間的從屬關系來思考和表述菱形的判定條件。

二新知探索

1引入新課

具備什么的平行四邊形是菱形？具備什么的四邊形是菱形？請與同學交

流。

2菱形的判定方法

定理1；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

2、四條邊都相等的四邊形是菱形。

(1)菱形判定方法，填寫下表。

應具備兩個條件

菱形的定義

菱形判定方法一(定義)

判定方法1

判定方法2

思考與探索:

你能用直尺和圓規(guī)畫一個菱形嗎？能說說你作圖的理由嗎？與同學進行交流。

三、典型例題：

例1、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊CD、BA

分別相交于點E、F。

求證：四邊形AFCE是菱形。

例2.如圖所示，將寬度為1的兩張紙條交叉重疊在

一-起，得到重疊部分為四邊形ABCD,四邊形ABCD為菱

形嗎？為什么？

例3.已知：如圖，0ABCD中，AD=2AB,將CD向兩邊分別延長到E,F使CD=CE=DF.

求證：AE±BF

A類題

1、如圖是?個利用四邊形的不穩(wěn)定性制作的菱形晾衣架，已知其中每個菱形的邊長為

20cm,墻上懸掛晾衣架的兩個鐵釘之間的距20gem，則N1等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

ABC

2、下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是

A、兩條對角線相等B、兩條對角線互相垂直。C、兩條對角線相等且互相垂直。D、

兩條對角線互相垂直平分。

3、下列圖形既是軸對稱，又是中心對稱的是（）

A、平行四邊形B、三角形C、菱形D、等腰梯形

五小結與作業(yè)

菱形的判定方法分兩類：從四邊形來判定和從平行四邊形來判定.

課題：正方形的判定

教學目標：1.熟記正方形的判定方法，回判定一個四邊形是正方形.

2.提高學生分析問題，解決問題的能力.

教學重點：正方形的判定方法.

教學難點:平行四邊形、矩形、菱形、正方形的綜合應用。

教學過程：

知識梳理

1.叫正方形。

2.由定義得正方形的判定方法：

(1)有的矩形-叫正方形。

(2)有的菱形-叫正方形。

二典型例題：

例I、如圖，已知：在RtZ\ABC中，ZC=90°,CD是/C的平分線，交AB于D,作DE

±BC,DF1AC,垂足為E、Fo/

求證：四邊形DECF是正方形/

例2：以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形ACE弧邊形是平行

四邊形。

(1)當NBAC滿足時，四邊形ADFE是矩形。BE2

(2)當NBAC滿足時，平行四邊形ADFE不存在。

(3)當AABC分別滿足什么條件時，平行四邊形是菱形？是正方

形？B

例3、已知，如圖，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，AF、

BG、CH、DE分別兩兩相交于點A'B'CD'。

A_______H_

求證：四邊形A'B'CD'是正方形。V-

三鞏固練習

1、已知，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,

則卜列能判斷它是正方形的條件的是：

A、AO=BO=CO=DOAC±BDB、AC=BC=CD=DA

C、AO=CO,BO=DO,AC1BDD、AB=BCCD1DA

2四年一度的國際數(shù)學家大會于2002年8月20日在北京召開，大會會標如圖1所示。它是

由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積為13.

每個直角三角形兩直角邊的和為5,求中間小正方形的面積。

3、已知：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，DE_LAB,DF1AC,垂足分別是E、F。

求證：(1)ABDE^ACDF

(2)NA=9O°時，四邊形AEDF是正方形

四絕對挑戰(zhàn)

①，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點0,過點D作DP〃0C,且DP=0C,連結CP,

試說明：四邊形CODP的形狀。

②如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?/p>

結論應變?yōu)槭裁?？試說明。

③如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?

結論又應變?yōu)槭裁矗?/p>

五反饋與歸納

(1)正方形是怎樣的平行四邊形？，有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形;

(2)正方形是怎樣的矩形？有一組鄰邊相等的矩形；

(3)正方形是怎樣的菱形？有個角是直角的菱形；

(4)明確四者之間的關系?。。?！

評價與反思

課題：1.4等腰梯形的性質和判定

教學目標：1、能證明等腰梯形的性質定理和判定定理。

2、逐步學會分析和綜合的思考方法，發(fā)展合乎邏輯的思考能力。

3、經(jīng)歷對操作活動的合理性進行證明的過程，不斷感受證明的必要性、感受合情

推理和演繹推理都是人們正確認識事物的重要途徑。

教學重點：等腰梯形的性質和判定。

教學難點：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉化為平行四邊形和三角形及正確運用輔助線）.

教學過程：

創(chuàng)設情境：

我們曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如圖），并探

索得到等腰梯形的性質和判定?，F(xiàn)在我們來證明有關等腰梯形的一些結論。

1.什么叫梯形

一組對邊平行，另一-組對邊不平行的四邊形叫梯形.

2.兩種特殊的梯形

直角梯形：有一個角是直角的梯形叫直角梯形

等腰梯形：兩腰相等的梯形叫等腰梯形

3、根據(jù)等腰梯形的定義，?個圖形要成為等腰梯形,首先它必須是，還要具備

相等；

二、等腰梯形的判定：

1、定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.、

2、定理的證明：

已知：

求證分析：本題可以從不同角度著手證明。

3、定理的書寫格式：

如圖，

三、等腰梯形的性質：

定理1、等腰梯形同一底上的兩底角相等。

定理2、等腰梯形的兩條對角線相等。

四、典型示例：

1、如圖梯形ABCD中,AD〃BC,M是AD的中點,ZMBC=ZMCB

求證：四邊形ABFE是等腰梯形;

2在梯形ABCD中，ADZ/BCAB=DC=AD=5CA±AB,求BC之長和ND的度數(shù).

五鞏固練習

A類題

1.四邊形的四個內角的度數(shù)比是2：3：3：4,則這個四邊形是（）

A.等腰梯形B.直角梯形

C.平行四邊形D.不能確定

2.在等腰梯形力靦中，AD//BC,AE1BC于E,且期=/〃，BR3AD,則等于（）

D.135°

1、四邊形ABCD是等腰梯形，AD〃BC,AB=DC,PB=PC.求

證：PA=PD

2、用一塊面積為450cnV的等腰梯形彩紙做風箏，為了牢固起

見,用竹條做梯形的對角線,對角線恰好互相垂直,那么至

少需要竹條cm.'

B

六課堂小結

1.我們今天學習了哪幾種梯形是等腰梯形？

2.在研究梯形問題時用了哪些方法將梯形問題轉化為其他圖形的問？

七布置作業(yè)

評價與反思

題：1.5三角形中位線定理

教學目標：

1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質.

2.能較熟練地應用三角形中位線性質進行有關的證明和計算.

3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展推理論證的能力.

重點、難點

1.重點：掌握和運用三角形中位線的性質.

2.難點：三角形中位線性質的證明（輔助線的添加方法）.

（1）強調三角形的中位線與中線的區(qū)別:

學習過程：

一、情景創(chuàng)設

實驗：請同學們思考：將任意?個二角形分成四個全等的三角

形，你是如何切割的？（答案如圖）

圖中有幾個平行四邊形？你是如何判斷的？

二、引入新課

1.三角形中位線:

2.三角形中位線性質

三角形中位線定理：___________

定理符號語言的表達：

如圖，在△ABC中

VD,E是AB、AC的中點

應注意的兩個問題：①第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第：個結論是說明

中位線與第三邊的數(shù)量關系，在應用時可根據(jù)需要來選用其中的結論（可以單獨用其中結

論）.②這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線.

三探索活動

已知：如圖，點D、E、分別為AABC邊AB、AC的中點，求證：DE〃BC且DE=，BC.

2

方法1：如圖（1）,延長DE到F,使EF=DE,連接CF,（也可以過點C作

CF〃AB交DE的延長線于F點，證明方法與上面大體相同）

【思考】：

（1）想一想：①一-個三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么

區(qū)別？

（2）三角形的中位線與第二邊有怎樣的關系？

三角形中位線的性質：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半.

K拓展》已知：4ABC的周長為a,面積為s,連接各邊中點得△A|B|C”再連接△AiBQi

各邊111點得△A?B2c2...,

則(1)第3次連接所得4A3B3c3的周長=，面積=

(2)第n次連接所得△ArlBnCll的周長=，面積=—

四蜒型例題

1、如圖，/XABC中，AD是BC的中線，EF是中位線，

求證：AD、EF互相平分。

2、已知，在三角形ABC中，BD平分NABC,

AC的中點，

求證：DE/7BC,DF」(BC-AB)

2

3求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得

四邊形是平行四邊形.

已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,E、F、

H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

B

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.'

思順次連結矩形菱形正方形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？等腰梯形呢？

(學生邊畫圖邊觀察，請學生猜想)

2、猜測：當四邊形滿足什么條件時，四邊形EFGH為矩形、菱形、正方形？

五、課堂練習

(-)填空

1如圖，A、B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C,連結AC和BC,并分別找

出AC和BC的中點M、N,如果測得MN=20m,刃陷A、B兩點的距離是m，

理由是

2.AABC中，D、E、F分別是AB、AC,BC的中點,

(1)若EF=5cm,則AB=cm：若BC=9cm,則DE=cm；

(2)中線AF與DE中位線有什么特殊的關系？證明你的猜想.

3.一個三角形的周長是135cm,過三角形各頂點作對邊的平行線，則這三條平行線所組成的

三角形的周長是cm.

(二)解答

1已知：如圖點E.F.GH分別是線段AB.BC.CD.AD的中點

當四邊形DBCA滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？

六小結與作業(yè)

評價與反思

課題：1.5梯形的中位線

學習目標：

1.掌握梯形中位線的概念和梯形中位線定理

2.能夠應用梯形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的

計算能力和分析能力

3.通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力

學習重點：梯形中位線性質

教學難點：梯形中位線定理的證明

學習過程：

一、情景創(chuàng)設：

上一節(jié)課我們通過對三角形的中位線定理的再認識，知道順次連接四邊形