高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè) 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

2020—2021學(xué)年度第二學(xué)期

高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)解答題專項(xiàng)訓(xùn)練

題組A

1.已知復(fù)數(shù)z=—"L0+—2"-15），（i是虛數(shù)單位）

（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

（3）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)加的值.

【答案】（1）m=5；（2）加且加w—3；（3）加=3或2.

/T?2—2m-]5—0

【解析】（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，則—，解得機(jī)=5；

“2+3/0

加2—2m—[5w0

（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，則，解得加。5且機(jī)w-3；

m^-3

m1-m—6=0

（3）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則,解得加=3或2.

m2—2m—15w0

2.設(shè)加，〃是兩個(gè)單位向量夾角為60。，若a=2m+n,b=-3m+In,

（1）求〃石;

⑵求。;

（3）求2與B夾角；

（4）求B在0的投影向量.

【答案】（1）;（2）不；（3）—；（4）.

【分析】

由已知得"="=1,加?幾=W"cos600=；.

（1）a?1=（2zn+（卜3/+2〃）展開(kāi)可得答案;

（2）忖=12m+“二J（2m+n）再展開(kāi)可得答案;.

（3）|S|=|-3m+2n|=^-3m+2nj展開(kāi)可得答案;

(4)由(3)得，B在々的投影為Wcos(￡.B)可得答案.

【解析】

由已知得同=問(wèn)=1,m-n=m-ncos600

2

（1）a-b=（2加+〃乂-3加+2"）=-6（加）+2（〃）+m?幾

=-6「+2c+l一xlx一1二——7.

_7

4^=二2L因?yàn)閮蓚€(gè)向量的夾角的范圍在［0,句,

3-HV7xV72

QTT

所以［與B夾角為

(4)由(3)得，人在。的投影向量為??

3.在△ABC中，角A,民C所對(duì)的邊分別為a,A,c.已知a=2后,b=5,c=屈.

(1)求角C的大小；

(2)求sinA的值；

(3)求sin(2A+：)的值.

【答案】(1)C=-.(2)其叵.(3)U亞.

41326

【解析】(1)解：在人45。中，由余弦定理及。=2應(yīng)力=5,c=屈，有

cosC=a”---=.又因?yàn)镃e(0,7t),所以C='.

lab24

(2)解：在AABC中，由正弦定理及C=；q=2應(yīng),c=,可得

4

.“asinC2岳

sinA=--------=--------.

c13

(3)解：由〃<c及sinA=^叵，可得cosA=J1-sir?A=,進(jìn)而

1313

[25

sin2A=2sinAcos=-—,cos2/1=2cos2A-l=一.所以，

1313

.兀).c”71c…兀12應(yīng)5017A/2

sin2A+—=sinzAcos一■Fcos2Asin—=—x-----1x=--------.

I4)4413213226

4.為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了100戶居民去年一年的

月均用電量，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50kW?h至350kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分

組后，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求a的值；

(II)求被調(diào)查用戶中，用電量大于250kW-h的戶數(shù)；

(III)為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計(jì)

劃采用階梯定價(jià)，希望使80%的居民繳費(fèi)在第一檔(費(fèi)用最低)，請(qǐng)給出第一檔

用電標(biāo)準(zhǔn)(單位：kW-h)的建議，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【答案】(I)0.006；(II)18；(III)245.5kW?h.

【解析】(1)因?yàn)?0.0024+0.0036+。+0.0044+0.0024+0.0012)x50=1,所以

a=0.006；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知：“用電量大于250kW?h”的頻率為

(0.0024+0.0012)x50=0.18,

所以用電量大于250kW?h的戶數(shù)為：100x0.18=18,

故用電量大于250kW?h有18戶；

(3)因?yàn)榍叭M的頻率和為：(0.0024+0.0036+0.006)x50=0.6<0.8,

前四組的頻率之和為(0.0024+0.0036+0.006+0.0044)x50=0.82>0.8,

所以頻率為0.8時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)在第四組，

所以第一檔用電標(biāo)準(zhǔn)為：200+W*5035.5kW?h.

故第一檔用電標(biāo)準(zhǔn)為245.5kW-h.

5.某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該

城市共享單車的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿意度

評(píng)分值(百分制)按照［50,60),［60,70),…,［90,100］分成5組，制成如圖所示頻

率分直方圖.

(1)求圖中x的值；

(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

(3)已知滿意度評(píng)分值在［50,60)內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2,若在滿意

度評(píng)分值為［50,60)的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.

【答案】⑴x=0.02；(2)平均數(shù)為77,中位數(shù)設(shè)為孚(3)

【解析】(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)x10=1,解得了=0.02.

(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77.

中位數(shù)設(shè)為加，則0.05+0.2+（加—70）x0.035=0.5,解得加=寧.

（3）滿意度評(píng)分值在［50,60）內(nèi)有100x0.005x10=5人，其中男生3人，女生2

人.記為人4,4,4,82,

記“滿意度評(píng)分值為［50,60）的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，恰有1名女生”為

事件A,

從5人中抽取2人有：4人,44，4與，AB2，44，4用，為與，

，AB,

32BXB2

所以總基本事件個(gè)數(shù)為10個(gè)，A包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，

所以外㈤二元.

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，R4_L平面2靦，底部ZA力為菱形，E為CD

的中點(diǎn).

（I）求證：物，平面PAC；

（II）若N加俏60°,求證：平面24AL平面孫氏

（III）棱陽(yáng)上是否存在點(diǎn)凡使得少〃平面用或說(shuō)明理由.

【答案】（I）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）存在，且為中點(diǎn)

【解析】（I）證明：因?yàn)橐?，平面ABC。，所以以，；

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以ACL5D；

因?yàn)镻AnAC=A,PAACu平面PAC,

所以3D，平面PAC.

（II）證明：因?yàn)榈酌?BCD是菱形且NABC=60。，所以AACD為正三角形,

所以AEJ_CE),

因?yàn)锳6//CD,所以AE，AB；

因?yàn)?4,平面ABC。，AEu平面ABC。，

所以AE，A4;

因?yàn)锽4nAB=A

所以AEL平面A43,

AEu平面Q4E,所以平面P45，平面Q4E.

(Ill)存在點(diǎn)歹為M中點(diǎn)時(shí)，滿足CF〃平面Q4E;理由如下:

分別取PB,PA的中點(diǎn)”G,連接CF,FGEG,

在三角形R4B中，F(xiàn)G//AB且FG=；A3；

在菱形ABC。中，E為CD中點(diǎn)，所以CE//A5且CE=g43,所以CE//FG且

CE=FG,即四邊形CEGF為平行四邊形，所以CFHEG；

又CF<Z平面￡Gu平面Q4E,所以CT7〃平面Q4E.

題組B

1.已知復(fù)數(shù)Z=2T,Q?為虛數(shù)單位).

(1)求復(fù)數(shù)z的模目；

(2)求復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)；

(3)若z是關(guān)于x的方程必一7nx+5=0一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)R的值.

【答案】（1）5（2）z=2+z;（3）777=4.

【分析】

(1)直接根據(jù)模長(zhǎng)的定義求解即可；

(2)實(shí)部相等，虛部相反即可；

(3)推導(dǎo)出(2—『)2—(2—。m+5=0,由此能求出實(shí)數(shù)R的值.

【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2—i；

故|z|=J2?+(-1)2=#)；

(2)z=2+i;

(3)...2是關(guān)于X的方程d-7nx+5=0一個(gè)虛根，

ft(2-z)2-m(2-z)+5=0^(8-2m)+(m-4)z=0；

因?yàn)橐詾閷?shí)數(shù)，所以m=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、共振復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)方

程的根，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知a,4c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中。=(1,2).

⑴若|c|=26,且c//a,求c的坐標(biāo)；

(2)若網(wǎng)=手，且魂+26與2.-5垂直，求a與。的夾角0.

【答案】⑴c=(2,4)或c=(-2,T)-

【解析】⑴設(shè)c=(x,y).

由c//a和|c|=2拓，可得廣一T°解得廠=：或廣;

，+;/=20[y=4[y=~4

故c=(2,4)或c=(-2,Y).

(2)?.?(a+2Z()±(2a-Z>),

.■.(a+2Z>)-(2a-Z>)=0,即2a2+3ab-2b2=0,

2x5+3a-Z>-2x—=0,整理得,

42

八ab1

COSu=-------=-I?

\a\\b\

又(9e[O,7i],，，=兀.

3.已知a*,c分別為A4BC內(nèi)角4氏。的對(duì)邊,且滿足62+02-合=1A,

sinC=2sinB.

(1)求cosA;

(2)若△ABC的周長(zhǎng)為6+J百，求AABC的面積.

【答案】⑴高⑵軍.

【解析】(I)因?yàn)?2+02一儲(chǔ)=3歷,

8

b2+c2-/5

所以cosA=

2bc16

(2)因?yàn)閟inC=2sinB,所以c=2Z?.

由余弦定理得"=b2+c2-2bccosA=—b2,則a=^^-b.

42

因?yàn)锳ABC的周長(zhǎng)為6+A，所以％+走6=6+爐，解得6=2

2

所以△ABC的面積為:xbxZbxJljA[

4.某城市100戶居民的月平均用水量(單位：噸)，以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)

[8,10)[10,12)口2,14)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中X的值；并估計(jì)出月平均用水量的眾數(shù).

(2)求月平均用水量的中位數(shù)及平均數(shù)；

(3)在月平均用水量為叵8),[8,10),[10,12),[12,14)的四組用戶中,用分層

抽樣的方法抽取22戶居民，則應(yīng)在口0,12)這一組的用戶中抽取多少戶？

(4)在第(3)問(wèn)抽取的樣本中，從口0/2)口2,14)這兩組中再隨機(jī)抽取2戶，

深入調(diào)查，則所抽取的兩戶不是來(lái)自同一個(gè)組的概率是多少？

2

【答案】(1)產(chǎn)0.075,7；(2)6.4,5.36；(3)2；(4)y.

【解析】(1)根據(jù)頻率和為1,得2義

(0.02+0.095+0.11+0.125+JT+O.05+0.025)=1,

解得尸0.075；由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6,8),所以眾數(shù)為

|(6+8)=7；

(2)[2,6)內(nèi)的頻率之和為

(0.02+0.095+0.11)X2=0.45；

設(shè)中位數(shù)為y,則0.45+(y-6)X0.125=0.5,

解得尸6.4,...中位數(shù)為6.4；

平均數(shù)為2(1x0.02+3x0.095+5x0.11+7x0.125+9x0.075+11x0.025)=5.36

⑶月平均用電量為口0,12)的用戶在四組用戶中所占的比例為

__________005__________工

0.125+0.075+0.05+0.025-115

2

，月平均用電量在口0/2)的用戶中應(yīng)抽取11乂兀=2(戶).

(4)月平均用電量在口2,14)的用戶中應(yīng)抽取nxi=l(戶)，

月平均用電量在口0,12)的用戶設(shè)為/、B,月平均用電量在口2,14)的用戶設(shè)為

C,

從口0,12),[12,14)這兩組中隨機(jī)抽取2戶共有AB,AC,BC,3種情況,

其中，抽取的兩戶不是來(lái)自同一個(gè)組的有，ACIC,2種情況，

2

所以，抽取的兩戶不是來(lái)自同一個(gè)組的概率為1.

5.若5張獎(jiǎng)券中有2張是中獎(jiǎng)的，先由甲抽1張，然后由乙抽1張，求：

(1)甲中獎(jiǎng)的概率夕(2);

(2)甲、乙都中獎(jiǎng)的概率尸(③；

⑶只有乙中獎(jiǎng)的概率p(。；

⑷乙中獎(jiǎng)的概率P(力.

9132

【答案】(1)夕儲(chǔ))=3(2)P(^)=—(3)P(0=—(4)P(2?)="

510105

【解析】將5張獎(jiǎng)券編號(hào)為1,2,3,4,5,其中4,5為中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，用(x,y)

表示甲抽到號(hào)碼x,乙抽到號(hào)碼片則可能的結(jié)果為(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,

5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

共20種.

⑴甲中獎(jiǎng)包含8個(gè)樣本點(diǎn)，??.尸(4=4=：.

21

(2)甲、乙都中獎(jiǎng)包含2個(gè)樣本點(diǎn)，???2(而=垢=訶.

63

(3)只有乙中獎(jiǎng)包含6個(gè)樣本點(diǎn)，:?尸(。=—=—

⑷乙中獎(jiǎng)包含8個(gè)樣本點(diǎn)，：.P(D)=^7=|

LaU0

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面幽切為平行四邊形，△尸C￡>為等邊三角形,

平面ft4C_L平面四匕PA_LCD,CD=2,AD=3.

(1)設(shè)G,〃分別為陽(yáng),47的中點(diǎn)，求證：GH〃平面必D;

(2)求證：B4_L平面尸如；

(3)求直線2〃與平面山。所成角的正弦值.

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)3.

3

【解析】(1)如圖，連接龍，易知ACcBD=H,BH=DH.

又BG=PG,歆GH//PD.

又GH<z平面PAD,P￡>u平面PAD,所以GHH平面PAD.

(2)如圖，取棱陽(yáng)的中點(diǎn)凡連接隴

依題意，得DN_LPC.

又平面R4C_L平面70,平面上4Cc平面尸CD=PC,

所以DN_L平面PAC.

又平面為。，故DN1PA.

又R4_LCD,CDcDN=D,所以R4_L平面尸6"

(3)如圖，連接4V

由(2)中區(qū),平面為乙可知/Q4N為直線49與平面44。所成的角.

因?yàn)?CZ)為等邊三角形，CD=2且N為％的中點(diǎn)，

所以DN=6

又DN工AN，在心AND中，DN

sinZDAN=

AD-V

3

題組c

1.實(shí)數(shù)R分別取什么數(shù)值時(shí)？復(fù)數(shù)z=^m2+5m+6j+^m2—2根一15)i

⑴與復(fù)數(shù)2-12i相等；

(2)與復(fù)數(shù)12+16i互為共扼；

⑶對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方

【答案】⑴m=-\,(2)m=l.(3)根<一3或相>5.

m2+5m+6=2

<

【解析】⑴根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得向-2吁15=-12.解之，得”=一1.

m2+5m+6=12

(2)根據(jù)共振復(fù)數(shù)的定義得<.解之,得m=l.

m2—2m-15=-16

(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方可得病—2m-15>0,解之，得利<-3或

m>5.

2.已知二工」是同一平面的三個(gè)向量，其中1(3,3g)?

(1)若同=2,且

a!Ib，求「的坐標(biāo);

⑵若l與：的夾角e的余弦值為冬且丘二卜丘-3刁，求口.

【答案】(1)或口―6);(2)20

3.AABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為4,仇c,(2c-b)cosA^acosB.

(1)求角A的值；

(2)<ABAC=3,a=S,求b+c.

7T

【答案】(1)Any(2)b+c=5.

［解析］(1)由正弦定理得：(2sinC-sin^cosAnsinAcosB

2sinCcosA=sin(A+5)

cosA=—

2

冗

?「Aw（0,萬(wàn)）A=—

3

（2）?.?Q.n=3得Ac=6

又由ZJ2+02-2bccosA-a2^-b2+c2-bc=1,即/+c2=13

;.3+c）2=25即b+c=5.

4.為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班40

名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率

分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：

（1）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)；

（2）估計(jì)這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)；

（3）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生

周末的學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？說(shuō)明理由.

【答案】（1）9；（2）8.75；（3）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有

代表性.

【分析】

（1）首先求學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，

計(jì)算結(jié)果；（2）首先估算學(xué)習(xí)時(shí)間在25%分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)公式計(jì)算

結(jié)果；（3）根據(jù)樣本的代表性作出判斷.

【解析】（1）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率為

(0.03+0.015)x5=0.225

則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)為40x0.225=9.

(2)學(xué)習(xí)時(shí)間在5小時(shí)以下的頻率為0.02x5=0.1<0.25,

學(xué)習(xí)時(shí)間在10小時(shí)以下的頻率為0.1+0.04x5=0.3>0.25,

所以25%分位數(shù)在(5,10),

0.25-0.1

5+5x=8.75,

~02

則這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)為8.75.

(3)不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.

5.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ).在

一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對(duì)，則“星

隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是

3?

乙每輪猜對(duì)的概率是］；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦

互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概

率.

2

【答案】

【解析】記事件4“甲第一輪猜對(duì)”，記事件6：“乙第一輪猜對(duì)”，記