線性代數(shù)題庫

線性代數(shù)試題庫

一、判斷題

1、排列123為偶排列。

2、排列3412是一個偶排列。

3、一階行列式卜3|=3。)

00a

4、0b0=abc。()

c00

5、3階行列式的展開式為6項的代數(shù)和。()

23]^^21^^31

6、若。=a22a23，則行列式。12a22〃32二一。。()

“31”32033”13”23“33

—(

7、—6Z21—42^23=—〃21%2〃23°)

〃31〃32133〃31。32〃33

8、〃階行列式。中某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘

積之和等于零。（）

9、￡）=|a（＞|3x3,4為囪的代數(shù)余子式，則+012A22+43&S=°。（）

a+xb+yahxy

10、+

ddd

23、

2-n

11、091不存在。()

(042J

112J

12、任何方陣都有逆矩陣。()

11

13、（M）-=kA-（其中左為非零常數(shù)）。()

100

0103

14、矩陣為階梯形矩陣。()

00300

1°0000J

15、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。()

16、對于〃階矩陣A,若廠網(wǎng)）再，則A是可逆矩陣。)

17、若矩陣A的秩為r，則矩陣A的所有廠-1階子式均非零。（）

18、若42=0,則A=0。（）

19、如果行列式中有兩行（歹！J）的對應(yīng)元素成比例,那么這個行列式的值為零。（）

20、向量組中有零向量，則該向量組必線性相關(guān)。（）

21、若向量組%,%,，%線性相關(guān)，則其中每一個向量均可由其余的向量線性表示。

（）

22、若向量組%,%,,%線性相關(guān)，則對任何一組不全為零的數(shù)缸內(nèi)，，4,都有

k1al+k2a2++ksas=0o（）

23、向量組%=（123＞，%=（36線性相關(guān)。（）

24、若a/0,則a線性無關(guān)。（）

25、設(shè)&]=（[。0）,%=（0,1,0）,則力=（1,0,2）不能由4,4線性表示。（）

26、若自是線性方程組Ax=8的一個解，〃是相應(yīng)的齊次線性方程組如c=0的解，則

J+〃是線性方程組Ax=b的一個解。)

27、齊次線性方程組Ax=0一定有非零解。(

28、若）,則線性方程組Ac=無解。（)

二、選擇題

1、排列32514的逆序數(shù)為（）o

(A)5(B)4(C)0(D)3

左一11

2、行列式。二的充分必要條件是（）o

2k

(A)kw—1(B)k手2(C)左w—1且左w2(D)左二—1或左。2

k21

3、行列式。=2k0=0的充分必要條件是（）o

1-11

(A)k=—2(B)k=0(C)k=3或卜=—2(D)k=—3

Cly?Oy2^/^]2^Z]22^^i3

)o

4、如果。=tz21a21a23—M0,Dx二2%12cl222。23,那么。1=(

“31”320332%2a322a33

(A)2M(B)-2M(C)8M(D)-8M

j2d-y37^^3]7a327〃33

5、如行列式〃21。22%3=d,則3〃21361^22363^23()0

%]a32133—4i~a12~ai3

(A)—7d(B)21d(C)-2W(D)-3d

6、如果

]ciy2?3

4^?2]^^22^^212^?23

D=6^2]^^22^^23=1,Dx=,那么2=()o

C^3]^^32^^334^/31^^>32^^3]2^^33

(A)4(B)-4(C)8(D)2

7、設(shè)4是行列式。中元素4G"=l,2,,〃)的代數(shù)余子式，當(dāng)iwj時，下列各式

錯誤的是()o

(A)D=aiiAjl+aj2Aj2++ajnAjn(B)D=%&+%。+

(C)Z>=%Aj++anj\j(D)qiAji+&Aj2+=0

3x+ky-z=Q

8、已知齊次線性方程組［4y+z=0有非零解，貝ij()o

kx-5y-z-0

(A)k=0；(B)k=1；

(C)上=—1或左=—3；(D)k=3

「46、/135、_

9、已知A=,B=，下列運算可行的是()

U-2j1246jo

(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)AB-BA

10、如果已知矩陣4,X",Bnxm(m^n),則下列()運算結(jié)果為7篦階矩陣。

(A)AB；(B)BA；(C)(BA)r；(D)ArBr

11、對于向量組A:%,4,,am,因為0%+04++0?m=0,所以向量組

A;a1,a2,,q,是()。

(A)全為零向量；(B)線形相關(guān)；

(C)線性無關(guān)；(D)任意

2%；+尤2+演=0

12、線性方程組<菁+2%=0,當(dāng)；1=()時，齊次線性方程組有非零解。

(2+1)%1+%3=0

(A)-l(B)l(C)-2(D)2

13、5元線性方程組Ax=0只有零解，則秩廠(A)=()。

(A)2(B)7(C)5(D)無法確定

14、已知年,%,彷是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系還可以是

()o

(A)匕7+左2〃2+&〃3(B)7+%772+773,%+q

(C)7—〃2，〃2一"3(D)如7—%+7，%—%

15、設(shè)X。是線性方程組Ar=0的解，X1是線性方程組Ax=6的解，則()成

立。

(A)X。+2X1是線性方程組Ax=0的解;(B)乂0+乂是線性方程組土=6的解；

(C)X。-H是線性方程組Ax=O的解;(D)X0—2X］是線性方程組Ax=A的解

1a2、

16、若線性方程組Ax=b的增廣矩陣為,則當(dāng)a=()時，線性方

214,

程組Ax=b有無窮多解。

1

(A)5(B)1(C)2(D)4

三、填空題

1、排列31425的逆序數(shù)為

259

2、037

004

1000

0200

3、

0030

0004

207

4、013

004

105-4

15-9613

5、四階行列式元素為2的代數(shù)余子式

-23127

10-14811

-334

6、行列式513中元素2的代數(shù)余子式為

2-21

a000

0"0°的所有代數(shù)余子式之和為

7、行列式r>=

00c0

000J

a-b-1](1-1、

8、設(shè)52=52,貝！Ja-,b=______

、23Jya+b3,

'100、

9、已知矩陣人=020

、003,

(\2、

10、矩陣A=的秩為

(3

"10114、

01103

11、矩陣。八，八的秩為

0010

、00000,

12、設(shè)矩陣A為3階矩陣，若已知兇=加，則修則=

"111、

13、已知A=211,且/'(4)=2,則。=

、32a+1,

14、設(shè)。，/，/是三維向量，且滿足3萬+2。一7=0,其中

a=0,￡=3,

則向量7=o

15、設(shè)a=(6「2j,分=(—1,2,4,3),且滿足20+3/=/，則向量

Y=。

16、已知a=(l,0,3,—1),#=(3,2,4,1),則2a+#=?

17、已知向量組4=(1,2,-1』，4=(2,0/,0),。3=(°，＜5,—2)的秩為2,則

(2\(\2、

18、已知X=是線性方程組Ax=6的解,其中A=，則匕=

0n31J

19、若線性方程組A%=b有解，且系數(shù)矩陣的秩為3,則增廣矩陣的秩為

石++%4=0

20、齊次線性方程組J玉-々=0的一個基礎(chǔ)解系是o

%3+%4=0

21、已知向量組/=(1,4,3尸,4=(2,匕—1尸,%=(—2,3,1/■線性相關(guān)，則上滿足.

四、計算題

1、計算下列行列式

12-4

(2)-221

-34-2

123123

(3)075(4)010；

002032

abc101

(5)cab；(6)211

bca321

2730-21

(7)-4-14-6(8)101

10-815310

1234

123

012

(9)234；

-1-10

341

120-5

111

(11)—111o

-1-11

2、利用二階、三階行列式解下列線性方程組。

3x+2y=1y=1

(1)\"

4x+3y=03x+5y=-9

再+%+%3=1

x2+2X3=0o

玉+2X2+%3=1

3、用克萊姆法則解下列線形方程組。

X]+2X2+4X3=1

⑴⑵〈5工1+x2+2X3=2o

3%1-x2+x3=0

4、計算下列矩陣的乘積.

(120、

1-2)(34、(143、

(1)⑵016

0-3。八24J5J、一212,

、3

5、求下列矩陣的逆矩陣

1Pqoo、

(1)012；(2)110；

1

、031?Jb

‘102、T-12、

(3)011；(4)01-1

、001,1-11，

6、利用矩陣的初等變換求解下列線形方程組。

再一元2+%3=12%+3%—3%-9

(1)(2)4%+2%+&=4；

3石+7%2+4冗3-19

%+々-%3=-]

(3)\2再-5X2+3X3=2o

7玉-7X2+2X3=1

7、求矩陣的秩。

22、p22、

(1)A=401(2)B=131；

44)

、012,

」2-rj11-22、

(3)341；(4)A=02-13

、012,、T011,

(1-12、「36}

8、已知矩陣4=，B=,而且3A+X=2B,求矩陣X。

(231JUo2J

0、

（12

9、已知A=,B=42，求AB,BA?

I。3ij

3b

’100、

10、設(shè)A=220求A*和A「二

、345,

11、設(shè)%=(ip%=(2,1,0)',%=(—L0,3)‘，〃=(L2,5)T,問/能否由4,

a2,火線性表示.若能，寫出表達(dá)式。

12、判斷向量組

的線性相關(guān)性。

13、證明題

（1）設(shè)向量組線性無關(guān)，且g=。1一。2，回=。2-。3，尸3=%-。1，證

明：向量組量,尾，網(wǎng)線性相關(guān)。

(2)設(shè)向量組名,％,。3線性無關(guān)，證明：向量組%+%，cc2+a3,(73+%線性無

關(guān)。

14、下列向量組是否線性相關(guān)？為什么？

r

(1)%=(2,—4,5)',a2=(7,9,—l),%=(O,。,。)？；

T

(2)生=(1,0,0)',tz2=(1,1,0),%=(1,1,1)'；

(3)%=(1,0,-1)',%=(-2,2,0)',%=(3,-5,2)，。

15、求向量組必=(1,4,3)7,%=(2,-3,-l)r,%=(—2,3,1)，的秩。

16、求向量組的一個極大無關(guān)組和秩?并將其余向量用這個極大無關(guān)組線性表示。

(1)a/=(L-1,0,l)r,%'=(2,-2,0,2)r,0,0,2)r,

rrr

<-(-37,1,0,11/,?5=(-l,1,1,0),4T=(—3,5,5,4)

(2)/=(1,-1,2,4)‘，%=(3,0,7,4)‘，%=(0,3,1,—8)，,%=(2,1,5,6)，,

%=(2,—2,4,8)7。

17、設(shè)%=(1,—2,4)7,%=(o,1,2『%=(-2,3,左「問

(1)左取何值時，a2,4線性相關(guān)？

(2)左取何值時，ax,%,見線性無關(guān)?

18、求齊次線性方程組的通解

x1+x2-x3-x4=0

()《

12%-5X2+3X3+2X4=0

7%1-7X2+3X3+/=0

3玉+4X2-7X3+X4=0

(2)<2再+々一6%3=0

一%+2X2+5X3+%=0

19、設(shè)線性方程組

玉+2X2+/=0

<+3X2+(〃+2)%3=0,

%!+ax2-2X3=0

當(dāng)，為何值時，方程組有非零解？并求出通解

20、設(shè)線性方程組

2x1-x2+x3=7

<-%]—2%2+%3=-1

5石-5X2+4X3=a

當(dāng)a取何值時，方程組有解？并求其解。

線性代數(shù)試題庫答案

一、判斷題

1、72、<3、x4、x5、Y6、x7、48、49、q10、x11、x

12、x13、x14、<15、弋16、q17、x18、x19、q20、421、x

22、x23、424、，25、Y26、Y27、x28、q

二、選擇題

1、A2、C3、C4、C5、B6、C7、A8、C9、C10、A

11、D12、A13、C14、B15、B16、A

三、填空題

15-4

1、32、243、244、85、-15613=-591

10811

34—

6、=57、bed+acd+abd.+abc8、

1322

100

9>0-010、211、312、-m413、a=l

2

14、915、；(—13,6,4,1)16、(5,2,10,-1)

⑶(11A

17>/—318、19、320、,--,—1,121、-3

⑶122)

四、計算題

1、計算下列行列式

43

(1)=20-21=-1

75

12-412-4

6-7

(2)-22106-7=-14

10-14

-34-2010-14

123

(3)075=14

002

123

10

(4)010=2

32

032

(5)

abca+b+cbc1b1b

cab=a+b+cab=(a+Z?+c)1ab=(a+6+c)0a-bb-c

bcaa+b+cca1ca0c-ba-c

=(<7+Z?+c)(a-5)(a-c)+(6-c)-

2730-21

(7)-4-14-6=0(8)101=-5

10-815310

123123123

(9)234—0-1-2=0-1-2=4

3410-2-800-4

123412341234

10120-2-2-20111

_—A

(10)-O

3-1-100-7-10-120-7-10-12

120-500-3-90013

123412341234

011101110111

=6二-6二-6=-24

00-3-500130013

001300-3—50004

111111

(11)-111022=4

-1-11002

x=2

2、⑴<，

[y=-4

玉二1

(3)<x2=0

入3二°

1

3

7

3、(1)j；

9

——

[-3

9

-6、"10627、

4、(1)⑵

、—6—15,、4-3

%08-3、

-120-166

(3)5

;30040-15

「60—83,

_2_P

1

-5-5

'100、

_1_2

5、(1)0(2)-110

-55

3、0TL

0

53

」0-2、,0-1-1、

(3)01-1；(4)131

、00LJ21,

22、<122、<122、’122、

7、(1)A=401?0-8-7012012

<01<012,<0一8一7)<00%

所以r(A)=3。

(122、‘122、

(2)A=131f01-1

(244,、°°o,

所以(4)=2。

(3)A=

所以廠(A)=3。

、

7

所以廠(A)=3。

(30、(\-12、31

8、X=2B-3A=2

u02J(231J1J

(\0、

(\2(63、

9、AB=42[15

37)

(°31J

0、(\2-0

fi2

BA=42-n414-2

03

339-2J

"1000、61000、

.*

10、A=-1050=--105o

10

2-42J2-42J

11、考慮線性方程組

石。

1+x2tz2+x3a3=/3,

即

%+2%-x3=1

=2.

由于系數(shù)行列式

12-1

D=010=3w0,

003

由克萊姆法則知，方程組有唯一解,其解為

4

々=2，x3=|

所以，尸可由%，%,火線性表示，且

c4c5

p——_OLy+2a2+—CC3.

12、設(shè)左］4+k2%++左3%=0，即

(1、，2、,3、9、

0+220+432。0

也即

&+2k2+3k3=0

2k§=0.

%+k>=0

由于該方程組的系數(shù)行列式

123

D=002=2#0,

110

所以線性方程組只有零解，即勺=內(nèi)=%=0,所以向量組線性無關(guān)。

14、(1)線性相關(guān)(提示：向量組中含有零向量)

(2)線性無關(guān)(3)線性相關(guān)

’12—2-2、2-2、

G-3勺勺+7乃

15、A=4-33fo-1111f01-1

d〔0

3-17)(00