考點總復(fù)習考點7強化系統(tǒng),精確計算,解析幾何我們

2013高考新課標數(shù)學考點總復(fù)習

專題七強化系統(tǒng)，精確計算，解析幾何我們不再害怕

—.專題綜述

解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標系，該部分內(nèi)容是整

個解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識體系中占有重要位置，但由于在高中階段平面解析幾

何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是

一個選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題，偏向于考查直線與圓的綜合,

試題難度不大，對直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進行.根據(jù)近年來各地

高考的情況，解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的，預(yù)計2012年該部分的考查仍然是以選擇題或

者填空題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識和方法，而在解析幾何解答題中考查該部分知識的應(yīng)用.

圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1?2個選擇題或者填空

題，?個解答題.選擇題或者填空題在于有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標

準方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，試題考查主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難

度一般不大；解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的

位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學思

想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之」由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學主干

知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計

2013年仍然是這種考查方式，不會發(fā)生大的變化.

考綱解讀

1.直線與方程

①在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直

線斜率的計算公式.

③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

④根據(jù)確定直線位置的兒何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及般

式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.

⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

2.圓與方程

①回顧確定圓的兒何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

3.在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.

4.空間直角坐標系

①通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角

坐標系刻畫點的位置.

②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標,探索并得出空間兩點間的距

離公式.

5.圓錐曲線

（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓（理：橢圓、拋物線）模型的過程，掌握橢圓（理：橢圓、拋

物線）的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì).

（3）了解拋物線、雙曲線（理：雙曲線）的定義、兒何圖形和標準方程，知道拋物線、雙曲線（理:

雙曲線）的簡單幾何性質(zhì).

（4）通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

（5）（文）了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.

（理）能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和

實際問題.

（6）（理）結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進一步感受數(shù)形

結(jié)合的基本思想.

三.2013年高考命題趨向

i.直線的方程命題重點是；直線的頸斜角與斜率，兩條直線的位置關(guān)系，對稱及與其它知

識結(jié)合考查距離等.

2.圓的方程命題重點是；由所給條件求圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.

3.圓錐曲線常通過客觀題考查圓錐曲線的基本量（概念、性質(zhì)），通過大題考查直線與圓錐

曲線的位置關(guān)系，求圓錐曲線的方程等.

4.在知識交匯點處命題是解析幾何的顯著特征.與平面向量,三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、

導數(shù)、立體幾何等知識結(jié)合，考查綜合分析與解決問題的能力.如結(jié)合三角函數(shù)考查夾角、

距離，結(jié)合二次函數(shù)考查最值，結(jié)合向量考查平行、垂直、面積，直線與圓錐曲線的位苴關(guān)

系與向量結(jié)合求參數(shù)的取值范圍等，與導數(shù)結(jié)合考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系將成為新的熱

點，有時也與簡易邏輯知識結(jié)合命題.命題會緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論

思想、運動變化的觀點展開.

四.高頻考點解讀

考點一直線的相關(guān)問題

例1[2011?浙江卷]若直線x—2y+5=0與直線2r+my—6=0互相垂直，則實數(shù)加=

【答案】1

【解析】；直線x—2y+5=0與直線2x+my—6=0,1X2-2Xw=0,即加=1.

例2[2011.安徽卷]在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x,y）為整點，下列

命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）.

①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點；

②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點；

③直線/經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當/經(jīng)過兩個不同的整點；

④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與人都是有理數(shù)；

⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

【答案】①③@

【解析】①正確，比如直線y=，5x+小，不與坐標軸平行，且當x取整數(shù)時，y始終是一

個無理數(shù)，即不經(jīng)過任何整點；②錯，直線y=4iv一小中h與人都是無理數(shù)，但直線經(jīng)過

整點（1,0）；③正確，當直線經(jīng)過兩個整點時，它經(jīng)過無數(shù)多個整點；④錯誤，當k=0,b=

；時，直線尸上不通過任何整點；⑤正確，比如直線尸小x一6只經(jīng)過一個整點（1,0）.

【解題技巧點睛】在判斷兩條直線平行或垂直時,不要忘記考慮兩條直線中有一條直線無斜

率或兩條直線都無斜率的情況.在不重合的直線/1與/2的斜率都存在的情況下才可以應(yīng)用條

件/1〃/20kl=k2,/l_L/2=kik2=-l解決兩直線的平行與垂直問題.在判定兩直線是否垂直的問

題上,除上述方法外，還可以用兩直線11和12的方向向量n=91力1)和V2=(O2力2)來判定，

考點二直線與圓的位置關(guān)系

例3[2011?湖南卷]已知圓C：X2+/=12,直線/：4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線/的距離為；

(2)圓C上任意一點A到直線1的距離小于2的概率為____

【答案】(1)5(2)|

1—251

【解析】⑴圓心到直線的距離為：公許=5;

(2)當圓C上的點到直線/的距離是2時有兩個點為點B與點D,設(shè)過這兩點的直線方

程為4x+3y+c=0,同時可得到的圓心到直線4x+3y+c=0的距離為0C=3,

又圓的半徑為r=2小，可得NBOO=60。，由圖1-2可知點力在弧下萬上移動，弧長

---1C1BD1

IBD—7XC=7,圓周長C,故P(A)=-

ooco

例4[2011?課標全國卷]在平面直角坐標系X。)，中，曲線y=f—6x+1與坐標軸的交點都在

圓C上.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x-y+a=O交于A、8兩點，且求。的值.

【解答】(1)曲線y=f—6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2吸,0),(3-2冊,

0).

故可設(shè)C的圓心郊3,f),則有32+(r-l)2=(2V2)2+z2,解得z=l.

則圓C的半徑為千^+“一為=3.

所以圓C的方程為(x—3尸一1尸=9.

(2)設(shè)4(xi，乃),8(X2,g)，其坐標滿足方程組

x~y+a=O,

(x-3)2+(y-l)2=9.

消去y,得到方程

2x1+(2a—S)x+a2—2a+1=0.

由已知口」得，判別式/=56—16a—4。2>0.從而

2〃+1

x]+Xi~~4-〃，x送2=2.(jj

由于OA可得由工2+〉1及=0.

乂力=4]+。，y2=Q+〃，所以

2/尢2+。(尤]+工2)+。2=0.②

由①，②得。=—1,滿足4>0,故o=—L

【解題技巧點睛】求圓的方程要確定圓心的坐標(橫坐標、縱坐標)和圓的半徑，這實際上是

三個獨立的條件，只有根據(jù)已知把三個獨立條件找出才可能通過解方程組的方法確定圓心坐

標和圓的半徑，其中列條件和解方程組都要注意其準確性.直線被圓所截得的弦長是直線與

圓相交時產(chǎn)生的問題，是直線與圓的位置關(guān)系的一個衍生問題.解決的方法，一是根據(jù)平面

幾何知識結(jié)合坐標的方法，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即如果圓的半徑是

r,圓心到直線的距離是"，則圓被直線所截得的弦長/=2;二是根據(jù)求一般的直線被二次

曲線所截得的弦長的方法解決.

考點三橢圓方程與幾何性質(zhì)

例512011.福建卷]設(shè)圓錐曲線廠的兩個焦點分別為Q,尸2.若曲線廠上存在點P滿足1尸吊?：

：IPBI=4：3：2,則曲線廠的離心率等于()

A.；或'B:1或2號或2D.女或5

【答案】A

84

【解析】設(shè)爐內(nèi)1=2今＞0),由已知IP-：IF,F2I：1尸&1=4：3：2,得1尸產(chǎn)11=升12&1=升

且IPFQIP&I，

Q1

若圓錐曲線「為橢圓，則2a=\PF\I+\PF2\=4C,離心率e=￡=5；

43

若圓錐曲線「為雙曲線，則2〃=IPF]|—IP&I=1的離心率e=cz=],故選A.

例6[2011.江西卷]若橢圓5+?=1的焦點在X軸上，過點(1,0作圓/+尸=1的切線，切

點分別為A；直線A8恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是_________.

【答案】9+9=1

【解析】由題可知過點0，與圓的圓心的直線方程為),=發(fā)，由垂徑定理可得

以8=-2.顯然過點(1,§的一條切線為直線x=l,此時切點記為A(l,0),即為橢圓的右焦點，

故c=l.由點斜式可得，直線48的方程為y=-2(x—1),即A8：2x+y—2=0.

令x=0得上頂點為(0,2),?，.6=2,???42=/+。2=5,故得所求橢圓方程為方+：=1.

例712011?課標全國卷]在平面直角坐標系直8中，橢圓C的中心為原點，焦點Q,F2在尤

軸上，離心率為坐.過F,的直線/交C于A,B兩點，且ZVIB2的周長為16,那么C的方

程為，，.

【答案】/I22

【解析】設(shè)橢圓方程為因為離心率為當，所以尊=、「與

,21

解得3=*即

又△ABF?的周長為IABI+L4為+由F2ITABI+由FJ+/F2l+lAF2l=(L4尸1I+IAF2D+(由FJ+

22

18&1）=2〃+24=44,,所以4a=16,a=4,所以6=26，所以橢圓方程為旅+3=1.

【解題技巧點睛】離心率是圓錐曲線重要的幾何性質(zhì)，在圓錐曲線的基礎(chǔ)類試題中占有較大

的比重，是高考考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)中的重要題目類型.關(guān)于橢圓、雙曲線的離心率問

題，主要有兩類試題.一類是求解離心率的值，一類是求解離心率的取值范圍.基本的解題

思路是建立橢圓和雙曲線中a,b,c的關(guān)系式，求值試題就是建立關(guān)于a,b,。的等式，求

取值范圍問題就是建立關(guān)于a,b,c的不等式.

考點四雙曲線方程與幾何性質(zhì)

22

例8[2011?天津卷]已知雙曲線,一方=l（a>0,6>0）的左頂點與拋物線y2=2px（p>0）的焦點的

距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2,-1）,則雙曲線的焦

距為（）

A.2小B.2小C.473D.4小

【答案】B

v-22卜

【解析】雙曲線夕一v%=1的漸近線為y=^x,由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的

交點坐標為（一2,-1）得一§=—2,即p=4.又?；§+“=4,；.a=2,將（一2,-1）代入），=，

得6=1,_____

c=yja2+b2=y]4+1=-\[5,：.2c=2鄧.?

例9[2011?遼寧卷]已知點（2,3）在雙曲線C：力一R=l（a>0,b>0）上，C的焦距為4,則它

的離心率為.

【答案】2

丫2249

【解析】法一：點（2,3）在雙曲線C：力一7=1上，則/一正=1.又由于2c=4,所以石+/72

（49,

二―77=1，，一c

=4.解方程組J"b得。=1或〃=4.由于avc,故〃=1.所以高心率為e=/2.

.a1+b2=4-

法二：??,雙曲線的焦距為4,?,?雙曲線的兩焦點分別為尸i（一2,0）,尸2（2,0）,點（2,3）到兩焦

點的距離之差的絕對值為2,即2a=2,...a=l,離心率e=：=2.

22

例10[2011?山東卷]已知雙曲線》一齊=13>0,"））的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5

=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）

22222222

B.y—^-=1C.T--^_=1D.T-I

j44330o3

【答案】A

【解析】圓方程化為標準方程為（x—3尸+）2=4,所以圓心c（3,0）,r=2,所以雙曲線焦點

F（3,0）,即c=3,漸近線為ay士法=0,山圓心到漸近線的距離為2得悍紇=2,又/+/

yja+b

=9,所以依=2,即后=4,a2=c2-/;2=9-4=5,所以所求雙曲線方程為?一?=1.

【解題技巧點睛】求圓錐曲線方程的基本方法之一就是待定系數(shù)法，就是根據(jù)已知條件得到

圓錐曲線方程中系數(shù)的方程或者方程組，通過解方程或者方程組求得系數(shù)值.

考點五拋物線方程與幾何性質(zhì)

例?課標全國卷]已知直線/過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，/與C交于

A、8兩點，148=12,尸為C的準線上一點，則AABP的面積為（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】C

【解析】設(shè)拋物線方程為)?=2px(p>0),則焦點由0),雅，/，B(g,-p),

所以lA8l=2p=12,所以p=6.又點P到AB邊的距離為p=6,

所以S&tBpU'X12X6=36.

例12[2011?福建卷]如圖1—4,直線/：y=x+b與拋物線C：*?=4)，相切于點A.

(1)求實數(shù)人的值；

(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

y=x+h,

【解答】(1)由｛,WX2-4X-4Z>=0.(*)

*=4y

因為直線/與拋物線C相切，

所以/=(-4)2—4X(-4b)=0.

解得b=—\.

(2)由(1)可知8=—1,故方程(*)即為,一4x+4=0.

解得x=2,代入f=4y,得y=l,

故點4(2,1).

因為圓A與拋物線C的準線相切，

所以圓A的半徑，?等于圓心4到拋物線的準線y=-l的距離，即r=ll-(-l)l=2.

所以圓4的方程為。-2)2+°，—1)2=4.

圖1-7

例13[2011.江西卷]己知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，斜率為26的直線交拋物線于A(x”

力),8。2，丫2)(陽。2)兩點，且lA8l=9.

(1)求該拋物線的方程；

(2)。為坐標原點，C為拋物線上一點，若沆=d+2無，求力的值.

【解答】⑴直線A8的方程是)，=2限(x—E),與J=2px聯(lián)立，從而有4f—5px+p2=0,

所以：西+必=當

由拋物線定義得：L48l=xi+x2+p=9,

所以p=4,從而拋物線方程是)?=8x.

⑵由p=4,4j?—5px+p2=0可簡化為x?—5x+4=0,從而為=1,應(yīng)=4,%=—2小,

),2=4限，

從而4(1,一26)，8(4,4例.

設(shè)沆=(如力)=(1，-2啦)+44,4啦)=(42+1,4PL2柩,

又必=8為，EP[2-^2(2A-1)]2=8(41+1),即(2——1)2=44+1,

解得2=0或2=2.

考點六直線與曲線的位置關(guān)系

例14[2011.江西卷]若曲線Cl：W+y2一微二。與曲線C2：一機為一團)=0有四個不同的交

點，則實數(shù)皿的取值范圍是()

eg陰DJ普喏+8)

【答案】B

【解析】配方得，曲線G：(x—1尸+)，=1,即曲線G為圓心在點G(1,O)，半徑為1的圓,

曲線C2則表示兩條直線：X軸與直線/：y=m(x+l),

顯然x軸與圓Ci有兩個交點，于是知直線/與圓Ci相交，

二圓心G到直線/的距離"=也驊當@々=1,解得機6(一坐，甯,

又當加=0時，直線/：y=0與x軸重合，此時只有兩個交點，應(yīng)舍去.

綜上所述，機的取值范圍是(一當，o)u(o,由.故選B.

例15［2011.陜西卷］設(shè)橢圓C：，■方=l(a>6>0)過點(0,4),離心率為？

(1)求C的方程；

⑵求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標.

【解答】(1)將(0,4)代入橢圓C的方程得§=1,；.b=4.

?"的方程為生+總=L

44

(2)過點(3,0)且斜率為§的直線方程為)，=55—3),

設(shè)直線與C的交點為A(X|,yi),8(數(shù)，y2)>

4得各噂

將直線方程產(chǎn)東一3)代入C的方程,1,

即？-3X—8=0.

副徂3-詢3+兩

解得汨一2，“2—9，

：.AB的中點坐標工=且手=/

52:

y1^=|(xi+X2-6)=6

S,

即中點為e，-1).

例16Q011.遼寧卷］

如圖1-9,已知橢圓Ci的中點在原點O,長軸左、右端點N在x軸上，橢圓C?

的短軸為例M且C”C2的離心率都為e.直線/_LMN,/與G交于兩點，與C2交于兩點，

這四點按縱坐標從大到小依次為A,B,C,D.

(1)設(shè)e=g,求出Cl與LWI的比值；

(2)當e變化時，是否存在直線/,使得80〃AN,并說明理由.

【解答】(1)因為G，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)

G：夕+￡=1，C2：攀+5=1，(a>h>0).

設(shè)直線/：x=?MVa),分別與G，C2的方程聯(lián)立，求得

G稅_*)，G/T)

當e=3時，b=^a,分別用力，如表示A,B的縱坐標，可知

21yBl3

\BC\：L4OI=21斕=/=1

(2)1=0時的/不符合題意.自0時，BO//AN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN

相等，即

解得，=-.2_〃2=一―?〃.

1—e2\[2

因為MV〃，又OVeVl,所以]VI,解彳氏-VeVL

所以當OVeW半時，不存在直線/,使得80〃AN；

y[2

當為-<e<l時，存在直線/,使得BO〃AN.

【解題技巧點睛】當直線與曲線相交時：涉及弦長問題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”設(shè)而不求計

算弦長；涉及到求平行弦中點的軌跡、求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的

直線方程問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標

聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.其中，判別式大于零是檢驗所求參數(shù)的值是否有意義的依據(jù).通過相切

構(gòu)造方程可以求值,通過相交、相離還可構(gòu)造不等式來求參數(shù)的取值范圍或檢驗?zāi)骋粋€值是

否有意義.

考點七軌跡問題

例17[2011.陜西卷]

如圖1-8,設(shè)P是圓f+尸=25上的動點，點。是尸在x軸上的投影，“為尸。上一點,

4

且1聞。1=列。1.

(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；

(2)求過點(3,0)且斜率為楙的直線被C所截線段的長度.

【解答】⑴設(shè)M的坐標為(x,y),P的坐標為(打，yp),

Xp~~X9

由已知得｛5

yp=?，

?.?尸在圓上，...?+儕)2=25,

22

即C的方程為2+氣=1.

(2)過點(3,0)且斜率為4拋直線方程為)，=資4一3),

設(shè)直線與C的交點為A(X1，X),8(X2,>2)，

將直線方程y=*x—3)代入C的方程，得泰在

1,即*2—3x-8=O.

3—何3+M

?-2，M=2■

...線段A8的長度為____________________

1481=、(即一向)2+(>'1—乃)2=4(1+知(即一傷)2=4^1*41=y.

例18[2011?湖南卷]已知平面內(nèi)一動點P到點尸(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點尸作兩條斜率存在且互相垂直的直線小12,設(shè)右與軌跡C相交于點A,B,b與軌

跡(:相交于點。，E,求Q).前的最小值.

【解答】設(shè)動點尸的坐標為(x,y),由題意有一(X一點+4一皿=1.

化簡得/=2x+2Lvl.

當x20時，y2=4x；當x<0時，y=0.

所以，動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x20)和y=0(x<0).

(2)山題意知，直線A的斜率存在且不為0,設(shè)為鼠

則/i的方程為y=k(x—l).

y=k(x—\)f

由得

y2=4x

——(21+4)%+必=0.

設(shè)A(x”力)，B(M，丫2)，則X1，X2是上述方程的兩個實根，于是XI+》2=2+袤，X|X2=1.

因為所以b的斜率為一;.

設(shè)D(x3，h)，E(X4，74)?則同理可得

與+&=2+4k~,X3X4=1.

=AF^+AFfB+FbEF+FbFB

=\^F\-\FB\+\FD\AEF\

=Qi+l)(x2+1)+(啊+1)(必+1)

=X|X2+U|+/2)+1+尤3&+(尤3+工4)+1

=1+(2+為+1+1+(2+4必)+1

=8+4(爐+J28+4X2-^^=16.

當且僅當后=5，即4=±1時，屐).港取最小值16.

K

例！9[2Q11?天津卷]在平面直角坐標系xOy中，點P(a,b)(a>b>0)為動點，Q,&分別為橢

圓，+3=1的左、右焦點.已知△F/F2為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)直線P&與橢圓相交于A,B兩點，M是直線尸尸2上的點，滿足后認施=-2,求點M

的軌跡方程.

【解答】⑴設(shè)Q(-c,0),F2(c,0)(c>0).由題意,可得IP&HIFiBI，

即，(a-c)2+〃2=2c.整理得2仔+：-1=o.

得：=一1(舍)，或5=￡.所以e=g.

⑵由⑴知a=2c,b=45c.可得橢圓方程為3，+4)，=12c2,直線尸產(chǎn)2方程為y=，5(x—c).

3，+4/=12,2,

A,8兩點的坐標滿足方程組

尸小。一。).

Q

消去y并整理，得5f—8cx=0.解得修=0,x2=^c,

Jxi=0,

得方程組的解

[y]=-y[3cf

不妨設(shè)4(/，8(0,—y[3c).

設(shè)點M的坐標為(x,y),則俞=Q—|c,曠―BM=(x,y+y[3c).

由丁二小。—c)，得c=x-^y.

于|x,p，—俞=(不，小%)?由?俞=一2,

即筋一力+凱鳴)小x=-2,

化簡得18x2—16小沖—15=0.

助18X2-15..圭/曰10,+5八

將y=.代U入c=x-3y,得c=-。,所以x>0.

因此，點M的軌跡方程是18/-1^>xy-15=0(A>0).

【解題技巧點睛】求曲線枕跡方程是高考的?？碱}型.考查軌跡方程的求法以及利用曲線的

軌跡方程研究曲線幾何性質(zhì)，一般用直接法、定義法、相關(guān)點代入法等求曲線的軌跡方程.

軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合,著重考查分析問題、解

決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力有較高的要求.如果題目中有明顯的等量關(guān)系，

或者能夠利用平面幾何推出等量關(guān)系，可用直接法;如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知

曲線的定義，則可用定義法;如果軌跡的動點P依賴另一動點Q,而Q又在某已知曲線上，則可

通過列方程組用代入法求出軌跡方程；另外當動點的關(guān)系不易找到，而動點又依賴于某個參

數(shù),則可利用參數(shù)法求枕跡方程,常用的參數(shù)有變角、變斜率等.

考點八圓錐曲線的綜合問題

例20[2011.山東卷]設(shè)M(xo,%)為拋物線C：尤2=8),上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為

圓心、IFM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則光的取值范圍是()

A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+8)D.[2,+~)

【答案】C

【解析】根據(jù)f=8y,所以尸(0,2),準線)，=—2,所以尸到準線的距離為4,當以尸為圓

心、以此M為半徑的圓與準線相切0寸，IMFI=4,即用到準線的距離為4,此時%=2,所以

顯然當以F為圓心，以IFM為半徑的圓和拋物線C的準線相交時，%6(2,+8).

例20[2011?湖南卷]如圖1一9,橢圓Ci：。+1=l(a>b>0)的離心率為坐，x軸被曲線C2：

y^x2-b截得的線段長等于G的長半軸長.

(1)求C”C2的方程；

(2)設(shè)C2與y軸的交點為M，過坐標原點。的直線/與C2相交于點月，B,直線的4,

MB分別與G相交于點Q,E.

①證明：MD±ME；

②記△M48,的面積分別為目,&.問：是否存在直線/，使得吃=春？請說明理

由.

【解答】⑴由題意知，e=，坐，從而a=2b又2加=如解得。=2,b=L

故C”C2的方程分別為余+）2=1,y=x2-l.

（2）①由題意知，直線/的斜率存在，設(shè)為鼠則直線/的方程為y=kx.

\y=kx,….

由J2得X?—?fcx—1=0.

ly=x-1

設(shè)A（x”力）,8（X2，）2），

則制，X2是上述方程的兩個實根，

于是X|+X2=Z,X\X2~-1.

又點M的坐標為（0,-1）,所以

.,yi+lyz+i（小1+1）（依2+1）

kMA'kMB—XV[,XV2—Xr\Xr2

攵2%1必+%（修+必）+1

一戶+必+1

故M4_LA/8,即

②設(shè)直線MA的斜率為卜,則直線MA的方程為

[y=k]X~l,

解得

[y=x-1

x=0,{x=ki，

歲=-1或卜=后-1.

則點A的坐標為出，后一1）.

又直線朋8的斜率為一看，同理可得點8的坐標為（得，加一1）.

[y=k]X—\f,c

叫2+424_Q得（1+4左i）x—8鬲x=0.

'_防

x=0,A1+4婷

解得?或4,2.

ly=~i4好一1

U=TTW

則點D的坐標為

又直線ME的斜率為4同理可得點E的坐標為（一隊4一硝

（4+婷4+辦

32（1+婿此I

于是S=^\MD\-\ME\=

2（1+4后）（居+4）。

因此步暴儲+春+17)

由題意知,吉G向+春+”)=:,

解得后=4,或后=；.

1

又由點A,8的坐標可知，k=

3

所以&=±].

故滿足條件的直線/存在，且有兩條，其方程分別為y=；3x和)，=—走3

22

例21[2011?山東卷]已知動直線/與橢圓C：5+]=1交于「但，乃)，。(必，力)兩不同點，

且△OP。的面積心。地=坐，其中O為坐標原點.

⑴證明：X1+三和+)4均為定值；

(2)設(shè)線段PQ的中點為M,求IOMMPQ的最大值；

(3)橢圓C上是否存在三點。，E,G,使得S&ODE=SAODG=SAOEG=乎?若存在，判斷

△OEG的形狀；若不存在，請說明理由.

【解答】(1)(i)當直線/的斜率不存在時，P，。兩點關(guān)于x軸對稱,

所以必=元|，>2=一力，

因為尸3,力)在橢圓上，

22

所以年+與=1.①

又因為S^OPQ=2，

所以仇]卜|力|=4^,②

由①、②得mi=坐，“1=1，

此時此+3=3,.+)=2.

(ii)當直線/的斜率存在時,)設(shè)京線/的方程為>=履+〃2,

由題意知加W0,將其代入全+5=1得

(2+3k2)x2+6kmx+3(相2—2)=0,

其中4=36后7，-12(2+3爐)(/一2)>0,

即3爐+2>以\(★)

6km3(〃/—2)

又制+忿=-2+3爐，為必=2+3正'

所以IPQI=71+爐々3+()2—4修工2

322+2—〃J

=、1+爐.

2+3爐

因為點。到直線I的距離為d=s■病,

所以Szkop0=^PQ?d

1i——34+2—ni?bnI

=列什-2+3玄.在京

加l〃?N3k2+2—Tn?

2+3必,

又S&OPQ~^2'>

整理得弘2+2=2加2,且符合(★)□：1

此時X；+x：=(X]+x2尸一2X1M=

(__6km\3(W2-2)_

I2+3k2)2X2+3必—3，

Ji+關(guān)=|(3-x?)+|(3T)=4一|(q+君)=2.

綜上所述，、+土=3,/+黃=2,結(jié)論成立.

(2)解法一：①當直線/的斜率不存在時，

由⑴知IOMI=M=半，IPQ=2lyil=2,

因此10用卜IPQI=羋X2=#.

②當直線I的斜率存在時，由i知:

%|+犬23k

22m'

鋁MA-1+A<3k2,—3犬+2，"2

+m

、2,茄+吁2m

2="L16m2—2

IO/F=AT"

中)2+4/7?2m4m

24(3必+2—/)2(2,n2+1)

PQF=(I+冷(2+3的2

=GT)(2+5)"

2=絲

4-

所以lOMhlPQIW?,當且僅當3—；=2+;，即加=±\尼時，等號成立.

綜合①②得IOMJPQI的最大值為方

解法二：

因為4IOM『+lPQ『=(xi+x2)2+(yi+y2)2+(X2—xN+S—%)2=2[洲+?)+齒+陵)]=

10.

,,一4IOMF+IPQF10

所rr以210MlIPQW------=3=5.

即IOMUPQW|,當且僅當21。的=闿1=小時等號成立.

因此IOMIIPQI的最大值為|.

(3)橢圓C上不存在二點。，E,G,使得SAOOE=SAODG=SAOEG=

證明：假設(shè)存在。(〃，v),E(X\,yi),G(X2,")滿足SA0DE=SAOCG=SAOEG=^^.

由(1)得，廣+x：=3,〃~+*=3,xj+)=3,o~+y；=2,o~+)g=2,y彳+)=2.

解得"2=；^=X；=|；°2=y；='=L

因此"，Xp尤2只能從土坐中選取，0，"只能從±1中選取.

因此。、E、G只能在(土半，±1)這四點中選取三個不同點，

而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，

與S40DE=SAODG=S40EG=2矛盾，

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點。、E、G.

例22【2011?新課標全國】在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1),8點在直線y=-3

上，M點滿足通//OA,MA-AB=MB-BA,M點的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(II)P為。上的動點，/為。在P點處的切線，求。點到/距離的最小值.

【解析】(I)設(shè)幽xj),由已知得,>1(0-1).

IX4LA[A*/

所以必=(-*,-1,-y),MB=(0,-3,-/),AB=(x,-2).

UAJULU

再由題意可知IM4+MB|AB=0,即(-x,-4,-27>(x,2)=0.

所以曲線C的方程為y=1--2.

4

(H)設(shè)尸(々J。)為曲線C：y=；--2上一點，r.&=gx；-2,

?,"的斜率為:為，，直線，的方程為了-乂)=1%"-%)，BPxox-2y+2y0-x0=0

二。點到/的距離d」2普二1I=莘^=1(Jx；+4+下二)22,

業(yè)+4舊+42展高

當％=。時取等號，點到？的距離的最小值為2.

【解題技巧點睛】

1.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題

的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響

的一個點、一個值，就是要求的定點、定值.化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表

示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

2.解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標函

數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關(guān)系.建立

目標函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問

題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處

理.

針對訓練

選擇題

1.(2012屆微山一中高三10月考試題)

過點（5,2）,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是（）

A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0

C.x-2y-l=0D.x-2y-1=0或2x-5y=0

【答案】B

【解析】考查直線方程的截距式以及截距是。的易漏點，當直線過原點時方程為2x-5y=0,

不過原點時,可設(shè)出其截距式為'+上=1再山過點（5,2）即可解出.

a2a

2.【2012年上海市普通高等學校春季招生考試】

2222

已知函數(shù)a：二+L=I，G：二+乙=1,則（）

（A）&與G頂點相同（B）G與G長軸長相同

（OG與G短軸長相同⑺）G與G焦距相同

【答案】D

【解析】

22

---1-=1,.'.a,~-12,Z?,2=4,.,.c,2—8,.,.2G—4v5;

124

22

2

C2:-^+^-=1,.'.a，=16也2=8,.,.c2=8,2C2=4-\/2;

綜上可知兩個曲線的焦距相等。

3.【河北省唐山市2012屆高三上學期摸底考試數(shù)學】

已知點尸為圓—4'—4,+7=°上一點’且點,到直線x—y+〃?=°距離的最小值

為J5—1,則加的值為（）

A.-2B.2C.±V2D.±2

【答案】D

【解析】由點到直線的距離公式求得圓心（2,2）到直線x-y+機=0的距離

d=\2-2+m\所以"―廠=左巨回—1=加-1,解得加=±2

V2V2

4.【湖北省孝感市2011—2012學年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】

已知拋物線y-8x的焦點與雙曲蟾-/=1的一個焦點重合，則該雙曲線的離心率為

A.包魯B.孥C.8D.3

【答案】B

【解析】由題意可知拋物線的焦點為（2,0）,雙曲線的?個焦點為右焦點且為（，力+i,o）,

因兩點重合故有V?2+l=2,即a?=3.且c7aF=2.則雙曲線的離心率為

22

e~a~43~3百.

5.【河北省唐山市2012屆高三上學期摸底考試數(shù)學】

已知雙曲線的漸近線為y=±G，焦點坐標為（-4,0）,（4,0）,則雙曲線方程為（）

x2y9x1y2x2y）x2y2

A.-----=1B.-----=1C.------=1D.------=1

824124248412

【答案】A

22

【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為鼻-力>0）,利用已知條件可得：

2=62[a2=4..x2V2

\a，即（〃\，.二雙曲線方程為-------=1.故選A.

c=4/+*42廿=12412

1I

V2丫2

6.[2012屆景德鎮(zhèn)市高三第一次質(zhì)檢】已知點片、心為雙曲線三-==1

（。>0/>0）的左、右焦點，P為右支上一點，點P到右準線的距離為d,若IPFJ、

IFF2I.d依次成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率的取值范圍是

A.[2+6+00）B.（1,揚C.（1,2+V3]D.[2,2+V3]

【答案】C

[解析]由|尸尸卜|尸尸21=2。，|尸用+卜=2|P聞得d=|P身一2a,

所以。2一4碇+。2<0,e2-4e+1<0,1<e<2+V3.

7.12012北京海淀區(qū)高三年級第一學期期末試題】

點J到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C/

的距離，那么平面內(nèi)到定圓。的距離與到定點A的距離相等的//----、\

點的軌跡不可熊是（（A]XI）P

（B）橢圓

（C）雙曲線的一支（D）直線

【答案】D

【解析】如圖，A點為定圓的圓心，動點M為定圓半徑AP的中點,

故AM=MP,此時M的軌跡為以A圓心,半徑為AM的圓。

如圖，以Fi為定圓的圓心，F(xiàn)iP為其半徑，在FiP截得

|MP|=|MA|,設(shè)耳|=廠,.?.|"莊］+歸〃|=|"4|+|"川=r>|石山,

由橢圓的定義可知，M的軌跡是以Fi、A為焦點，

以閨A|為焦距，以r為長軸的橢圓。

如圖，以Fi為定圓的圓心，F(xiàn)iP為其半徑，

過「點延長使得|1\/^|=|!\/1人|,則有

\MFt\-\PM\=r,：.\MF.|-|A/A|=r<|FA|,

由雙曲線的定義可知，M的軌跡是以Fi、A為

焦點的雙曲線的右支。

若M落在以A為端點在x軸上的射線上，也滿足條件

,此時軌跡為一條射線，不是直線。故答案為D。

8.【2012年長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試】

設(shè)“、02分別為具有公共焦點K、鳥的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的」個公共點,

且滿足|西+班卜|瓦同，則1蜉2的值為

yei+e2

V2FT

A.B.2C.v2D.l

2

【答案】A

【解析】設(shè)IPf；l=m,IPBI=〃/KBI=2c,不妨設(shè)m>〃.由同+所卜|而J知,Z

RPF]=90。,貝ij〃/+n2=4c2,q=----,4=--,