【專項(xiàng)精練】第27課 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第27課平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷兩個(gè)向量是否共線即可確定兩個(gè)向量是否能作為一組基底.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)共線，則存在，使得，因?yàn)椴还簿€，所以沒有任何一個(gè)能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對(duì)于B，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個(gè)能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對(duì)于C，因?yàn)椋詢上蛄抗簿€，不能作為一組基底，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個(gè)能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，故選:C.2．（2023春·福建寧德·高一統(tǒng)考期中）在中，，，若點(diǎn)M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.3．（2021春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形中，，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件利用平面向量的線性運(yùn)算求得關(guān)于的線性表達(dá)式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,進(jìn)而得解.【詳解】,又∵，不共線，根據(jù)平面向量基本定理可得,∴,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本運(yùn)算和基本定理，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件利用平面向量的線性運(yùn)算求得關(guān)于的線性表達(dá)式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，向量，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得向量，再根據(jù)，將用表示，再根據(jù)平面向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，則，由，得，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，.故選：D.二、多選題5．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）用下列，能表示向量的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AB【分析】根據(jù)題意，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到關(guān)于的方程組，結(jié)合方程組的解，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)，可得，則，方程組有無數(shù)組解，例如時(shí)，，所以A成立；對(duì)于B中，設(shè)，可得，則，解得時(shí)，，所以B成立；對(duì)于C中，設(shè)，可得，則，此時(shí)方程組無解，所以不能表示，所以C不成立；對(duì)于D中，設(shè)，可得，則，此時(shí)方程組無解，所以不能表示，所以D不成立.故選：AB.6．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，則（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】BC【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；利用平面向量的模長公式可判斷B；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)；對(duì)于B，，，則，B對(duì)；對(duì)于C，，故，所以，，C對(duì)；對(duì)于D，，，故，D錯(cuò).故選：BC.7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，如下四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．； B．四邊形為平行四邊形；C．與夾角的余弦值為； D．【答案】BD【分析】求出向量坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積、向量共線以及向量模的坐標(biāo)表示即可一一判斷.【詳解】由，所以，，，,對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則，即與平行且相等，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題8．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解得．故答案為?．（2019·天津·天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，等邊的邊長為2，為邊上的一點(diǎn)，且，也是等邊三角形，若，則的值是.【答案】【分析】過點(diǎn)作,交邊于，所以有,可以證出四邊形是菱形,以為一組基底，計(jì)算出的值，根據(jù)，可以得出的值.【詳解】過點(diǎn)作,交邊于，所以有,如下圖所示：和都是等邊三角形，所以可以證出四邊形AEDF是菱形，故且，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、平面向量加法的幾何意義，考查了運(yùn)算能力.四、解答題10．（2023春·新疆巴音郭楞·高一?？计谀┮阎蛄浚?，．(1)若，求m的值；(2)若，求m的值；(3)若與夾角為銳角，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由向量平行坐標(biāo)表示即可；（2）由向量垂直坐標(biāo)表示即可；（3）由向量夾角為銳角可知且不同向，由此可構(gòu)造不等式組求得的范圍【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，，，所以，解得；?）因?yàn)橄蛄?，，，所以，解得；?）夾角為銳角，且不同向，，解得：且，的取值范圍為.【二層練綜合】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標(biāo)，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．二、多選題2．（2023春·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若向量，為單位向量，，則向量與向量的夾角為60°B．設(shè)向量，，若，共線，則C．若，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．若平面向量，滿足，則的最大值是5【答案】BCD【分析】對(duì)兩邊同時(shí)平方結(jié)合向量數(shù)量積的定義可判斷A；由共線向量的坐標(biāo)表示可判斷B；由投影向量的定義可判斷C；，結(jié)合余弦函數(shù)的值域可判斷D.【詳解】解：A選項(xiàng)，由，以及，可得，則，即，又，所以夾角.對(duì)于B，因?yàn)?，，且，共線，則解得.所以B正確.C選項(xiàng)，在方向上的投影向量為，故C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以所以的最大值?，所以D正確.故選：BCD.三、填空題3．（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考階段練習(xí)）已知向量，，，，則與夾角的余弦值為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)向量共線和向量垂直的條件得到的值，進(jìn)而得到向量的坐標(biāo)，然后可求出夾角的余弦值．【詳解】設(shè)，則，∵()∥，，∴，即．又，,∴．由，解得，∴．設(shè)的夾角為，則，即夾角的余弦值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本運(yùn)算，解題時(shí)根據(jù)向量的共線和垂直的充要條件得到向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵，同時(shí)也考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題4．（2023春·四川遂寧·高三四川省射洪市柳樹中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.（1）若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立.【答案】(1)-3；(2)證明見解析.【詳解】分析：（1）由題意可得，結(jié)合三點(diǎn)共線的充分必要條件可得.（2）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，則恒有成立.詳解：（1），∵三點(diǎn)共線，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.【三層練能力】一、多選題1．（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面內(nèi)兩個(gè)給定的向量，滿足，，則使得的可能有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】ABC【分析】由給定條件用坐標(biāo)表示、，利用向量模的坐標(biāo)表示列出方程，再借助直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷作答.【詳解】因平面向量，滿足，，在平面直角坐標(biāo)系中，令，設(shè)，由可得：，表示以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，由得：，整理得：，表示一條直線l，依題意，同時(shí)滿足直線l的方程和圓C的方程，因此直線l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是向量的個(gè)數(shù)，點(diǎn)C到直線l的距離，顯然，當(dāng)時(shí)，，直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，向量有2個(gè)，C滿足；當(dāng)時(shí)，，直線l與圓C相切，有1個(gè)公共點(diǎn)，向量有1個(gè)，B滿足；當(dāng)時(shí)，，直線l與圓C相離，沒有公共點(diǎn)，不存在向量滿足條件，即有0個(gè)，A滿足.故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知幾個(gè)向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標(biāo)系中，借助向量的坐標(biāo)表示，利用代數(shù)方法解決.二、多選題2．（2023·浙江·高一專題練習(xí)）設(shè)為不共線的向量，滿足，且，若，則的最大值為．【答案】324【分析】采用建系法，令，將各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)