2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題三（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題三知識點(diǎn)一求過一點(diǎn)的切線方程,用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根,利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題典例1、已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，為方程的兩個(gè)不等的根.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.

典例2、已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．典例3、已知函數(shù)(aR)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．隨堂練習(xí)：1、設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，，記，，求證：．

隨堂練習(xí)：2、已知函數(shù)，，其中.（1）若函數(shù)的圖象與直線在第一象限有交點(diǎn)，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.知識點(diǎn)二由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）,函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)典例4、已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若不等式僅有一個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.典例5、已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求證有兩個(gè)零點(diǎn)，，并且．典例6、已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．

隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）記為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題三答案典例1、答案（1）（2）證明見解析解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以（2）在處的切線的斜率為，其切線方程為，首先證明：，,在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,的最大值，所以成立,在處的切線的斜率為，其切線方程為，再證明：,，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,的最大值，所以成立,不妨設(shè)，實(shí)數(shù)，為方程的兩個(gè)不等的實(shí)根,設(shè)直線與在處的切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可得,由可得，設(shè)直線與在處的切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可得,由可得，所以.（注：不等式，可以直接使用）隨堂練習(xí)：答案：（1）答案見解析（2）證明見解析解：（1）由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，在和遞增，在遞減（2）由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則（用分別表示出和），整理，得，此時(shí)設(shè)，求導(dǎo)得恒成立，在上單調(diào)遞減，典例2、答案：（1）答案見解析（2）證明見解析解：（1），令，，當(dāng)時(shí)，，所以有2個(gè)根：，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，在上單調(diào)遞增.綜上得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩根，設(shè)，則，，要證明，即證，即證，即證，令，則，即證，即證，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故結(jié)論成立.隨堂練習(xí)：（1）證明見解析；（2）證明見解析.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，在定義域上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，原命題得證．（2），若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得．由韋達(dá)定理可知，原命題即證：．不妨設(shè)，原命題即證：，由（*）知，齊次化，即證：，不放令，原命題即證：，記，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，．典例3、答案：（1）答案見解析；（2）證明見解析.解:（1），令當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)即或時(shí)，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，不妨設(shè)，要證即證，即，設(shè)由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減，.原式得證.隨堂練習(xí)：1、答案：（1）；（2）證明見解析.解:（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以；（2）不妨設(shè),，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；∴在遞減，在遞增，∴，，∴，∴，∵，即，∴，∴要證，即即證即證即證又由于，，所以只需證即證明，即證，即證隨堂練習(xí)：2、答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）設(shè)，則由題設(shè)知，方程，在有解，而.設(shè)，則.①若，由可知，且，從而，即在上單調(diào)遞減，從而恒成立，因而方程在上無解.②若，則，又時(shí)，，因此，在上必存在實(shí)根，設(shè)最小的正實(shí)根為，由函數(shù)的連續(xù)性可知，上恒有，即在上單調(diào)遞減，也即，在上單調(diào)遞減，從而在上恒有，因而在上單調(diào)遞減，故在上恒有，即，注意到，因此，令時(shí)，則有，由零點(diǎn)的存在性定理可知函數(shù)在，上有零點(diǎn)，符合題意.③若時(shí)，則由可知，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，從而恒成立，故方程在上無解.綜上可知，的取值范圍是.（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以（2），即，設(shè)，則要證，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只要證明，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，（2），所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，，，所以，方程即構(gòu)造函數(shù)，則，，，記，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且，設(shè)，，所以遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，綜上：.典例4、答案：(1)；(2)；(3)．解:(1)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值為．(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得．(3)因?yàn)?，所以不等式僅有一個(gè)整數(shù)解，即只有一個(gè)整數(shù)解，因?yàn)榈臉O大值為，，，所以當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)整數(shù)解，即當(dāng)時(shí)，不等式僅有一個(gè)整數(shù)解．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1），令，得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，最小值為.（2），定義域，由題意，即有兩個(gè)零點(diǎn)，令所以在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的最大值時(shí)，，函數(shù)的圖象如圖所示，所以，所以.典例5、答案：（1）0（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，令，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，所以；由于，問題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間有一根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，當(dāng)，即時(shí)，（2）由（1）可知，即在區(qū)間無零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，令，令，①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，，所以存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使．②當(dāng)時(shí)，，．由①②知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使，即在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，綜上所得，函數(shù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．隨堂練習(xí)：答案：（1）1（2）證明見解析解：（1）當(dāng)時(shí)，，．令，則，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以存在，使得，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．所以的最小值為，（2），，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．則，這時(shí)，利用放縮記的正根為所以，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)和，，，因?yàn)?，即兩式相減得；兩式相加得．要證，即只要證，令，，，則在單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以得證，所以成立．典例6、答案：（1）1（2）解：（1）的定義域?yàn)椋瑫r(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，故．（2）由，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的極小值為．設(shè)，則，所以，從而在上單調(diào)遞減，又．當(dāng)，即時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，，即；又，則，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．由（1）得:，所以，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，可知時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故的取值范圍為．隨堂練習(xí)：答案：（1）1、；（2）或.解：（1）由題得，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)；又當(dāng)