2023屆四川省成都市錦江區(qū)錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023屆四川省成都市錦江區(qū)錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，集合，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出集合，然后求出，最后根據(jù)交集含義得到答案.【詳解】由中不等式變形得:,解得:，即，，則，故選：C.2．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，代入，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，得，則，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的基本概念，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．命題，命題，則是成立的（）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先將命題與命題化簡，再求出與命題，即可判斷出是的必要不充分條件.【詳解】由命題得或，由命題得，所以或所以是的必要不充分條件.故選：B.4．某市教育局為得到高三年級(jí)學(xué)生身高的數(shù)據(jù)，對(duì)高三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，他們的身高都在，，，，五個(gè)層次內(nèi)，分男、女生統(tǒng)計(jì)得到以下樣本分布統(tǒng)計(jì)圖，則（）A．樣本中層次的女生比相應(yīng)層次的男生人數(shù)多B．估計(jì)樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大C．層次的女生和層次的男生在整個(gè)樣本中頻率相等D．樣本中層次的學(xué)生數(shù)和層次的學(xué)生數(shù)一樣多【答案】B【分析】由頻率分布直方圖性質(zhì)可求，由此確定男生各層頻率，再由扇形統(tǒng)計(jì)圖確定女生中各層頻率，由此判斷選項(xiàng)A，D，再通過求D層次的女生和層次的男生在整個(gè)樣本中頻率判斷選項(xiàng)C，再估計(jì)男生身高的中位數(shù)和女生身高的中位數(shù)判斷選項(xiàng)B.【詳解】設(shè)樣本中女生有人，則男生有人，設(shè)女生身高頻率分布直方圖中的組距為由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，所以，所以女生身高頻率分布直方圖中層次頻率為20%，層次頻率為30%，層次頻率為25%，層次頻率為15%，層次頻率為10%所以樣本中層次的女生人數(shù)為，男生人數(shù)為，由于的取值未知，所以無法比較層次中男，女生人數(shù)，A錯(cuò)誤；層次女生在女生樣本數(shù)中頻率為15%，所以在整個(gè)樣本中頻率為，層次男生在男生樣本數(shù)中頻率為15%，所以在整個(gè)樣本中頻率為，由于的取值未知，所以無法比較層次的女生和層次的男生在整個(gè)樣本中頻率，C錯(cuò)誤；樣本中層次的學(xué)生數(shù)為，樣本中層次的學(xué)生數(shù)為，由于的取值未知，所以無法比較樣本中層次的學(xué)生數(shù)和層次的學(xué)生數(shù)的大小，D錯(cuò)，女生中，兩個(gè)層次的頻率之和為50%，所以女生的樣本身高中位數(shù)為，層次的分界點(diǎn)，而男生，兩個(gè)層次的頻率之和為35%，，，兩個(gè)層次的頻率之和為65%，顯然中位數(shù)落在C層次內(nèi)，所以樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大，B正確；故選：B.5．已知向量夾角為，且，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量夾角為，且可得的值；再通過得出結(jié)論.【詳解】由題意可得：，結(jié)合題意有：，解得：.故選：C.6．已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），則sin2β＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)β＜α，確定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的變換求解.【詳解】因?yàn)棣拢鸡?，所以，所以，，又因?yàn)閏os（α﹣β），sin（α+β），所以，則sin2β.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．函數(shù)的圖象大致為A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)奇偶性排除B，D，取特殊值排除C，即可得到答案.【詳解】的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除B，D因?yàn)?，所以排除C故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于中等題.8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線定義可知為正三角形，根據(jù)可知，由此可求得，由此可得.【詳解】由拋物線定義可知：，，為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，由拋物線方程可知：，，，，.故選：A.9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，記，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的定義可得到，然后通過即可得到答案【詳解】由可得，所以故選：D10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，若把的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則m的值可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖像求出參數(shù)值，進(jìn)而得到和的解析式，然后根據(jù)圖像的平移求解出含有m的的解析式，根據(jù)誘導(dǎo)公式求解m取值，結(jié)合選項(xiàng)確定答案.【詳解】由圖可知，，因?yàn)閳D像過，，所以，解得，則，根據(jù)圖像可知且，解得，所以，；把的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，解得，當(dāng)時(shí)，.故選：C.11．已知偶函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí),，關(guān)于的不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷f（x）在（0，8）上的單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，再根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，從而得出a的范圍．【詳解】當(dāng)0＜x≤4時(shí)，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，4）上單調(diào)遞減，∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴f（x）的周期為8，∵f（x）是偶函數(shù)，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200個(gè)整數(shù)解，∴不等式在（0，200）內(nèi)有100個(gè)整數(shù)解，∵f（x）在（0，200）內(nèi)有25個(gè)周期，∴f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，顯然f（x）＞0在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有7個(gè)整數(shù)解，不符合題意；（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，顯然f（x）＜0在區(qū)間（0，8）上無解，∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4個(gè)整數(shù)解，∵f（x）在（0，8）上關(guān)于直線x=4對(duì)稱，∴f（x）在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整數(shù)解為x=1，x=2．∴≤﹣a＜ln2，解得﹣ln2＜a≤﹣．故答案為：D【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.（2）解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是分析出函數(shù)f(x)的周期性和對(duì)稱性，f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解.其二是對(duì)a分類討論，得到a的取值范圍.12．在中，，，點(diǎn)與點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，且，，則的長度的最大值是（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以判斷是直角三角形，且隨著的變化三條邊的長度也會(huì)隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)造一個(gè)關(guān)于邊的三角形，根據(jù)定與邊的關(guān)系在新構(gòu)造的三角形中解出的表達(dá)式，找出最大值.【詳解】由可知，是，的直角三角形，如圖所示：設(shè)，，，則由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.連接，在中，由余弦定理，得當(dāng)時(shí)，的長度取得最大值，為故選:B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：可變動(dòng)圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問題（以本題為例）：①確定變動(dòng)圖形的變化規(guī)律：如上題的變化是角度不變，邊長可等比例變化②確定圖形變化與某個(gè)變量的聯(lián)系：變化發(fā)生變化整體變化③找到有直接聯(lián)系的兩個(gè)變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學(xué)生根據(jù)已知條件活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí).二、填空題13．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】1【分析】作出可行域，根據(jù)直線截距的幾何意義求解即可.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，由得：由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最小值，聯(lián)立，解得.∴的最小值為.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃，屬于中檔題.14．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，都有，當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】5【分析】由題意可知周期為2，從而可求出，，進(jìn)而可求出的值.【詳解】解：由可知，關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以周期為2，則，.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用.由奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)的周期是求解本題的關(guān)鍵.15．在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與，所在的直線分別交于點(diǎn)，，若，，則的最小值為________.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性運(yùn)算與共線定理，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值．【詳解】連接，如圖，中，，點(diǎn)滿足，，，，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，則的最小值為故答案為：16．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，化簡得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，結(jié)合將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.【詳解】所以，令，所以令，則令，則所以在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以令，則恒成立所以在上單調(diào)遞增，即【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)，求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式;再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值城問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題17．已知向量，設(shè)．（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得，整體代入求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可；（2）由，可得，結(jié)合范圍，可得的值，由余弦定理可解得的值，利用三角形面積公式即可得解．【詳解】解：（1）由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，所以，又，則，所以，解得，由余弦定理可得，可得，解得，所以.18．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù)．我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖．（1）求出直方圖中的值；并利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；（2）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩，并從中再隨機(jī)抽取2個(gè)作進(jìn)一步的質(zhì)量分析，試求這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率．【答案】（1）；中位數(shù)為73.33；（2）．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，由概率之和為1求解m，根據(jù)中位數(shù)所在直線平分頻率分布表的面積求解.（2）根據(jù)頻率分布直方圖得到一等品和二等品的比例，然后由分層抽樣得到所抽取的5個(gè)口罩中一等品，二等品的數(shù)，再利用古典概型求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?；設(shè)中位數(shù)為n，則，解得；（2）由頻率分布直方圖知：100個(gè)口罩中一等品，二等品各有60個(gè)，40個(gè)，由分層抽樣知，所抽取的5個(gè)口罩中一等品，二等品各有3個(gè)，2個(gè)，記這3個(gè)一等品為a，b，c，2個(gè)二等品為d，e，則從5個(gè)口罩中抽取2個(gè)的可能結(jié)果為，共10種，其中恰有一個(gè)一等品的結(jié)果為，共6種，所以這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率.19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為長方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，BC＝3，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．(1)求證：AE⊥平面PBC；(2)求點(diǎn)B到平面AEF的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由已知可得AE⊥PB，再由PA⊥平面ABCD，結(jié)合底面ABCD為長方形，從而得到BC⊥平面PAB，用線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PBC.(2)由(1)可知，AE⊥平面PBC，可計(jì)算出EF的長度，再利用等體積法，由可算出答案.【詳解】（1）證明：∵PA＝AB，E為線段PB中點(diǎn)，∴AE⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴BC⊥PA，又∵底面ABCD為長方形，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA、AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，∴AE⊥BC，又PB∩BC＝B，PB、BC?平面PBC，∴AE⊥平面PBC；（2）由(1)知，AE⊥平面PBC，∵EF?平面PBC，∴AE⊥EF，則EF＝，由題意，PA⊥平面ABCD，E為PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于，設(shè)點(diǎn)B到平面AEF的距離為h，則，即，解得．故點(diǎn)B到平面AEF的距離為．20．已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足軸，，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，，從而可用表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當(dāng)半徑取最大時(shí)，的值，從而可求出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)檩S，所以，則，由，，解得，，，由橢圓的定義知，，即，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.因?yàn)?，，設(shè)，，易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，故，；所以，又，故，即，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)內(nèi)切圓半徑取最大值為，直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓內(nèi)三角形周長的求解，考查了三角形的面積公式，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是用內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積.本題的難點(diǎn)是計(jì)算化簡.21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且設(shè)極大值和極小值分別為,，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)將代入得的解式析，求導(dǎo)，再求出的值，即得切線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化簡即可；(2)由有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得，進(jìn)而得到兩個(gè)零點(diǎn)分別位于和內(nèi)，于是可得，=，令，求導(dǎo)，求出的值域即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，又因?yàn)?，切點(diǎn)，∴在處的切線方程為，即，所以函數(shù)在處的切線方程：；（2）解：因?yàn)?，在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，∴若，則，∴在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)極值