高中數(shù)學(xué)真題與經(jīng)典題一題多解

困教篇

【試題1】(2016全國新課標(biāo)II卷理16)若直線y=Ax+b是曲線y=lnx+2的切線，也

是曲線y=ln(x+l)的切線，b=.

【標(biāo)準答案】1—ln2

解法一：設(shè)直線y=丘+6與曲線y=lnx+2和夕=ln(x+l)切點分別是(占,Inx1+2)和

(x2,ln(x2+1)).

1ir2

則切線分別為：y=—,x+lnX|+l,歹=——-x+ln(x2+l)-------

$x2+1x2+l

T_1

.玉x2+l

Inx,+1=ln(x2+1)---

解得玉=；x2="1

解得=InX,4-1=1-In2

解法二：設(shè)直線y=+b與曲線y=lnx+2和y=ln(x+l)切點分別是(%，乂)和

(%,力),

?.?曲線y=lnx+2通過向量(1,2)平移得到曲線y=ln(x+l)

(x2-xl,y2-y,)=(l,2)

1c1

.?.兩曲線公切線的斜率上=2,即一=2,所以b=ln—+1=1—M2

玉2

【試題2】【2015新課標(biāo)12題】設(shè)函數(shù)/(x)=e'(2x-l)-"+。，其中a<1,若存在唯一的

整數(shù)%,使得〃/)<0,則“的取值范圍是()

r3,、，33、333

A.[---,1)B(----,—)C.[一)D.[—,1)

2e2e42e42e

解法一:由題意可知存在唯一的整數(shù)與使得設(shè)

g(x)=ex(2x-1),h(x)-ax-a由g(x)=e'(2x+1),可知g(x)在(一,一1)上單調(diào)遞減,

2

在(-L+OO)上單調(diào)遞增，故

2

fM0)>g(0)3

得

2e

解法二:由題意/(x)<0可得，(2x—l)<a(x—1)

①當(dāng)x=l時，不成立；

「，令g(x)=沖，貝Ug，(x)=￡^^

②當(dāng)x>1時，a>

x-1x-\(x-1)

當(dāng)工￡(1，5)時，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)%￡(5，+8)時;g(x)單調(diào)遞增

所以g(x)mm=g(')=4e5,即a>4",與題目中的a<1矛盾，舍去。

xx

三W,??+eC2x-\)A/、e(2x-1)

③當(dāng)x<l時，a<-------,令g(x)==-------

x-1x-1

同理可得：當(dāng)工￡(-8,0)時，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)XE(0,1)時，g(x)單調(diào)遞減

所以g(x)max=g(°)=1，即〃<1，滿足題意。

又因為存在唯一的整數(shù)x0,則a2g(-l)=3

2e

此時

綜上所述，a的取值范圍是,1)

解法三：根據(jù)選項，可以采取特殊值代入驗證，從而甄別出正確答案。

當(dāng)a=0時，f(x)=ex(2x-l),f\x)=e'(2x+\),可知/(x)在(-8,-；)遞減，在(一;,+8)遞

增，又/(0)=-1<0,/(-1)=-3^'<0,不符合題意，故。=0不成立，排除答案A、B.

當(dāng)a=3時,/(x)=ex(2x-l)--x+-,/V)=^(2x+1)--,因為/(%)=/(21+1)-士為

44444

?1，

增函數(shù)，且尸(0)=1--=一>0,=-一<0,所以存在旦使得/'。)=0,

444

則/(X)在(—,/)遞減，在&+<?)遞增，又/(0)=-1+工<0,/(-l)=-3eT+萬>0,

/(l)=e>0,易判斷存在唯一的整數(shù)0,使得/(0)<0,故。=士成立，排除答案C.

4

解法四：x=0帶入/(x)中可以得到〃O)=a-l,由題意可知所以/(0)<0,滿足題

3

目中存在唯一的整數(shù)，使得/(%)<0,所以只需要得至lj_<a<\

Xo-2e

【試題3】(2016年全國I卷文科第12題)

若函數(shù)/(%)=》一；5吊2》+45m》在(一8,+8)單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

B.-1,-

3

12

解法一：函數(shù)/(x)=x-§sin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=1-3cos2X+QCOSX

由題意可得/'(x)20恒成立,

即為1——cos2x+acosx>0

3

54)

即有----cosx+tzcosx>0

33

設(shè)￡=cosx(-l</<1),即有5—4產(chǎn)+3at20,

當(dāng)/=0時，不等式顯然成立；

當(dāng)時，3a>4t-~,

t

由4/一』在(0J遞增，可得，=1時，取得最大值一1,

t

可得3aN-l,即a?-1；

3

當(dāng)一1W/V0時，3aW4f—2,

t

由47-；在［—1,0)遞增，可得f=—1時，取得最小值1,

可得3a21,即aW1.

3

綜上可得a的范圍是

故選：C.

12

解法二：函數(shù)/(x)=x-§sin2x+Qsinx的導(dǎo)數(shù)為f\x)=\--cos2x+acosx

由題意可得/'(x)20恒成立，

2

即為1——COS2X+QCOSX>0

54,

即有----cosx+acosx2020,

33

設(shè)/二cosx(-l<1),即有5-4t2+3公20,

由于二次函數(shù)g(7)=—4/+3〃+5(—14W1)的開口方向向上，

因此只需要[g°)wo

[g(7)W0

解得，即故選：c.

33

解法三：應(yīng)用結(jié)論“奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)”

由題可得,因為函數(shù)/(》)=丫-；5由2》+。5m》的定義域為(一8,+8)

且一/(%)=/(-%)，所以/(X)是奇函數(shù).

根據(jù)結(jié)論可得，/'(X)是偶函數(shù).

又因為函數(shù)/(x)=x--sin28+。5淪》在(-8,+8)單調(diào)遞增

則/'(%)20在(-8,+8)上恒成立

21

因而必須滿足了'(0)20=l-§cos0+acos020=42—耳

因而根據(jù)選項，只有C符合題意

故選C

【試題6】(2014年全國課標(biāo)1理科數(shù)學(xué)第11題)已知函數(shù)/*)="3_3/+1，若/(X)

存在唯一的零點％,且%>0,則。的取值范圍為

A.(2,+8)B.-2)C.(1,+8)D.(一8,-1)

解法一:求導(dǎo)得/'(%)=3"2-6x=3x(ox-2),若〃=0,則/(1)=一3一+1,不合題意，舍

7

去；若"0,令/")=0解得x=0或x=—。

當(dāng)a<0時，易知〃尤)在(v1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(0,+-)上單調(diào)遞減,

結(jié)合〃X)的圖像，只需有/(彳)>0,解得〃<-2。

當(dāng)°>0時，易知f(x)在(7,0)上單調(diào)遞增,由〃-1)=-°-2<0,/(0)=1>0,知/(x)

在(-1,0)上有零點，不合題意，舍去;

綜上所述，。的取值范圍為(-00,-2),選B。

14

解法二:由題意知，方程加-3d+1=0有唯一正根小,顯然則--^+-，令

XX

[=14(),等價于方程”=-戶+3.(fHO)有唯一正根，作出夕=-r+3/(f=0)的圖像,

X

數(shù)形結(jié)合，〃的取值范圍為(70,-2),選B。

4

解法三：取a=3,/(X)=3X3-3X2+1,檢驗知不合題意，排除A,C；取“=

A

32

/(X)=-1X-3X+1,檢驗知不合題意，排除D,故選B。

0,0<%<1

【試題7】：(2015江蘇高考13).已知函數(shù)/(x)=|lnx|,g(x)={,,,

則方程/(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為A.

解法1：：|/(x)+g(x)|=l=g(x)=±l—|lnx|,所以方程方程|/(x)+g(x)|=l實根的個

數(shù)即為曲線夕=g(x)和曲線y=±l-|lnx|的公共點個數(shù)之和。

曲線_V=g(x)和曲線y=l-|lnx|顯然有2個公共點,

g(l)=O>-l-|lnl|

又因為《，所以曲線y=g(x)和曲線y=-l—|lnx|也有2個公共點,

g(2)=-2<-l-|ln2|

如圖2所示

所以方程|/(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為4個。

解法2：：(1)當(dāng)0<xWl時，/(x)=|lnx|=-lnx,g(x)=O,原方程即為

-lnx+l=O=>x=-,所以當(dāng)0<xWl時，原方程有一個實根；

⑵當(dāng)1<XW2時，/(x)=lnx,g(x)=2-x2,原方程即為|lnx+2—=1

.,1

令F(x)=Inx+2-x2(1<x<2),F(x)=——2x<0,

x

所以尸(x)在xe(1,2]上單調(diào)遞減，得尸(x)e[ln2—2,l),得何1+2-引=1只有一個實

根。

(3)當(dāng)x>2時，/(x)=Inx,g(x)=x2-6,

2

原方程即為Rnx+x?-6]=1nInx+f=~iorlnx+x=5?

令6。)=1!1丫+》2在》6(2,+8)上單調(diào)遞增，所以G(x)e(ln2+4,+8),因此

\nx+x2=lorlnx+x2=5各有一個實根。

綜上，方程|〃＞）+8。）|=1實根的個數(shù)為4。

解法3：首先去掉絕對值符號，有

oo<x<1

-Inx0<x<1

/(x)=,g(x)=<2-x2l<x<2

Inxx>1

x2—6x>2

|-lnx|0<x<l

2

|/(x)+g(x)|=<|lnx+2-x|l<x<2

|lnx+x2-6|x>2

故對|/（X）+g（x）l=1，應(yīng)該分3種情況討論.

(1)0<%41時,有：|一111H=1=>工=1或工=0

（與xWl不符,舍去）；

e

(2)時，有：1nx+2-x]=l=>lnx=x2-1,or,lnx=x2-3

Inx=x?—1時，顯然x=1適合;

Inx=x2-3時，?.?x￡[1,2],/.InxG[0,In2],

/一3打一1』,而[0,ln2]c[-l,l]

如解圖，兩曲線y=》2-3與歹=lnx在區(qū)間[1,2]內(nèi)有1個交點;

y,

汩y=x2-3”

\°r

(3)x>2時，|lnx+x2-6|=l=>Inx=7-x2^clnx=5-x2

Vx>2,故前者有一解而后者無解.

綜上,原方程實根的個數(shù)為4.

【試題1](2012年重慶卷文科第12題)函數(shù)/(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù)，則實數(shù)

a=.

解法1：從偶函數(shù)的定義出發(fā)，并結(jié)合特殊值，這樣運算量很小，尤其對一些運算量較

大的問題特別有效.

偶函數(shù)=/(-%)=/(X)對任意R恒成立n/'(-?)=/(a)(aH0)

n0=2a(a-4)na=4.

解法2：因為函數(shù)/(x)=(x+a)(x-4)是二次函數(shù)且為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖像的對稱

軸是x=0,即x=—^^=0na=4.

2

解法3：從另一個角度來看待偶函數(shù)的圖像：既然圖像關(guān)于y軸對稱，說明該函數(shù)在

x=0處取得極值，因此x=0是該函數(shù)的極值點，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可得/(0)=0,即a=4.

解法4：自從將導(dǎo)數(shù)引入高中教材，使得我們可以站在更高、更寬的視野來處理問題，

同時導(dǎo)數(shù)作為一種強有力的工具，使得很多看似難以解決的問題得以輕松解答.我們知道在

可導(dǎo)的前提下，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為奇函數(shù)，因此

f(x)=/+(〃-4)X一4。為偶函數(shù)n/(x)=2x+(a-4)為奇函數(shù)(這是一次函數(shù))

=>/(x)=2x+(q-4)必為正比例函數(shù)。=4.

lx2-11

【試題1】(2012年高考數(shù)學(xué)天津卷(理科)14題)已知函數(shù)>；=J——^的圖像與

X—1

函數(shù)》=依一2的圖像恰有兩個交點，則實數(shù)%的取值范圍是

|^2-1||(x-l)(x+l)|

解法1：函數(shù)y

x-1X—1

xv-l時，y=x+l；當(dāng)一1<X<1時，歹=-x-l；當(dāng)X>1時，y=x+l.所以,

x+Lx<-1

—X—L—1<X<1.做出函數(shù)的圖像.

x+l,x>1

直線歹=b-2恒過定點(0,-2),要使兩函數(shù)圖像有兩個不同的交點，將直線

尸船-2繞點(0,-2)按逆時針方向從4旋轉(zhuǎn)到。的過程中滁。和4外，均滿足?

所以，實數(shù)攵的取值范圍是：0<4<1或1<左<4.

k2-l|「,

解法2：由題意可得，七1=丘一2有兩個不同實根，即丘-2)(》-1)有兩個非

1的實根，當(dāng)/一1>0,即XE(-OO,-1)U(L—)時，原方程即x+l=去一2,根為X二」一；

k-i

當(dāng)V-iwo,即xc[-Ll)時、原方程即一x-l=Ax-2,根為x=―-—.

k+\

3

W------

7^1左+1

-1>0可得，左w(0,i)U(L4).

一140

2"-a,x<1,

【試題1】(2015北京理科第14題)設(shè)函數(shù)/(x)=<

4(x-a)(x-2a),x..A.

①若a=1,則/(x)的最小值為；

②若/(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是o

解：①略；

②解法1：/(》)=2'-。在(-8,1)內(nèi)是增函數(shù)，

當(dāng)“<0時，/(x)=2'-a>0在(-8,1)內(nèi)恒成立，故無零點。

則/(x)=4(x—a)(x—2a)在口,+8)內(nèi)恰有兩個零點，故a>2a…1,無解；

當(dāng)0<。<2時，易知在(一8,1)內(nèi)有一個零點。

則/(刈=4(》一。)(工一2編在[1,+8)內(nèi)有且僅有一個零點，故2a…l>a,得;,，。<1；

當(dāng)?！?時，易知/(X)=2v—a在(—8,1)內(nèi)無零點。

則/(x)=4(x-a)(x-2a)在口,+8)內(nèi)恰有兩個零點，故2a>a龐l,a2。

綜上，實數(shù)a的取值范圍為!”。<1或。…2。

2

解法2：易知/(x)最多有三個零點log2。、a.2a.

log2a<l,log2a…1,

1

/(x)恰有兩個零點=或｛a,,A,<=>一〃<1或。...2。

2”

2a...1.2a..A.

所以aeg,l)U[2,+8)。

【試題1】2015年安徽卷文科第14題：在平面直角坐標(biāo)系X0中，若直線y=2a與函數(shù)

歹=,一4一1的圖像只有一個交點，則a的值為。

解法1：直線y=2。與函數(shù)y=|x-a|-l的圖像只有一個交點，等價于方程|x-a|=2a+l

有且僅有一個實根，顯然2a+1=0,即a=-，符合題意。

2

解法2：由題意，,一4一1=2。只有一個根，即上一4=2。+1,所以x-a=±(2a+l),

解得x=3a+l或％=-。一1,因為只有一個根，所以3。+1=-。-1,解得&=一,。

2

解法3：同解法2得到：,一。|=2“+1,即(x—a>=(2a+l)2只有一個根，即

x2-2ax-3a2-4a-l=0,A=(2a)2-4(-3a2-4a-1)=0,解得。=一；。

解法4：在同一坐標(biāo)系下分別作出函數(shù)丁=上一4一1和y=2a的大致圖像(圖1)。

可以看出，要使直線丁=2。與函數(shù)y=|x-a|-l的圖像只有一個交點，則必須滿

足2。=一1,解得。=一,。

2

【試題1】2015年安徽卷理科第15題：設(shè)》3+辦+6=0,其中。、b均為實數(shù)，下列條

件中，使得該三次方程僅有一個實根的是。(寫出所有正確條件的編號)

①、a=—3,b=—3；②、a=—3,b=2；③、a=—3,Z?>2；④、a=0,b=2；⑤、

a=1,力=20

解法1：令/(x)=x，+ax+b,求導(dǎo)得/”(x)=3x?+a。

當(dāng)a20時，f\x)>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增，且x-時，/(x)-?-oo;

X—>+8時，/(x)—>+8。所以/(x)=/+狽+8必有一個零點，即方程x，+ax+b=0

僅有一個實根，故④⑤正確;

若“<0,由三次函數(shù)圖像特點，/(x)在(一8,--9及(+8)上是增函數(shù)，在

上是減函數(shù)。

要使/(x)在衣上只有一個零點，則只需三)3+。(小一三)+6>0和

"(Mmax=(一/守+/一J—f+b<0有一個成立即可。

故①③正確，于是填①③④⑤。

【試題1】(2012年浙江卷理科第17題)設(shè)。eR,若x>0時均有[(0一1?-1](》2—中

—1)>0,則4=.

解法1：當(dāng)a=l時，y=(a-l)x—l=-l,不合題意,

故awl.因為一次函數(shù)

y=(a-l)x-l和二次函數(shù)歹-ax-l的圖象均過定

點(0,-1),如圖，當(dāng)尤>0時均有[(。-l)x—1](x之一ax一

1)>0,所以這兩個函數(shù)的圖象在y軸的右邊且同時在x軸

的上方或同時在x軸的下方，因為M(—,0)在乃=3

a-1

—l)x—1上，所以函數(shù)yi=x2—ax-\的圖象一定也過點M(」一，0),代入得

47-1

2③

——-——1=0,解得。=—(舍去。=0).

a-12

賞析1：此解法的優(yōu)美之處在于把一個一元高次不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象來解決,

使解題過程運算簡單，思路簡捷，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的強大魅力。

賞析2：不等式問題涉及到恒成立方面的知識，數(shù)形結(jié)合，簡潔明快.

賞析3：把握動函數(shù)圖象過定點，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，且它們的函數(shù)

值同號進行解題.

賞析4：把握不等式的特點：一個一次函數(shù)與一個二次函數(shù)的函數(shù)值同號。結(jié)合函數(shù)圖

像，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的另一個交點在x軸上的問題進行求解。

解法2：設(shè)/(x)=[(a—l)x—1](》2一?！芬?)(x〉0),由/(1)20且/(2)20,

31,1

檢驗，當(dāng)a=Q,x＞0時，/(x)=](x—2)~(x+5)20成立。

賞析1：試題內(nèi)涵豐富，考查函數(shù)性質(zhì)和不等式的綜合運用，突出了思維的靈活性與廣

闊性，體現(xiàn)了特殊性存在于一般性之中的哲學(xué)思想，體現(xiàn)了“多考點想，少考點算”的命題理

念。

賞析2：解填空題不妨試試特殊值法。

賞析3：恒成立問題中求參數(shù)的值，取特殊值也是一個好方法.

解法3：[(a-l)x-l](x2-ax-\)~(ax-x-1)(-ax+x2-1)

20在》＞0時均成立,

x2-\

《0在工〉0時均成立.

x~~1x+1x~-x-2(x-2)(x+1)

/—]r4-1X2-1x4-1

當(dāng)0<xW2時，因為^~所以^~■，又因為當(dāng)0<xW2時

丫2_]1_i_11

不等式恒成立，考慮到/(x)=^-^=x—士在(0,2]上單調(diào)遞增，g(x)=」Y=l+上在

XXXX

(0,2]上單調(diào)遞減，又/⑴皿=/⑵=牙g(x)min=g(2)=-,所以/WaW,,得到

3

2,

丫2—]X4-1X4-12_1

當(dāng)xN2時，因為^—所以＞r~當(dāng)xN2時恒成立，考慮

XXXX

_11I11

到/(x)=-----=x——在［2,+8)上單調(diào)遞增，g(x)=--r---=1+—在【2,+<>。)上單調(diào)遞

XXXX

減，又/(x)min=/'⑵=?所以羨W4W：，得到

3

綜上可知：a=±符合題意。

2

賞析1：分離參數(shù)法是求參數(shù)問題的一般性方法(不等式問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解).

解法4：結(jié)合三次函數(shù)的圖象，由韋達定理得出/一如-1=0對應(yīng)的

兩根為一正一負。當(dāng)a=\時代入顯然不成立，因此對應(yīng)方程的第三根是

x=」一，要使對x>0均有關(guān)于x的一元三次函數(shù)值非負，又/(0)=1>0,

47-1

對應(yīng)函數(shù)只能是如右圖的圖象，即要求且對應(yīng)方程的第三根與前

面一元二次方程的正根是重根。將第三根x=」一代入二次方程1=0,解得滿足

a—1

條件的a=2(舍去〃=0)。

2

賞析1：幾何對代數(shù)的輔助作用，代數(shù)對幾何的確定作用。涉及函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)

合思想，分類討論思想。

賞析2：函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了“多考點想，少考點算”的命

題理念。

【試題1)2015年湖南高考文科第14題

【題目】若函數(shù)/(%)=,一2卜力有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是.

【基本解法11由函數(shù)/(%)=|2'-2卜6有兩個零點，可得方程,-2|=b有兩個解，則

函數(shù)y=|2V-2|與函數(shù)y=b的圖像有兩個交點，結(jié)合圖像可得6的取值范圍是(0,2).

［基本解法2】由函數(shù)/(x)=12'-2卜6有兩個零點，

可知方程|2、一2卜6=0有兩個相異的根.

原方程可轉(zhuǎn)化為|(2'—2>-〃=0|(6>0),

令1=2%/>0),則方程可轉(zhuǎn)化為「一4f+4—〃=0。>0,b>0).

b>0,

要使該方程有兩個相異的根，則6應(yīng)滿足如下條件，0-4x0+4-62>0,

解得0<b<2.

因此6的取值范圍是(0,2).

【試題1】2015年湖北文科第17題：。為實數(shù)，函數(shù)/(%)=卜2一儀|在區(qū)間［0,1］上的最

大值為g(a)，當(dāng)。=時g(a)的值最小。

解法1：當(dāng)。=0時，/(x)=x2在［0,1］上的最大值為g(a)=l；

當(dāng)a<0時,/(功=》2一ox在［0J上單調(diào)遞增,故g5)=/(l)=l一=此時g(a)>l；

當(dāng)。>0時，/(x)=,—聞在(_8,0)上遞減，(0卷)上遞增，年。)上遞減，(/一)上

遞增。

(1)、若iw］，即時，g(a)=y⑴=|1-4=。-1,此時g(a)21；

(2)、若即14。<2時，g(a)=/(^)=y.此時;Wg(a)<l；

⑶、若0ygg⑷…“(|)J⑴卜m“小一”

當(dāng)］21一。，即一2+2&《。<1時，g(q)=?,此時3—2&Wg(a)<；；

當(dāng)幺<l-a,即0<。<一2+2>/^時，g(a)=l-a,此時3-2近<g(o)<1；

4

綜上，g⑷>3—2g,當(dāng)且僅當(dāng)a=—2+2行時取等號。即當(dāng)a=—2+2加時，g⑷的

值最小。

解法2、因為函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸交點為(0,0),(a,0),函數(shù)〃(x)=x2-分的圖像

的對稱軸為x=|,所以當(dāng)aWO或。22時，/(x)在［0,1］上是增函數(shù)，

g(a)=g(l)=|l-a|?

,2

當(dāng)0<Q<2時，g(a)=max=max

1-a,。<2V2—2

2

綜上，g(a)=<—,2V2-2<a<2

4

a-\,a>2

當(dāng)a<2V2—2時；g(。)—g(2\f^-2)=3—2V2；

當(dāng)28-2<a<2時，g(a)>g(20-2)=3-20；

當(dāng)a22時，g(a)>g(2)=1=3—2亞?

所以，當(dāng)。=2近一211寸，g(a)有最小值3—2血。

解法3：依題意g(a)=max[/⑴,/('|■)}=max<|1-a],(>。

2

在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)g(a)=|l-4和g(a)=》(圖2)。

由土=1—。，得。=2血一2。故當(dāng)。=2行一2時，即圖像中的Z點處，g(a)取最小值

4

3-25/2o

[0,0<x<1

【試題1】(2015江蘇13)已知函數(shù)/(x)=|lnx|,g(x)=(？，則方程

|x-4|-2,x>l

I/(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為▲.

解法一："(x)+g(x)|=l=g(x)=±l—|lnx],所以方程方程|/'(幻+8(切=1實根的個

數(shù)即為曲線y=g(x)和曲線y=±l-|lnx|的公共點個數(shù)之和.

曲線y=g(x)和曲線y=l-|lnx|顯然有2個公共點,

g(D=0>-l-|lnl|?,

又因為《(2)2<?|j2|,所以曲線V=g(x)和曲線y=-l—|lnx|也有2個公共點,

如圖2所示

所以方程|/(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為4個.

解法2：(1)當(dāng)0<xWl時，/(x)=|lnx|=—lnx,g(x)=O,原方程即為

—lnx+l=O=x=‘，所以當(dāng)0<xWl時，原方程有一個實根;

e

(2)當(dāng)l<x<2時，/(x)=lnx,g(x)=2-x2,原方程即為|卜工+2-工2卜1

.,1

令F(x)=Inx+2-x2(1<x<2),F(x)=——2x<0,

x

所以/(x)在xe(1,2]上單調(diào)遞減，得f(x)e[ln2-2,1),得弧1+2-q=1只有一個實

(3)當(dāng)x>2時，/(x)=lnx,g(x)=x2—6,

原方程即為pnx+x?一61=1nInx+x?=lorlnx+x2=5.

令G(x)=Inx+x?在xe(2,+8)上單調(diào)遞增,所以G(x)e(ln2+4,+<?),因此

lnx+x2=lorlnx+x2=5各有一個實根.

綜上,方程|/(》)+8(切=1實根的個數(shù)為4.

00<x<l

【試題1】已知函數(shù)/(x)=|lnx|,g(x)=?

x2-4-2x>1

則方程(x)+g⑹=1實根的個數(shù)為

【解析】首先去掉絕對值符號，有

0o<x<\

-Inx0<x<l

=<g(x)=<2-J1cx<2

/WInxx>1

,x2-x>2

xl0<x<l

|/1(x)+g(x)|=<|lnx+2—x2|1<x<2

|lnx+x2-6|x>2

故對|./'(x)+g(x)卜1，應(yīng)該分3種情況討論.

(1)CKxWl時，有：lnx|=l=>x=—或x=(與xWl不符,舍去)；

e

(2)l〈xW2時，有：|lnx+2-x2|=l^lnx儲—Inx=-3

Inx=x2—1時，顯然x=l適合；

lnx=x2—3時，?.,x€Inxw[0,In2],

x2—3G[—1,1],TFn[0,In2]cz[—1,1]

如解圖,兩曲線y=、2-3與歹二111%在

區(qū)間［1,2］內(nèi)有1個交點；

(3)x>2時，|lnx+f-6|=l

=>Inx=7-X?或Inx=5-%2

Vx>2,故前者有一解而后者無解.

綜上,原方程實根的個數(shù)為4.

【試題1】2015年陜西理15設(shè)曲線y=e"在點(0,1)處的切線與曲線y=’(x>0)上點尸處

x

的切線垂直，則。的坐標(biāo)為.

解法1：因為_y=e1所以y=e*,所以曲線歹=e*在點(0,1)處的切線的斜率

勺=yLo=e0=1.設(shè)尸的坐標(biāo)為(x°jo)(%>0),則打=-!-,因為y=,，所以

x0X

y，=—二，故曲線y=L在點P處的切線的斜率左2=引門=一二.因此匕?左2=-1，所

10

XXx0

以一二=一1,即x：=l,解得/=±1.因為/>0,所以x0=l,得％=1，故P點的

X。

坐標(biāo)是(1,1).

解法2：易知曲線歹=/在點(0,1)處的切線方程為y=x+l,將反比例函數(shù)轉(zhuǎn)換成等軸雙

曲線，即將y=x當(dāng)作x軸(原點不變，第一象限部分為正半軸)，則曲線y='(x>0)轉(zhuǎn)

X

換為/一；？=2(x>0),切線y=x+l轉(zhuǎn)換為歹=?,與其垂直的直線的斜率不存在，

且要與雙曲線-=2(x>0)相切，符合條件的切線應(yīng)為x=正.

所以尸在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(、歷,0),還原到原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1,1).

[+X

【試題1】2015年北京理科第18題己知函數(shù)/(x)=ln-.

1-x

(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(H)求證：當(dāng)xe(0,l)時，/*)>21+牙)

(III)設(shè)實數(shù)左使得/(》)>左(》+上)對xw(0,l)恒成立，求左的最大值.

1V*2

解：(I)/(x)=ln-—,xe(-1,1),/(%)=--r，r(0)=2,/(0)=0,

l-xl-x

所以切線方程為y=2x.

1+X

(II)解法1：當(dāng)x￡(0,1)時，f(x)=In---=ln(l+x)—ln(l-x)

l-x

X3.X2X3x2x\

而2a+§)=(zx__^+"7x_zf__2---3~

x2x3

記加(x)=ln(l4-x)，n(x)=x-----+—

23

x

要證”X)>2(X+T),只需證明掰⑶一皿一X)>〃(X)-“(T)

2

xd

記A/(x)=m(x)-〃(x)=ln(l+x)-(x-3+§),A/(0)-0

222

]xxx

因為當(dāng)X€(—1,1)時，M\x)=--—(l-x+—)=————>0

1+x21+x2

所以M(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.

當(dāng)xw(—1,0)時，Af(x)<A/(0)=0；當(dāng)xw(0,1)時，M(x)>M(0)=0.

當(dāng)xw(0,1)時，m(x)>M(X),m(—x)<n(-x),

x

即當(dāng)xe(0,1)時，/(》)>2*+5)恒成立.

(H)解法2:⑵原命題等價于小(。』)人)-2。+?。

[+t/丫'

設(shè)函數(shù)尸(x)=ln——2(x+J)=ln(l+x)-ln(l-x)—2(x+=)

1-x33

2r4

F'(x)=——7,when,xe(0,1),F\x)>0

\—x~

故廠(x)在xe(0,1)單調(diào)遞增的，F(xiàn)(x)>F(0)=0

因此，當(dāng)xe(0,1)時，/(x)>2(x+y)

x3

(III)解法1由(II)知當(dāng)xe(0,1)時，/(x)>2(x+y)

x3x3

故當(dāng)AW2時，/(x)>2(x+\)2/x+女)成立；

X，1+X

當(dāng)左>2時，另g(x)=/(x)—儀X+上)二111"!~^一女(%+上)，g(0)=0

31-x3

22-左(1一/)

2

因為g'(x)=^—T-K\+X)=

l-x1-x2

l-|e(O,l).

另g'(x)=0,解得x=力

當(dāng)xe(O,j-/)時，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時，g(x)單調(diào)遞增.

故當(dāng)—時,g(x)<g(O)=O,與g(x)>0對xw(O,l)恒成立矛盾.

綜上所述，可知左42,故左的最大值為2.

Y

解法2因為/(x)>2(%+可)對X￡(0,1)恒成立

11+X

In----

=左<匕對Xe(0,1)恒成立

X

X---

3

.ln(l4-x)—ln(l—x),1、卜一井一

=k<-----——?-----對x€(/0A,1)怛成乂，

x

X4---

3

令〃(x)Jn(l+￡.)Tn(l二),xe(0,l)

X

XH---

3

則左

r3

2(x4---)—(1—x4)[ln(l4-x)—ln(l—x)]

因為h\x)=-------------------------------------

(》+1)“1-彳了

另例x)=2(x+y)-(l-x4)[ln(l+x)-ln(l-x)],則(p(x｝與h\x)同號

又(p\x)=4x3[ln(l+x)-ln(l-x)]>0,所以l(x)>0

函數(shù)力(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

1_____1_

所以M(x)]->/?(O)=limln(l+qT：(D=iim]+x1(洛必達法則)

2

L"mmXTO/10J+X

XH---

3

所以上的最大值為2.

x2x3

解法3記m(x)=ln(l+x),n(x)=x---+—

26

x3

當(dāng)xw(0,1)時，/(%)>2。+上)恒成立

k

Q當(dāng)(0,1)時，/n(x)>—；7(x).

kkx2r3

記N(x)=m(x)--n(x)=ln(l+x)一一(x——+—),N(0)=0,則

2226

1kr2

N，(x)=-------(1—XH---)

1+x22

11kX2

當(dāng)％W0時，X6(0,1)=>----G(—,1),—(1—Xd---)>0=>N\x)>0

1+x222

所以N(x)>N(0)=0滿足題意.

(l--)+-x2(l-x)

當(dāng)0〈人W2時，X€(O,1)=M(x)=——2_4-------->0

1+x

所以N(x)>N(O)=O滿足題意.

當(dāng)人>2時，因為N'(0)=1-1<0,所以存在(OJ)c(0,1)使得N(x)在(0,。上單調(diào)遞減,

所以xe(0,。時,N(x)<N(0)=0不滿足題意.

綜上，左€(-,2],即左的最大值為2.

【試題1】2015年湖北文科第21題設(shè)函數(shù)“X)、g(x)的定義域均為R,且〃x)是奇

函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，/(x)+g(x)=e"，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)。

(I)求〃x),g(x)的解析式,并證明：當(dāng)x>