人教版高中數(shù)學(xué)排列組合和概率全部教案

兩個基本原理

一、教學(xué)目標

1、知識傳授目標：正確理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培養(yǎng)目標：能準確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題

3、思想教育目標：發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力

二、教材分析

L重點：加法原理，乘法原理。解決方法：利用簡單的舉例得到一般的結(jié)論.

2.難點：加法原理，乘法原理的區(qū)分。解決方法：運用對比的方法比較它們的異同.

三、活動設(shè)計

1.活動：思考，討論，對比，練習.

2.教具：多媒體課件.

四、教學(xué)過程正

1.新課導(dǎo)入

隨著社會發(fā)展，先進技術(shù)，使得各種問題解決方法多樣化，高標準嚴要求，使得商品生產(chǎn)工

序復(fù)雜化，解決一件事常常有多種方法完成，或幾個過程才能完成。

排列組合這一章都是討論簡單的計數(shù)問題，而排列、組合的基礎(chǔ)就是基本原理，用好基本原

理是排列組合的關(guān)鍵.

2.新課

我們先看下面兩個問題.

(1)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4班，汽車有2

班，輪船有3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

板書：圖

因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以

從甲地到達乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4十2十3=9種不同的走

法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有私種不同的方法，在第

二類辦法中有叱種不同的方法，……，在第n類辦法中有nt種不同的方法.那么完成這件事共

有N=mi十m2H----hmn種不同的方法.

(2)我們再看下面的問題：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村去C村，共有多

少種不同的走法？

板書：圖

這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B

村到C村又有2種不同的走法.因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3X2=6種不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有皿種不同的方法，做第二步

有3種不同的方法，……，做第n步有s種不同的方法.那么完成這件事共有N=mi種

不同的方法.

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

1)從中任取一本，有多少種不同的取法？

2)從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？

解(1)從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任

取一本，有6種方法；第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法.根

據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是6+5=11.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數(shù)學(xué)書，

有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法.根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是N

=6X5=30.

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有30種不同的方法.

練習：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1)從中任取一枚，有多少種不同取法？2)從中任取明清古幣各一枚，有多少種不同取法？

例2(1)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？

(2)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

(3)由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任

選一個數(shù)字，共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，

這仍有5種選法，第三步確定個位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法.根據(jù)乘法原理，得到可以

組成的三位數(shù)的個數(shù)是N=5X5X5=125.

答：可以組成125個三位數(shù).

練習：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地

有2條水路可走.

(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？

(2)從甲地到內(nèi)地共有多少種不同的走法？

2.一名兒童做加法游戲.在一個紅口袋中裝著20張分別標有數(shù)1、2、…、19、20的紅卡片，

從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個黃口袋中裝著10張分別標有數(shù)1、2、…、9、

10的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù).這名兒童一共可以列出多少個加法式子？

3.題2的變形

4.由0—9這10個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

小結(jié)：要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時用加法，分步時用乘法

其次要注意怎樣分類和分步，以后會進一步學(xué)習

練習

1.(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種

方法完成.選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？

2.在讀書活動中，一個學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任選一本，共有多

少種不同的選法？

3.乘積(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路U通；從甲地到丁地有4條路可通，從

丁地到丙地有2條路可通.從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

5.一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同.

(1)從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？

（2）從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法?

作業(yè)：（略）

排列

【復(fù)習基本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有n種不同的方法，第二

辦法中有m2種不同的方法，第n辦法中有叫種不同的方法，那么完成

這件事共有

N=m]+m2+m3+???mn

種不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有n種不同的方法，做第

二步有m2種不同的方法，……，做第n步有S種不同的方法，.那么完成這

件事共有

N=m]xm2xm3x---xmn

種不同的方法.

3.兩個原理的區(qū)別：

【練習1]

L北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同的機票？

2.由數(shù)字1、2、3可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？請一一列出.

【基本概念】

1.什么叫排列？從n個不同元素中，任取巾（加4〃）個元素（這里的被取元素各不相同）

按照一定的順序㈱成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列

2.什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個不同.

3.什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.

4.什么叫一個排列？

【例題與練習】

1.由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

2.已知a、b、c、d四個元素，①寫出每次取出3個元素的所有排列；②寫出每次取出4個

元素的所有排列.

【排列數(shù)】

1.定義：從n個不同元素中，任取m(/n4〃)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中

取出m元素的排列數(shù)，用符號p：表示.

用符號表示上述各題中的排列數(shù).

2.排列數(shù)公式：p：=n(nT)(n-2)…(n-m+1)

Pn=--------；Pn=-----------；Pn=---------------；

Pn=----------------------；

計算：P5=；P'；Pj=

【課后檢測】

1.寫出：

①從五個元素a、b、c、d、e中任意取出兩個、三個元素的所有排列；

②由1、2、3、4組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

③由0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

2.計算：

,lyP1OO②P6③Ps-2p；④

排列

課題：排列的簡單應(yīng)用(1)

目的：進一步掌握排列、排列數(shù)的概念以及排列數(shù)的兩個計算公式，會用排列數(shù)公式計算和

解決簡單的實際問題.

過程：

一、復(fù)習：(引導(dǎo)學(xué)生對上節(jié)課所學(xué)知識進行復(fù)習整理)

1.排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點問題；

2.排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計算公式

A：=n(n-1)(〃-2)…(〃一加+1)或=---:——(其中加,〃EZ)

(n-m)l

3.全排列、階乘的意義：規(guī)定0!=1

4.“分類”、“分步”思想在排列問題中的應(yīng)用.

二、新授：

例1：⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：7個元素的全排列——=5040

⑵7位同學(xué)站成兩排（前3后4）,共有多少種不同的排法？

解：根據(jù)分步計數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X1=7!=5040

⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——A：=720

（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名

同學(xué)進行全排列有種則共有A；=240種排列方法

⑸7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

解法一（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在

排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進行排列（全排

列）有種方法所以一共有&=2400種排列方法.

解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若

甲站在排頭且乙站在排尾則有A；種方法.所以甲不能站在排頭，乙不能排在

排尾的排法共有A；-=2400種.

小結(jié)一：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特

殊元素可以優(yōu)先考慮.

例2：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學(xué)）一

起進行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進行排列有宙種方法.所

以這樣的排法一共有A：=1440種.

（2）甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？

解：方法同上,一共有A；A；=720種.

⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？

解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為

丙不能站在排頭和排尾,所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排

尾，有種方法；將剩下的4個元素進行全排列有A：種方法；最后將甲、乙兩個

同學(xué)，，松綁”進行排列有種方法.所以這樣的排法?共有&A；A；=960種

方法.

解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，

若丙站在排頭或排尾有2用種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有

（4：-2&）?&=960種方法.

解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為

丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，

再將其余的5個元素進行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所

以這樣的排法一共有A；A；A；=960種方法.

小結(jié)二：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）.

例3：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

解法一：（排除法）-.A；=3600

解法二：（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有種方法，此時他們留下六個位置

（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個位置（空）有A；種方法,

所以一共有=3600種方法.

⑵甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個同學(xué)排好有A；種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和

內(nèi)三個同學(xué)分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有A：=1440種.

小結(jié)三：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）.

三、小結(jié)：

1.對有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下類型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；

2.基本的解題方法：

（1）有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為

優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）；

⑵某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排

列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；

⑶某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋,

這種方法稱為“插空法”；

（4）在處理排列問題時，?般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的

解題途徑，這是學(xué)好排列問題的根基.

四、作業(yè)：《課課練》之“排列課時1—3”

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排列

課題：排列的簡單應(yīng)用（2）

目的：使學(xué)生切實學(xué)會用排列數(shù)公式計算和解決簡單的實際問題，進一步培養(yǎng)分析問題、解

決問題的能力，同時讓學(xué)生學(xué)會一題多解.

過程:

一、復(fù)習：

1.排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)的兩個計算公式；

2.常見的排隊的三種題型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置一優(yōu)限法；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）——捆綁法；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）——插空法.

3.分類、分布思想的應(yīng)用.

二、新授：

示例一：從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)

目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？

解法一：（從特殊位置考慮）=136080

解法二：（從特殊元素考慮）若選：5?閥若不選：A；

則共有5?用+君=136080

解法三：（間接法）^136080

示例二：

⑴八個人排成前后兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排,

則共有多少種不同的排法？

略解：甲、乙排在前排丙排在后排A：；其余進行全排列

所以一共有A：封=5760種方法.

⑵不同的五種商品在貨架上排成一排，其中a,b兩種商品必須排在一起，而c,d

兩種商品不排在一起，則不同的排法共有多少種？

略解：（“捆綁法”和“插空法”的綜合應(yīng)用）捆在一-起與e進行排列有A；；

此時留下三個空，將c,d兩種商品排進去一共有；靳將a,加'松綁”有.所

以一共有A；A；=24種方法.

☆⑶6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求師生相間而坐，則

不同的坐法有多少種？

略解：（分類）若第一個為老師則有A：A。；若第一個為學(xué)生則有A；

所以一共有2用用=72種方法.

示例三：

⑴由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？

略解：+=325

⑵由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字，并且比13000大的正整

數(shù)？

解法一：分成兩類，一類是首位為1時，十位必須大于等于3有種方法；另

一類是首位不為1,有種方法.所以一共有+=114個數(shù)比13000

大.

解法二：（排除法）比13000小的正整數(shù)有個，所以比13000大的正整數(shù)有

A：-A；=114個.

示例四：用1,3,6,7,8,9組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，由小到大排列.

⑴第114個數(shù)是多少？⑵3796是第幾個數(shù)？

解：⑴因為千位數(shù)是1的四位數(shù)一共有=60個，所以第114個數(shù)的千位數(shù)應(yīng)

該是“3”，十位數(shù)字是“1”即“31”開頭的四位數(shù)有=12個同理，以“36”、

“37”、“38”開頭的數(shù)也分別有12個，所以第114個數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39”,

而“3968”排在第6個位置上，所以“3968”是第114個數(shù).

（2）由上可知“37”開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個，而3796在“37”

開頭的四位數(shù)中排在第11個（倒數(shù)第二個），故3796是第95個數(shù).

示例五：用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中

⑴能被25整除的數(shù)有多少個？

⑵十位數(shù)字比個位數(shù)字大的有多少個？

解：⑴能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種，末尾為50的四位數(shù)

有否個，末尾為25的有個，所以一共有A：+=21個.

注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,00四種情況.

（2）用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，一共有@6=300個.因

為在這300個數(shù)中，十位數(shù)字與個位數(shù)字的大小關(guān)系是“等可能的"，所以十位數(shù)

字比個位數(shù)字大的有=150個.

2

三、小結(jié)：能夠根據(jù)題意選擇適當?shù)呐帕蟹椒?，同時注意考慮問題的全面性，此外能夠

借助-題多解檢驗答案的正確性.

四、作業(yè)：“3+X”之排列練習

組合⑴

課題：組合、組合數(shù)的概念

目的：理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式.

過程：

一、復(fù)習、引入：

1.復(fù)習排列的有關(guān)內(nèi)容:

定義特點相同排列公式

排列

以上由學(xué)生口答.

2.提出問題：

示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)

參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？

示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？

引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而

示例2只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的.

引出課題:組合問題.

二、新授：

1.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出，"（mW"）個元素并成一組，叫做從

n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

注：1.不同元素2.“只取不排”一一無序性3.相同組合：元素相同

判斷下列問題哪個是排列問題哪個是組合問題：

⑴從A、B、C、O四個景點選出2個進行游覽；（組合）

⑵從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中選出2個人擔任班長和團支部書記.（排列）

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出，〃個元素的所有組合的個數(shù)，叫做

從〃個不同元素中取出“個元素的組合數(shù).用符號C："表示.

例如：示例2中從3個同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙，甲丙，乙丙.即

有=3種組合.

又如：從A、B、C,。四個景點選出2個進行游覽的組合：AB,AC,AD,BC,

BD,CO一共6種組合，B|J：C：=6

在講解時一定要讓學(xué)生去分析：要解決的問題是排列問題還是組合問

題，關(guān)鍵是看是否與順序有關(guān).

那么又如何計算C：”呢？

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)

(D提問：從4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素的組合數(shù)是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，碼4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)可

以求得，故我們可以考察一下和的關(guān)系,如下：

組合排列

abcfabc,bac,cab,acb,bca,cba

abdfabd,bad,dab,adb.bda,dba

acd—>acd,cad,dac,adcyeda,dca

bed—>bed、cbd,dbc、bdc.edb,deb

由此可知：每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取

出3個元素的排列數(shù)可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素

的組合，共有令②對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有種方法.由

分步計數(shù)原理得：=所以：華=學(xué).

⑵推廣：一般地，求從?個不同元素中取出，"個元素的排列數(shù)A'；；,可以分如下兩步:

①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)C：";②求每一個組合中m

個元素全排列數(shù)A；,根據(jù)分布計數(shù)原理得：A；：=C：-A：：

⑶組合數(shù)的公式：

,A：n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

rn=----=---------------------

A：；ml

r[\

或C"：=-----:----(&msN*,且加

(4)鞏固練習：

1.計算：(1)C；(2)C,Q

2.求證：c：="±l.c,”

n-m

3.設(shè)xeN”求CW+C：/的值.

解：由題意可得：12x—32X-1即：2<XW4

[x+1>2x-3

'：xE.N+，.,.x=2或3或4

當x=2時原式值為7；當戶3時原式值為7；當戶2時原式值為11.

...所求值為4或7或11.

4.例題講評

例1.6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分

法？

略解：C；.C：.C；=90

例2.4名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人實踐活動小組，問組成方法

共有多少種？

解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有C；,

c}-c[,c\-cl，所以一共有c：+c，c；+c：.c；=ioo種方法.

解法二：（間接法）C：）—C；=100

5.學(xué)生練習：（課本99練習）

三、小結(jié)：

定義特點相同組合公式

排列

組合

此外，解決實際問題時首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定是排列問題還是組合

問題，必要時要利用分類和分步計數(shù)原理.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：教學(xué)與測試75課

課外作業(yè)：課課練課時7和8

組合⑵

課題：組合的簡單應(yīng)用及組合數(shù)的兩個性質(zhì)

目的：深刻理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系，熟練掌握組合數(shù)的計算公式；掌握組合數(shù)的兩個

性質(zhì)，并且能夠運用它解決?些簡單的應(yīng)用問題.

過程：

一、復(fù)習回顧：

1.復(fù)習排列和組合的有關(guān)內(nèi)容:

定義特點相同XX公式

排列

組合

強調(diào)：排列一一次序性；組合——無序性.

2.練習一：

練習1：求證：C：（本式也可變形為：mC；=nC；；1-'）

m

練習2：計算：①和②c；與③

答案：①120,120②20,20③792

（此練習的目的為下面學(xué)習組合數(shù)的兩個性質(zhì)打好基礎(chǔ).）

3.練習二：

⑴平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？

⑵平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？

答案：⑴=45（組合問題）（2）A*=90（排列問題）

二、新授：

1.組合數(shù)的性質(zhì)1：C：=C：T".

理解：一般地，從"個不同元素中取出m個元素后，剩下〃-團個元素.因

為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的N-m個元素的每一

個組合一一芍廖，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n

個元素中取出--機個元素的組合數(shù)，即：c;=c;;-w.在這里，我們主要體

現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想.

證明：ci=-----------------=一--

（n-ni）\[n-（n-ni）]!加（〃一陽）！

注：1。我們規(guī)定C：=1

2°等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標.

3。此性質(zhì)作用：當機＞生時:計算C："可變?yōu)橛嬎鉉；'",能夠使運算簡化.

2

例如：C溫=C筮釬⑼=以0m=2002.

4°C；=C：=>x=y或x+y=n

2.示例一：（課本101例4）一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球.

⑴從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？

⑵從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？

解：⑴C：=56(2)=21(3)C.=35

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：C；=C；+C；.為什么呢？

我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個球中所取出的3個球，可以分為兩類：一類含

有1個黑球，一類不含有黑球.因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上述等式成立.

一般地，從％,電，…，%+i這〃+1個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是。禽，這

些組合可以分為兩類：一類含有元素%,一類不含有含有火的組合是從

出,%，…，6+1這〃個元素中取出機-1個元素與4組成的，共有C；i個；不含有a,的

組合是從。2,%，…這"個元素中取出機個元素組成的，共有C："個.根據(jù)分類計

數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另?個性質(zhì).在這里，我們主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思

想，“含與不含其元素”的分類思想.

3.組合數(shù)的性質(zhì)2：|C：；i=C：+C；；

證明：c'"+C"I=+

ml(n-fn)!(/n-l)![n-(/w-l)]!

n\(n-m+\)+n\m

m\{n一〃z+1)!

加！(〃一〃？+l)!

(n+1)!

機!(〃一機+1)!

Cm

n+\

m,m

：.C/j+1l^C"n+Cn''.

注：1。公式特征：下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多

1而上標與高的相同的一個組合數(shù).

2°此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算.在今后學(xué)習“二項式定理”時，我

們會看到它的主要應(yīng)用.

4.示例二：

⑴計算：c；+c；+c：+c；

⑵求證：C，=C：；+2C7+C：「2

⑶解方程：4=C，3

（4）解方程：*+C^2=—A^

ATaCATX[?'十+3」

⑸計算：。：+。：+。：+。：+。：和。;+。;+。;+。;+。;+。;

推廣：C：+C：+，：+???+C；r+C：=2"

5.組合數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用：

證明下列等式成立：

⑴（講解）%+。3+。3+…++c：=c產(chǎn)

⑵（練習）以++%+…+CL=

⑶C；+2c：+3C；+…+〃C：=3?+。：+…+C：）

6.處理《教學(xué)與測試》76課例題

三、小結(jié)：1.組合數(shù)的兩個性質(zhì)；

2.從特殊到一般的歸納思想.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：《教學(xué)與測試》76課

課外作業(yè)：課本習題10.3：課課練課時9

組合⑶

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑴

目的：進一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì)，能夠解決一些較為復(fù)雜的組合應(yīng)用問題,

提高合理選用知識的能力.

過程：

一、知識復(fù)習：

1.復(fù)習排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

依然強調(diào)：排列——次序性；組合——無序性.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1：C：=C；"'性質(zhì)2：C”C；：+C：T

常用的等式：=*=1

3.練習：處理《教學(xué)與測試》76課例題

二、例題評講：

例1.100件產(chǎn)品中有合格品90件,次品10件,現(xiàn)從中抽取4件檢查.

⑴都不是次品的取法有多少種？

⑵至少有1件次品的取法有多少種？

⑶不都是次品的取法有多少種？

解：⑴C,=2555190；

⑵--=C：。。++GM。+C(t=1366035；

⑶%-―+C^o+0C；。+』=3921015.

例2.從編號為1,2,3,…，10,11的共11個球中，取出5個球，使得這5個球的

編號之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？

解：分為三類：1奇4偶有；3奇2偶有C；C；；5奇1偶有以

所以一共有=236.

例3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有一4名青年能勝任德語翻

譯工作（其中有1名青年兩項工作都能勝任），現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔一項任

務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項工作都能擔任的青年從事英語翻譯工作，有

②讓兩項工作都能擔任的青年從事德語翻譯工作，有

③讓兩項工作都能擔任的青年不從事任何工作，有

所以一共有=42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙不值周六，

問可以排出多少種不同的值周表？

解法一：（排除法）-2C；C：+=42

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有C：。：；另一類為甲不

值周一，但值周六，有所以一共有C：C：+C：C；=42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法？

解：第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個元素有種方

法；第二步將5個“不同元素(書)”分給5個人有種方法.根據(jù)分步計數(shù)原

理，一共有4A；=1800種方法.

變題1：6本不同的書全部送給5人，有多少種不同的送書方法？

變題2：5本不同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法？

變題3：5本相同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法？

答案：1.56=15625；2.=720；3.C：=6.

三、小結(jié)：1.組合的定義，組合數(shù)的公式及其兩個性質(zhì)；

2.組合的應(yīng)用：分清是否要排序.

四、作業(yè)：《3+X》組合基礎(chǔ)訓(xùn)練

《課課練》課時10組合四

組合⑷

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑵

目的：對排列組合知識有一個系統(tǒng)的了解，掌握排列組合一些常見的題型及解題方法，能夠

運用兩個原理及排列組合概念解決排列組合問題.

過程：

一、知識復(fù)習：

1.兩個基本原理；

2.排列和組合的有關(guān)概念及相關(guān)性質(zhì).

二、例題評講：

例1.6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：

⑴分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

⑵分為三份，每份兩本；

⑶分為三份，--份一本，一份兩本，一份三本；

(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；

⑸分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

解：⑴根據(jù)分步計數(shù)原理得到：C；C：C；=90種.

⑵分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成:

第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名

同學(xué)有種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理可得：所以

X==15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法.

可

注：本題是分組中的“冷勺今組”問題.

(3)這是“不均勻分組”問題，一共有=60種方法.

（4）在⑶的基礎(chǔ)上在進行全排列，所以一共有C：C；C；用=360種方法.

（5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”即⑴中的分配情況，有C：C：C；=90種

方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情況,有用=360種方法；③“1、1、

4型”，有C；用=90種方法.所以一共有90+360+90=540種方法.

例2.身高互不相同的7名運動員站成一排，甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且

互不相鄰的排法有多少種？

解：（插空法）現(xiàn)將其余4個同學(xué)進行全排列一共有種方法，再將甲、乙、丙三名

同學(xué)插入5個空位置中（但無需要進行排列）有種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，

一共有A：d=240種方法.

例3.⑴四個不同的小球放入四個不同的盒中，-共有多少種不同的放法？

⑵四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？

解：⑴根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有44=256種方法.

⑵（捆綁法）第一步從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素

有種方法，第二步從四個不同的盒取其中的三個將球放入有種方法.所以

一共有C：=144種方法.

例4.馬路上有編號為1,2,3,…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以

把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的

情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？

解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，

故所求方法總數(shù)為=20種方法.

例5.九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,…，8,從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，

如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？

解：可以分為兩類情況：①若取出6,則有2（A；+C；C；C；）種方法；②若不取6,

則有C；片種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有2（&+C；C；C；）+C；#=602種

方法.

三、小結(jié)：

四、作業(yè)：《教學(xué)與測試》77課；《課課練》相關(guān)練習

二項式定理--1定理

一、復(fù)習填空：

1.在n=l,2,3,4時，研究(a+b)n的展開式.

(a+b)-,

(a+b)J,

(a+b)J,

(a+b)-.

2.列出上述各展開式的系數(shù)：

3.這些系數(shù)中每一個可看作由它肩上的兩個數(shù)字得到.你能寫出第五

行的數(shù)字嗎？(a+b)J.

4.計算：C卜—，C；=—,C；=—,C戶—，C：=—.用這些組合數(shù)表示

(a+b)”的展開式是：(a+b)"=.

二、定理：

(a+b)n=(neN),這個公式表

示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a+b)。的,其

中C：(r=0,1,2,……,n)叫做,叫做二

項展開式的通項，通項是指展開式的第項，展開式共有個項.

例題：1.展開(x+')4;2.展開(24—3)6.

小結(jié)：求展開式中的指定項一般用通項公式，當指數(shù)n不是很大時，也可用

定理展開，再找指定項.

3.計算：(1)(0.997)3的近似值(精確到0.001)

(2)(1.002)6的近視值(精確到0.001).

三、課后檢測

1.求(2a+3b)6的展開式的第3項.

2.求(3b+2a)6的展開式的第3項.

3.寫出(我-一二廠的展開式的第r+1項.

4.求(x：'+2x)7的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù).

5.用二項式定理展開:

(1)(a+Vb)9；

6.化簡:

1__L11

(1)(1+Vx)5+(1—Vx^)5;(2)(2x5+3x^)4-(2x3-3x《)4

二項式定理--2通項應(yīng)用---求指定項

一、復(fù)習填空：

（a+b）"=（neN），這個公式表

示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做（a+b）11的,其

中C：（r=0,1,2,……，n）叫做,叫做二

項展開式的通項，通項是指展開式的第項，展開式共有個項.

二、應(yīng)用舉例：

l.（g-4廠的展開式中，第五項是.................................（）

aVx

2.（次的展開式中，不含a的項是第.....................（）項

A.7B.8C.9D.6

3.二項式（z-2）6的展開式中第5項是-480,求復(fù)數(shù)z.

1

4.求二項式（V3+了的展開式中的有理項.

72

三、練習及課后檢測

1.（X-L）9的展開式中含x3的項是t

X

2.二項式（后一x）i°的展開式中的第八項是........................（）

A.-135x3B.3645x2C.36oV3ix7D.324073ix3

3.（將+追產(chǎn)的展開式中的整數(shù)項是...........................（)

A.第12項B.第13項C.第14項D.第15項

2

4.(3x-亞廠展開式中第9項是常數(shù)項,則n的值是)

A.13B.12C.11D.10

5.(友—di)9的展開式中的第7項是.......