福建省龍巖市某校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025屆高三開學(xué)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（

）A．－1 B．0 C． D．12．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．43．從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A． B． C． D．4．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．5．若在是減函數(shù)，則的最大值是()A． B． C． D．6．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．28．已知a，bR且ab≠0，對(duì)于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（

）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>0二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分.9．已知四邊形ABCD為等腰梯形，，l為空間內(nèi)的一條直線，且平面ABCD，則下列說法正確的是（

）A．若，則平面ABCDB．若，則C．若，，則平面ABCDD．若，，則平面ABCD10．定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．單調(diào)遞增11．設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，記集合若{S}，{T}分別為集合S，T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能的是（）A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=3D．{S}=2且{T}=2三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分12．不等式的解集是13．曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)處的切線方程為________14．如圖所示，函數(shù)的圖象由兩條射線和三條線段組成.若，，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15．一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為50%，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．16.已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．17.如圖,在錐體中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)，(1)證明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P-AD-B的余弦值.18:當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以．．為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求，，，，，這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）將，，，，，這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)19．通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)看作一個(gè)向量，記，則稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運(yùn)算法則，對(duì)于，，、、、、，我們有如下運(yùn)算法則：①；

②；③；

④.（1）設(shè)，，求和.（2）由平面向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，我們類比得到復(fù)向量的相關(guān)結(jié)論：①②

③.試判斷這三個(gè)結(jié)論是否正確，并對(duì)正確的結(jié)論予以證明.（3）若，集合，.對(duì)于任意的，求出滿足條件的，并將此時(shí)的記為，證明對(duì)任意的，不等式恒成立.根據(jù)對(duì)上述問題的解答過程，試寫出一個(gè)一般性的命題（不需要證明）.龍巖一中2025屆高三開學(xué)考數(shù)學(xué)試題參考答案DBBDABDC9:AC10:BCD11:ABD12:13:14:15：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B，:第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，X400500800P第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.(2)X的可能取值為400，500，800，并且∴X的分布列為P(X＝400)＝1－，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝＝，EX＝400×＋500×＋800×＝506.25答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)16：（1）的定義域?yàn)?，，則，解得：，故．易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，由解得：；由解得：，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮法當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的最小值點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，.因此，當(dāng)時(shí)，.［方法二］：【通性通法】隱零點(diǎn)討論因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以．設(shè)，則．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．［方法三］：分離參數(shù)求最值要證時(shí)，即，則證成立．令，則．令，則，由知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．所以，而，所以恒成立，原命題得證．［方法四］：隱零點(diǎn)討論＋基本不等式，結(jié)合與的圖像，可知有唯一實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，則．易知在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．所以．由，得．．17：（1）取的中點(diǎn)，連接，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，得，且，，，且，∵，平面，平面分別是的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，∴，∵平面DEF，平面DEF，∴PB平面DEF，同理可證：OB平面DEF，∵，平面平面，平面；（2）由（1）知：∠POB為二面角P-AD-B的平面角，又PB=2，所以，即二面角P-AD-B的余弦值為18：:（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（2）因?yàn)椋?，，即，，于是根?jù)函數(shù)、、在定義域上單調(diào)遞增，所以，，故這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中，由及（1）的結(jié)論得，即，由得，所以，由得，所以，綜上，6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分（3）由（2）知，，，又由（2）知，，故只需比較與和與的大小，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，在上式中，令，又，則，即得①由①得，，即，亦即，所以，又由①得，，即，所以，綜上所述，，即6個(gè)數(shù)從小到大的順序?yàn)?，，，，?19：【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，?）設(shè)，，，、、、、、、，則，，故①不成立，，，，，因?yàn)?，，所?/p>