2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第三章第3講含答案

2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第三章第3講含答案第3講函數(shù)的奇偶性與周期性[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義．1．函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有eq\x(\s\up1(01))－x∈I且eq\x(\s\up1(02))f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)圖象特點(diǎn)關(guān)于eq\x(\s\up1(04))原點(diǎn)對稱關(guān)于eq\x(\s\up1(05))y軸對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有eq\x(\s\up1(06))x＋T∈D，且eq\x(\s\up1(07))f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，同時nT(n∈Z，n≠0)也是這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個eq\x(\s\up1(08))最小的正數(shù)，那么這個eq\x(\s\up1(09))最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．1．函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量的值互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量的值也互為相反數(shù)．2．周期性的三個常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a≠0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a≠0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a≠0)．3．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱．1．(2023·北京豐臺區(qū)三模)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝lnx B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x|答案B解析對于A，y＝lnx為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；對于B，y＝|x|＋1是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；對于C，y＝－x2＋1是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意；對于D，y＝3－|x|是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意．故選B.2．(人教B必修第一冊習(xí)題3－1BT8改編)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案B解析顯然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).3.(人教A必修第一冊3.2.2練習(xí)T1改編)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________．答案[－5，－2)∪(2，5]解析由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2時，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時，f(x)＜0.又f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時，f(x)＞0；當(dāng)－5≤x＜－2時，f(x)＜0.綜上，不等式f(x)＜0的解集為[－5，－2)∪(2，5]．4．(人教A必修第一冊習(xí)題3.2T11改編)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時，f(x)＝x＋1，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))解析當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))5．(2024·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋4)＝f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2，則f(2023)＝________．答案－1解析因?yàn)閒(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.考向一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0；))(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).解(1)f(x)的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)解法一(定義法)：當(dāng)x＞0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．解法二(圖象法)：作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇－1，4]不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(4)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(5)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2>0，所以f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x)，定義域?yàn)閇－1，0)∪(0，1]．所以f(－x)＝eq\f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．1.函數(shù)f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)的圖象上的是()A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))答案B解析∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∵(a，f(a))一定在函數(shù)f(x)的圖象上，而f(a)＝f(－a)，∴(a，f(－a))一定在函數(shù)f(x)的圖象上．故選B.2．(2021·全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)中心對稱，將其圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度后關(guān)于原點(diǎn)(0，0)中心對稱，所以f(x－1)＋1為奇函數(shù)．故選B.解法二：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq\f(－x,x＋2).對于A，F(xiàn)(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不滿足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函數(shù)；對于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足G(x)＝－G(－x)，故G(x)為奇函數(shù)；對于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；對于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)．故選B.考向二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)(2024·南昌二中月考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－log2x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(5,4)答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－log2\f(1,2)))＝－eq\f(5,4).故選D.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.當(dāng)a＝0時，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，則其定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，關(guān)于原點(diǎn)對稱．f(－x)＝(－x)lneq\f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此時f(x)為偶函數(shù)．故選B.解法二：設(shè)g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.故選B.(3)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－2x＋a，則a＝________；當(dāng)x<0時，f(x)＝________．答案－1－2－x－2x＋1解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－2x－1，設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.已知函數(shù)奇偶性可以解決的四個問題求函數(shù)值利用函數(shù)奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解求解析式將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用函數(shù)奇偶性求出求參數(shù)利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的方程(組)求得參數(shù)畫圖象利用奇偶性可畫出對稱區(qū)間上的圖象并解決單調(diào)性等相關(guān)問題1.(2023·茂名模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函數(shù)，則a＝________．答案－1解析因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)恒成立，所以(e－x－aex)cos3x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x，整理得(a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0恒成立，所以a＝－1.2．(2024·襄陽五中階段考試)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f(x)＋g(x)＝2×3x，則函數(shù)f(x)＝________．答案3x＋3－x解析因?yàn)閒(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）＝2×3x，,f（x）－g（x）＝2×3－x，))兩式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________．答案2解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，設(shè)g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.考向三函數(shù)的周期性例3(1)(2023·武漢二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，則下列是周期函數(shù)的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期為1的周期函數(shù)．故選D.(2)(2022·新高考Ⅱ卷改編)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1.①證明：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；②證明：函數(shù)f(x)為周期函數(shù)；③求eq\o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f（k）.解①證明：因?yàn)閒（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0，可得2f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0，可得f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù).②證明：令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），從而可得f（x＋2）＝－f（x－1），f（x－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù).③令x＝y(tǒng)＝1，可得f（2）＝[f（1）]2－f（0）＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f（3）＝f（2）f（1）－f（1）＝－1×1－1＝－2，f（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以一個周期內(nèi)的f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x都有f(x＋2)＝eq\f(13,f（x）)且f(2)＝2，則f(2024)＝________．答案eq\f(13,2)解析因?yàn)閒(x＋2)＝eq\f(13,f（x）)，所以f(2)＝eq\f(13,f（0）)，又f(2)＝2，所以f(0)＝eq\f(13,2)，因?yàn)閒(x＋4)＝eq\f(13,f（x＋2）)＝eq\f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，所以f(x)的周期為4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝eq\f(13,2).2．(2024·成都模擬)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為________．答案7解析因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個．考向四函數(shù)圖象的對稱性例4(1)(2024·河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x2－6x＋18)，則()A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱 D．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，1)對稱答案D解析由f(－x)＝eq\f(x2,x2＋6x＋18)，易知A，B不正確；由題意得f(2)＝eq\f(2,5)，f(4)＝eq\f(8,5)，故f(2)≠f(4)，故C不正確；f(x)＝eq\f(x2,（x－3）2＋9)，故f(6－x)＋f(x)＝eq\f(（6－x）2,（3－x）2＋9)＋eq\f(x2,（x－3）2＋9)＝eq\f(2x2－12x＋36,（x－3）2＋9)＝2，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，1)對稱，故D正確．故選D.(2)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱C．4為f(x)的周期D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4為f(x)的周期，故C正確；∵4為f(x)的周期且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．故選ACD.1．由函數(shù)奇偶性延伸可得到一些對稱性結(jié)論，如函數(shù)f(x＋a)為偶函數(shù)(奇函數(shù))，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱)．2．函數(shù)圖象自身對稱的兩個結(jié)論(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．提醒：函數(shù)圖象自身對稱性滿足的等式與函數(shù)周期性容易混淆，區(qū)別是前者和為常數(shù)，后者差為常數(shù)．(2023·?？谀M)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝|x－2|·f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，若f(－1)＝－1，則g(3)＝()A．5 B．1C．－1 D．－5答案B解析因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函數(shù)，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，所以|x|f(2－x)＝|x|f(x＋2)對任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因?yàn)閒(－1)＝－1且f(x)為奇函數(shù)，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此g(3)＝|3－2|f(3)＝1.故選B.課時作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·丹東模擬)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝lgx B．y＝eq\r(3,x)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x) D．y＝eq\f(x2,x＋1)答案C解析函數(shù)y＝lgx的定義域?yàn)?0，＋∞)，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A不符合題意；函數(shù)y＝eq\r(3,x)的定義域?yàn)镽，則f(－x)＝eq\r(3,－x)＝－eq\r(3,x)＝－f(x)，故該函數(shù)為奇函數(shù)，故B不符合題意；函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)的定義域?yàn)镽，則f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＝f(x)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，故C符合題意；函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故D不符合題意．故選C.2．(2023·成都二模)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝eq\f(x,4－2x)，則f(23)＝()A．－1 B．－eq\f(1,2)C．0 D.eq\f(1,2)答案B解析依題意，因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(23)＝f(4×5＋3)＝f(3)．又因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(1)，當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝eq\f(x,4－2x)，所以f(1)＝eq\f(1,4－2×1)＝eq\f(1,2)，所以f(3)＝－f(1)＝－eq\f(1,2).故選B.3．(2023·上饒一模)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，則f(－a)＝()A．3 B．5C．6 D．7答案D解析函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq\f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq\f(1,x)＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，則f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故選D.4．已知函數(shù)f(x)＝x(x－a)＋b，若函數(shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝0，則b的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b為偶函數(shù)，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故選C.解法二：由y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，知y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，而y＝f(x＋1)的圖象是由y＝f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到的，因而y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故f(x)＝x(x－a)＋b圖象的對稱軸方程為x＝eq\f(a,2)＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故選C.5．(2023·晉中二模)已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(16,2x)(x∈R)，則f(x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝2對稱 B．關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱C．關(guān)于直線x＝0對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱答案B解析f(x)＝2x－24－x，則f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱．故選B.6．(2024·安慶、池州、銅陵三市開學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋a))為奇函數(shù)，則f(eq\r(2))＝()A．ln(eq\r(2)－1) B．ln(eq\r(2)＋1)C．2ln(eq\r(2)－1) D．2ln(eq\r(2)＋1)答案D解析由已知f(－x)＝ln(－2x＋eq\r(4x2＋a))＝lneq\f(（－2x＋\r(4x2＋a)）（2x＋\r(4x2＋a)）,2x＋\r(4x2＋a))＝lneq\f(a,2x＋\r(4x2＋a))，因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋a))＋lneq\f(a,2x＋\r(4x2＋a))＝lna＝0，所以a＝1，故f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋1))，所以f(eq\r(2))＝ln(2eq\r(2)＋3)＝2ln(eq\r(2)＋1)．7．(2023·張家口一模)下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是()A．f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1) B．f(x)＝－x2＋xC．f(x)＝|sinx| D．f(x)＝xeq\f(1,3)＋x－eq\f(1,3)答案A解析對于A，f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)<1，故A正確；對于B，f(－x)＝－x2－x≠－f(x)，f(x)不是奇函數(shù)，不滿足條件，故B錯誤；對于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，f(x)是偶函數(shù)，不滿足條件，故C錯誤；對于D，f(x)＝eq\r(3,x)＋eq\f(1,\r(3,x))，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，f(8)＝eq\r(3,8)＋eq\f(1,\r(3,8))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)>1，不滿足條件，故D錯誤．故選A.8．(2023·南通二模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的最小值為()A．e B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．2e答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，則f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②，聯(lián)立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq\r(ex·2e－x)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝2e－x，即x＝eq\f(1,2)ln2時，等號成立，故函數(shù)f(x)的最小值為2eq\r(2).故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·臨沂一模)已知f(x)＝x3g(x)為定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)的解析式可以是()A．g(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x) B．g(x)＝3x－3－xC．g(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1) D．g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)答案BD解析因?yàn)閒(x)＝x3g(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函數(shù)．對于A，函數(shù)定義域?yàn)?－1，1)，A不符合題意；對于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合題意；對于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，g(－x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2x,1＋2x)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,1＋2x)≠－g(x)，C不符合題意；對于D，函數(shù)定義域?yàn)镽，g(－x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)＋ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，D符合題意．故選BD.10．(2024·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝3，則函數(shù)f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x＋3) B．f(x)＝ex－3＋e3－xC．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x|答案BD解析若函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝3，則f(6－x)＝f(x)．對于A，f(6－x)＝6－x＋eq\f(1,9－x)≠f(x)，A不符合題意；對于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合題意；對于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合題意；對于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合題意．故選BD.11．(2023·襄陽二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：x為整數(shù)時，f(x)＝2024；x不為整數(shù)時，f(x)＝0，則()A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)是偶函數(shù)C．?x∈R，f(f(x))＝2024 D．f(x)的最小正周期為1答案BCD解析對于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，則f(x)不是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，若x為整數(shù)，則－x也是整數(shù)，則有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不為整數(shù)，則－x也不為整數(shù)，則有f(x)＝f(－x)＝0，綜上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函數(shù)，B正確；對于C，若x為整數(shù)，f(x)＝2024，x不為整數(shù)時，f(x)＝0，總之f(x)是整數(shù)，則f(f(x))＝2024，C正確；對于D，若x為整數(shù)，則x＋1也為整數(shù)，若x不為整數(shù)，則x＋1也不為整數(shù)，總之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期為1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一個是整數(shù)，另一個不是整數(shù)，則有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期為1，D正確．故選BCD.三、填空題12．(2024·湖北部分名校模擬)已知函數(shù)y＝f(x)，對任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k(k為常數(shù))，且當(dāng)x∈[0，3]時，f(x)＝x2＋1，則f(2023)＝________．答案2解析因?yàn)閷θ我鈞∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k，k為常數(shù)，所以f(x＋6)f(x＋3)＝k，從而f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期為6，所以f(2023)＝f(1)＝2.13．(2024·金華一中質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈(－1，1]時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，))其中m∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則m的值是________．答案1解析由題意得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋m＝－eq\f(3,4)＋m，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝eq\r(\f(1,16))＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4)＋m，解得m＝1.14．(2024·上海市七寶中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，給出下列命題：①若對任意x∈R，均有|f(x)|＝1，則f(x)一定不是奇函數(shù)；②若對任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，則f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)；③若對任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，則f(x)必為偶函數(shù)；④若對任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)為R上的增函數(shù)，則f(x)必為奇函數(shù)．其中為真命題的是________(請寫出所有真命題的序號)．答案①③解析對于①，對任意x∈R，均有|f(x)|＝1，則|f(0)|＝1，但奇函數(shù)中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇函數(shù)，①為真命題；對于②，|f(－x)|＝|f(x)|等價于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1，1]時滿足f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時滿足f(x)＋f(－x)＝0，則函數(shù)f(x)在x∈R上為非奇非偶函數(shù)，②為假命題；對于③，對任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，則f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)必為偶函數(shù)，③為真命題；對于④，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,\f(1,2)，x＝0，,x－1，x<0))符合題意，但f(x)不是奇函數(shù)，④為假命題．四、解答題15．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，并且滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，且當(dāng)x>0時，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明；(3)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.解(1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)．證明如下：令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈R，x1<x2，則x2－x1>0，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)<f(x2)，故函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)．∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，又由y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，得2x＋2<eq\f(2,3)，解得x<－eq\f(2,3)，故不等式f(x)＋f(2＋x)<2的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))).16．設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)當(dāng)－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．解(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)－4≤x≤4時，設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成圖形的面積為S，則S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)[課程標(biāo)準(zhǔn)]通過具體實(shí)例，結(jié)合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．冪函數(shù)(1)定義：函數(shù)eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義．②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．1．冪函數(shù)圖象的特征(1)在(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸(簡記為“指大圖低”)．(2)在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)在第一象限內(nèi)圖象的畫法(1)當(dāng)α<0時，其圖象可類似y＝x－1畫出．(2)當(dāng)0<α<1時，其圖象可類似y＝xeq\s\up7(\f(1,2))畫出．(3)當(dāng)α>1時，其圖象可類似y＝x2畫出．3．二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．4．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間[m，n]上的最大、最小值的分布情況(1)若－eq\f(b,2a)∈[m，n]，則f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))).(2)若－eq\f(b,2a)?[m，n]，則f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．1．(人教A必修第一冊復(fù)習(xí)參考題3T5改編)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，4)，則f(－3)＝()A．－9 B．9C．3 D．－3答案B解析因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故選B.2．若函數(shù)y＝ax與y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上()A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．先減再增 D．先增再減答案B解析∵函數(shù)y＝ax與y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴a<0，b<0，則y＝ax2＋bx的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是減函數(shù)．3．函數(shù)g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．答案[－1，3]解析∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域?yàn)閇－1，3]．4．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＝________．答案－1解析∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴α可?。?，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴α<0，故α＝－1.5．(人教B必修第二冊4.4例1改編)比較下列各題中兩個值的大?。?1)1.70.9________1.80.9；(2)(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))________3－eq\s\up7(\f(1,2)).答案(1)<(2)≤解析(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x0.9在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.80.9.(2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x－eq\s\up7(\f(1,2))在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且|a|＋3≥3，所以(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))≤3－eq\s\up7(\f(1,2)).考向一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)(2024·成都模擬)冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m－3)xm在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是()A．m＝4 B．f(x)是減函數(shù)C．f(x)是奇函數(shù) D．f(x)是偶函數(shù)答案C解析函數(shù)f(x)＝(m2－3m－3)xm為冪函數(shù)，則m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.當(dāng)m＝4時，f(x)＝x4在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足題意，排除A；當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－1在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，滿足題意．函數(shù)f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(－x)＝eq\f(1,－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤．故選C.(2)若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c答案B解析由冪函數(shù)的圖象可知在(0，1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知a>b>c>d.故選B.(3)(2023·安陽三模)已知冪函數(shù)f(x)＝xα滿足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>a>c D．b>c>a答案C解析冪函數(shù)f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)，所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,3))，所以f(x)是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，又a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，且log42＝eq\f(1,2)，ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，5－eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，所以ln2>log42>5－eq\s\up7(\f(1,2))，即f(ln2)>f(log42)>f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，所以b>a>c.故選C.冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)；在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．(3)當(dāng)α＞0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．1．冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．－1 B．0C．1 D．2答案C解析從圖象上看，由于圖象不過原點(diǎn)，且在第一象限單調(diào)遞減，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負(fù)偶數(shù)，將m＝0，1，2分別代入，可知當(dāng)m＝1時，m2－2m－3＝－4，滿足要求．故選C.2．(2023·?？谌?設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a答案A解析a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))＞1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，且0＜eq\f(8,27)＜eq\f(9,16)＜1，函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(1,4))在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))，所以c＜a.綜上可知，c＜a＜b.故選A.考向二求二次函數(shù)的解析式例2若二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝－4x2＋4x＋7解析解法一(利用一般式)：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用頂點(diǎn)式)：設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對稱軸為直線x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8.∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用兩根式)：由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)f(x)有最大值8，即eq\f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8，解得a＝－4.∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.確定二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x為偶函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，求f(x)的解析式．條件①：函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為5；條件②：函數(shù)f(x)≤0的解集為{1}；條件③：方程f(x)＝0有兩根x1，x2，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10.解函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，則g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以g(－x)＝g(x)，即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋c，圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1.若選條件①，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為5，所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3.所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.若選條件②，由函數(shù)f(x)≤0的解集為{1}，可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x＋1.若選條件③，方程f(x)＝0有兩根x1，x2，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c，又(x1＋x2)2＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋2x1x2，所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.多角度探究突破考向三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度二次函數(shù)圖象的識別例3(多選)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．b＝－2aB．a(chǎn)＋b＋c＜0C．a(chǎn)－b＋c＞0D．a(chǎn)bc＜0答案AD解析由圖象可知a＜0，f(x)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝1，則b＝－2a，則b＞0，又f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由于f(－1)＜0，則a－b＋c＜0，由于f(1)＞0，則a＋b＋c＞0.故選AD.識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()答案C解析若a＞0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a＜0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于B，看直線可知a＞0，b＞0，從而－eq\f(b,2a)＜0，而二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B.故選C.角度二次函數(shù)的單調(diào)性例4(1)(2023·濟(jì)南二模)若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)滿足f(1)＝f(3)，則下列不等式成立的是()A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)答案B解析因?yàn)閒(1)＝f(3)，所以二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝2，又因?yàn)閍<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2)．故選B.(2)(2023·上海徐匯區(qū)模擬)函數(shù)f(x)＝x2－6|x|＋8的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案(－∞，－3]和[0，3]解析由題意，f(x)＝x2－6|x|＋8＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋8，x≥0，,x2＋6x＋8，x<0，))所以當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)在[0，3]上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，函數(shù)f(x)在(－∞，－3]上單調(diào)遞減，在(－3，0)上單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3]和[0，3]．1．決定二次函數(shù)單調(diào)性的兩個關(guān)鍵因素2．利用二次函數(shù)單調(diào)性比較大小的兩個常用方法(1)利用對稱軸一側(cè)的單調(diào)性比較大小(2)利用圖象中對應(yīng)點(diǎn)的高低關(guān)系比較大小當(dāng)拋物線開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)(或越近)的點(diǎn)，位置越高(或越低)，這個點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大(或越小)；當(dāng)拋物線開口向下時，離對稱軸越遠(yuǎn)(或越近)的點(diǎn)，位置越低(或越高)，這個點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小(或越大)．(多選)(2024·濟(jì)南一中調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)＝－x3＋m與函數(shù)g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的單調(diào)性，則k的取值可以是()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D．3答案CD解析易知f(x)＝－x3＋m在R上是減函數(shù)．依題設(shè)，函數(shù)g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(k,2)≥1，則k≥2.故k的取值可以是2，3.角度二次函數(shù)的最值問題例5(2024·蘇州模擬)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值．解(1)若f(0)≥1，則－a|－a|≥1，顯然a<0，則－a(－a)≥1，即a2≥1，解得a≤－1，所以a的取值范圍為(－∞，－1]．(2)當(dāng)x≥a時，f(x)＝2x2＋(x－a)2＝3x2－2ax＋a2，此時f(x)圖象開口向上，對稱軸為直線x＝eq\f(a,3)，(ⅰ)當(dāng)eq\f(a,3)≤a，即a≥0時，f(x)在[a，＋∞)上單調(diào)遞增，此時f(x)min＝f(a)＝2a2；(ⅱ)當(dāng)eq\f(a,3)>a，即a<0時，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))上單調(diào)遞增，此時f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))eq\s\up12(2)－2a·eq\f(a,3)＋a2＝eq\f(2,3)a2.當(dāng)x≤a時，f(x)＝2x2－(x－a)2＝x2＋2ax－a2，此時f(x)圖象開口向上，對稱軸為直線x＝－a，①當(dāng)－a<a，即a>0時，f(x)在(－∞，－a]上單調(diào)遞減，在(－a，a]上單調(diào)遞增，此時f(x)min＝f(－a)＝－2a2；②當(dāng)－a＝a，即a＝0時，f(x)＝x2，f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，此時f(x)min＝f(0)＝0；由①②得，當(dāng)a≥0時，f(x)min＝－2a2.③當(dāng)－a>a，即a<0時，f(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，此時f(x)min＝f(a)＝2a2.綜上，當(dāng)a≥0時，因?yàn)?a2≥－2a2，所以f(x)min＝－2a2；當(dāng)a<0時，因?yàn)?a2>eq\f(2,3)a2，所以f(x)min＝eq\f(2,3)a2.故f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a2，a≥0，,\f(2,3)a2，a<0.))二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動．(2)求解策略：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，則m的取值范圍是()A．[0，4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，結(jié)合函數(shù)圖象(如圖所示)，可得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).角度與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題例6已知兩函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k為實(shí)數(shù)．(1)對任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范圍；(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；(3)對任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范圍．解(1)設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，問題轉(zhuǎn)化為x∈[－3，3]時，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)max＝h(3)＝86－k，由86－k≤0，得k≥86，即k的取值范圍為[86，＋∞)．(2)由題意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，由－10－k≤0，得k≥－10，即k的取值范圍為[－10，＋∞)．(3)對任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.由120－k≤2，得k≥118，即k的取值范圍為[118，＋∞)．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是構(gòu)造新函數(shù)．(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(2023·保定模擬)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為3，且f(1)＝f(3)＝5.(1)求f(x)的解析式；(2)若y＝f(x)的圖象恒在直線y＝2x＋2m＋1的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)根據(jù)題意得二次函數(shù)f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把點(diǎn)(3，5)代入得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.(2)y＝f(x)的圖象恒在直線y＝2x＋2m＋1的上方?f(x)－(2x＋2m＋1)>0恒成立，令g(x)＝2x2－8x＋11－(2x＋2m＋1)＝2x2－10x＋10－2m，若g(x)＝2x2－10x＋10－2m>0恒成立，則Δ＝(－10)2－4×2×(10－2m)<0，解得m<－eq\f(5,4)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,4))).課時作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(－∞，0)上()A．是增函數(shù) B．不是單調(diào)函數(shù)C．是減函數(shù) D．不能確定答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即eq\f(m,m－1)＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3為開口向下的拋物線，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增．故選A.2．有下列四個冪函數(shù)，某同學(xué)研究了其中的一個函數(shù)，并給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：①是偶函數(shù)；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上單調(diào)遞增．如果給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則該同學(xué)研究的函數(shù)是()A．y＝x－1 B．y＝x－2C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up7(\f(1,3))答案B解析對于A，y＝x－1是奇函數(shù)，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，三個性質(zhì)中有兩個不正確，不符合題意；對于B，y＝x－2是偶函數(shù)，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，三個性質(zhì)中有兩個正確，符合題意；同理可判斷C，D中的函數(shù)不符合題意．故選B.3．若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2，eq\r(2))，則函數(shù)y＝f(x)＋1－x的最大值為()A．1 B.eq\f(5,4)C．2 D.eq\f(7,3)答案B解析設(shè)f(x)＝xα，∵f(x)的圖象過點(diǎn)(2，eq\r(2))，∴f(2)＝2α＝eq\r(2)，則α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\r(x)，∴y＝eq\r(x)＋1－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)，∴函數(shù)的最大值為eq\f(5,4).故選B.4．(2024·上海黃浦區(qū)模擬)如圖所示是函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(m,n))(m，n均為正整數(shù)且m，n互質(zhì))的圖象，則()A．m，n是奇數(shù)且eq\f(m,n)＜1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＜1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＞1D．m，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＞1答案B解析由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝xeq\s\up7(\f(m,n))與y＝x恒過點(diǎn)(1，1)，即在第一象限的交點(diǎn)為(1，1)，當(dāng)0＜x＜1時，xeq\s\up7(\f(m,n))＞x，則eq\f(m,n)＜1，又y＝xeq\s\up7(\f(m,n))的圖象關(guān)于y軸對稱，∴y＝xeq\s\up7(\f(m,n))為偶函數(shù)，∴(－x)eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,（－x）m)＝xeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,xm)，又m，n互質(zhì)，∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．故選B.5．(2023·北京海淀一模)設(shè)b>0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為()A．1 B．－1C.eq\f(－1－\r(5),2) D.eq\f(－1＋\r(5),2)答案B解析由題意知b>0，a≠0，所以二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象不關(guān)于y軸對稱，故排除第一、二個函數(shù)圖象，當(dāng)a>0時，該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)<0，故第四個圖象也不滿足題意，當(dāng)a<0時，該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)>0，開口向下，故第三個函數(shù)圖象滿足題意．此時函數(shù)圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，故a2－1＝0，解得a＝±1，由于a<0，故a＝－1.故選B.6．(2024·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x2－mx－3m，則“m>2”是“f(x)<0對x∈[1，3]恒成立”的()A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析若f(x)<0對x∈[1，3]恒成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝2－4m<0，,f（3）＝18－6m<0，))解得m>3，又{m|m>3}是{m|m>2}的真子集，所以“m>2”是“f(x)<0對x∈[1，3]恒成立”的必要不充分條件．7．(2023·合肥包河區(qū)校級模擬)若0<x1<x2，則下列函數(shù)：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq\r(x)；⑤f(x)＝eq\f(1,x)中，滿足條件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)(0<x1<x2)的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案D解析若滿足條件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1