第3章概率全章總結提課件高二下學期數(shù)學選擇性

全章總結提升第3章概率湘教版

數(shù)學

選擇性必修第二冊網(wǎng)絡構建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡構建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一條件概率、乘法公式及全概率公式條件概率、乘法公式及全概率公式是概率問題的工具.條件概率的本質是在縮小的樣本空間中求隨機事件的概率,將條件概率公式變形可得概率的乘法公式.事件的相互獨立性可由條件概率得到,而事件的相互獨立性是進一步研究獨立重復試驗和二項分布的基礎.全概率公式與貝葉斯公式是計算某些復雜事件的概率的有利工具.這些公式主要提升數(shù)學抽象、邏輯推理及數(shù)學運算素養(yǎng).【例1】

設某工廠有甲、乙、丙三個車間,它們生產(chǎn)同一種工件,每個車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%,35%,40%,它們的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從這批工件中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)已知取到的是次品,求它是甲車間生產(chǎn)的概率.(精確到0.01)解

(1)設事件B1,B2,B3分別表示取出的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的,A表示“取到的是次品”,易知B1,B2,B3兩兩互斥.根據(jù)全概率公式可得故取到次品的概率為0.034

5.故已知取到的是次品,它是甲車間生產(chǎn)的概率為0.36.規(guī)律方法

涉及多個事件之間的關系,且事件結果發(fā)生的可能性與各種原因的作用大小有關的事件常用全概率公式求解,而貝葉斯公式P(A|B)=

的本質就是條件概率.變式訓練1設某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器,第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為0.12,兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫,假設第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3.今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產(chǎn)品,則該產(chǎn)品合格的概率為(

)A.0.6 B.0.85C.0.868 D.0.88C解析

設從倉庫中隨機提出的一臺是合格品為事件B,事件Ai表示提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的,i=1,2,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.所以該產(chǎn)品合格的概率為0.868.專題二二項分布與超幾何分布二項分布是指在相同條件下重復n次試驗,各次試驗結果相互獨立,且每次試驗只有兩種可能結果的概率模型.兩點分布是二項分布的一種特殊情況,而超幾何分布是指從含有兩類不同物體中抽取個體,其中的隨機變量是某一類物體個數(shù)多少的一種模型,其重要特征是不放回地抽取.二項分布與超幾何分布模型主要培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【例2】

福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品,屬于福州三寶之一.紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術要求.已知某工藝師在每個環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為,只有當每個環(huán)節(jié)制作都合格才認為一次成功制作.(1)求該工藝師進行3次制作,恰有一件優(yōu)秀作品的概率;(2)若該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.(2)該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,故X的分布列為

規(guī)律方法

(1)在求n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時,首先要確定好n和k的值,再準確利用公式求概率.(2)根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關問題時,關鍵是厘清事件與事件之間的關系,確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率,求得概率.變式訓練2高二(1)班在聯(lián)歡會上設計了一項游戲:準備了10張相同的卡片,其中只在5張卡片上印有“獎”字.游戲者從10張卡片中任意抽取5張,如果抽到2張或2張以上印有“獎”字的卡片,就可獲得一件精美小禮品;如果抽到的5張卡片都印有“獎”字,除精美小禮品外,還可獲贈一套叢書.一名同學準備試試,那么獲得精美小禮品的概率是多少?能獲贈一套叢書的概率又是多少?專題三離散型隨機變量的分布列、期望、方差離散型隨機變量的概率分布反映了隨機變量取各個值的可能性大小,而離散型隨機變量的數(shù)學期望則反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量的集中與離散程度.求離散型隨機變量的期望、方差主要是提升數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【例3】

某公司全年圓滿完成預定的生產(chǎn)任務,為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力,公司決定在聯(lián)歡晚會后,擬通過抽獎的方式對500位員工進行獎勵,規(guī)定:每位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中,一次隨機抽出2張獎券,獎券上所標的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額.(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元,其余3張均為40元,試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大小.(2)公司對獎勵總額的預算是6萬元,預定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案:第一方案是2張面值20元和2張面值100元;第二方案是2張面值40元和2張面值80元.為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡,選擇哪一種方案比較好?請說明理由.解

(1)用X表示員工所獲得的獎勵額.所以P(X=80)=P(X=120),故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等.(2)第一種方案為(20,20,100,100),設員工所獲得的獎勵額為X1,則X1的分布列為第二種方案為(40,40,80,80),設員工所獲得的獎勵額為X2,則X2的分布列為

又因為500E(X1)=500E(X2)=60

000(元),所以兩種方案獎勵額的數(shù)學期望都符合要求,但第二種方案的方差比第一種方案的小,故應選擇第二種方案.規(guī)律方法

(1)求解離散型隨機變量的期望與方差,首先要根據(jù)隨機變量的取值求出相應的概率,列出分布列后利用公式求數(shù)學期望與方差;若涉及兩變量之間的關系Y=aX+b,則可以直接利用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X).(2)利用隨機變量的數(shù)學期望與方差可以解決生活中的決策問題,其主要方法就是比較隨機變量的期望或方差大小.專題四正態(tài)分布正態(tài)分布曲線主要是描述連續(xù)型隨機變量的概率模型.利用正態(tài)分布模型可以提升直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【例4】

某無人機配件廠商從其所生產(chǎn)的某種無人機配件中隨機抽取了一部分進行質量檢測,其某項質量測試指標值X服從正態(tài)分布N(18,4),且X落在區(qū)間[20,22]內的無人機配件個數(shù)約為2718,則所抽取的這批無人機配件中質量指標值X不高于14的個數(shù)大約為(

)(附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.228 B.455

C.27

D.40B解析

因為X服從正態(tài)分布N(18,4),又X落在區(qū)間[20,22]內的個數(shù)約為2

718,故所抽取的這批無人機配件中質量指標值X不高于14的個數(shù)大約為20

000×0.022

75=455.故選B.規(guī)律方法

由于正態(tài)曲線是軸對稱圖形,因此求解與正態(tài)分布有關的概率問題要借助正態(tài)曲線對稱性以及正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內取值的概率值.變式訓練3若某市高三某次數(shù)學測試的成績X(單位:分)服從正態(tài)分布N(96,16),則從該市任選1名高三學生,其這次數(shù)學測試的成績滿足100<X≤108的概率約為(

)參考數(shù)據(jù):若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1573 B.0.34135C.0.49865 D.0.1359A解析

因為數(shù)學測試的成績X(單位:分)服從正態(tài)分布N(96,16),所以μ=96,σ=