第十四章整式的乘法與因式分解-題型

第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法題型一：整式乘法與整式加減的綜合例1：計算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）變式訓(xùn)練：（1）（x+3）（x+4）-x（x+2）-5（2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）題型二：整式乘法與方程的綜合例2：解方程（3x-2）（2x-3）=（6x+5）（x-1）變式訓(xùn)練：解方程2x（x-1）-（x+1）（2x-5）=12題型三：整式乘法與表達(dá)不等式的綜合例3：解不等式（3x+4）（3x-4）＞9（x-2）（x+3）變式訓(xùn)練：解不等式（2x-1）÷（2x-1）＞（2x+5）（2x-5）-2題型四：整式的化簡求值例4：先化簡，再求值（-2a4x2+4a3x3-a2x4）÷（-a2x3）,其中a=，x=-4.。變式訓(xùn)練：已知2x-y=10，求代數(shù)式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值。題型五：整式乘法的實際應(yīng)用例5：西紅柿豐收了，為了方便運(yùn)輸，小紅的爸爸把一根長方形為acm，寬為acm的長方形鐵板做成了一個有底無蓋的盒子。在長方形鐵板的四個角上各截去一個邊長為bcm的小正方形（2b＜a），然后沿虛線折起即可，如圖14-1所示，現(xiàn)在要將盒子的外部表面貼上彩色花紙，小花任務(wù)至少需要彩色紙花的面積實際就是小盒子外部的表面積，可以用以下兩種方法求得：①直接法，小盒子外部表面的面積=四個側(cè)面的面積+底面的面積=2［（a-2b）b+（a-2b）b］+（a-2b）（a-2b）；②間接法，小盒子外部表面的面積=原長方形的面積-四個小正方形的面積=a·a-4b2。請你就是一下這兩種方法的結(jié)果是否一樣。變式訓(xùn)練：如圖所示，有正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，若干要拼一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，那么需要C類卡片多少張？題型六：逆用冪的運(yùn)算法則例6：已知2x=m，2y=n，2z=mn，求證x+y=z變式訓(xùn)練：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。題型七：逆用積的乘方運(yùn)算法則簡化計算例7：計算：變式訓(xùn)練：計算：-82017×（-.0125）2016+0.253×26題型八：運(yùn)用冪的運(yùn)算法則比較大小例8：比較大?。海?）1625與290（2）2100與375變式訓(xùn)練：比較大?。?55,344,433題型九：多小時整除問題例9：已知一個多項式初一多項式a2+4a-3所得的商式是2a+1，余式是2a+8，求這個多項式。變式訓(xùn)練：已知多項式x3+ax2+bx+c能夠被x2+3x-4整式。（1）求4a+c的值；（2）求2a-2b-c的值；（3）若a，b，c均為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a，b，c的大小關(guān)系。題型十：利用整式乘法求字母的值例10：如果（x+q）（x+）的結(jié)果中不含x的一次項，那么q=＿＿＿＿＿變式訓(xùn)練：已知（-2x2）·（3x2-ax-6）-3x3+x2中含x的三次項，則a=＿＿＿＿題型十一：利用整式的乘法探索規(guī)律例11：先探索規(guī)律，再用所得規(guī)律計算。（1）根據(jù)多項式的乘法法則計算并填空：（x-3）（x+4）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（x+2）（x+3）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（x+7）（x-1）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（x-5）（x-2）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿………（2）觀察積中一次項系數(shù)、常數(shù)項與乘法算式中兩個常數(shù)之間的關(guān)系，得出規(guī)律，用式子表示為（x+p）（x+q）=＿＿（3）利用所得規(guī)律計算：①（x+1）（x-5）；②（x-3）（x+7）；③（a-2）（a-1）變式訓(xùn)練：觀察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…..（1）根據(jù)觀察以上規(guī)律，則（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=＿＿＿＿＿＿＿＿（2）你能否由此歸納出一般性規(guī)律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=＿＿＿＿＿＿＿（3）根據(jù)②求出：1+2+22+…+234+235的結(jié)果。題型十二：有關(guān)整式乘法的探索題例12：新知識一般有兩類：第一類是不依賴于其他知識的新知識，如“數(shù)”“字母表示數(shù)”這樣的初始性的知識；第二類是在某些舊知識的基礎(chǔ)上通過聯(lián)系、拓廣等方式產(chǎn)生的知識，大多數(shù)知識是這樣的知識。多項式成多項式的法則，是第幾類知識？在學(xué)多項式乘多項式之前，你已擁有的有關(guān)知識是哪些？（寫出兩條即可）請你用已擁有的有關(guān)知識，通過數(shù)和形兩個方面說明多項式乘多項式的法則是如何獲得的。（用（a+b）（c+d）來說明）變式訓(xùn)練：我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例，如圖所示，這個三角形的構(gòu)造法則是：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩書之和，他給出了（a+b）n（n為整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1,2，1，恰好對應(yīng)（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1,3,3,1，恰好對應(yīng)（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù)。根據(jù)上面的規(guī)律：寫出（a+b）5展開式：利用上面的規(guī)律計算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=＿＿＿＿＿＿＿14.2乘法公式題型一：平方差公式的重復(fù)運(yùn)用例1：計算：（1）（2）（2x+1）（4x2+1）（2x-1）（16x4+1）變式訓(xùn)練：計算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）；（2）題型二：運(yùn)用乘法公式簡算例2：運(yùn)用乘法公式簡算：（1）102×98；（2）1022；（3）992變式訓(xùn)練：用簡便方法簡算：（1）982；（2）99×101題型三：乘法公式的靈活運(yùn)用例3：計算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）；（2）（a+b+c）2；（3）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）變式訓(xùn)練：計算：（1）（a+b+c）（a+b-1）；（2）（2a-3b+1）（2a+3b-1）（3）（x-2y+3z）2題型四：整式的混合運(yùn)算例4：計算：（1）（3m-4n）（4n+3m）-（2m-n）（2m+3n）;（2）3（a+1）2-5（a-1）（a+1）2（a-1）`（3）［2x2-（x+y）（x-y）］［（2-x）（2+x）+（-y-2）（2-y）］（4）（2x+y）2（2x-y）2+（x2+y2）2-2（2x2+xy）（2x2-xy）變式訓(xùn)練：計算：（1）（x+2）2+（2x+1）（2x-1）-4x（x+1）（2）（x+y）（x-y）+（x-y）2-（6x2y-2xy2）÷2y題型五：乘法公式變形的應(yīng)用例5:已知（a+b）2=7,（a-b）2=4,求a2+b2和ab值。變式訓(xùn)練：（1）已知實數(shù)x滿足=3，則的值為＿＿＿＿＿°（2）若x+y=5，x-y=1，則xy=＿＿＿＿。題型六：整式的化簡求值例6：先化簡，再求值：（x+1）（x-1）+x（3-x），其中x=2.變式訓(xùn)練：求值：已知4x=3y，求代數(shù)式（x-2y）2-（x-y）（x+y）-2y2題型七：乘法公式與方程結(jié)合例7：解方程：2（x-2）+x2=（x+1）（x-1）+3x變式訓(xùn)練：解方程：2（x-2）+x2=（x+1）（x-1）+x題型八：乘法公式與不等式（組）結(jié)合例8：解不等式x（x-3）＞（x+7）（x-7）變式訓(xùn)練：解不等式組：（x+3）（x-3）-x（x-2）＞1（2x-5）（-2x-5）＜4x（1-x）題型九：完全平方公式的變形應(yīng)用例9：已知a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2-ab+b2的值。變式訓(xùn)練：（x+y）2=9，（x-y）2=5，求x2+y2級xy的值。題型十：應(yīng)用完全平方公式求字母的值例10：二次三項式x2-kx+9是一個完全平方式，則k的值是＿＿＿＿＿＿變式訓(xùn)練：若x2+（m-3）x+4是完全平方式，求m的值。題型十一：出發(fā)公式在復(fù)雜計算中的應(yīng)用例11：計算（2+1）（22+1）（24+1）….（22n+1）變式訓(xùn)練：計算14.3因式分解題型一：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用例1：分解因式：ax2-ay2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿變式訓(xùn)練：分解因式：a2b-2ab+b=＿＿＿＿＿＿＿＿題型二：利用因式分解整體代換求值例2：已知a+b=2，ab=1，則a2b+ab2的值為＿＿＿＿＿＿＿＿變式訓(xùn)練：若a=2，a-2b=3，則2a2-4ab的值為＿＿＿＿＿＿＿＿題型三：因式分解與三角形知識的結(jié)合例3：若a，b，c是三角形的三邊，且滿足關(guān)系式a2-2bc=c2-2ab，試判斷這個三角形的形狀。變式訓(xùn)練：已知三角形三邊長為a，b，c，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ac，試判斷三角形的形狀。題型四：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式例4：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2y-3y=＿＿＿＿＿＿＿＿變式訓(xùn)練：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3-6x=＿＿＿＿＿＿＿＿題型五：分解因式：（1）（p-4）（p+1）+3p（2）64m2n2-（m2+16n2）2（3）a4-2a2b2+b4（4）16（a-b）2-9（a+b）2變式訓(xùn)練：（1）（x+y）（x-1）-xy-y2（2）（ax+by）2+（bx-ay）2題型六：平方差公式的靈活運(yùn)用例6：計算變式訓(xùn)練：若248-1能被60與70直徑的兩個整數(shù)整除，求這兩個數(shù)。題型七：完全平方公式的靈活運(yùn)用例7：已知a2+b2-4a-6b+13=0，求a+b的值。變式訓(xùn)練：求證：當(dāng)x表示整數(shù)時，（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一個整數(shù)的完全平方數(shù)。題型八：開放型問題例8：多項式9x2+1加上一個單項式后，能成為一個完全平方式，那么加上的單項式可能是什么？（把符合要求的都寫出來）變式訓(xùn)練：給出三個多項式：①2x2+4x-4；②2x2+12x+4；③2x2-4x，請你把其中任意兩個多項式進(jìn)行加法運(yùn)算（寫出所有可能的結(jié)果），并把每個結(jié)果因式分解。題型九：x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解例9：閱讀下列材料，你能得到什么結(jié)論？并利用（1）的酒類分解因式。形如x2+（p+q）x+pq型的二次三項式，有以下特點(diǎn)：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因式之和，把這個二次三項式進(jìn)行分解因式，可以這樣來解：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q(x+p)=（x+p）（x+q）因此上面結(jié)論，可以之積將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式。利用（1）的結(jié)論分