高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料05 不等式教學(xué)案（學(xué)生版）

【2013考綱解讀】

從近幾年高考題目來看，不等式的性質(zhì)和解不等式問題多以一個選擇題的形式出現(xiàn)，且

多與集合、簡易邏輯、函數(shù)知識相結(jié)合，難度較低。

了解不等式（組）的實際背景；會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型，通過函數(shù)

圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系，會解一元二次不等式，

對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖；會從實際情境中抽象出二元一次不等式

組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境

中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決；了解基本不等式的證明過程，會用

基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法分析

和解決有關(guān)不等式問題，形成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)判斷推理和邏輯思維能力。

【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

廠I性質(zhì)、兩數(shù)大小比較I—I不等式的證明不

等

—?元二次不等式I—I簡單■的分式不等式I—式

的

一I二元一次不等式（組）|一I簡單的線性規(guī)劃I—應(yīng)

川

-I基本不等式I-I最值定理一

【重點知識整合】

1.不等式的基本性質(zhì)

2.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式實際上就是求出對應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根（如果有實數(shù)根），再結(jié)

合對應(yīng)的函數(shù)的圖冢確定其大于零或者小于零的區(qū)間,在含有字母參數(shù)的不等式中還要根據(jù)

參數(shù)的不同取值確定方程根的大小以及函數(shù)圖象的開口方向，從而確定不等式的解集.

3.基本不等式

不等式士W牛（心0,匕乂）稱為基本不等式，常見的與這個不等式有關(guān)的其他不等式

有：；；

a+b>2ylab(a95>0)XaSER)i>0)；A+-

>2(x>0)的>0)等.

sau

4.二元一次不等式（組）和簡單的線性規(guī)劃

（1）線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等；

（2）解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：①畫出可行域；②根據(jù)線性目標函數(shù)

的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；③求出目標函數(shù)的最大值或者最小值.

【高頻考點突破】

考點一不等式的解法

一元二次不等式ax'+Zur+cXH或〈0）（aWO,/=4一4ac>0）,如果a與aV+6x+c同

號，則其解集在兩根之外；如果a與ax'+H+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同

號兩根之外，異號兩根之間.即或X〉X2=（X—荀）（X—X2）>O（X1〈X2）；X1〈X〈X2=（X—荀）（X

—X2）〈O（X1<X2）.

例1.已知函數(shù)f（x）=e'—1,g（x）=-v+4x—3.若有f（a）=g（垃,則b的取值范圍

為（）_

A.[2—低2+72]B.（2—鏡，2+72）

C.[1,3]D.（1,3）

【變式探究】解關(guān)于x的不等式a/-（a+1）x+1<0（a>0）.

【方法技巧】

(1)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元

二次不等式)求解.

(2)解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進行討論的原

因?確定好分類標準，有理有據(jù)、層次清楚地求，解.

考點二線性規(guī)劃

實質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體體現(xiàn)，即將最值問題直觀、簡便地尋找出來.它還是

一種較為簡捷的求最值的方法，具體步驟如下：

(1)根據(jù)題意設(shè)出變量，建立目標函數(shù)；

(2)列出約束條件；

(3)借助圖形確定函數(shù)最值的取值位置，并求出最值；

(4)從實際問題的角度審查最值，進而作答.

例2.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛

載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往/地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運

送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡

車需配1名工人，運送一次可得利潤350元.該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，

可得最大利潤2=()

A.4650元B.4700元

C.4900元D.5000元

論X，

【變式探究】當變量X，J滿足約束條件，x+319時，z

x>m

=x-3j?的最大值為S,則實數(shù)m的值是

()

A.-4B.-3

C.-2D.-1

【方法技巧】解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義,

數(shù)形結(jié)合找出目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準

確，整點問題要驗證解決.

考點三基本不等式

基本不等式：號》迎

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當@=力時取等號.

(3)應(yīng)用：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們

的積有最大值.

例3.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則

Y

平均倉儲時間為d天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備

O

費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品

()

A.60件B.80件

C.100件D.120件

【變式探究】設(shè)0<a<6,則下列不等式中正確的是（）

A.a<b<y[ab<~~—B.a<y[ab<~~—<b

C.a<-\[ab<b<~~~D.yfab<b

【難點探究】

難點一一元二次不等式的解法

例L已知0：xoGR,欣+1W0,<7：xdR,/+〃五+1〉0.若0/\口為真命題，則實數(shù)勿

的取值范圍是（）

A.（—8,—2）B.[—2,0）

C.（-2,0）D.[0,2]

難點二基本不等式的應(yīng)用

例2.設(shè)x,J：為實數(shù)，若4/+j：+g=i,則2x+j?的最大值是.

【點評】本題是一個典型條件最值問題，已知條件實際上是一條曲線的方程，目標就

是當點（x，1】在這條曲線上變化時，求線性目標函數(shù)?=2X+T的最大值，在本題的各個解法

中注意方法2,這是解決這類試題的一個通用方法.使用基東不等式求二元函數(shù)最值時一定

要注意等號成立的條件，在求解過程中盡可能的只使用一次基本不等式，如果使用兩次基本

不等式則需要驗證兩次不等式是否等號成立的條件相同,如果兩次不等式等號成立的條件產(chǎn)

生矛盾，則求解結(jié)果就是錯誤的.使用基本不等式求最值有時需要進行適當?shù)淖儞Q1變換已

知條件和求解目標，常數(shù)代換等）.

難點三線性規(guī)劃問題的解法

jx+],22,

例3.已知0是坐標原點，點/（一L1）,若點Mx,丁）為平面區(qū)域:xW1,上的一個

lj<2

動點，則西?日血取值范圍是L）

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[0,2]D.[-1,2]

【點評】在線性約束條件下，線性約束條件所表示的區(qū)域一般是一個多邊形區(qū)域或者

一個以直線為邊界的無限區(qū)域，如果目標函數(shù)是線性的，則可以根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確

定目標函數(shù)取得最大值和最小值的位置,如本題中的目標函數(shù)2=—x+y變換后即尸x+z,

則目標函數(shù)z的幾何意義即直線尸x+z在y軸上的截距，截距最大（?。r的位置就是目標

函數(shù)取得最大（?。┲档奈恢?，在一些含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題中這個思想顯得更為重要。

【歷屆高考真題】

[2012年高考試題】

1.【2012高考真題重慶理2】不等式上的解集為

2x+l

對

2.12012高考真題浙江理9】設(shè)a大于0,b大于0.

A.若2a+2a=2b+3b,則a>bB.若2'+2a=2b+3b,則a>b

C.若2*-2a=2-3b,貝a>bD.2a-2a=ab-3b,貝l]a<b

3.12012高考真題四川理9】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需

耗A原料1千克、3原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，3原料1千克。每

桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，

要求每天消耗A、3原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃，，從每天生產(chǎn)的甲、

乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()

A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元

Ix+2v>2

412012高考真題山東理5]已知變量工J滿足約束條件'2x+v<4,則目標函數(shù)

'4x-v>-l

z=3x-j的取值范圍是

(A)[-^6](B)[-1-1]

(C)[-L6](D)[-6力

x-y<10

5.12012高考真題遼寧理8】設(shè)變量x,y滿足<0Vx+y420,則2x+3y的最大值為

0<y<15

(A)20(B)35(C)45(D)55

J<2

6.12012高考真題廣東理5】已知變量x,y滿足約束條件<x+y21,則z=3x+y的最

x-y<1

大值為

A.12B.11C.3D.-1

8.12012高考真題江西理8】某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投

入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入減去總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜

的種植面積（單位：畝）分別為

A.50,0B.30,20C.20,30D.力,50

9.12012高考真題湖北理6】設(shè)—也是正數(shù),且

K+T：-Z:=40,=20,貝U---=

x+y+z

10.[2012高考真題福建理9]若函數(shù)戶2,圖像上存在點（x,y）滿足約束條件

x+y-3<0

Jx-2v-3>0,則實數(shù)m的最大值為

x>m

13

A.一B.lC.-D.2

7?

11.[2012高考真題山東理13】若不等式匠—4區(qū)2的解集為{坤4%<3},則實數(shù)

k=.

'x>0

12.12012高考真題安徽理11】若羽y滿足約束條件：<x+2y23；則x—y的取值范

2x+y<3

圍為?

fx-y+l>0.

/x.y.3W0.

13.【2012高考真題全國卷理13]若x,y滿足約束條件?一"3f則z=3x-y的最

小值為.

14.[2012高考江蘇13](5分)已知函數(shù)/。)=;?+依+伙的值域為[0,+oo),

若關(guān)于X的不等式f(x)<c的解集為(加，m+6),則實數(shù)C的值為▲.

15.[2012高考江蘇14](5分)已知正數(shù)a2,c滿足：

h

5c-3W6W4e,ac\^b+a\nc則一的取值范圍是▲.

a

?2NO

17.12012高考真題新課標理14】設(shè)工J滿足約束條件：[則z=X-2j

I、x+y<3

的取值范圍為

[2011年高考試題】

x+2y-5〉0

1.(2011年高考浙江卷理科5)設(shè)實數(shù)滿足不等式組[2x+y-7〉0,若為整

x>0,y>0,

數(shù)，則3x+4y的最小值是

(A)14(B)16(C)17(D)19

2.(2011年高考浙江卷理科7)若a力為實數(shù)，貝I"0<a0<l”是a或人〉工的

ba

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不

必要條件

3.(2X)11年高考安徽卷理科4)設(shè)變量光,y滿足W+N^l,則x+2y的最大值和最小值

分別為

(A)1,—1(B)2,—2(C)1,—2(D)2,—1

11.(2011年高考江西卷理科3)若f(x)=T=,則/(x)的定義域為

/logi(2x+l)

A.(—―,0)B.(—―,0].C.(——,+℃)

D?(0,+oo)

12.(2011年高考江西卷理科4匿/(x)=丁-2x-41nx,則/,(x)>0的解集為

A.(0.+-X)B.GL0U0，+X)c.(2,+x)D.

(-1.0)

y>x

13.(2011年高考湖南卷理科7股在妁束條件‘j4爾下，目標函數(shù)二=》+切

的最大值小于2,則％的取值范圍為

)

A.IL1+72IB.|l+j2s+x|C.(13D.(3s+x)

14.(2011年高考廣東卷理科5)已知平面直角坐標系x0y上的區(qū)，域D由不等式組

0<x<yfl

<y<2給定.若M(x,y)為D上動點，點A的坐標為(、歷，1).則z=OMOA的最大

x<y[ly

值為()

A.472B.3A/2C.4D.3

15.(2011年高考湖北卷理科8)已知向量a=(x+z,3),A=(2,y-z),且若x,y滿足

不等式國+|y|vi,則z的取值范圍為

A.[—2,2]B.[—2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]

16.（20H年高考湖北卷理科9）若實數(shù)a/滿足020/20,且而=0,則稱a與）互補，

I己0（a,b）=J.?+/-a-4那么0（a,b）=0是a與b互補的

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1.（2011年高考浙江卷理科16）設(shè)羽y為實數(shù)，若4必+V+孫=1,則2x+y的最大值

是

2.（2011年高考天津卷理科13）已知集合

f1]

A=[x€J?|x+3|+|x-4|<9j;B={xeR\x=4t+--67te（0:+x）,則集合

ItJ

AcB=________

_\.1Y14A

3.（2011年高考湖南卷理科10）設(shè)XJWR,且0=0,貝—+4j"的最

\.y"人r）

小值為.

4.（2011年高考廣東卷理科9）不等式|x+l|-|x-3|>0的解集是.

5.（2011年高考安徽卷江蘇制在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函

2

數(shù)了（尤）=—的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是

X

三、解答題：

1.（2011年高考廣東卷理科21）（本小題滿分14分）

A.在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L:y=（x2實數(shù)p,q滿足p?—4“之0,

xi,X2是方程方-px+夕=0的兩根,記夕(p,g)=max{M,民|}。

19

(1)過點)(pow0)作L的切線教y軸于點

B.證明：對線段AB上任一點Q(p,q)有

(2)設(shè)M(a,b)是定點，其中a,b滿足a2<b>0,af0.過M(a,b)作L的兩條切

線切點分別為與y軸分別交與F,F'?線段EF上異于

兩端點的點集記為證明：圄>|用O儀=與

X.M(arb)exoq6)

■?

1A「

(3)設(shè)D={(x,y)|y<x-l,y>-(x+1)2--}.當點(p,q)取遍D時，求吹〃《)的最

小值(記為1m)和最大值(記為佐紅).

[2010年高考試題】

Y2—X—6

1.(2010全國卷2理數(shù))(5)不等式--------->0的解集為

x-1

(A){x|x<—2,敢>3}(B)[x\x<-2,或1V%<3}

(C){+2Vx<1,或A3}(D)[x\-2<x<l,或1V%<3}

x—2x—2

----->------

2.(2010江西理數(shù))3.不等式無工的解集是()

A.(0,2)B.(-oo,0)C.(2,+8)D.(-00,0)u(0,+oo)

3.(2010重慶理數(shù))(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是

-11

A.3B.4C.9D.—

2

y>0

4.（2010重慶理數(shù)）（4）設(shè)變量x,y滿足約束條件<x-y+120,則z=2x.+y的最大

x+y-3<0

值為

A.—2B.4C.6D.8

,11,

5.（2010四川理數(shù)）（12）設(shè)a>b>c>0,則2礦H---H-----------10ac+25c~的

aba（a-b）

最小值是

（2）2（皮4（C）2節(jié)（〃）5

6.（2010四川理數(shù)）（7）某加工廠用某原料由甲車間加工出』產(chǎn)品，由乙車間加工出5

產(chǎn)品用車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克產(chǎn)品，每千克產(chǎn)品獲利

40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克5產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利

50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不

得超過430小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為

（J）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱

（5）甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱

（C）甲車間加工原料1S箱，乙車間加工原料50箱

（D）甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱

x>1

7.（2010福建理數(shù)）8.設(shè)不等式組<x-2y+320所表示的平面區(qū)域是R,平面區(qū)域是5

y>x

與R關(guān)于直線3x-4y-9=0對稱，對于R中的任意一點A與5中的任意一點B,\AB\

的最小值等于（）

2812

A.—B.4C.—D.2

55

8.（2010遼寧理數(shù)）（14）已知-1<%+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取

值范圍是（答案用區(qū)間表示）

2x-v+2>0

9.（2010安徽理數(shù)）13、設(shè)xj滿足約束條件'8x-j-4S0,若目標函數(shù)

[x>05v>0

z=abx+y（a>0.b>0）的最大值為S,則a+6的最小值為,

y<x,

10.2（010湖北理數(shù)）已知二=2x-j,式中變量x,j滿足妁束條件<x+j2L，則

L<1

z的最大值為

11.（2010湖北理數(shù)）15.設(shè)a>0,b>0,稱一絲為a,b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段

a+b

AB上的點，且AC=a,CB=b,0為AB中點，以AB為直徑做半，圓。過點C作AB的垂線交半圓

于D。連結(jié)0D,AD,BD。過點C作0D的垂線，垂足為E。則圖中線段0D的長度是a,b的

算術(shù)平均數(shù)，線段的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段一的長度是a,b的調(diào)和平均數(shù)。

23

12.（2010江蘇卷）12、設(shè)實數(shù)x,y滿足3WxpW8,4W工W9,則占的最大值是

▲

13.（20.10浙江理數(shù)）（18）（本題滿分14分）在4ABC中，角A、B、C所對的邊分別為

a,b,c,已知COs2C=-L（I）求sinC的值；

4

（II）當a=2,2sinA=sinC時，求b及c的長.

U.（2010遼寧理數(shù)）（17）（本小題滿分12分）

在△ABC中，&b,c分別為內(nèi)角AB:C的對邊，且

ZizsinA=Qa+c）sin8+（2c+5）sinC.

（I）求A的大?。?/p>

（II）求sin3+sinC的最大值.

15.（2010江西理數(shù)）17.（本小題滿分12分）

“、八x,：.（*（吟

/1x|=1l+cotx）sin*x+wsinx+—sinx---

已知函數(shù)I”14人

'713疝

（1）當m=O時，求八X）在區(qū)間-V4」上的取值范圍；

⑵當tana=2時，5,求m