北京體育大學(xué)附中版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元突破訓(xùn)練 新人教A版

北京體育大學(xué)附中版《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元突破：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．【答案】B2．已知為虛數(shù)單位，則的實(shí)部與虛部之積等于()A． B． C． D．【答案】A3．已知是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則()A． B． C． D．【答案】C4．復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)等于()A．-1 B． C． D．1【答案】B5．復(fù)數(shù)的值為()A．-i B．+i C．-i D．i【答案】C6．已知，那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C7．已知復(fù)數(shù)，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D8．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C9．設(shè)，且，則()A． B． C． D．【答案】C10．設(shè)復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D11．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝()A．－3i B．3i C．±3i D．4i【答案】B12．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上表示的點(diǎn)在第四象限，且，則()A． B． C． D．【答案】B第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知，若為純虛數(shù)，則的值為?！敬鸢浮?4．設(shè)若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上,則的值是.【答案】15．計(jì)算：____________(其中為虛數(shù)單位).【答案】16．已知，若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，則的值為___________?！敬鸢浮?三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=eq\f(1,2)+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實(shí)數(shù))對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn)．證明：曲線Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)．【答案】曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2即y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a(0≤x≤1)．①若a－2b+c=0，則Z0、Z1、Z2三點(diǎn)共線，與已知矛盾，故a－2b+c0．于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線．AB中點(diǎn)M：eq\f(1,4)+eq\f(1,2)(a+b)i，BC中點(diǎn)N：eq\f(3,4)+eq\f(1,2)(b+c)i．與AC平行的中位線經(jīng)過M(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)(a+b))及N(eq\f(3,4)，eq\f(1,2)(b+c))兩點(diǎn)，其方程為4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(eq\f(1,4)≤x≤eq\f(3,4))．②令4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c0，得4x2+4x+1=0，此方程在[eq\f(1,4)，eq\f(3,4)]內(nèi)有惟一解：x=eq\f(1,2)．以x=eq\f(1,2)代入②得，y=eq\f(1,4)(a+2b+c)．∴所求公共點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(1,4)(a+2b+c))．18．設(shè)復(fù)數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】19．已知，復(fù)數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，(1）為實(shí)數(shù)？（2）為虛數(shù)？（3）為純虛數(shù)？【答案】（1）若為實(shí)數(shù)，則有即(2）若為虛數(shù)，則有即(3）若為純虛數(shù)，則有，即20．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且(是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求.【答案】設(shè)（）∵，∴而又∵在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，∴即，∴或即21．設(shè)非零復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5滿足其中S為實(shí)數(shù)且|S|≤2．求證：復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上．【答案】設(shè)eq\f(a2,a1)=eq\f(a3,a2)=eq\f(a4,a3)=eq\f(a5,a4)=q，則由下式得a1(1+q+q2+q3+q4)=eq\f(4,a1q4)(1+q+q2+q3+q4)．∴(a12q4－4)(1+q+q2+q3+q4)=0，故a1q2=±2，或1+q+q2+q3+q4=0．⑴若a1q2=±2，則得±2(eq\f(1,q2)+eq\f(1,q)+1+q+q2)=S．S=±2[(q+eq\f(1,q))2+(q+eq\f(1,q))－1]=±2[(q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)]．∴由已知，有(q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)∈R，且|(q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)|≤1．令q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2)=h(cosθ+isinθ)，(h>0)．則h2(cos2θ+isin2θ)－eq\f(5,4)∈R．sin2θ=0．－1≤h2(cos2θ+isin2θ)－eq\f(5,4)≤1．eq\f(1,4)≤h2(cos2θ+isin2θ)≤eq\f(9,4)，cos2θ>0．θ=kπ(k∈Z)∴q+eq\f(1,q)∈R．再令q=r(cosα+isinα)，(r>0)．則q+eq\f(1,q)=(r+eq\f(1,r))cosα+i(r－eq\f(1,r))sinα∈R．sinα=0或r=1．若sinα=0，則q=±r為實(shí)數(shù)．此時(shí)q+eq\f(1,q)≥2或q+eq\f(1,q)≤－2．此時(shí)q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2)≥eq\f(5,2)，或q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2)≤－eq\f(3,2)．此時(shí)，由|(q+eq\f(1,q)+eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)|≤1，知q=－1．此時(shí)，|ai|=2．若r=1，仍有|ai|=2，故此五點(diǎn)在同一圓周上．⑵若1+q+q2+q3+q4=0．則q5－1=0，∴|q|=1．此