第9講數(shù)學(xué)廣角-集合人教版

第9講數(shù)學(xué)廣角一集合

知識點(diǎn)一：集合

1.解決重疊問題，可以從已知條件入手進(jìn)行分析，畫出集合圖；借助集合圖進(jìn)

行思考，為了不重復(fù)計(jì)算，應(yīng)從它們的和中減去重疊部分，也可以先用其中一

部分減去重疊部分，再加上另一部分。

2.填寫集合圖時，可以先填中間重疊的小圈部分，再根據(jù)要求填左右兩邊的圈。

考點(diǎn)一：容斥原理

【例1】下圖是三年級同學(xué)參加美術(shù)小組的書法小組的情況，根據(jù)圖意填空。

三年級同學(xué)參加美術(shù)小組的有7人,參加書法小組的有8人;既參加美術(shù)小組

又參加書法小組的有3人;只參加了一個興趣小組的同學(xué)一共有9人。

【分析】把只參加美術(shù)小組與既參加美術(shù)小組又參加書法小組的人數(shù)相加就是參加美術(shù)

小組的人數(shù)；同理，把只參加書法小組與既參加美術(shù)小組又參加書法小組的人數(shù)相加就

是參加美術(shù)書法的人數(shù)；圖中中間部分就是既參加美術(shù)小組又參加書法小組的人數(shù)；把

只參加美術(shù)小組與只參加書法小組的人數(shù)相加就是只參加了一個興趣小組的人數(shù)。

【解答】解：4+3=7（人）

5+3=8（人）

4+5=9（人）

答：三年級同學(xué)參加美術(shù)小組的有7人，參加書法小組的有8人；既參加美術(shù)小組又參

加書法小組的有3人；只參加了一個興趣小組的同學(xué)一共有9人。

故答案為：7；8；3；9。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

1.一次競賽，其中五年級和六年級共20人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6人不是五年級的，有12

人不是六年級的，該校有多少人獲獎？

【分析】由題意可知：將三個數(shù)據(jù)相加，則每個年級的獲獎人數(shù)都被加了兩次，用這個

和除以2,即為獲獎總?cè)藬?shù)。

【解答】解：（20+16+12）4-2

=484-2

=24（人）

答：該校有24人獲獎。

【點(diǎn)評】此題關(guān)鍵是弄明白三個數(shù)據(jù)中所包含的年級，相加后每個年級都被加了兩次。

2.四年級一班有45人，會下象棋的有18人，會下圍棋的有27人，兩種棋都不會的有5人,

兩種棋都會的有多少人？

我會借助如圖來分析：

我的解答：

【分析】先用45減去5求出至少會一種的人數(shù)，再分別求出只會一種的人數(shù)和兩種棋都

會的人數(shù)，再填圖即可。

【解答】解：

45-5=40（人）

兩種棋都會的：18+27-40=5（人）

只會下象棋的有：18-5=13（人）

只會下圍棋的有：27-5=22（人）

答：兩種棋都會的有5人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

3.小明考小白一道題：同學(xué)們到動物園游玩，參觀熊貓館的有25人，參觀大象館的有30

人，兩個館都參觀的有18人，去動物園的同學(xué)一共有多少人？

小白反問：這些同學(xué)中有沒有既沒去參觀熊貓館，也沒去參觀大象館的？

你覺得小白的問題對解題有用嗎？有用，為什么？因?yàn)槿嗟娜藬?shù)應(yīng)當(dāng)包括四部

分：只參觀熊貓館的、只參觀大象館的、兩個館都參觀的、兩個館都沒參觀的；小明只

說了三種情況，不能確定去動物園的總?cè)藬?shù)，需要再加上一個條件“每位同學(xué)至少參觀

了這兩個館中的一個”。

【分析】全班的人數(shù)應(yīng)當(dāng)包括四部分：只參觀熊貓館的、只參觀大象館的、兩個館都參

觀的、兩個館都沒參觀的；據(jù)此解答即可。

【解答】解：我覺得小白的問題對解題有用；因?yàn)槿嗟娜藬?shù)應(yīng)當(dāng)包括四部分：只參觀

熊貓館的、只參觀大象館的、兩個館都參觀的、兩個館都沒參觀的；小明只說了三種情

況，不能確定去動物園的總?cè)藬?shù)，需要再加上一個條件“每位同學(xué)至少參觀了這兩個館

中的一個”。

故答案為：有用；因?yàn)槿嗟娜藬?shù)應(yīng)當(dāng)包括四部分：只參觀熊貓館的、只參觀大象館的、

兩個館都參觀的、兩個館都沒參觀的；小明只說了三種情況，不能確定去動物園的總?cè)?/p>

數(shù)，需要再加上一個條件“每位同學(xué)至少參觀了這兩個館中的一個”。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，本題要注意去動物園游玩的人

數(shù)的分類。

選擇題（共5小題）

1.三（3）班參加跑步的同學(xué)有丁紅、張麗、李甜、王軍、劉小強(qiáng)；參加跳遠(yuǎn)的同學(xué)有張鵬、

王軍、李芳、陶偉、丁紅、陳曉玲.參加這兩項(xiàng)比賽的共有（）人。

A.10B.9C.II

【分析】由題意知，參加跑步的學(xué)生有5人，參加跳遠(yuǎn)的學(xué)生6人，兩項(xiàng)都參加的有丁

紅、王軍2人，所以用5加6求出參加這兩項(xiàng)的人數(shù)和，再減去2即得參加兩項(xiàng)比賽的

總?cè)藬?shù)：據(jù)此解答。

【解答】解:5+6-2

=11-2

=9（人）

答：參加這兩項(xiàng)比賽的共有9人。

故選：B。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

2.H（1）班獻(xiàn)愛心。有20人捐圖書，有15人捐文具，其中有3人既捐圖書又捐文具。捐

圖書和捐文具的一共有（）人。

A.35B.38C.32D.18

【分析】先用20加上15求出捐圖書和捐文具兩者人數(shù)的和，再減去重復(fù)計(jì)算的3人，

就是捐圖書和捐文具一共的人數(shù)。

【解答】解：20+15-3

=35-3

=32（人）

答：捐圖書和捐文具的一共有32人。

故選：Co

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

3.同學(xué)們參加班級社團(tuán)，參加體育社團(tuán)的有30人，參加藝術(shù)社團(tuán)的有25人，兩個社團(tuán)都

參加的有8人。參加班級社團(tuán)的同學(xué)一共有（）人。

A.55B.38C.47

【分析】根據(jù)容斥問題的解答方法，用參加體育社團(tuán)與參加藝術(shù)社團(tuán)的人數(shù)和減去兩個

社團(tuán)都參加的8人（重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是參加班級社團(tuán)的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：30+25-8

=55-8

=47（名）

答：參加班級社團(tuán)的同學(xué)一共有47人。

故選：Co

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

4.學(xué)校開展了“制作宣傳畫”和“變廢為寶作品展”兩項(xiàng)垃圾分類的宣傳活動。三（1）班

36名同學(xué)都參加了宣傳活動，其中參加''制作宣傳畫”的有20名，參加“變廢為寶作品

展”的有24名，兩項(xiàng)都參加的有（）名同學(xué)。

A.44B.36C.8

【分析】根據(jù)容斥問題公式：既4又2=4+8-總數(shù)量，代入數(shù)據(jù)解答即可。

【解答】解:20+24-36

=44-36

=8（名）

答：兩項(xiàng)都參加的有8名同學(xué)。

故選：Co

【點(diǎn)評】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既A又8=A+8-總數(shù)量（兩種情況）。

5.三一班有25人參加手工社團(tuán)，21人參加合唱社團(tuán)，其中兩個社團(tuán)都參加的有8人，求

只參加了合唱社團(tuán)的人數(shù)列式為（）

A.25+21-8B.21-8C.25-8

【分析】根據(jù)題意，求只參加合唱社團(tuán)的人數(shù)，用參加合唱社團(tuán)的人數(shù)減去兩個社團(tuán)都

參加的人數(shù)即可。

【解答】解：21-8=13（人）

答：只參加合唱社團(tuán)的有13人。

故選：B?

【點(diǎn)評】本題是典型的容斥問題，解答本題關(guān)鍵是理解：參加合唱社團(tuán)的人數(shù)包括只參

加合唱社團(tuán)的人數(shù)與兩個社團(tuán)都參加的人數(shù)。

填空題（共5小題）

6.三（4）班的學(xué)生全部報(bào)名參加繪畫組和音樂組，繪畫組報(bào)名的有38人，音樂組報(bào)名的

有26人，兩組都報(bào)名的有18人。這個班有46名學(xué)生。

【分析】先用38加上26求出參加繪畫組和音樂組的人數(shù)和，再減去兩項(xiàng)都參加的18人

（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是三（4）班一共的人數(shù)。

【解答】解：38+26-18

=64-18

=46（名）

答：這個班有46名學(xué)生。

故答案為：46。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

7.學(xué)校舉行圍棋和象棋比賽，參加圍棋項(xiàng)目的有40人，參加象棋項(xiàng)目的有52人，兩項(xiàng)都

參加的有20人，參加圍棋和象棋的一共有72人。

【分析】先用40加上52求出參加圍棋項(xiàng)目與參加象棋項(xiàng)目的人數(shù)和，再減去兩項(xiàng)都參

加的20人（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是參加圍棋和象棋的一共的人數(shù)。

【解答】解：40+52-20

=92-20

=72（人）

答：參加圍棋和象棋的一共有72人。

故答案為：72。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

8.從如圖中可看出，一共調(diào)查了19人,喜歡籃球的有9人。

【分析】把圖中三部分的人數(shù)相加就是一共調(diào)查的總?cè)藬?shù)；把只喜歡籃球的人數(shù)與兩種

都喜歡的人數(shù)相加就是喜歡籃球的人數(shù)；據(jù)此解答即可。

【解答】解：10+4+5

=14+5

=19（人）

4+5=9（人）

答：一共調(diào)查了19人，喜歡籃球的有9人。

故答案為：19,9。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

9.三年級的同學(xué)們到動物園游玩，每人至少參加一個館，參觀了熊貓館的有25人，參觀了

大象館的有30人，兩個館都參觀了的有16人，一共去了39人。

【分析】根據(jù)容斥原理可知，參觀了熊貓館的人數(shù)+參觀了大象館的人數(shù)-兩個館都參觀

了的人數(shù)=總?cè)藬?shù)。

【解答】解：25+30-16

=55-16

=39（人）

答：一共去了39人。

故答案為：39。

【點(diǎn)評】此題主要考查了二集合容斥原理的應(yīng)用，公式是：A類與B類元素個數(shù)的總和

=A類元素的個數(shù)+B類元素個數(shù)-既是4類又是B類的元素個數(shù)。要熟練掌握。

10.三（1）班同學(xué)參加美術(shù)和舞蹈社團(tuán)活動，其中參加了美術(shù)社團(tuán)活動的有12人，參加了

舞蹈社團(tuán)活動的有13人，兩項(xiàng)都參加了的有7人，三（1）班有18人參加了這兩個

社團(tuán)活動。

【分析】先用12加上13求出參加美術(shù)社團(tuán)與參加舞蹈社團(tuán)活動的人數(shù)和，再減去兩項(xiàng)

都參加的7人（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是三（1）班參加了這兩個社團(tuán)活動的人數(shù)。

【解答】解：12+13-7

=25-7

=18（人）

答：三（1）班有18人參加了這兩個社團(tuán)活動。

故答案為：18。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

三.判斷題（共5小題）

11.三（1）班讀過《安徒生童話》的有20人，讀過《格林童話》的有27人，有8人兩種

書都讀過，至少每人讀過其中的一本，這個班共有學(xué)生55人.…工.

【分析】根據(jù)容斥原理，用20加上27求出兩者的人數(shù)和，再減去8人，可得這個班的

總?cè)藬?shù)，再和55人比較即可.

【解答】解：20+27-8

=47-8

=39（人）

39W55

所以，這個班共有學(xué)生39人，而不是55人，所以原題說法錯誤.

故答案為：X.

【點(diǎn)評】本題考查了容斥原理之一，即兩量重疊問題：A類與8類元素個數(shù)的總和=A

類元素的個數(shù)+B類元素個數(shù)-既是A類又是B類的元素個數(shù).

12.有旅客100人，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，有83人懂俄語，

既懂俄語又懂英語的有68人.±

【分析】有100位旅客，其中有10人既不懂英語，又不懂俄語，則會外語的共有100-

10人，又有75人懂英語,83人懂俄語，根據(jù)容斥原理可知，懂英語又懂俄語的有：(75+83)

-(100-10)人.

【解答】解：(75+83)-(100-10)

=158-90

=68(人)

答：懂英語又懂俄語的有68人.

故答案為：V.

【點(diǎn)評】完成本題要注意，要先將既不懂英語，又不懂俄語的10人從總?cè)藬?shù)中減去.

13.參加語文課外小組的有8人，參加數(shù)學(xué)課外小組的有9人，其中有3人兩樣都參加，參

加課外小組的一共有14人.±

【分析】根據(jù)容斥原理公式，參加課外小組人數(shù)=參加語文小組的人數(shù)+參加數(shù)學(xué)小組的

人數(shù)-兩個小組都參加的人數(shù)，據(jù)此判斷。

【解答】解：8+9-3

=17-3

=14

14=14

所以，原題說法正確。

故答案為：Vo

【點(diǎn)評】本題主要考查了容斥原理，需要學(xué)生熟練掌握容斥原理公式。

14.任意給出5個不同的自然數(shù)，其中兩數(shù)之差是4的倍數(shù)的至少有一對.±

【分析】任何一個正整數(shù)除以4所得的余數(shù)只有4種情況：余0(整除)、余1、余2、

余3.所以對于任意的五個正整數(shù)A、B、C、D、E除以4最多可以有4個不同的余數(shù).

【解答】解：根據(jù)題干分析可得：對于任意的五個正整數(shù)A、B、C、D、E除以4最多可

以有4個不同的余數(shù)0、1、2、3,

（1）假設(shè)4、B、C、。余數(shù)各不相同，那么第五個數(shù)E除以4的余數(shù)只能是0、1、2、

3中的一個余數(shù)，這樣就和A、B、C、。中的一個余數(shù)相同（比如A）,那么E-A就是

4的倍數(shù).

（2）假設(shè)A、B、C、。中存在兩個數(shù)除以3所得余數(shù)相同（不妨設(shè)是AB）,那么A-B

就是4的倍數(shù).

綜上所述，任意5個自然數(shù)，至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù)，這句話是正確的.

故答案為：V.

【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)任意整數(shù)除以4的余數(shù)情況有4種，從而進(jìn)行分析解答.

15.體育館里共有30人參加跳臺和跳板比賽，參加跳臺的有16人，參加跳板的有19人，

兩項(xiàng)比賽都參加的有5人.±,

【分析】先計(jì)算出參加兩項(xiàng)比賽的總?cè)藬?shù)，因?yàn)槊咳酥辽賲⒓右豁?xiàng)，有部分同學(xué)兩項(xiàng)都

參加了，重復(fù)數(shù)了，所以總?cè)藬?shù)比實(shí)際全班人數(shù)多，比全班實(shí)際人數(shù)多出的人數(shù)就是兩

項(xiàng)都參加的人數(shù).

【解答】解：16+19-30

=35-30

=5（人）.

答：這兩項(xiàng)比賽都參加的有5人.

故答案為：V.

【點(diǎn)評】此題屬于簡單的容斥原理問題，參加的總?cè)藬?shù)和實(shí)際人數(shù)的差就是兩項(xiàng)都參加

的人數(shù).

四.應(yīng)用題（共5小題）

16.學(xué)校舉辦“我的中國夢”書畫作品比賽，共有210幅作品分別獲得一、二等獎和優(yōu)秀獎，

其中優(yōu)秀獎和二等獎的作品共148幅，獲得一二等獎的作品共140幅，獲得一等獎、二

等獎和優(yōu)秀獎的作品各有多少幅？

【分析】140+148=288（幅），是一、二、二、優(yōu)秀獎數(shù)量的和，比一、二、優(yōu)秀獎總

數(shù)210幅多的數(shù)量就是二等獎的數(shù)量，即288-210=78（幅）；那么一等獎就有140-

78=62（幅），優(yōu)秀獎有148-78=70（幅）；據(jù)此解答即可。

【解答】解：140+148=288（幅）

288-210=78（幅）

140-78=62（幅）

148-78=70（幅）

答：獲得一等獎、二等獎和優(yōu)秀獎的作品各有62、78、70幅。

【點(diǎn)評】本題主要考查容斥原理，解答本題的關(guān)鍵先求出二等獎的數(shù)量。

17.四年級一班同學(xué)參加跳繩和踢鍵子比賽，每人至少參加一個項(xiàng)目，有30人參加跳繩，

有26人參加踢例子，兩項(xiàng)都參加的有13人，四年級一班一共有多少人？

【分析】根據(jù)容斥原理，用跳繩的30人加參加踢穰子的26人，求出和，然后再減去兩

項(xiàng)都參加的13人（重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是四年級一班總?cè)藬?shù)。

【解答】解：30+26-13

=56-13

=43（人）

答：四年級一班一共有43人。

【點(diǎn)評】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既4又8=4+8-總數(shù)量（兩種情況）。

18.實(shí)驗(yàn)小學(xué)三（一）喜歡籃球的有9人，喜歡足球的有15人，兩種球都喜歡的有4人。

（1）填寫如圖：

（2）喜歡足球或喜歡籃球的一共有多少人？

【分析】（1）兩種球都喜歡的有4人，即重疊部分有4人，那么只喜歡籃球的有9-4

=5人，只喜歡足球的有15-4=11人，據(jù)此解答即可。

（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)=（A+B）-既A又5解答即可。

【解答】解：（1）9-4=5（A）

15-4=11（人）

（2）9+15-4

=24-4

=20（人）

答：喜歡足球或喜歡籃球的一共有20人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

19.一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)只有兩道題，結(jié)果全班有12人全做對，其中第一道題有24人做對，第二

道題有20人做錯。兩道題都做錯的有多少人？

【分析】第一道題有24人做對，包括只做對一道和兩道都做對的，因此只做對第一道題

的有（24-12）人；已知第二道題有20人做錯，也包括只做錯一道和兩道都做錯的，則

兩道都做錯的有［20-（24-12）］人。

【解答】解：20-（24-12）

=20-12

=8（人）

答：兩道題都做錯的有8人。

【點(diǎn)評】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。

20.我們班參入調(diào)查了飯后吃水果情況：30人喜歡吃蘋果，27人喜歡吃梨，10人兩種都喜

歡，問我們班有多少人？

【分析】先用30加上27求出兩者的人數(shù)和，然后減去重疊的人數(shù)10即可。

【解答】解:30+27-10

=57-10

=47（人）

答：我們班有47人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

一.選擇題（共5小題）

1.三（1）班同學(xué)參加興趣班。參加書法班的有16人，參加美術(shù)班的有25人，兩項(xiàng)都參加

的有6人。三（1）班一共有（）人參加興趣班。

A.47B.4IC.35

【分析】由題意，用參加書法班的人數(shù)加參加美術(shù)班的人數(shù)，再減去兩項(xiàng)都參加的人數(shù)

即可求解。

【解答】解：16+25-6

=41-6

=35（人）

答：三（1）班一共有35人參加興趣班。

故選：C?

【點(diǎn)評】本題主要考查了容斥原理，解答此題注意（16+25）把兩個小組都參加的人數(shù)多

算了一次，所以要減去兩項(xiàng)都參加的人數(shù)。

2.三（2）班同學(xué)們?nèi)フ?，每人最少摘了一種水果。摘蘋果的有17人，摘梨子有16

人，兩種水果都摘的有3人。三（2）班共有（）人。

A.36B.33C.27D.30

【分析】先用17加上16求出摘蘋果與摘梨子的人數(shù)和，再減去兩種水果都摘的3人（即

重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是三（2）班的人數(shù)。

【解答】解：17+16-3

=33-3

=30（人）

答：三（2）班共有30人。

故選：D。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

3.H（1）班參加全員運(yùn)動會。參加“跳繩”項(xiàng)目的有40人，參加“投包入筐”項(xiàng)目的有

35人。全班53名同學(xué)，每人至少參加了其中的一個項(xiàng)目。兩個項(xiàng)目都參加的有（）

人。

A.13B.18C.22D.31

【分析】先用40加上35求出參加“跳繩”項(xiàng)目與參加“投包入筐”項(xiàng)目的人數(shù)和，再

減去三（1）班的總?cè)藬?shù)53就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩個項(xiàng)目都參加的人數(shù)。

【解答】解：40+35-53

=75-53

=22（人）

答：兩個項(xiàng)目都參加的有22人。

故選：Co

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

4.三年級（3）班有31人參加跳繩和足球興趣小組，其中參加跳繩的有22人，參加足球的

有14人，兩個組都參加的有（）人。

A.6B.4C.5

【分析】根據(jù)容斥原理可知，參加跳繩小組的人數(shù)+參加足球小組的人數(shù)-總?cè)藬?shù)=兩個

組都參加的人數(shù)，據(jù)此計(jì)算即可。

【解答】解：22+14-31

=36-31

—5（人）

答：兩個組都參加的有5人。

故選：C。

【點(diǎn)評】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。

5.四（1）班共有32人，上周都參加語文和數(shù)學(xué)優(yōu)秀作業(yè)評選，語文優(yōu)秀的16人，數(shù)學(xué)優(yōu)

秀的12人，兩科都不優(yōu)秀的有10人，兩科都優(yōu)秀的有（）人。

A.4B.6C.18

【分析】先用16加12求出語文優(yōu)秀和數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)和，再減去四（1）班至少一科優(yōu)

秀的總?cè)藬?shù)（32-10）就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩科都優(yōu)秀的人數(shù)。

【解答】解：（16+12）-（32-10）

=28-22

=6（人）

答：兩科都優(yōu)秀的有6人。

故選：B。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

填空題（共5小題）

6.三（1）班有40人參加美術(shù)興趣小組和音樂興趣小組，其中參加美術(shù)興趣小組的有21

人，參加音樂興趣小組的有24人，兩個興捶小組都參加的有5人,只參加美術(shù)興趣

小組的有16人,只參加音樂興趣小組的有19人。

【分析】先用21加24求出參加美術(shù)興趣小組的和參加音樂興趣小組的人數(shù)和，再減去

三（1）班的總?cè)藬?shù)40就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩個興趣小組都參加的人數(shù)。然后

用參加美術(shù)興趣小組的人數(shù)減去兩個興趣小組都參加的人數(shù)就是只參加美術(shù)興趣小組的

人數(shù)。同理，求出只參加音樂興趣小組的人數(shù)即可。

【解答】解:21+24-40

=45-40

=5（人）

21-5=16（人）

24-5=19（人）

答：兩個興趣小組都參加的有5人，只參加美術(shù)興趣小組的有16人，只參加音樂興趣小

組的有19人。

故答案為：5；16；19。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

7.看圖回答問題。

喜歡足球的有17人,喜歡籃球的有11人,兩種球都喜歡的有5人。

【分析】根據(jù)圖示可得：只喜歡足球的有12人，兩項(xiàng)都喜歡的有5人，只喜歡籃球的有

6人，用只喜歡足球的人數(shù)加上兩項(xiàng)都喜歡的人數(shù)就是喜歡足球的人數(shù)，用只喜歡籃球的

人數(shù)加上兩項(xiàng)都喜歡的人數(shù)就是喜歡籃球的人數(shù)。

【解答】解：兩項(xiàng)都喜歡的有5人；

12+5=17（人）

5+6=11（人）

答：喜歡足球的有17人，喜歡籃球的有11人，兩種球都喜歡的有5人。

故答案為：17,11,5。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

8.實(shí)驗(yàn)小學(xué)創(chuàng)客社團(tuán)共有24人，其中有16人會編程，12人會表演航模，那么既會編程又

會表演航模的有4人。

【分析】先用16加12求出會編程和會表演航模的人數(shù)和，再減去創(chuàng)客社團(tuán)的總?cè)藬?shù)24

就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是既會編程又會表演航模的人數(shù)。

【解答】解：16+12-24

=28-24

=4（人）

答：既會編程又會表演航模的有4人。

故答案為：4。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

9.在迎“六一”聯(lián)歡會上，三（1）班同學(xué)積極報(bào)名，人人參加，唱歌的有32人，跳舞的

有15人，兩項(xiàng)都參加的有7人。

（1）在圈里填一填。

（2）三（1）班一共有40位同學(xué)。

【分析】（1）用32減去7求出只參加唱歌的人數(shù)；用15減去7求出只參加跳舞的人數(shù)，

然后填圖即可。

（2）把圖中三部分的人數(shù)相加就是三（1）班的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：（1）32-7=25（人）

15-7=8（人）

(2)25+7+8

=32+8

=40（位）

答：三（1）班一共有40位同學(xué)。

故答案為：40。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

10.三（2）班參加唱歌興趣小組的有20人，參加舞蹈興趣小組的有15人，兩個小組都參

加的有13人，只參加一個興趣小組的有9人。

【分析】用20減去13求出只參加唱歌興趣小組的人數(shù)；用15減去13求出只參加舞蹈

興趣的人數(shù)，然后把這兩部的人數(shù)相加即可。

【解答】解：（20-13）+（15-13）

=7+2

—9（人）

答：只參加一個興趣小組的有9人。

故答案為：9。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

三.判斷題（共5小題）

11.在慶六一聯(lián)歡會上，其中有15人參加了跳舞表演，有20人參加了歌唱表演，有8人這

兩項(xiàng)都參加了。那么只參加歌唱表演的正確列式是15+20-8。2<

【分析】有20人參加了歌唱表演，這20人包括兩部分：只參加歌唱表演的和兩項(xiàng)都參

加的，所以用20減去8即可求出只參加歌唱表演的人數(shù)，據(jù)此解答即可。

【解答】解：只參加歌唱表演的正確列式是：20-8=12（人）

所以原題說法錯誤。

故答案為：X。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

12.三（1）班訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂《語文報(bào)》的有30人，兩種報(bào)紙都訂的有10

人,全班每人至少訂一種報(bào)紙。三（1）班共有52人?！?/p>

【分析】先用32加上30求出兩者的和，再減去重復(fù)計(jì)算的10人即可。

【解答】解：32+30-10

=62-10

=52（人）

答：三（1）班共有52人。

所以原題說法正確。

故答案為：V?

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，容斥原理的計(jì)算公式：4類

與8類元素個數(shù)的總和=A類元素的個數(shù)+8類元素個數(shù)-既是A類又是8類的元素個數(shù)。

13.小明有4種文具，小東有5種文具，那么他們兩人一定有9種文具。K

【分析】小明有4種文具，小東有5種文具，可能擁有的文具有重疊部分，據(jù)此判斷即

可。

【解答】解：小明有4種文具，小東有5種文具，可能擁有的文具有重疊部分，所以他

們兩人不一定有9種文具；因此原題說法錯誤。

故答案為：X。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

14.某班每人都至少訂閱了一種報(bào)紙，其中訂閱《英語報(bào)》的有18人，訂閱《語文報(bào)》的

有20人，兩種報(bào)紙都訂的有4人，全班一共有38人。2<

【分析】由題意，用18加上20就是只訂閱《英語報(bào)》、只訂閱《語文報(bào)》以及兩樣都

訂閱的人數(shù)的2倍，再減去兩樣都訂閱的人數(shù)，即得全班的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：18+20-4

=38-4

=34（人）

全班一共有34人；所以原題說法錯誤。

故答案為：X。

【點(diǎn)評】本題考查了容斥原理，知識點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)=（A+B）-既A又及

15.爸爸愛吃的水果有：蘋果、梨、香蕉、葡萄；媽媽愛吃的水果有柿子、香蕉、桔子。他

們倆愛吃的水果一共有7種。2<

【分析】兩人愛吃水果的總種數(shù)=爸爸愛吃的水果種數(shù)+媽媽愛吃的水果種數(shù)-都愛吃的

水果種數(shù)；據(jù)此解答即可。

【解答】解：4+3-1=6（種）

他們倆愛吃的水果一共有6種，而不是7種；所以原題說法錯誤。

故答案為：X。

【點(diǎn)評】本題屬于容斥原理：A類8類元素個數(shù)的總和=A類元素個數(shù)+8類元素個數(shù)-

A類B類共同的元素個數(shù)。

四.應(yīng)用題（共5小題）

16.三（1）班參加數(shù)學(xué)興趣小組和音樂興趣小組的共有42人，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有

23人，參加音樂興趣小組的有26人，同時參加兩個興趣小組的有幾人？

【分析】先用26加上23求出這兩個興趣小組的人數(shù)和，然后再減去實(shí)際的總?cè)藬?shù)42,

就是同時參加兩個興趣小組的有幾人。

【解答】解：23+26-42

=49-42

=7（人）

答：同時參加兩個興趣小組的有7人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

17.三年級（1）班有52人，喜歡喝牛奶的有27人，喜歡喝豆?jié){的有36人。既喜歡喝牛奶

又喜歡喝豆?jié){的有多少人？

【分析】先用27加上36求出喜歡喝牛奶與喜歡喝豆?jié){的人數(shù)和，再減去三年級（1）班

的總?cè)藬?shù)52就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是既喜歡喝牛奶又喜歡喝豆?jié){的人數(shù)。

【解答】解:27+36-52

=63-52

=11（人）

答：既喜歡喝牛奶又喜歡喝豆?jié){的有11人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

18.某校美術(shù)社團(tuán)有35名同學(xué)會剪紙，有18名同學(xué)會篆刻，其中有9名同學(xué)兩種都會，美

術(shù)社團(tuán)有多少名同學(xué)？（先畫圖分析，再列式解答）

【分析】先用18加上35求出會篆刻與會剪紙的人數(shù)和，再減去兩種都會的9名（即重

復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是美術(shù)社團(tuán)一共的人數(shù)。

【解答】解：

18+35-9

=53-9

=44（名）

答：美術(shù)社團(tuán)有44名同學(xué)。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

19.在三（1）班思維課堂上，老師出了兩道考察思維能力的題。做對第一道題的有28人，

做對第二道題的有30人，（每人至少做對一道題）。兩道題都做對的有多少人？

【分析】先用28加上30求出做對第一道題與做對第二道題的人數(shù)和，再減去三（1）班

的總?cè)藬?shù)45就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩道題都做對的人數(shù)。

【解答】解：28+30-45

=58-45

=13（人）

答：兩道題都做對的有13人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

20.希望小學(xué)三（2）班課后服務(wù)時間做完語文作業(yè)的有38人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的47人，兩

種作業(yè)都做完的有31人。三（2）班一共有多少人？

【分析】先用38加上47求出做完語文作業(yè)和做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)和，再減去兩種作業(yè)

都做完的31人（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是三（2）班一共的人數(shù)。

【解答】解：38+47-31

=85-31

=54（人）

答：三（2）班一共有54人。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

選擇題（共5小題）

1.（2022春?天心區(qū)期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”一亮相，好

評不斷。某班共45人，其中30人喜愛冰墩墩，25人喜愛雪容副!，1人對這兩個吉祥物

都不喜愛，則既喜歡冰墩墩又喜歡雪融融的有（）人。

A.25B.44C.9D.11

【分析】先用45減去1求出至少喜歡一種的人數(shù)，然后再用30與25的和減去至少喜歡

一種的人數(shù)即可。

【解答】解：（30+25）-（45-1）

=55-44

=11（人）

答：既喜歡冰墩墩又喜歡雪融融的有11人。

故選：Do

【點(diǎn)評】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出至少參加一種的人數(shù)，知識點(diǎn)是容斥原理一：

總?cè)藬?shù)=（A+B）-既A又及

2.（2021秋?烏達(dá)區(qū)期末）電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過cctv

-3,34人看過cbv-5,11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有（）人。

A.17B.7C.15

【分析】先用62加上34求出看過ccW-3和看過cdv-5的人數(shù)和，再減去兩個頻道都

看過的11人（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是至少看過一個頻道的總?cè)藬?shù)，然后再與100人

作差即可。

【解答】解：62+34-11

=96-11

=85（人）

100-85=15（人）

答：兩個頻道都沒看過的有15人。

故選：C。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

3.（2022春?欒城區(qū)期末）光明小學(xué)五年級一班有49名同學(xué)。學(xué)校組織同學(xué)報(bào)名參加活動，

參加音樂活動的有36人，參加美術(shù)活動的有31人，兩種活動都參加的有25人，也有同

學(xué)兩種活動都沒有參加，都沒有參加的同學(xué)有（）人。

A.42B.5C.7

【分析】根據(jù)容斥原理，總?cè)藬?shù)-參加音樂活動的人數(shù)+參加美術(shù)活動的人數(shù)-兩種活動

都參加的人數(shù)=兩種活動都沒有參加的人數(shù)。

【解答】解：49-（36+31-25）

=49-42

=7（人）

答：都沒有參加的同學(xué)有7人。

故選：Co

【點(diǎn)評】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。

4.（2021秋?平和縣期末）大課間，三（1）班有20人參加踢健子活動，16人參加跳繩活

動，兩項(xiàng)都參加的有5人。三（1）班參加這兩項(xiàng)活動的一共有（）人。

A.31B.41C.36D.9

【分析】先用20加上16求出參加踢鍵子活動和參加跳繩活動的人數(shù)和，再減去兩項(xiàng)都

參加的5人（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是三（1）班參加這兩項(xiàng)活動的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：20+16-5

=36-5

=31（人）

答：三（1）班參加這兩項(xiàng)活動的一共有31人。

故選:Ao

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

5.（2021秋?秦皇島期末）秋季運(yùn)動會上，參加短跑的有30人，參加長跑的有35人，兩

項(xiàng)都參加的有19人，一共有（）人參加比賽。

A.84B.46C.65

【分析】先用30加上35求出參加短跑的和參加長跑的人數(shù)和，再減去兩項(xiàng)都參加的19

人（即重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是一共參加比賽的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：30+35-19

=65-19

=46（人）

答：一共有46人參加比賽。

故選：B。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

二.填空題（共5小題）

6.（2022春?遷安市期末）五⑴班訂閱《少年文摘》的有19人，訂閱《學(xué)與玩》的有

24人，兩種都訂的有13人。問至少訂閱一本雜志的有30人。

【分析】根據(jù)容斥原理，訂閱《少年文摘》的人數(shù)+訂閱《學(xué)與玩》的人數(shù)-兩種都訂的

人數(shù)=至少訂閱一本雜志的人數(shù)。

【解答】解：19+24-13

=43-13

=30（人）

答：至少訂閱一本雜志的有30人。

故答案為：30。

【點(diǎn)評】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。

7.（2022?漣源市）六（1）班在一次測驗(yàn)中，有26人語文得優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)得優(yōu)。其中

語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有10人，另外還有4人語文、數(shù)學(xué)都沒得優(yōu)，這個班有50人。

【分析】有26人語文得優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)得優(yōu)。其中語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有10人，根據(jù)

容斥原理，先求出這個班獲得優(yōu)秀的人數(shù)，即（26+30-10）人，再加上另外語文、數(shù)學(xué)

都沒得優(yōu)的4人。

【解答】解：26+30-10+4

=46+4

=50（人）

答：這個班有50人。

故答案為：50。

【點(diǎn)評】首先根據(jù)容斥原理之一：A類B類元素個數(shù)總和=屬于A類元素個數(shù)+屬于B

類元素個數(shù)-既是A類又是B類的元素個數(shù)，求出獲優(yōu)的有多少人是完成本題的關(guān)鍵。

8.（2022春?正定縣期末）五一班同學(xué)都參加了周六或周日課外活動。周六有15人參加，

周日有18人參加；兩天都參加的有5人。五一班共有28人。

【分析】先用15加上18求出周六和周日參加的人數(shù)和，再減去兩天都參加的5人（即

重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是五一班的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：15+18-5

=33-5

=28（人）

答：五一班共有28人。

故答案為：28。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問題。

9.（2022?青島模擬）五年級三班參加跳繩比賽的有12人，參加踢牌子比賽的有15人,其

中6人兩項(xiàng)都參加，五年級三班參加這兩項(xiàng)活動的一共有21人。

【分析】參加跳繩比賽的人數(shù)+參加跳繩比賽的人數(shù)-兩項(xiàng)都參加的人數(shù)=參加這兩項(xiàng)活

動的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：12+15-6=21（人）

答：五年級三班參加這兩項(xiàng)活動的一共有21人。

故答案為：21。

【點(diǎn)評】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。

10.（2021秋?永順縣期末）有35人參加了語文小組,有38人參加了數(shù)學(xué)小組,

兩個小組都參加的有20人,一共有53人。

【分析】根據(jù)圖示可得：兩個小組都參加的有20人，用15加上20就是參加了語文小組

的人數(shù)；用18加上20就是參加了數(shù)學(xué)小組的人數(shù)；把圖中三部分的人數(shù)相加就是一共

的總?cè)藬?shù)。

【解答】解：兩個小組都參加的有20人。

15+20=35（人）

20+18=38（人）

15+20+18

=35+18

=53（人）

答：有35人參加了語文小組，有38人參加了數(shù)學(xué)小組，兩個小組都參加的有20人，一

共有53人。

故答案為：35,38,20,53。

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。

三.判斷題（共5小題）

11.（2021秋?息縣期末）有45人，每人至少訂一種刊物，訂《漫畫大王》的有37人，訂

《紅樹林》的有29人，兩種刊物都訂的有21人。工

【分析】根據(jù)“訂《漫畫大王》的有37人，訂《紅樹林》的有29人”可得兩者的總?cè)?/p>

數(shù)為（37+29）人，這其中把兩種刊物都訂的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以兩種刊物都訂的人

數(shù)等于訂《漫畫大王》的人數(shù)加訂《紅樹林》的人數(shù)減45人即可判斷。

【解答】解：37+29-45

=66-45

=21（人）

所以兩種刊物都訂的有21人，故原題說法正確。

故答案為：

【點(diǎn)評】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既4又8=A+8-總數(shù)量。

12.（2018春?盧龍縣期末）三年級一共有31人參加了舞蹈組或美術(shù)組，其中參加舞蹈組

的有19人，參加美術(shù)組的有24人，兩個小組都參加的有12人.上

【分析】根據(jù)“參加舞蹈組的有19人，參加美術(shù)組的有24人.”可得兩者的總?cè)藬?shù)：

19+24=43人,這其中把兩種興趣小組都參加的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理

可得兩種興趣小組都參加的人數(shù)是：43-31=12（人），據(jù)此解答即可.

【解答】解：19+24-31

=43-31

=12（人）

即兩個小組都參加的有12人，所以原題說法正確.

故答案為：V.

【點(diǎn)評】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既4又B=A+8-總數(shù)量（兩種情況）.

13.（2017秋?巴東縣期末）同學(xué)們到動物園游玩，參觀熊貓館的10人，參觀大象館的8

人，兩個館都參觀的是3人，去動物園的一共有18人.X

【分析】由題意，用10+8就是只參觀熊貓館、只參觀大象館以及兩個館都參觀的人數(shù)和,

再減去重復(fù)計(jì)算的兩個館都參觀的人數(shù)，即得去動物園的總?cè)藬?shù).

【解答】解：10+8-3

=18-3

=15（人）

即去動物園的一共有15人，所以原題說法錯誤.

故答案為：X.

【點(diǎn)評】解答此題注意10+8把兩個館都參觀的人數(shù)多算了一次，所以要減去.

14.（2017秋?江岸區(qū)期末）同學(xué)們到動物園游玩，參觀熊貓館的有10人，參觀大象館的

有8人，兩個館都參觀的有3人，參觀動物園的同學(xué)一共有15人?！?/p>

【分析】用參觀熊貓館的人數(shù)加上參觀大象館的人數(shù)，再減去兩個館都參觀的人數(shù)，求

參觀動物園的總?cè)藬?shù)，與15人比較即可得出結(jié)論。

【解答】解：10+8-3=15（人）

所以原題說法正確。

故答案為：Vo

【點(diǎn)評】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，也可借助圖形解決問題。

15.（