天津市河東區(qū)2023-2024學年高二下學期期末數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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河東區(qū)2023~2024學年度第二學期期末質量檢測高二數(shù)學本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時120分鐘.答卷時,考生務必將答案答在答題卡的相應位置.考試結束后,將答題紙交回.祝各位考生考試順利!第Ⅰ卷注意事項:1.請同學們把答案按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內,超出答題卡區(qū)域的答案無效!2.本卷共11小題,每小題5分,共55分.一.選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設全集,集合,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的值,然后計算即可.【詳解】由題意可得,則.故選:A.2.對于任意實數(shù)a,b,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質,結合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由,得或,則或;由,得,則,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B3.若偶函數(shù),則()A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用偶函數(shù)定義求解即得?!驹斀狻亢瘮?shù)中,,解得或,由為偶函數(shù),得,即,整理得,即,而不恒為0,所以.故選:B4.設,,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質將三個值化簡,再利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷即得.【詳解】由,,,因是增函數(shù),故.故選:C.5.某地的中學生中有的同學愛好滑冰,的同學愛好滑雪,的同學愛好滑冰或愛好滑雪,在該地的中學生中隨機調查一位同學,若該同學愛好滑雪,則該同學也愛好滑冰的概率為()A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意,設某人愛好滑冰為事件,某人愛好滑雪為事件,由古典概型公式求出和,進而由條件概率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,在該地的中學生中隨機調查一位同學,設選出的同學愛好滑冰為事件,選出的同學愛好滑雪為事件,由于中學生中有的同學愛好滑冰,的同學愛好滑雪,的同學愛好滑冰或愛好滑雪,則,而同時愛好兩個項目的占,即,則該同學愛好滑該同學也愛好滑冰的概率為.故選:A.6.為了研究某班學生的腳長(單位厘米)和身高(單位厘米)的關系,從該班隨機抽取名學生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關關系,設其回歸直線方程為.已知,,.該班某學生的腳長為,據(jù)此估計其身高為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由已知,,故選C.7.若,,則的值是()A.3 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用指數(shù)式與對數(shù)式互化關系及對數(shù)換底公式及運算法則計算即得.詳解】由,得,而,所以.故選:A8.空間中有兩個不同的平面,和兩條不同的直線,,則下列說法中正確的是()A.若,,,則 B.若,,,則C.若,,,則 D.若,,,則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意,由直線與平面、平面與平面的位置關系分析選項可得答案.【詳解】對于A,若,,則或,又,所以,故A正確;對于B,若,,則或,由,則與斜交、垂直、平行均有可能,故B錯誤;對于C,若,,則或,由,則與相交、平行、異面均有可能,故C錯誤;對于D,若,,則或,又,則或,故D錯誤.故選:A.9.設函數(shù)在區(qū)間單調遞減,則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調性,判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在上單調遞減,函數(shù)在R上單調遞增,因此函數(shù)的單調遞減區(qū)間是,而函數(shù)在區(qū)間0,1單調遞減,則,即,解得,所以a的取值范圍是.故選:D10.某疾病預防中心隨機調查了339名50歲以上的公民,研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系,調查數(shù)據(jù)如下表:不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計134205339假設:患慢性氣管炎與吸煙沒有關系,即它們相互獨立.通過計算統(tǒng)計量,得,根據(jù)分布概率表:,,,.給出下列3個命題,其中正確的個數(shù)是()①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于;②有把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關;③分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平,小概率事件一般認為不太可能發(fā)生.A.個 B.個 C.個 D.個【答案】D【解析】【分析】根據(jù),與臨界值表對照判斷.【詳解】解:因為,且,所以有的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關,即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于,故①②正確;分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平,小概率事件一般認為不太可能發(fā)生.故③正確;故選:D11.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,為底面直徑,,,點C在底面圓周上,且二面角為,則()A.該圓錐的側面積為 B.該圓錐的體積為C.的面積為 D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得底面半徑及高,由圓錐的體積公式判斷B,由側面積公式判斷B,設是的中點,連接,則是二面角的平面角,求出判斷D,再求出的面積判斷C.【詳解】依題意,,,所以,對于A,圓錐的側面積為,故A錯誤;對于B,圓錐的體積為,故B錯誤;對于D,設是的中點,連接,則,所以是二面角的平面角,則,所以,故,則,故D正確對于C,,所以,故C錯誤;故選:D第Ⅱ卷注意事項:1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應位置上.2.本卷共11小題,共95分.二.填空題:本大題共7小題,每小題5分,共35分.12.計算(i為虛數(shù)單位)的值為______.【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)的乘方運算計算即得.【詳解】.故答案為:13.二項式的展開式的常數(shù)項是___________.【答案】7【解析】【詳解】分析:先根據(jù)二項式展開式的通項公式寫出第r+1項,再根據(jù)項的次數(shù)為零解得r,代入即得結果.詳解:二項式的展開式的通項公式為,令得,故所求的常數(shù)項為點睛:求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)的值,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出特定項的系數(shù).14.某中學舉行數(shù)學解題比賽,其中7人的比賽成績分別為:70,97,85,90,98,73,95,則這7人成績的上四分位數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】將個數(shù)據(jù)從小到大排列為70,73,85,90,95,97,98,因為,所以這人成績的上四分位數(shù)是.故答案為:.15.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),,則______.【答案】0.6【解析】【分析】由題意知,,根據(jù)二項分布的概率、方差公式計算即可.【詳解】由題意知,該群體10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布,所以,所以或.

由,得,

即,所以,

所以,

故答案為:.【點睛】本題主要考查的是二項分布問題,根據(jù)二項分布求概率,再利用方差公式求解即可.16.已知正數(shù)x,實數(shù)y滿足,則的最小值為______.【答案】##0.75【解析】【分析】由已知條件可得,代入并利用基本不等式求解即得.【詳解】由正數(shù)x,實數(shù)y滿足,得,因此,當且僅當,即時取等號,所以當時,取得最小值.故答案為:17.在平行四邊形中,,,,若,設,,則可用,表示為__________;若點F為AD的中點,點P為線段BC上的動點,則的最小值為______.【答案】①.;②.##【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用向量線性運算求出;建立平面直角坐標系,利用數(shù)量積的坐標表示列式,再利用增函數(shù)求出最小值.【詳解】在中,由,得;由,得是矩形,以點為原點,直線分別為軸建立坐標系,則,設,,于是,當且僅當時取等號,所以的最小值為.故答案為:;18.曲線與在上有兩個不同的交點,則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】將函數(shù)轉化為方程,令,分離參數(shù),構造新函數(shù)結合導數(shù)求得單調區(qū)間,畫出大致圖形數(shù)形結合即可求解.【詳解】令,即,令則,令得,當x∈0,1時,,單調遞減,當x∈1,+∞時,,單調遞增,,因為曲線與在0,+∞上有兩個不同的交點,所以等價于與有兩個交點,所以.故答案為:三、解答題:本大題共4小題,共60分、解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.19.在中,角A,B,C對應邊為a,b,c,其中.(1)若,且,求邊長c;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.(2)利用正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式求得正確答案.【小問1詳解】依題意,,由正弦定理得,即,,由于,所以,則,由正弦定理得.【小問2詳解】依題意,,由正弦定理得,由于,,所以,由于,所以為銳角,所以,則,,由正弦定理得,所以.20.如圖,在四棱錐中,底面(1)若在側棱上,且,證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)棱上取一點,使,證明四邊形是平行四邊形得到答案.(2)建立如圖所示空間直角坐標系,則平面的法向量為,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(1)在棱上取一點,使,,,則四邊形是平行四邊形,則.平面,平面,平面.(2)建立如圖所示空間直角坐標系,則,設平面的法向量為則,平面的一個法向量為,.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面平行,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21.已知函數(shù).(1)求的最小正周期和對稱軸方程;(2)若函數(shù)在存在零點,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為,對稱軸方程為(2)【解析】【分析】(1)化簡函數(shù),結合三角函數(shù)的圖象與性質,即可求解;(2)根據(jù)題意轉化為在上有解,根據(jù)時,得到,即可求解.【小問1詳解】解:對于函數(shù),所以函數(shù)的最小正周期為,令,解得,所以函數(shù)的對稱軸的方程為.【小問2詳解】解:因為函數(shù)在存在零點,即方程在上有解,當時,可得,可得,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍.22.已知函數(shù).(1)當時,求曲線y=fx在點(2)若函數(shù)在0,+∞單調遞增,求的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式,然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標,最后求解切線方程即可;(2)原問題即在區(qū)間上恒成立,整理變形可得在區(qū)間上恒成立,然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時,,則,據(jù)此可得,所以函數(shù)在處的切線方程為,即.【小問2詳解】由函數(shù)的解析式可得,滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令,則,令,原問題等價于在區(qū)間上恒成立,則,當時,由于,故,在區(qū)間上單調遞減,此時,不合題意;令,則,當,時,由于,所以在區(qū)間上單調遞增,即在區(qū)間上單調遞增,所以,在區(qū)間上單調遞增,,滿足題意.當時

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