【專項(xiàng)精練】第16課 任意角的三角函數(shù)-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第16課任意角的三角函數(shù)（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，角終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，又由，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得且，解得.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角的大小如圖所示，則（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】由圖中的信息可知，化簡(jiǎn)即可.【詳解】由圖可知，，；故選：A.3．（2023春·北京·高一?？计谥校┤鐖D，角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【詳解】角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以則；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023春·江蘇宿遷·高一校考階段練習(xí)）已知銳角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則＝（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)，即可得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義及的范圍判斷即可；【詳解】解：因?yàn)殇J角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，，從而有點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．故選：C．二、多選題5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則或 B．的充要條件是C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量的模長(zhǎng)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，則，解得，因?yàn)?，所以或，故A正確；對(duì)于B，若，則，解得或（舍去），因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，，，則，即，故B正確；對(duì)于C，若，則，解得，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，整理得，解得或，因?yàn)?，所以或或，故D錯(cuò)誤.故選：AB.6．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列各式的值恒大于0的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)角終邊經(jīng)過點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義可以判斷角的正弦、余弦、正切的正負(fù)性，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可選出正確答案.【詳解】由題意知角在第四象限，所以，，.選項(xiàng)A，；選項(xiàng)B，；選項(xiàng)C，；選項(xiàng)D，符號(hào)不確定.故選：AB.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】點(diǎn)代入單位圓的方程求出點(diǎn)可得，再由弦化切可得答案.【詳解】角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：AC.三、填空題8．（2023春·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求得，確定與x軸正半軸的夾角為,結(jié)合三角函數(shù)定義以及兩角差的余弦公式即可求得答案.【詳解】由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為：9．（2020秋·江蘇泰州·高三江蘇省姜堰第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第象限.【答案】三【分析】由歐拉公式可得，則表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.判斷點(diǎn)所在的象限，即得答案.【詳解】由歐拉公式可得，則表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.點(diǎn)在第三象限，即表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限.故答案為：三.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題10．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，.（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域.【答案】（1），或，；（2）.【分析】（1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于的等式，解出即可.（2）利用三角函數(shù)的輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出的值域.【詳解】（1）由于的周期是，所以，所以.令，故或，整理得或.故解集為或，.（2）由于，所以.所以由于，，所以.，故，故.所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)已知值求角，考查三角函數(shù)輔助角公式的應(yīng)用以及求正弦型函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題.【二層練綜合】一、單選題1．（2023春·吉林白城·高一?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊與單位圓的交于點(diǎn)，則()A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：首先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)的定義得出的值，進(jìn)而由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出結(jié)果即可．詳解：∵點(diǎn)在單位圓上，，則由三角函數(shù)的定義可得得則點(diǎn)睛：此題考查了三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，求出的值是解題的關(guān)鍵．二、多選題2．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，，則正確的結(jié)論有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)正弦函數(shù)可得集合，由集合間的關(guān)系和運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】由，又，顯然集合所以，則成立，所以選項(xiàng)A正確.成立，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D不正確.，所以選項(xiàng)C不正確.故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查解三角方程，集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.三、填空題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為.【答案】/0.5【分析】對(duì)求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，得到的值域，從而判斷的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，記，，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，故答案為：四、解答題4．（2018·浙江·高考真題）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【分析】分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.【三層練能力】一、多選題1．（2022秋·重慶北碚·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．函數(shù)的最小正周期為D．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為【答案】ABD【分析】由三角函數(shù)的定義，可得，，的值，根據(jù)和角差角及二倍角公式代入計(jì)算可判斷A、B正誤，對(duì)于C、D，根據(jù)輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合絕對(duì)值變換、周期公式及“左加右減”平移方法就可以判斷.【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，.對(duì)于A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，所以的最小正周期，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)解析式，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.二、填空題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間(，)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】或.【分析】先求出零點(diǎn)的一般形式，再根據(jù)在區(qū)間(，)上恰有2個(gè)零點(diǎn)可得關(guān)于整數(shù)的不等式組，從而可求的取值范圍.【詳解】令，則，故，故，因?yàn)樵趨^(qū)間(，)上恰