七年級數(shù)學下冊講義（北師大版）第一章第06講 平方差公式和完全平方公式(10類熱點題型講練)（解析版）

第06講平方差公式和完全平方公式(10類熱點題型講練)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推導和應用；2.理解平方差公式和完全平方公式的結構特征，并能運用公式進行簡單的運算；3.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結合的思想方法.知識點01平方差公式平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2公式的幾種變化：①位置變化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2②系數(shù)變化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2③指數(shù)變化：（a2+b2）(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=④增項變化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)2-c2⑤連用公式變化：（a+b）(a-b)(a2+b2)=（a2-b2）(a2+b2)=（a2）2-（b2）2=⑥公式逆運算：a2-b2=(a+b)(a-b)知識點02完全平方公式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍公式的變化：①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab；③(a+b)2=(a-b)2+4ab；④(a-b)2=(a+b)2-4ab⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab知識點03平方差和完全平方差區(qū)別平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍題型01判斷是否可用平方差公式運算.【例題】下列各式中不能用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、，可以使用平方差公式；B、，可以使用平方差公式；C、，可以使用平方差公式；D、，兩項都不相同，可變形為完全平方公式，不能使用平方差公式．故選：D．【變式訓練】1．下列能使用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；B、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；C、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；D、能使用平方差公式，故本選項符合題意；故選：D2．下列各式中，不能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、，能用平方差公式進行計算，不符合題意；B、，不能用平方差公式進行計算，符合題意；C、，能用平方差公式進行計算，不符合題意；D、，能用平方差公式進行計算，不符合題意；故選B．題型02運用平方差公式進行運算.【例題】（2023上·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題主要考查多項式乘以多項式，平方差公式：（1）利用多項式乘以多項式的法則即可求解；（2）利用平方差公式即可求解；（3）利用平方差公式即可求解；（4）利用平方差公式即可求解；（5）利用平方差公式即可求解．掌握多項式乘以多項式以及平方差公式的法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）原式利用平方差公式計算即可得到結果；（2）原式利用平方差公式計算即可得到結果；（3）原式利用平方差公式計算即可得到結果；（4）原式利用平方差公式計算即可得到結果；．【詳解】（1）；（2）（3）；（4）．【點睛】此題考查了運用平方差公式進行計算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連續(xù)運用平方差公式求解即可；（2）連續(xù)運用平方差公式求解即可；【詳解】（1）；（2）．【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵．題型03利用平方差公式進行簡便運算.【例題】（2023上·吉林長春·八年級?？茧A段練習）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)，利用平方差公式計算即可得；（2）根據(jù)，利用平方差公式計算即可得．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點睛】本題考查了利用平方差公式進行運算，熟記平方差公式是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式計算即可；（2）根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了平方差公式，熟記平方差公式的特征是解題的關鍵．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)39996(3)2022【分析】（1）（2）（3）運用平方差公式即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式【點睛】本題考查平方差公式的運用．熟記公式形式是解題關鍵．題型04平方差公式與幾何圖形.【例題】（2023上·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯(lián)考期中）圖1、圖2分別由兩個長方形拼成．(1)圖1中圖形的面積為，圖2中圖形的面積為．（用含有a、b的代數(shù)式表示）(2)由（1）可以得到等式：．(3)根據(jù)你得到的等式解決下列問題：①計算：．②若，求的值．【答案】(1)(2)(3)①3700；②5【分析】本題考查平方差公式與幾何面積．（1）利用長方形的面積公式作答即可；（2）根據(jù)兩個圖形的面積相等，即可得出等式；（3）①利用（2）中的等式進行計算即可；②先用平方差公式進行化簡，再代值計算即可．解題的關鍵是得到．【詳解】（1）解：圖2中圖形的面積為；故答案為：；（2）由（1）可得：；故答案為：；（3）①；②∵，∴．【變式訓練】1．（2023上·陜西安康·八年級校聯(lián)考階段練習）【實踐操作】（1）如圖，在邊長為的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（），把圖中形的紙片按圖剪拼，改造成了一個大長方形如圖，用含、的式子表示圖中大長方形的面積為______；

（2）請寫出圖、圖、圖驗證的乘法公式為：______；【應用探究】（3）利用（）中驗證的公式簡便計算：；（4）計算：．【答案】（）；（）；（）；（）．【分析】（）利用長方形的面積等于長乘以寬即可；（）圖中大長方形的面積等于圖的陰影部分面積，分別計算即可得出；（）觀察（）的的乘法公式的特點是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，故將拆成，將拆成即可；（）利用將各個因其進行因式分解后，再將各因式通分相加，發(fā)現(xiàn)每相鄰兩個的乘積為，故答案為第一個因式乘以最后一個因式；本題考查了“數(shù)形結合”中的平方差公式及其靈活運用，解題的關鍵是善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結規(guī)律．【詳解】（），，，，故答案為：；（）圖中大長方形的面積等于圖的陰影部分面積，∴，故答案為：；（）原式，，；（）原式，，，．2．（2023上·山東濟南·七年級山東省濟南稼軒學校?？茧A段練習）實戰(zhàn)與探究，如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的公式是______（請選擇正確的一個）．A．

B．

C．(2)請應用上面的公式完成下列各題：①已知，，則______；②計算：；③計算：【答案】(1)B(2)①4；②5050；③【分析】本題考查平方差公式的證明與使用，考查求和公式，掌握這些是本題關鍵．（1）根據(jù)陰影部分寫出兩個圖形中陰影部分面積的代數(shù)式，再得出二者相等的結論；（2）使用（1）得出的公式對本題中的平方差進行因式分解即可求得結果．【詳解】（1）解：圖一中的陰影部分面積為：，圖二中陰影部分面積為：，而這兩者面積相等，所以有：．故選：B．（2）解：①，又，．②，，，原式．③．題型05運用完全平方公式進行運算【例題】（2023上·河南信陽·八年級校考階段練習）用乘法公式計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解題的關鍵．（1）根據(jù)完全平方公式進行求解即可；（2）先把看做一個整體利用平方差公式去中括號，再根據(jù)完全平方公式去小括號即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式計算即可；（4）先提出負號，再完全平方公式計算即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握這一公式的特征是解題的關鍵．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得答案；（2）兩次利用完全平方公式計算即可得答案；（3）將原式變形，利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得答案．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）.．【點睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：；完全平方公式：；熟練掌握兩公式并靈活運用是解題關鍵，運用整體思想，將多項式看成一項，可創(chuàng)造條件套用公式．題型06利用完全平方公式進行簡便運算【例題】用簡便方法計算：．【詳解】解：原式．【變式訓練】1．用簡便算法計算(1)(2)【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式題型07通過對完全平方公式變形求值【例題】（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）已知：，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的計算，變形計算．（1）根據(jù)公式變形計算即可．（2）根據(jù)公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，解得．（2）解：∵，，∴，∴．【變式訓練】1．已知，，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2），，，．2．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．【詳解】（1）∵，∴．（2）∵，∴．題型08求完全平方式中的字母系數(shù)【例題】已知關于x的式子是某個多項式的完全平方，那么A是．【答案】、和【詳解】解：①∵，∴，②若是多項式的平方，則；故答案為：、和．【變式訓練】1．若是一個完全平方式，則．【答案】11或/或【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：11或．2．若整式是完全平方式，請寫出所有滿足條件的是．【答案】或或【詳解】解：當為和的中間項時；當為和的中間項時；當為和的中間項時；故答案為：或或．題型09完全平方式在幾何圖形中的應用【例題】（2023上·江蘇·九年級專題練習）我們已經(jīng)學習了乘法公式的多種運用，可以運用所學知識解答：求代數(shù)式的最小值．解答如下：解：，，∴當時，的值最小，最小值是，∴，∴當時，的值最小，最小值是，∴的最小值是．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題．(1)知識再現(xiàn)：當______時，代數(shù)式的最小值是______；(2)知識運用：若，當______時，有最______值（填“大”或“小”），這個值是______；(3)知識拓展：若，求的最小值．【答案】(1)，(2)，大，(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將原式整理后即可確定最小值；（2）將等式右邊配方后即可確定當取何值時能取到最小值；（3）首先得到有關的關系式，根據(jù)完全平方公式將原式整理后確定最小值即可．【詳解】（1）解：∵，∴當時，有最小值；故答案為：，；（2）解：∵，∴當時有最大值；故答案為：，大，；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴當時，的最小值為．【點睛】本題考查完全平方公式及非負數(shù)的性質，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【變式訓練】1．例：求代數(shù)式的最小值.解：，，，當時，代數(shù)式有最小值，仿照以上方法，完成下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大值.【詳解】（1）解：，，，當時，代數(shù)式有最小值；（2），，，當時，代數(shù)式有最大值．2．我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列問題：(1)代數(shù)式有最（填大或?。┲担@個值=．(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設計一個盡可能大的花圃，如圖設長方形一邊長度為米，完成下列任務．①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？【詳解】（1）解：，∵，∴，∴代數(shù)式有最小值，最小值為；故答案為小，；（2）解：①由圖可得花圃的面積：平方米；②由①可知：，當時，，且，當時，花圃的最大面積為1250平方米．題型10完全平方公式在幾何圖形中的應用【例題】現(xiàn)有長與寬分別為、的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關于、的關系式：（用、的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【詳解】（1）解：圖1中，由圖可知，，由題意得，，即，故答案為：．圖2中，由圖可知，，，由題圖可知，，即，故答案為：．（2）解：，，，，∴．故答案為：16；12．（3）解：由題意得，，，，，，，∴．即圖中陰影部分的面積為．【變式訓練】1．將完全平方公式進行適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題，例如：若，，求的值．解：因為，所以，即．又因為，所以．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．【詳解】（1）解：，，即，又，，，故答案為：12；（2）解：∵，，；（3）解：設正方形的邊長為m、的邊長為n，，，，即，，，，，，解得：m=5,n=3，．故答案為：5．2．如圖①，正方形是由兩個長為a、寬為b的長方形和兩個邊長分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關系式，這個關系式是；(2)若m滿足，請利用（1）中的數(shù)量關系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體數(shù)值）．【詳解】（1）（2）設，，則，，由已知得：，∴，∴，

∴（3）設正方形的邊長為x，則，，∵∴∵∴一、單選題1．（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考階段練習）下列算式能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平方差公式．根據(jù)平方差公式特征，逐項判斷，即可求解．【詳解】解：A、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；B、，能用平方差公式計算，故本選項符合題意；C、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；D、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；故選：B2．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列式子：①；②；③，其中正確的是（

）A．①②③ B．只有①② C．只有② D．只有①【答案】A【分析】本題考查平方差公式：、完全平方公式：，根據(jù)公式一一判斷即可．【詳解】解：，故①符合題意；，，故②符合題意；，故③符合題意；故選：A．3．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）若，，則的值是（

）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】C【分析】本題考查運用完全平方公式的變形計算，掌握完全平方公式的變形是解題的關鍵．【詳解】解：，故選C．4．（2023上·山東濟南·七年級山東省濟南稼軒學校校考階段練習）若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查零指數(shù)冪，平方差公式，積的乘方，先分別計算a，b，c的值，再比較即可．【詳解】解：，，，因為，所以，故選：B．5．（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如由圖1可以得到．若已知，由圖2所表示的數(shù)學等式，則的值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】本題考查了多項式乘以單項式與圖形的等面積，根據(jù)多項式乘以多項式與圖形的面積得出等式，即可求解．【詳解】解：由圖2可得∵，∴，又∵∴故選為：B．二、填空題6．（2023上·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）計算：.【答案】【分析】此題考查平方差公式，解題關鍵在于掌握公式的運算法則．【詳解】解：，故答案為：．7．（2023上·重慶開州·八年級校聯(lián)考階段練習）若是一個完全平方式，那么．【答案】3或【分析】本題考查了完全平方公式．熟練掌握是解題的關鍵．由題意知，，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，解得，或，故答案為：3或．8．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習）如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式．【答案】【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵，先根據(jù)左圖和右圖分別表示出陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等即可解答．【詳解】解：由作圖可得：陰影部分的面積為；由右圖可得：陰影部分的面積為：；所以．故答案為9．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考階段練習）設是實數(shù)，定義一種新運算；．下面有四個推斷：①；②；③；④．其中正確推斷的序號是．【答案】①③/③①【分析】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵是新運算規(guī)則，對選項逐個進行判斷．【詳解】解：，，故①正確；，，故②錯誤；，，故③正確；，，故④錯誤；即正確的為①③，故答案為：①③．10．（2023上·甘肅蘭州·七年級蘭州市第五十五中學?？奸_學考試）對于任意的代數(shù)式a，b，c，d，我們規(guī)定一種新運算：．根據(jù)這一規(guī)定，計算．【答案】【分析】按照規(guī)定的運算方法把化為，利用平方差公式計算整理即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，．故答案為：．【點睛】本題考查了整式的混合運算，立意較新穎，讀懂規(guī)定運算的運算方法并列出算式是解題的關鍵．三、解答題11．（2023上·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是整式的混合運算．（1）利用完全平方公式計算即可求解；（2）先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式計算即可求解；（4）先乘方，再計算乘法．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．12．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）利用乘法公式計算下列各題(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了平方差公式和完全平方公式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用完全平方公式求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式求解即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．13．（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，（1）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項化簡，再由得到，最后利用整體代入法求解即可；（2）根據(jù)，把等式兩邊同時平方得到，則．【詳解】解：（1），∵，∴，∴原式；（2）∵，∴，∴，∴，∴．14．（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考期末）符號“”稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法規(guī)為．(1)計算：_______；(2)化簡二階行列式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是有理數(shù)的四則混合運算，整式的混合運算，平方差公式的應用，熟記各自的運算法則是解本題的關鍵；（1）根據(jù)新定義列式計算即可；（2）根據(jù)新定義列式為，再利用平方差公式，單項式乘以多項式先計算乘法運算，再合并同類項即可．【詳解】（1）解：；（2）根據(jù)題中的新定義．可得：．15．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）下面是小明同學化簡求值的過程，請你認真閱讀并完成相應的任務．先化簡，再求值：，其中．解：原式……第一步……第二步……第三步當時，原式．……第四步(1)小明同學第________步開始出現(xiàn)錯誤．(2)寫出正確的化簡求值過程．【答案】(1)二(2)，，過程見解析【分析】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式的混合運算法則．（1）根據(jù)去括號，合并同類項法則判斷即可；（2）去括號，合并同類項，代入計算即可．【詳解】（1）解：第二步錯誤，去括號沒有變號．故答案為：第二步；（2）原式．當時，原式．16．（2023上·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．(1)設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，則______，______（請用含a，b的代數(shù)式表示，只需表示，不必化簡）．(2)以上結果可以驗證哪個乘法公式？這個乘法公式是______(3)運用