小學(xué)數(shù)學(xué)-雞兔同籠的變形問(wèn)題-非常完整版題型訓(xùn)練-例題+練習(xí)+詳細(xì)解析

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁(yè)雞兔同籠的變形問(wèn)題例題精講例題精講【例題1】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20對(duì)(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對(duì)翅膀；蟬6條腿，一對(duì)翅膀)，求蜻蜓有多少只？【解析】這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問(wèn)題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動(dòng)物都是6條腿，則總腿數(shù)為6×18=108(條)，所差118-108=10(條)，必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有(118-108)÷(8-6)=5(只)蜘蛛.這樣剩下的18-5=13(只)便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再?gòu)某岚驍?shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1×13=13(對(duì))，比實(shí)際數(shù)少20-13=7(對(duì))，這是由于蜻蜓有兩對(duì)翅膀，而我們只按一對(duì)翅膀計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7÷(2-1)=7(只).【鞏固1】食品店上午賣(mài)出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：2570-1970=600元，所以賣(mài)出：600÷20=30千克，所以賣(mài)出每千克25元和每千克30克的糖果共100-30=70千克，相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成：賣(mài)出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問(wèn)：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問(wèn)題．

關(guān)鍵：將三種以及更多的動(dòng)物/東西，轉(zhuǎn)化為兩種最基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)化后的“頭”與“腳”?！纠}2】在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類(lèi)題共道．選擇題和填空題每題分，解答題每題分．這次考試總分是分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【解析】選擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類(lèi)。如果這次考試的22道題全是解答題，則總分應(yīng)是：22×10=220(分)，但實(shí)際總分是100分，所以選擇題和填空題共有：（220-100）÷（10-4）=20(道)，解答題有：22-20=2(道)．選擇題比填空題少：2×10-4=16(分)，選擇題有：（100-2×10-16）÷2÷4=8(道)，填空題有：20-8=12(道)．【鞏固2】犀牛、羚羊、孔雀三種動(dòng)物共有頭26個(gè)，腳80只，犄角20只．已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒(méi)有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【解析】假設(shè)26只都是孔雀，那么就有腳：26×2=52（只），比實(shí)際的少：80-52=28（只），這說(shuō)明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀?；蛄缪颍瑴p少一只孔雀，就會(huì)增加腳數(shù)：4-2=2（只）．所以，孔雀有26-28÷2=12（只），犀牛和羚羊總共有26-12=14（只）．假設(shè)14只都是犀牛，那么就有犄角：14×1=14（只），比實(shí)際的少：20-14=6（只），這說(shuō)明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數(shù)就會(huì)增加：2-1=1（只），所以，羚羊的只數(shù)：6÷1=6（只），犀牛的只數(shù)：14-6=8（只）．【例題3】某次數(shù)學(xué)考試考五道題,全班52人參加,共做對(duì)181道題,已知每人至少做對(duì)1道題,做對(duì)1道的有7人,5道全對(duì)的有6人,做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多,那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人？【解析】對(duì)2道,3道,4道題的人共有52-7-6=39(人).他們共做對(duì)181-1×7-5×6=144(道).由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多,我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣兔腳數(shù)=4,雞腳數(shù)=2.5,總腳數(shù)=144,總頭數(shù)=39.對(duì)4道題的有(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).【鞏固3】有紅、黃、綠種顏色的卡片共有張，其中紅色卡片的兩面上分別寫(xiě)有和，黃色卡片的兩面上分別寫(xiě)著和，綠色卡片的兩面上分別寫(xiě)著和．現(xiàn)在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫(xiě)有較大數(shù)字的那面朝上，經(jīng)計(jì)算，各卡片上所顯示的數(shù)字之和為．若把所有卡片正反面翻轉(zhuǎn)一下，各卡片所顯示的數(shù)字之和則變成．問(wèn)黃色卡片有多少?gòu)?？開(kāi)始的時(shí)候，黃色和綠色的卡片上都是3，紅色卡片上是2．如果全部是紅色卡片，那么數(shù)字之和為：2×100=200，比實(shí)際的少：234-200=34．每增加一張黃色或綠色卡片，那么數(shù)字就會(huì)增加：3-2=1．那么，黃色和綠色卡片之和：34÷1=34（張），紅色卡片有：100-34=66（張）．翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)后，紅色和黃色卡片上都是1，綠色卡片上是2．紅色卡片有66張，剩下的綠色和黃色卡片上的數(shù)字之和為：123-1×66=57．如果34張卡片都是黃色的，那么這34張卡片上的數(shù)字之和為：1×34=34，比實(shí)際的少：57-34=23．每增加一張綠色卡片，數(shù)字之和就會(huì)增加：2-1=1，所以，綠色卡片有：23÷1=23（張），黃色卡片有：34-23=11（張）．【例題4】箱子里紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的倍多只，每次從箱子里取出只白球、只紅球．如果經(jīng)過(guò)若干次以后，箱子里剩下只白球、只紅球．那么箱子里原有紅球多少只？【解析】假設(shè)每次一起取7只白球和21只紅球，由于每次拿得紅球都是白球的2倍，所以最后剩下的紅球數(shù)應(yīng)該剛好是白球數(shù)的3倍多2．由于每次取的白球和原定的一樣多，所以最后剩下的白球應(yīng)該不變，仍然是3個(gè)．按照我們的假設(shè)，剩下的紅球應(yīng)該是白球的3倍多2，即3×3+2=11(只)．但是實(shí)際上最后剩了53只紅球，比假設(shè)多剩42只，因?yàn)槊恳淮螌?shí)際取得與假設(shè)相比少6只，所以可以知道一共取了42÷6=7(次)．所以可以知道原來(lái)有紅球7×15+53=158(只)．【鞏固4】商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,中球每個(gè)1.5元,小球每個(gè)1元.張老師用120元共買(mǎi)了55個(gè)球,其中買(mǎi)中球的錢(qián)與買(mǎi)小球的錢(qián)恰好一樣多.問(wèn)每種球各買(mǎi)幾個(gè)？因?yàn)榭傚X(qián)數(shù)是整數(shù),大,小球的價(jià)錢(qián)也都是整數(shù),所以買(mǎi)中球的錢(qián)數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買(mǎi)中球,小球錢(qián)中各出3元.就可買(mǎi)2個(gè)中球,3個(gè)小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個(gè)價(jià)錢(qián)是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個(gè)).買(mǎi)中,小球錢(qián)數(shù)各是(120-30×3)÷2=15(元).可買(mǎi)10個(gè)中球,15個(gè)小球.【例題5】從甲地至乙地全長(zhǎng)45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問(wèn)從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米把來(lái)回路程45×2=90(千米)算作全程.去時(shí)上坡,回來(lái)是下坡;去時(shí)下坡回來(lái)時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程,根據(jù)例15,平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的"雞兔同籠"問(wèn)題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù)90,雞,兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時(shí)間是(90-4×21)÷(5-4)=6(小時(shí)).單程平路行走時(shí)間是6÷2=3(小時(shí)).從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是45-5×3=30(千米).又是一個(gè)"雞兔同籠"問(wèn)題.從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是(6×7-30)÷(6-3)=4(小時(shí)).行走路程是3×4=12(千米).下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí)).行走路程是6×3=18(千米).【鞏固5】某商場(chǎng)為招攬顧客舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng).獎(jiǎng)金有三種:一等獎(jiǎng)1000元,二等獎(jiǎng)250元,三等獎(jiǎng)50元.共有100人中獎(jiǎng),獎(jiǎng)金總額為9500元.問(wèn)二等獎(jiǎng)有多少名？假設(shè)全是三等獎(jiǎng)，共有：9500/50=190（人）中獎(jiǎng)，比實(shí)際多：190-100=90（人）1000/50=20，也就是說(shuō)：把20個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：20-1=19（人）250/50=5，也就是說(shuō)：把5個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：5-1=4（人）。因?yàn)槎喑龅氖?0人，而：90=19*2+4*13.即：要使總?cè)藬?shù)為100，只需要把20*2=40個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成2個(gè)一等獎(jiǎng)，把5*13=65個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成13個(gè)二等獎(jiǎng)就可以了。所以，二等獎(jiǎng)有13個(gè)人?！纠}6】有50位同學(xué)前往參觀,乘電車(chē)前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共用了車(chē)費(fèi)110元,問(wèn)其中乘小巴的同學(xué)有多少位？由于總錢(qián)數(shù)110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù),因此乘電車(chē)前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍.如果有30人乘電車(chē),110-1.2×30=74(元).

還余下50-30=20(人)都乘小巴錢(qián)也不夠.說(shuō)明假設(shè)的乘電車(chē)人數(shù)少了.

如果有40人乘電車(chē)110-1.2×40=62(元).

還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢(qián)還有多(62>6×10).說(shuō)明假設(shè)的乘電車(chē)人數(shù)又多了.30至40之間,只有35是5的整數(shù)倍.

現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"了:

總頭數(shù)50-35=15,總腳數(shù)110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人數(shù)是(6×15-68)÷(6-4)=11.【鞏固6】一些奇異的動(dòng)物在草坪上聚會(huì)．有獨(dú)腳獸（1個(gè)頭、1只腳）、雙頭龍（2個(gè)頭、4只腳）、三腳貓（1個(gè)頭、3只腳）和四腳蛇（1個(gè)頭、4只腳）．如果草坪上的動(dòng)物共有58個(gè)頭、160只腳，且四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍的2倍，那么其中獨(dú)腳獸有幾只？把2個(gè)四腳蛇和1個(gè)雙頭龍捆綁在一起，則是4頭12腳，即1頭3腳，同三腳貓是一樣的，所以可以假設(shè)都是1頭3腳，則有3×58=174只腳，但只有160只腳，差了174-160=14只腳，替換：14÷2=7只，故有7只獨(dú)角獸?！纠}7】學(xué)校組織新年游藝晚會(huì),用于獎(jiǎng)品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問(wèn)三種筆各