高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題專項六高考中的概率與統(tǒng)計理北師大版

高考大題專項六高考中的概率與統(tǒng)計

1.（2019河北衡水中學(xué)一模，18）某高校為了對2018年錄取的大一理工科新生有針對性地進(jìn)行教學(xué),

從大一理工科新生中隨機抽取40名,對他們2018年高考的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析,研究發(fā)現(xiàn)這40名新

生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x在［100,150］內(nèi)，且其頻率y滿足月0a⑤（其中,〃6N*）.

（1）求a的值；

（2）請畫出這20名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平

均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調(diào)查4名該校的大一理工科新生，記調(diào)查的4名大一理

工科新生中“高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于130分”的人數(shù)為隨機變量八求f的均值.

2.（2018山東青島調(diào)研，18）近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設(shè)置了

一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交

車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使

用掃碼支付的人次（單位:十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示：

表1

A[234567

213466101196

根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如下圖所示的散點圖.

（1）根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),與4（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼

支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可,不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼

支付的人次；

(3)推廣期結(jié)束后,車隊對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如表2.

表2

支付現(xiàn)乘車掃

方式金卡碼

比例10%60%30%

已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,

掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客,享受7折優(yōu)惠的概率為《享受

8折優(yōu)惠的概率為享受9折優(yōu)惠的概率為g.根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的

概率，估計一名乘客一次乘車的平均費用.

參考數(shù)據(jù)：

77

711

yV吐匕10"

兇W'

62.141.54253550.123.47

]I

Vi

其中K?-lgyi,—=-

7

3.(2019廣東化州一模，18)2018年9月16日下午5時左右，今年第22號臺風(fēng)“山竹”在廣東江門

川島鎮(zhèn)附近正面登陸，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失,某記者調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民

由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8

000],(8000,10000]五組，并作出如下頻率分布直方圖.

(1)臺風(fēng)后居委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，記者調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表格,在下

面表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)

損失是否到4000元有關(guān)？

經(jīng)濟(jì)損

經(jīng)濟(jì)損失

失超合

不超

過4000計

過4000元

元

捐款超

過60

500元

捐款不

10

過500

合計

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機抽樣方法每次抽取

1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的人數(shù)為f,若每次抽取的

結(jié)果是相互獨立的，求f的分布列，均值和方差〃L

參考公式：-------￡二---)--------,其中n=a+b+c+d

(+)(+)(+)(+)

p(爐溫0.0500.010

Ab3.8416.635

4.（2018長春質(zhì)量監(jiān)測一，18）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元，

售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每

天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位:。C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃,需求量為500瓶;如果最高氣

溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶.為了確定六月份

的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表：

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天

數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量才（單位:瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為H單位:元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量〃（單位:瓶）

為多少時，Y的均值達(dá)到最大值？

5.（2019廣東省六校第一次聯(lián)考，19）某市大力推廣純電動汽車,對購買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程

衣的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財政補貼.其補貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

出廠續(xù)駛里程補貼（萬

★千米）元郁）

150WH<2503

250^/?<3504

廬3504.5

2017年底隨機調(diào)查該市1000輛純電動汽車,統(tǒng)計其出廠續(xù)駛里程R,得到頻率分布直方圖如下圖

所示.用樣本估計總體,頻率估計概率,解決如下問題：

A

0.006

0.005

0.004

0.002

0.003

0.001

0150200250300350400450持續(xù)里搦(千米)

(1)求該市每輛純電動汽車2017年地方財政補貼的均值；

(2)某企業(yè)統(tǒng)計2017年其充電站100天中各天充電車輛數(shù),得到如下的頻數(shù)分布表:

[5[6[7[8

500,500,500,500,

數(shù)6789

500)500)500)500)

八

20304010

數(shù)

(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)

2018年2月，國家出臺政策,將純電動汽車財政補貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來.該企業(yè)擬將

轉(zhuǎn)移補貼資金用于添置新型充電設(shè)備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購置.直流充電樁5萬元/臺,

每臺每天最多可以充電30輛車,每天維護(hù)費用500元/臺；交流充電樁1萬元/臺,每臺每天最多可

以充電4輛車,每天維護(hù)費用80元/臺.

該企業(yè)現(xiàn)有兩種購置方案：

方案一:購買100臺直流充電樁和900臺交流充電樁；

方案二:購買200臺直流充電樁和400臺交流充電樁.

假設(shè)車輛充電時優(yōu)先使用新設(shè)備,且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入,用2017年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),分別估計

該企業(yè)在兩種方案下使用新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤.(日利潤=日收入-日維護(hù)費用)

6.2017年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年,有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市

市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣,得到參

與問卷調(diào)查中的I000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布Mp.210),H近似為這1

000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布求尸(50.5<Z<94);

(2)在(1)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃可獲贈2次隨機話費;得分低于“，則只有1次；

②每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下：

贈送話費(單

1020

位:元)

21

概率

3

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記M單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求才的分布

列.

附:V5TUX14.5.若Z-V(n,82),則P(N-6<z<n+8)-68.3%,產(chǎn)(〃-25<Z<n+26)=95.4%.

參考答案

高考大題專項六高考中的

概率與統(tǒng)計

1.解(1)由題意知：10W〃<14,所以〃的取值為10,11,12,13,14,

代入尸10a4,可得(10a-0.5)+(10a-0.55)+(10a-0.6)+(10a-0.65)+(10a~0.7)=1,解得a=0.08.

(2)由(1),得片0.3,0.25,0.2,0.15,0.1,頻率分布直方圖如圖：

這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為

105X0.30+115X0.25+125X0.20+135X0.15+145X0.10=120.

(3)由題意可知,/-0,1,2,3,4,且“高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于130分”的概率為0.154).1-0.25,所

以f坊(4,5,所以￡4NX卜1.

2.解(1)根據(jù)散點圖判斷,y=c?"適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型.

(2)丁產(chǎn)c兩邊同時取常用對數(shù)得：1g尸lg(c,")=lgc+lgd?x\

設(shè)1gy=Vyc+lgd?x.

7

:4—=L54,x?-140,

5012_7x4xl54_o_

,'/7XF"H-25,

把樣本中心點(4,1.54)代入片1gc/lg"?乂得：運c-0.54,

?：pR.54X).25x,

Zig片0.544).25%,

.：了關(guān)于X的回歸方程式為尸10—*=10"“X(10°巧飛.47X10°..

把x-8代入上式,得產(chǎn)a47X102=347；

活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470.

(3)記一名乘客乘車支付的費用為4

則Z的取值可能為:2,1.8,1.6,1.4;

P(ZN)R.l;P(FL8)R.3xgR.15;

PkZ=\.6)R.6m.3刈力.7,P(Z=L4)R.3X：-0.05.

36

分布列為：

Z21.81.61.4

P0.10.150.70.05

所以,一名乘客一次乘車的平均費用為：

2X0.1*1.8X0.15+1.6X0.7+1.4X0.05=1.66(%).

3.解(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元的有0.7X100=70

人,經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的有100-70=30人，

則表格數(shù)據(jù)如下

經(jīng)濟(jì)損失經(jīng)濟(jì)損

不超失超合

過4000過4000計

元元

捐款超

過602080

500元

捐款不

超

101020

過500

元

合計7030100

2

%2_100X160X1010X20￡^41762,

80x20x70x30

由于4.76233.841,

所以有95%的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān).

（2）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的居民的頻率為0.3,將頻率視為概

由題意知f的可能取值有0,1,2,3,f%（3,卷）,

MR）心得）。4公費;

。（"1）武伐）”（公喘；

尸（I）電信）X力喘;

?、奘匦牛罚θ?/p>

從而f的分布列為

f0123

p34344118927

1000100010001000

二W-3片力.9,

Q7

Df=np（l戈丁唱%?63.

4.解（1）由題意知,才所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知,

產(chǎn)（％=200）三合旬.2,2（％=300）得4）.4,尸（六500）金答《）.4.

因此X的分布列為

X200300500

P0.20.40.4

(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200W〃W500.

當(dāng)300W〃W500時，

若最高氣溫不低于25,則

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則，=6X300+2(〃-300)200-2/7；

若最高氣溫低于20,則上6X200+2(/?-200)-4z?=800-2/?;

因此"之〃X0.4+(1200-2/7)X0.4*(800-2/7)X0.2=640-0.4/7.

當(dāng)200W〃<300時，

若最高氣溫不低于20,則Y=&n~^n=2n.

若最高氣溫低于20,則『6X200+2(/7-200)"爐800-2〃；

因此Ek2nX(0.44.4)+(800-2/7)X0.2=160+1.2n.

所以〃=300時，了的均值達(dá)到最大值,最大值為520元.

5.解(1)依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為：

補貼需元/344.5

輛)

概率0.20.50.3

純電動汽車2017年地方財政補貼的平均數(shù)為3X0.2MXO.5M.5X0.3考.95(萬元).

(2)由充電車輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車輛數(shù)的分布列：

6789

輛數(shù)

000000000000

概率0.20.30.40.1

若采用方案一，100臺直流充電樁和900臺交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為

30X100*4X900-6600(輛).

可得實際充電車輛數(shù)的分布列如下表：

頭營儼60006600

輛數(shù)