高考數(shù)學(xué)13坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案文

高考數(shù)學(xué)專題13坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案文

【2018年高考考綱解讀】

高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：

⑴直線、曲線的極坐標(biāo)方程；

(2)直線、曲線的參數(shù)方程；

(3)參數(shù)方程與普通方程的互化；

(4)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，本內(nèi)容的考查要求為B級(jí).

【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】

1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化

把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.設(shè)陽(yáng)是平

X=0：OS0,

面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,。和3,0),則＜7

尸”in0,tan0=~x

x

2.直線的極坐標(biāo)方程

若直線過(guò)點(diǎn)ME，%),且極軸到此直線的角為劭則它的方程為：經(jīng)in"-3=RsinR一心

幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程

⑴直線過(guò)極點(diǎn)：9=a；

(2)直線過(guò)點(diǎn)加＞,。)(2＞。)且垂直于極軸：？os0=a;

(3)直線過(guò)46,且平行于極軸：經(jīng)in(9=6.

3.圓的極坐標(biāo)方程

若圓心為MW，的，半徑為r的圓方程為：

d—2R?os(夕一名)+d0—/=0.

幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程

⑴當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：Q=r；

⑵當(dāng)圓心位于M2,半徑為下：0=2KOS0；

⑶當(dāng)圓心位于.45）,半徑為r：°=2411。

X=A5+1COS優(yōu)

⑷圓心在點(diǎn)M（x0,jb）,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(，為參數(shù),04-20.圓心在點(diǎn)

j=j^+/sin0

/（R,4）,半徑為r的圓的方程為/=d+d。-23）cos（6一%）.

4.直線的參數(shù)方程

X=XQ+/COS(X,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)累（頻，耳），傾斜角為少的直線的參數(shù)方程為1,.(r為參數(shù)).

、y=%+zsina

設(shè)尸是直線上的任一點(diǎn)，則r表示有向線段0的數(shù)量.

5.圓的參數(shù)方程

X=Ao+/COS夕，

圓心在點(diǎn)M與，歷），半徑為，的圓的參數(shù)方程為‘伊為參數(shù),0W6X2兀).

_y=_K)+rein0

6.圓錐曲線的參數(shù)方程

R2x=acos9,

⑴橢圓2+分=1的參數(shù)方程為＜

（6為參數(shù)）.

UDy-Z?sin0

A2/x=asec6〉

⑵雙曲線3=1的參數(shù)方程為伊為參數(shù)）.

—Z?tan6

x=2jOg,

（3）拋物線「=2?傘＞0）的參數(shù)方程為，”為參數(shù)）.

【題型示例】

題型一極坐標(biāo)

,[x=2+Z,

【例1】【2017課標(biāo)3,文22]在直角坐標(biāo)系x6y中，直線4的參數(shù)方程為，（[為參數(shù)），直線

[y=kt,

x=—2+m,

4的參數(shù)方程為m（機(jī)為參數(shù)）.設(shè)4與4的交點(diǎn)為尸，當(dāng)上變化時(shí)，P的軌跡為曲線C

y=r

（1）寫(xiě)出。的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)4式cos升sin。-亞=0,M為&與C的

交點(diǎn)，求知的極徑.

【答案】(1)x2-y2=4(y^0);(2)石

【解析】

（1）消去參數(shù)f得4的普通方程點(diǎn)？=上0—2）；消去參數(shù)泄得力的普通方程/2：y=±（x+2?

k

y=t(x-2)

設(shè)p(x,y),由題設(shè)得{1,、，消去R得/-/=4(?=0).

y=-{x+2)

k

所以c的普通方程為￡—9=4（T工0）.

（2）C的極坐標(biāo)方程為p1（cos20-sin24=4（0<8<2電￡工町.

p1（cos2^—sin1^）=4,

聯(lián)立｛得cos0—sinQ=2（cos8+sin。）.

"（8SJ+=0

[91

故1311。=——,從而cod。=—.sin20=—.

31010

1

代入p3%_皿％）=4得1=5,所以交點(diǎn)M的極徑為右.

【變式探究】【2016年高考北京文數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線夕￡?5。一百/萬(wàn)近。-1=0與圓p=2cos6,

交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=.

【答案】2

【解析】直線X—后y—1=。過(guò)圓（X—球+丁=1的圓心，因此|.|=2.

【變式探究】在極坐標(biāo)系中，圓？=2cos￡的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）

A.。=0（06R）和？os9=2

71

B.夕R）和（6>cos0=2

71

C.。=萬(wàn)（0€R）和（CCOS6=1

D.6=0（0€R）和（ocos6=1

解析由0=2cos。得—2x=0.

.,.（^-i）2+y=i,

圓的兩條垂直于X軸的切線方程為X=O和x=2.

71

故極坐標(biāo)方程為M=5（eeR）和？os夕=2,故選B.

答案B

【變式探究】（2015■廣東，14）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn),

x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線儲(chǔ)的極坐標(biāo)方程為&cosd+sin。=-2,曲線G的參數(shù)方程為

x=

廠”為參數(shù)），則G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

272t

解析.曲線G的極坐標(biāo)方程為式COS舛sin0=—2,.?.曲線G的直角坐標(biāo)方程為x+y=—2.曲線

x=x+y=—2,

Q的參數(shù)方程為1廠”為參數(shù)），則其直角坐標(biāo)方程為f=8x,聯(lián)立<2°解得x=2,尸一4,

272tIY=8x,

即G,G的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-4）.

答案（2,-4）

71

【舉一反三】（2015■安徽，12）在極坐標(biāo)系中，圓p=8sin6上的點(diǎn)到直線R）距離的最大值是

解析由°=8sin夕得票+，=8萬(wàn)即系+①-4）2=16,由0=］得尸、「x,即#x一尸0,二.圓心（0,4）

到直線的距離為2,圓Q=8sin占上的點(diǎn)到直線個(gè)=§的最大距離為4+2=6.

答案6

【變式探究】（2015?新課標(biāo)全國(guó)I,23）在直角坐標(biāo)系中，直線G：x=—2,圓G：（x—1/+8—

2）2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

⑴求G,G的極坐標(biāo)方程.

71

⑵若直線G的極坐標(biāo)方程為0=-（￡>€R）,設(shè)G與G的交點(diǎn)為"，N,求△Q7W的面積.

解（1）因?yàn)閄=,oos0,>'=psin%所以Cl的極坐標(biāo)方程為Q8S0=~2,

Q的極坐標(biāo)方程為"一切cos9一切疝8+4=0一

兀

⑵將。二/代入92一"8s疝&+4=0,得

。2-3&。+4=0,解得卬=2/，。2=心.

故，即|孫二/一

由于0的半徑為1,所以△CzMN為等腰直角三角形，

所以A0AW的面積為宗

【舉一反三】(2015?江蘇。21(C》已知圓C的極坐標(biāo)方程為+2yj2esi^0--j-4=0,求圓。的半徑.

解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xcy.

圓。的極坐標(biāo)方程為

^+2-^2^-^-sin-^~cos力-4=0,

化簡(jiǎn)，得d+2”in0—2^>cos。一4=0.

則圓C的直角坐標(biāo)方程為/+/—2x+2y—4=0,

即(X—l)2+(y+l)2=6,所以圓C的半徑為邛.

題型二參數(shù)方程及其應(yīng)用

x=3cos。，

【例3】【2017課標(biāo)1,文22］在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線。的參數(shù)方程為

直線/的參數(shù)方程為

x=a+4t

'。為參數(shù)).

y=i-t,

(1)若a=T,求。與/的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若。上的點(diǎn)到/的距離的最大值為&7,求a.

2124

【答案】(1)(3,0),;(2)。=8或。=—16.

【解析】《1)曲線C的普通方程為芯+丁=1.

當(dāng)。=一1時(shí)，直線1的普通方程為乂+4?-3=0一

21

x+4y-3=0勺X—―

解得廣=:或｛:

由(，2?

—+y=1y=024

9y——

25

'2124

從而。與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

."2525

(2)直線/的普通方程為4+4y一。-4=0,故C上的點(diǎn)(38sasiD8)到/的距離為

|3cos8+4sin0-a—4\

Z7+9/7—I—9/

當(dāng)4時(shí)，d的最大值為.由題設(shè)得-^=可，所以。=8;

V17V17

當(dāng)a<—4時(shí)，d的最大值為一.由題設(shè)得一=A/17,所以a=-16.

^17V17

綜上，〃=8或〃=一16.

【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

八x=acost

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為<.(「為參數(shù)/>0).

y=1+asin/

在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)/軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線G：^=4cos<9.

(D說(shuō)明G是哪一種曲線，并將G的方程化為極坐標(biāo)方程；

(II)直線G的極坐標(biāo)方程為8=%,其中％滿足tan4=2,若曲線G與G的公共點(diǎn)都在G上，求縱

【答案】(I)圓,尸—2夕sin6+1-a?=0(II)1

【解析】解：（I）消去參數(shù)r得到G的普通方程/+（?—1尸=『.

G是以（0,D為圓心，。為半徑的圓.

將x=〃CQ的j=psinJ代入G的普通方程中，得到G的極坐標(biāo)方程為

F—2psin9+1—a?=0.

（ID曲線G，a的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組

2psin9+1—a?=0,

=4cos仇

若戶工0,由方程組得16cos^e-gsinJc。咐+1-合=0,由已知tan8=2,

可得16code—8sinJco陽(yáng)=0,從而1一〃=0,解得a=-l（舍去），a=l.

a=l時(shí)，極點(diǎn)也為G，Cz的公共點(diǎn)，在G上.所以a=1.

X=-1+1,

《

【變式探究】（2015?重慶，15）已知直線）的參數(shù)方程為〔丁=1+‘（r為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

（3九5五）

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為^cos20=41^>0,1則直線/與曲線。

的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

解析直線，的直角坐標(biāo)方程為J=x+2,由dcos26=4得d（cos2￡—sin20=4,直角坐標(biāo)方程為^一，

=4,把y=x+2代入雙曲線方程解得X=—2,因此交點(diǎn)為（一2,0）,其極坐標(biāo)為（2,兀）.

答案（2,兀）

x=a-2t,

【變式探究】（2014?福建）已知直線/的參數(shù)方程為4?為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為

Q—4r

x=4cos優(yōu)

（

y=4sin0

e為參數(shù)）.

⑴求直線,和圓C的普通方程；

⑵若直線,與圓。有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【命題意圖】本小題主要考查直線與圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力及化歸

與轉(zhuǎn)化思想.

【解題思路】⑴消去參數(shù)，即可求出直線,與圓。的普通方程.

（2）求出圓心的坐標(biāo)，利用圓心到直線）的距離不大于半徑，得到關(guān)于參數(shù)a的不等式，即可求出參數(shù)a

的取值范圍.

【解析】（1）直線I的普通方程為2a=0,

圓C的普通方程為N+F=16.

（2）因?yàn)橹本€I與圓C有公共點(diǎn)，

故圓c的圓心到直線/的距離心臂匕心

解得一23為2s.

【感悟提升】

1.將參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程，常用的消參方法有代入消參、加減消參和三

角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.

2.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍

和最值問(wèn)題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.

x=l+3cos?,

<

【變式探究】（2015-福建，21⑵）在平面直角坐標(biāo)系xcy中，圓。的參數(shù)方程為〔'=-2+3sm'”為

參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系入口取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極

軸）中，直線/的方程為、白