自動控制原理重點課件

第一章概述

第一節(jié)課程內(nèi)容概述

一、控制理論的組成

1、經(jīng)典控制論：針對單輸入一一單輸出系統(tǒng)；拉氏變

換；線性系統(tǒng)。

2、現(xiàn)代控制論：多輸入——多輸出系統(tǒng)；狀態(tài)空間法;

線性及非線性系統(tǒng)。

離散系統(tǒng)的設計、分析、系統(tǒng)優(yōu)化、系統(tǒng)智能化控制。

二、授課內(nèi)容

1、控制系統(tǒng)的工作原理、系統(tǒng)組成、系統(tǒng)分類；

2、系統(tǒng)數(shù)學模型的建立。包括微分方程、傳遞函數(shù)、

頻率特性。

3、系統(tǒng)性能分析。包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；穩(wěn)態(tài)誤差

分析；時間響應分析；

4、系統(tǒng)綜合。

5、Matlab軟件及其在控制系統(tǒng)輔助設計中的應用。

三、學習本課程的目的

1、掌握自動控制系統(tǒng)的工作原理。

2、建立系統(tǒng)動態(tài)特性的概念。

3、掌握控制系統(tǒng)的設計及分析的方法。

4、為后續(xù)課程打下基礎。（信號與系統(tǒng)、傳感器、精

密測量等）

2012年9月n日起，共18次，單周1次課，雙周2

次課。

第二節(jié)控制系統(tǒng)的工作原理

一、系統(tǒng)工作原理

1、舉例

(1)恒溫控制系統(tǒng)(controlsystem)

系統(tǒng)如圖所示

?系統(tǒng)組成：恒壓源，熱電偶，放大轉(zhuǎn)換元件,

電動機，減速器，分壓器，熱阻絲。

?系統(tǒng)工作過程：

與人工控制的比較:

人工控制：觀察，比較，調(diào)節(jié)。

自動控制：檢測，比較，調(diào)節(jié)。

兩者工作過程相比較，不難發(fā)現(xiàn)，其過程都需要將當

前的溫度與要達到的目標溫度相比較，再根據(jù)比較的

結(jié)果決定調(diào)節(jié)的過程，這一過程就是反饋(feedback)

過程。所以控制是基于反饋實現(xiàn)的。無論人工控制，

還是自動控制都是如此。

?自動控制系統(tǒng)的工作原理：系統(tǒng)的輸出能返回

系統(tǒng)的輸入，與輸入相比較，得到具有大小和方向

的偏差信號，根據(jù)偏差信號的大小和方向?qū)ο到y(tǒng)的

輸出進行調(diào)節(jié)。

系統(tǒng)根據(jù)偏差信號的大小和方向?qū)敵龅恼{(diào)節(jié)，其目

的是消除偏差。

(2)數(shù)控伺服系統(tǒng)

數(shù)控伺服系統(tǒng)是較典型的計算機控制系統(tǒng)。目前計算

機控制數(shù)控伺服系統(tǒng)有無反饋和有反饋兩種形式，其

中，有反饋的又包括半閉環(huán)和全閉環(huán)。如圖所示系統(tǒng)

為全閉環(huán)系統(tǒng)。

J一

度

控制

L單

一

匹

NC

CN補

插

速度控制

令

指

調(diào)節(jié)與驅(qū)動

一

i-一

實

際

實

際

速

度

位

置

反

饋

反

饋

翻再反褫率;

組成

工作過程

2、開環(huán)和閉環(huán)

(1)開環(huán)：開環(huán)控制系統(tǒng)信號是單一流向的，其特點

為：

輸入--------—＞輸出

特點：無檢測、無反饋、系統(tǒng)的控制精度取決于系統(tǒng)組

成元件的精度。系統(tǒng)結(jié)構簡單，易維護，造價低。無穩(wěn)

定性問題。

(2)閉環(huán)：閉環(huán)控制系統(tǒng)的信號是封閉的，其特點為:

特點：有檢測，有反饋，系統(tǒng)的控制精度高。系統(tǒng)結(jié)

構復雜，不易維護，造價高。存在穩(wěn)定性問題。

第三節(jié)系統(tǒng)的組成及分類

一、系統(tǒng)的組成

1、組成：給定元件，比較元件，檢測反饋元件，放大

轉(zhuǎn)換元件，執(zhí)行元件，控制對象，校正元件，輔助元

件。

2、基本結(jié)構：

二、系統(tǒng)的分類

1、按有無反饋分類：開環(huán)，閉環(huán)。

2、按系統(tǒng)組成元件分類：機械控制系統(tǒng)，電氣控制系

統(tǒng)，機電控制系統(tǒng)。

3、按輸出的形式分類：恒值控制系統(tǒng)，伺服控制系統(tǒng),

程序控制系統(tǒng)。

第四節(jié)對控制系統(tǒng)的要求

一、穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是反饋控制系統(tǒng)的首要問題，從

系統(tǒng)的響應看，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，也就是說系統(tǒng)的輸出

能否跟隨系統(tǒng)的輸入，如果能跟隨系統(tǒng)的輸入，系統(tǒng)

是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

StepResponse

From:U(1)

①

p

2二

=

d>

l6

u1

<

2468101214161820

Time(sec.)

二、準確性：控制精度指標。以穩(wěn)態(tài)誤差的大小衡量

其控制精度。

三、快速性：衡量系統(tǒng)從一狀態(tài)到另一狀態(tài)所需的時

間。

第二章拉普拉斯變換

第一節(jié)拉普拉斯變換

一、定義：

產(chǎn)(s)=乙"")］=［于Se-stdt

、典型信號的拉氏變換

1、階躍信號:

1t>0

f(t)=

0t<0

oooo11

R(s)=^r(t)e~stdt=dt=--=——(0-1)=-

s

o0o

2、脈沖信號：

oot=o

3(，)=

0(wO

OO

L[^(0]=^S(t)e-stdt

o

11

e~stdt=lim———e—st

r->0

ST0

1—er

=lim—=limL=1

Tf0ST20

3、斜坡信號：

tt>o1

R3=《卬］2

0r<0

4、拋物線信號:

J—at~1Z0r「12r0

R(t)=j2乙[—at]=--

[0t<02$3

5、正弦、余弦信號:

aco

rrras

L[asincot}=~~；2L[acosaft]=--------

S+CDS+CD

三、性質(zhì)：

1線性性質(zhì):

U。/⑺+〃272⑺]=%尸1G)+〃2尸2(s)

23

例1：乙[2+3〃=1十7

2時域中的位移定理：

L[f(t)]=F(s)

L[f(t-T)]=F(s)e-ts

例2：方波信號的函數(shù)表達

xQ)=一[〃?)—u(t—r)]X(t)

T

111l-e~sr

乙[xQ)]=—[___e-sr]=---------

TSSTS

3、復域中的位移定理：

H/(O]=尸(s)

Uf(t)e-at}=F(s+a)

例3：

s+1

例4：

sin^=—[e7fyz-e-j(ot]

2j

11112)。CD

“sincot]=[-------------]=----z---7=—;---7

2js-jcos+jco2js2+CD~s2+CD~

4、微分性質(zhì)：

乙"⑺]=產(chǎn)")

乙嗎”|=5/(s)—40)

dt

嗎當=$2尸⑶―儀0)—八0)

(?)dnf(t^

若/(0)=0,/(0)=0,乙[=s〃戶(s)

例5：

已知5^^+6粵^+y(t)=x(f)與出Y(S)表達式y(tǒng)(0)=0,<(0)=0

drdt

5、積分性質(zhì)：

JSS

6、初值定理：

7、終值定理:

lim/Q)=limsF(s)

>0>QO

lim/(，)=lim5產(chǎn)($)

t----->oos------>0

練習：

1、求L氏變換

T

/?)=sin創(chuàng)0<Z<-

,0，取其它值

2、L[sin(r+—)]

4

第二節(jié)拉氏逆變換

一、逆變換表達式

]放

/?)=Ks)],]>(s)/ds

J-放

二、部分分式展開求逆變換

EV、A(s)A(s)

F(5)=----=----------------------------

B(s)(s_%)(s_%)(s_%…(s_)

1、無重根形式

若即)=0的根無重根，(1)式可展開為

b(s)二——+——+???+—―

s-a,1s-a^Zns-a?

m=(s-a)F(s)

}11}S=Q]

m2=(S一出)尸(“Li

*

=(s-a1^Ffs)

lS=6

*

*

*

mn=("%)尸⑶

在確定了分式的g后，可根據(jù)=±得出

/?)=廠WG)]

a1a01

=m]e'+m^e--\----Fmne"

?

=>Mdr

i=\

例：已知"s)=(s+i，+2),求其逆變換。

IJI1JIOI乙J

解：F(s)為無重根形式

m,

尸（s）=——+―

s+1s+2

mx=(5+1)尸(5)[=10

m2=(s+2)廠(s)1二一10

.../(O=廠WG)]=10/—10e~

例：已知義口二聲而，求其逆變換。

解：

y（s）

m.=SJF(S),、=k

1s=O

m=(Ts+1)廣(s)s___L——Tk

2一T

k-Tkkk

y（s）----1--------

sTs+1ss+—1

T

y(%)—k—keT

2、F（s）有重根的形式

若叫）=。的根有重根，（1）式可展開為

&s)

F(s)=

(5—。1))(5—。2＞八(5—〃〃7+1)

mm

尸（，）=un+———+???

(5-。1)，(S-Q])，T(S—Q)s-ais-a2

1d(I)[(S—Q)萬(s)]

(k-l)!ds(i)

例：求拉氏逆變換y⑸二7匕

mmm

y(s)=Tn+—n+—2—

sss+1

2

mn=5y(5)=1

s=0

d[s2y(s)](1\—1

m=-------------=------

l2ds(S+l)2

s=o3+D5=0

根2=(s+i)y⑸I—=I

i-ii

「.y（s）二—7H-------1-----------

SS5+1

/.y（/）—t—1+e'

3、含有復數(shù)根的情況：

若陽，）=。的根含有復數(shù)根，為共軻復數(shù)根。令內(nèi)、。2為

一對共輒復數(shù)根，（1）式可展開為

「/、as+bm,

/(s)=---------------------+———+???

(S_Q])(S_〃2)s-a3

mx無重根部分分子確定方法與前述無重根形式的方法

相同，復數(shù)根部分分子多項式系數(shù)a、b確定方法為：

（os+Msi=（s_Qi）（s_〃2*G）Li復數(shù)相

等，實部、虛部分別相等。聯(lián)立求解，可確定〃、b

L/\5+1

例：求⑸=S（S2+S+1）的拉氏逆變換

解：F（s）中含有復數(shù)根，F(xiàn)⑸部分分式展開為

?、as+bm

m=sF(s)\=1

?3一V

3+866=(r+s+l)/⑸

s=—0.5—jO.866

/八CQAQ

。(-0.45-/0.866)+bi=：--0-.-5----j-,0--.-8-6-6--

-0.5-j0.866

0.5-jO.866=研0.25+J0.866-0.75)+仇-0.5-j,0.866)

—0.5。-0.5/?—0.5

0.866。-0.866Z?=-0.866

a=—\,b=0

s

：.F(s)=--

ss2+S+1

1s+0.5—0.5

sz1、2zV3x2

(F+(5)

15+0.50.866x0.578

------------------------------------------------------p-------------------------------------------

s(5+0.5)2+0.8662(s+0.5)2+0.8662

???加)二廠［/(削

二1一泊gcosO.866/+0.5781八皿0.866/

=1-*°勺/+0.5782(-1.cos0.8661--/。璉sin0.866r)

Vl+0.5782V1+0.5782

=1-1.16e-°”sin(0.866f+9)

。二火7(總)”(-1.73)

U.J/O

第二章系統(tǒng)數(shù)學模型建立

第一節(jié)數(shù)學模型

一、數(shù)學模型的概念

用來描述系統(tǒng)動態(tài)特性的一組數(shù)學表達式

形式包括微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性

二、數(shù)學模型的建立方法

1、微分方程是基本的數(shù)學模型，第一步即

建立系統(tǒng)的微分方程。

2、對于實際的系統(tǒng)，或多或少含有非線性

因素，如果非線性因素對系統(tǒng)輸出影響很

小，可忽略不計，這樣，可簡化系統(tǒng)的微分

方程，以利于對系統(tǒng)的求解、分析。但是，

若非線性因素對系統(tǒng)的輸出有一定影響，忽

略非線性因素的結(jié)果，造成對系統(tǒng)的分析結(jié)

果不能反映系統(tǒng)的實際情況，這樣分析就變

得無意義，這種情況下，條件容許可采用線

性性化的辦法，或計算機輔助分析和用非線

性理論來分析。

第二節(jié)系統(tǒng)微分方程的建立

一步驟

1、分析系統(tǒng)的組成，系統(tǒng)及環(huán)節(jié)的輸入、

輸出。

2、建立每個環(huán)節(jié)輸入、輸出的函數(shù)關系。

3、對非線性方程線性化。

4、消除中間變量，建立只含有系統(tǒng)輸入、

輸出及系統(tǒng)結(jié)構性能參數(shù)的微分方程。微分

方程的一般表達式寫作

a

any?⑺+n-iySR⑺+…+%y⑺+y⑴

期0⑴+磯/吸升…+3⑺+媼。）

二、機械系統(tǒng)

1、典型元件：

質(zhì)量元件阻尼元件

2、機械平移系統(tǒng)

例1：系統(tǒng)如圖示，建立系統(tǒng)的微分方程。

解：

工戶=。

rzzz/x/zzi

F「F2r3-a=0T

d2x(t)dx⑴]I'()1

/(O-m--^-c^-MO=o

drdtnLI_

d2x(t)dx⑴c,,x(r)f|t

m—^+tc—^+kx⑴=于⑴tpII

出力FiF2尸3

▼〃〃〃〃?

例2：系統(tǒng)如圖示，建立系統(tǒng)的微分方程。

解：設中間變量為工⑺，其上一

力平衡方程為k|S

3、機械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)

例3：

解：由圖示系統(tǒng)，可得系

統(tǒng)微分方程為

2

d0de1八T

--+c——+kO=T

dtdt

三、電氣系統(tǒng)

1、常用元件

電阻電容電感

L

rdi

u=Li—

dt

2舉例

例1,建立R-C電路的微分方程。

解：R-C電路如圖，設電路電流為i

Uj=iR+u0R

1f.,du

u=—\iat=>i=c----Q

Qt

代入得:Rc如+%=%

dt°'

例2：建立R-L-C電路的微分方程。

解：R-L-C電路如圖，設電路電流為，

u.-iR+L-+URl

1dtQ

"iC-p-u

1f.,.du°----------L_o

u=—\idt^i=c----Q

0c

代入得:LcR+Rc叫+“0=%

dt2dt°'

例3：建立圖示有源網(wǎng)絡的微分方程。

解：

圖2.8有源電網(wǎng)絡

b1（￡士，2（￡,」3Rdt

RC必?=-%?）

dt

圖2-3所示為電樞控制直流電動機的微分

方程，要求取電樞電壓U〃⑴仞為輸入量,

電動機轉(zhuǎn)速3加⑺(md/s)為輸出量，列寫微

分方程。圖中R”(。人4(切分別是電樞電

Jm,fm

w

路的電阻和電感，是折合到電動機

軸上的總負載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。

解：電樞控制直流電動機的工作實質(zhì)是將

輸入的電能轉(zhuǎn)換為機械能，也就是由輸入的

電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流

ia(t),再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用

產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t),從而拖動負載運動。

因此，直流電動機的運動方程可由以下三部

分組成。

■電樞回路電壓平衡方程■電磁轉(zhuǎn)距方程■電

動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程

電樞回路電壓平衡方程：

U(0=L)a⑺+RI⑺+石

Q\/a丁/aav/a

at

外是電樞反電勢，它是當電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生

的反電勢，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正

比，方向與電樞電壓⑺相反，即

Ea-Ce3m(t)

Ce~反電勢系數(shù)W/r〃d/s)

電磁轉(zhuǎn)距方程：

電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程:

消去中間變量得

，蟲’+/必⑺=/。）-此⑺

at

”“與鏟+電，+c衛(wèi)）”（。

atat

二C“Ua⑴駕D-RMc（t）

at

第三節(jié)非線性微分方程的線性化

一、線性化的概念

1、線性與非線性疊加原理：對于線性系統(tǒng)，兩個或兩

個以上的信號同時輸入，所得輸出等于其各自輸入所得輸出

的和。

略去高于一次導數(shù)項

二、舉例

例：建立圖示水箱水位系統(tǒng)的微分方程。輸

入0,輸出。

解：

(Qi_Qo)dt=sdh

dh八八

s—jT+Go=Qi

at

Co=cc^[h

s+oc^h—Q.

dt1

將線性化

代入原方程，把變量表示為額定點與增量和

的形式。

S*也+,阪+木冽=0。+叫

dAhI—a

s--+--a-Jh-\--------A/z=0o+'Qi

dtQ

由靜態(tài)方程a新7=0o

dAha或?qū)憺橛?十

s-----+Ah=A0s=Qj

dtdt2M

5Tx

Q

E

第三章傳遞函數(shù)

第一節(jié)傳遞函數(shù)

一、定義：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)輸出與輸入的拉氏變換

之比。

系統(tǒng)輸入、輸出分別為「⑺、,⑺，系統(tǒng)傳遞函數(shù)

為G(s),則G(s)=幺功

L[r(r)]R(s)

二、求法：

1、由微分方程求取。

若系統(tǒng)的微分方程為

。/⑺⑴+an-ly〃)+???+%：/(/)+斯州

二〃H)⑺+%鉀-%)+…+3⑺+婚(。

對微分方程的兩端求拉氏變換

asnY(s)+a_sn~lY(s)4---1-asY(s)+即丫。)

fn<-，VnJL}J}L

"或s'"XG)+勾」s'MX(s)+???+4sX(s)+/X(s)

nnx

(ans+an_xs~+…+%s+q())y(s)

二(勾…+M+b°)X(s)

y(s)"腔+加廣】…+號+瓦

5*==一~n,~~〃一1.?~~?~

X(s)ans+an_}sH---Fa}s+aG

例1：系統(tǒng)微分方程為

m++c號+kx(t)=于⑴，求系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)。

解：由給定的微分方程，

d2x(t)dx(t)

m-------------------Fc----------------1-kx{t)=t\t)

dt2dt

ms2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s)

(ms7+cs+k)X(s)=尸(s)

?、X(s)1

G(s)=-----=——?--------

F(5)ms+cs+k

例2：求R-C電路的傳遞函數(shù)。

解：

Re---+"0=

dt°，

RCSUD(s)+(s)=U9)

(Rcs+l)0o(s)=Ui(s)

1

G(s)=

Res+1

三、性質(zhì)

1、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的本身，與

系統(tǒng)的輸入、輸出及其它外界因素無關。

2、對于實際的物理系統(tǒng)，n>m

四、概念

1、零點、極點：

零點:系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子s多項式為零的根。

極點:系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母s多項式為零的根。

2、傳遞系數(shù)：G(0)值定義為傳遞系數(shù)。

3、特征方程：傳遞函數(shù)分母s多項式。

4、階：系統(tǒng)特征方程s的最高指數(shù)。

例3、以例1、例2的結(jié)果為例。

第二節(jié)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

名

微分方程傳遞函數(shù)

稱

比

例

y(0=kx(t)k

環(huán)

節(jié)

積

分1

y(t)=

環(huán)s

節(jié)

微

分

yd%蘇

環(huán)

節(jié)

慣

性了等+yQ)=%Q)]

環(huán)dtTs+1

階

微/.dx(t).、

y(/)=r+%(/)TS+\

分dt

環(huán)

振

蕩或

―+243n――+》(。=3nM)

環(huán)dtdt1+2弛s+①;

節(jié)

階

微

T2S2+2力+1

分

環(huán)

延

時

環(huán)

節(jié)

第三節(jié)傳遞函數(shù)的方塊圖

一、組成元素

1、方塊單元：表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

2、疊加點：表示信號的運算及其結(jié)果。

3、信號線：帶箭頭的直線或折線。箭頭的

方向表示信號的流向。

G(s)

方塊單元疊加點信號線

二、基本運算

1、串聯(lián)

A-------AG,B

一kGi(s)一kG2G)

G(S)=G[(S)G2(S)

2、并聯(lián)

B=A(G1+G2)

AG2

G(S)=GI(S)+G2(S)

3、反饋

(A-BH)Gi=BOAGi=B(l+Gi")

G(s)=-=

三、等效移動原則

1、引出點的移動：保證引出信號不變

(1)前移

結(jié)論：引出點前移必須在引出回路乘以其所

跨躍環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

(2)后移

A--------B

一GI一

—?--------

AA

結(jié)論：引出點后移必須在引出回路除以其所

跨躍環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

2、比較點的移動：保證輸出信號不變

(1)前移

結(jié)論：比較點前移必須在反饋回路除以其所

跨躍環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

(2)后移

AB=(A-C)Gi

C

結(jié)論：比較點后移必須在反饋回路乘以其所

跨躍環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

3、相鄰的比較點

結(jié)論：相鄰的比較點的位置可互換

4、同一信號線上的引出點

AA

A——I：A

結(jié)論：同一信號線上的引出點的位置可互換

5、相鄰的比較點與引出點位置互換

結(jié)論：曲鄰的IX牧區(qū)口⑺由火、儀直口怏1史不

統(tǒng)方塊圖多了一個比較點而復雜化，應盡量

避免其位置互換。

四、簡化方塊圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

建立系統(tǒng)的方塊圖，利用基本運算和等

效的移動原則，對方塊圖簡化求傳遞函數(shù)是

實際工作中常用的方法。下面以一例子來說

明簡化方塊圖求傳遞函數(shù)的方法。

例：系統(tǒng)方塊圖如圖示，簡化求傳遞函數(shù)。

將a點后移

G3G4

G'=

l+G3G4G$

G2G3G4

1+G2G3G5+G3G4G6

Xx°

-----AG->

五、方塊圖的建立

1、步驟：

?建立系統(tǒng)微分方程組。

?對微分方程求拉氏變換。

?建立局部方塊圖。

將局部方塊圖連接。

2、舉例

例1：建立電路的方塊圖，并傳遞函數(shù)。

解：

ui=iR+%

1C?1..dllQ

=—\iat^>i=c---

U,(s)=Ks)R+UQ(s)=[(/,.(s)—u0(s)]：=/(s)

R

/(s)=csUo(s)=>—/(5)=U0(s)

cs

U0(s)

11

Rcs1

~ir1+Res

1H----?—

Rcs

例2、建立圖示系統(tǒng)的方塊圖，求傳遞函數(shù)。

解：設中間變量為M。，其力

平衡方程為

^(xz.-x0)=c(x0-x)

c(x0-x)=k2x

K(X,-X°)=cs(X。-X)

cs(X.-X)=kX

\J乙?

例3、建立直流電動機的方塊圖，求傳遞函

數(shù)。

解：在第三章中，建立直流電動機的微分方

程為

(u.=iR+L空+er

dt

e=keco

T=kti

—dco

_J-----------1-Jco+Ti

dt

5=IR+Lsl+E

E=ked

T=ktI

T=JsCl+/n+7；

1,1

----------K----------

Ls+RJs+fkt

G⑸二?i-----r—(Ls+RXJs+f)+kk

}+Ls+RktJs+fkeet

若忽略L、R

11

G(s)=

RJs+kektkeTms+1

Tm：機電時間常數(shù)7；=旦

kekt

第五章時域分析法

在前四章的講授內(nèi)容里，我們以學習了

關于系統(tǒng)的工作原理、對系統(tǒng)的要求、系統(tǒng)

的模型建立。本章中，我們講授基于傳遞函

數(shù)對系統(tǒng)性能的分析，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、

準確性、快速性三方面。

第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

一、穩(wěn)定性的概念

1、穩(wěn)定性：系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)設計首先

要保證的。系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)將無法工作。

直觀的講，系統(tǒng)的輸出是否能跟隨系統(tǒng)的

輸入，若系統(tǒng)輸入一恒值，其輸出也為一

恒值信號，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

定義：若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對脈沖信號輸入所得輸

出趨于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：

系統(tǒng)傳遞函數(shù)

G（s）=9=尸4s）=yS

8（s）n（s+p,）白5+〃,

系統(tǒng)的脈沖響應y⑺=廠9⑸]=2>"卬

Z=1

(1)若系統(tǒng)的極點-P,為負實數(shù)，那么

物，。)=。，如果有一個極點為正，那么，系

統(tǒng)脈沖響應!吧丁⑺。。。所以系統(tǒng)的極點為

實數(shù)，應全部為負實數(shù)，才能滿足吧)(/)=。。

(2)若系統(tǒng)的極點含有復數(shù)根，應為共瓢

復根。設共舸復根P1=。+沏P2=〃-力,

y?)=『[G(s)]

■

i=l

n

(ajb)tPit

=叫6一("+徹'+m2e~~+^m1e~

z=3

幾

athtjht

=e~{mxe~'+m2e')+，皿”

z=3

上式可見，復根部分的輸出在時間趨于無窮

大時趨于零，只有復根的實部為正，也就是

說，系統(tǒng)的復數(shù)極點應為負實部。

從上面的討論得出，系統(tǒng)穩(wěn)定與否，取

決于系統(tǒng)的極點，系統(tǒng)的極點為實數(shù)，應全

部為負實數(shù)，系統(tǒng)的極點為復數(shù)，其實部為

負實數(shù)?；蛘哒f，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的極點應

全部位于復平面的左半部。

3、影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素：系統(tǒng)穩(wěn)定與否,

取決于系統(tǒng)的本身，與外界因素無關。

二、勞斯判據(jù)

1、勞斯判據(jù)：

(1)系統(tǒng)特征方程中的各項系數(shù)同號且不

缺項。

(2)勞斯行列中第一列各元素同號。

系統(tǒng)穩(wěn)定，反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯行列

第一列元素符號變化的次數(shù)等于正極點的

個數(shù)。

系統(tǒng)特征方程：

B⑶二〃產(chǎn)+〃”/」+與_2產(chǎn)2++%s+〃o

sn%an-2%-4an-6

S〃T

an-\an-3an-5an-l

H-24424

n-3

B2氏4

S°N\

-1anan-2

4

an-\an-l“〃-3

-i

44

an-l4L1an-5

anan-6

4

an-\an-ian-l

an-3

4

a

%一1n-5

44

_-1，〃一7

A44

例：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

20(s+1)

G(s)=

/+31+400/+20s+20

系統(tǒng)特征方程中各系數(shù)同號且不缺項。

勞斯行列式為

54140020

533200

52393.3200

5119.850

5°20

勞斯行列第一列元素同號，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2、二階、三階系統(tǒng)穩(wěn)定條件

(1)二階系統(tǒng):

2

特征方程5(5)=a2s+%5+〃0其中

a2>0,6!]>O,〃o>0

2

。2“0

a{0

5°aQ

階系統(tǒng)系數(shù)同號,系統(tǒng)穩(wěn)定O

(2)三階系統(tǒng)

32

特征方程8(5)=〃3:+Q2s+。15+。0

其中a3>0,出〉°，。1〉°，〃o〉0

3

5。3%

2

S。2。()

s1心

s°與

〃3ax%

〃2ao。2

40

Bi-ao

第一列同號，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足。避2〉心劭

3、兩種特殊情況：

4、應用：

(1)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(2)確定系統(tǒng)參數(shù)。

第二節(jié)系統(tǒng)時間響應分析

、階系統(tǒng):

G(s)=--—

Ts+1

輸入單位階躍信號,《)=i，R(s)=g,輸出

11—1

丫⑶=G(s)R(s)=---------=—I-

s(Ts+l)sf

s+一

T

i

--1

T

y（。二1一e

?T=l;t=O:1:10;y=1-exp(-t/T);x=exp(-t/T);plot(

t,y),holdon,plot(t,x),y(1),y(2),y(3),y(4),y(5)

ans=0

ans=0.6321

ans=0.8647

ans=0.9502

ans=0.9817

一階系統(tǒng)的階躍響應無震蕩，無超調(diào)，是一

條從零起至穩(wěn)態(tài)輸出值的光滑曲線。

dtt=0~Tez=0-T

T越小，響應越快。以穩(wěn)態(tài)輸出值

y(oo)?A,(A=±2%,±5%)做允差范圍，

響應從某時刻a進入允差范圍，并認時，

響應不超出允差范圍，把ts定義為調(diào)整時間,

從計算的結(jié)果得出

_J3TA=±5%

'"[4TA=±2%

、階系統(tǒng)

2

3n

傳遞函數(shù)°⑸二

s2+2g7s+oJ2

1、片對系統(tǒng)極點分布的影響:其極點

?,2二苫包土織正」

當時，過阻尼系統(tǒng)，為兩負實數(shù)極

點。

SL綱士

當。二1時，臨界阻尼系統(tǒng)，為兩相同的負

實數(shù)極點。

*,2二.①“

當0＜占＜1時，欠阻尼系統(tǒng)，為實部為負的

一對共瓢復根。

片,2二一釧"土捫下

當4=0時，無阻尼系統(tǒng)，為實部為零的

一對共軀復根。

4,2=七j①〃

2、系統(tǒng)的階躍響應：

輸入/⑺=l,R(s)=1

Y(s)=G(s)H(s)

(1)。=。無阻尼系統(tǒng)

小)=

s(s?+?！?

S(S+i(Dn)(5-j(j)n)

SS+j①〃s-j①〃

11

y⑺=1—晨小晨叱

22

1.，.，

=1——(6一,“溫+ew)=1-coscot

2n

StepResponse

From:U(1)

Time(sec.)

?x=0;w=l;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];G=tf

(num,den);t=O:0.1:10;step(G,t),grid

(2)J>1過阻尼系統(tǒng)

1rriim,

=——l-------1------

SS—S]S—S2

m.=---------------------,—<O

2(1-l-^2-1)

1八

=-----------,—>O

2

2也2-1+^-1)

Sxts

yQ)=1+mxe+m2e

StepResponse

From:U(1)

1

0.9

0.8

0.7

6

①

npe

A5

*±_g

Edl

<4

3

2

1

0

o23456789

Time(sec.)

?x=1.5;w=1.5;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];

G=tf(num,den);t=O:0.1:10;step(G,t),grid

(3)J=1臨界阻尼系統(tǒng)

co2

y⑸二——--

s(s+con)

1m,

=---1-----------H-----------

S(S+%)S+%

相1=y(S)(S+69〃)2=~CDn

S=-CDn

dn

相2=-y-[Y(S)(S+G〃)]=-1

as

y(t)=l-^nte~^—e"

=1—e一砥'(I+GJ)

StepResponse

From:U(1)

1

8

o.

o.7

o.

o.

o.6

o.

-mseo.5

_Ao.

d_E

<E4

3

2

1

0

o23456789o

Time(sec.)

?x=1;w=1.5;num=wA2;den=[1,2*x*w,wA2];G

=tf(num,den);t=0:0.1:10;step(G,t),grid

(4)欠阻尼系統(tǒng)

StepResponse

From:U(1)

1.4

L2

1

8

①

pS

aa

>

d=

l6

ul

4S6

0.4

0.2

0

012345678910

Time(sec.)

?x=0.5;w=1.5;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];

G=tf(num,den);t=0:0.1:lO;step(G,t),grid

CD2

?。?幾

9

s(s+2^cons+con)

1as+b

I?2

ss+2<^cons+con

as+b

s=~^(On+JMnVLT

a=—l,b=—2^con

y(S)=J________"+■〃)+■〃

―S(S+9)2+3乒亨)2

=J____________s+M_

—S(s+皿)2+(%41T2)2

…苦________.

(S+-0〃)2+(%Ji—〈2)2J12

t

yQ)=1—e33ncoscot----〔e""sinco

dJi、-￥

=1-----/1e3。"(A/1—coscot+sincot)

Ji—￥dd

三、欠阻尼系統(tǒng)階躍響應指標：

1、響應指標

(1)上升時間b:系統(tǒng)階躍響應第一次達

到穩(wěn)態(tài)值所用的時間。

(2)峰值時間行系統(tǒng)階躍響應第一次

達到最大值所用的時間。

(3)調(diào)整時間&：與一階系統(tǒng)階躍響應定

義調(diào)整時間一樣，以

y(oo)?A,(A=±2%,±5%)做允差范圍,

響應從某時刻人進入允差范圍，并t>h

時，響應不超出允差范圍，把質(zhì)定義為

調(diào)整時間。

(4)最大百分比超調(diào)量。％：

0%;MK00)*wo%

丁3)

2、響應指標的計算：

(1)上升時間占：據(jù)定義,令y(o)=i得

sin(%。+⑼=0

71—CD

上升時間％與阻尼比4和固有頻率以有

關。

自對上升時間片的影響：J小，以小。

以對上升時間4的影響：以大，上升時

間4小。

?x=0.5;w=1;num=wA2;den=[1,2*x*w,wA2];G

=tf(num,den);t=O:0.1:20;step(G,t),holdon,grid

?x=0.5;w=2;num=wA2;den=[l,2^x*w,wA2];G

=tf(num,den);t=0:0.1:20;step(G,t),holdon,grid

?x=0.5;w=0.5;num=wA2;den=[l,2*x*w,wA2];

G=tf(num,den);t=0:0.1:20;step(G,t),hold

on,grid

StepResponse

1.4

(2)峰值時間行

dy(t)

=0

dt

71

p

3d

J對峰值時間/p的影響：自小，4小。

①n對峰值時間Zp的影響：以大，％小o

(3)調(diào)整時間G：

3?4

4對調(diào)整時間人的影響：自大，人小。

以對調(diào)整時間人的影響：①〃大,人小。

（4）最大百分比超調(diào)量。%

0%;"?）一"功x100%

y（oo）

二6二X100%

影響最大百分比超調(diào)量的因素只有阻尼比

ag越小，最大百分比超調(diào)量越大。

三、高階系統(tǒng)響應分析

1、高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應形式

m

憶11(5+1)

i=l

y(s)=qr

sfiG+p/nd

j=lk=l

式中q+2r=〃，將上式部分分式展開

V(c\_^?V4-(S+費外)+Ck%J】-J'

I(S)=---r2^----------r2,--------------------------------

2

Sj=ls+pjk=Ts+2^kcoks+cok

__r

y⑺=a+WX.e力+Z4e"sin(①/+%)

k=T

由上式可以看出，高階系統(tǒng)的階躍響應除穩(wěn)

態(tài)輸出項，是由一些一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)衰

減因子組成。

以三階系統(tǒng)為例：

(1)三實數(shù)極點：

k(as+b)

G(s)=--------------------------

(S+PI)(S+P2)(S+P3)

在MATLAB下求解

StepResponse

From:U(1)

0.181Iiiii

S6

64

①

p

n

l

=

d

E

4

p3=10,z=0.5

D3==30

,z三0一5：一

k=l；z=[J;p=[-1,-2,-10];

G=zpk(z,p,k);

t=0:0.1:10;

step(G,t),holdon

極點增大，響應速度加快。這表明含有極點

的因子衰件加快。系統(tǒng)含有零點，上升時間

縮短，調(diào)整時間加大，有超調(diào)，但加大零點,

超調(diào)減小。

在無零點、極點分別為-1、-2、-3情況下，

其階躍響應及各因子如圖示，含有-3極點的

因子衰減快，在零點為-0.5時，含有-3極點

的因子為正項，使輸出有超調(diào)，若加大零點,

該項值減小直至為負，超調(diào)也相應減小直至

無超調(diào)。

心)=---------------------

s(s+1)(5+2)(5+3)

1!1,

_6---2----1.-----2----------6---

s5+15+25+3

/、11?1八一2，1八一3/

yQ)=「——c-\—e-----c

6226

y(s)=------5+0,5------

s(s+l)(s+2)(s+3)

￡2A

_12,44.12

------------1----------------------------------------1----------------

s5+1s+2s+3

/,、11T3一275_3t

yQ)=---1—€------------€~\------------€

124412

(2)由一階和二階因子組成的三階系統(tǒng):

k

G(s)=

(TS+1)(S2+2*V+OJ)

在人0.5回=1時，一階因子的時間常數(shù)

T=0.1』,2,4時的階躍響應如圖示。二階因子

的極點不變，T變化，一階因子的極點發(fā)生

變化，T=0.1,l時，一階因子的極點在二階

因子的極點的左側(cè)，響應有振蕩，二階因子

對響應的影響較大。T=2時，一階因子的極

點與二階因子的極點的實部相同，一階因子

對響應的影響加大。T=4時，一階因子的極

點在二階因子的極點的右側(cè)，響應無震蕩、

無超調(diào)，一階因子對響應的影響進一步加

大。這說明，靠近虛軸的極點的因子對響應

大。

Time(sec.)

t=o:0.1:10;

T=0.1;

w=l;

x=0.5;

k=(1/T)*wA2;

z=[]；

p=[—l/T,-x*w+j*w*sqrt(l-xA2),-x*w-j*w*sqrt(l-xA2)];

G=zpk(z,p,k);

step(Gzt)rholdon

t=0:0.1:10;y=l-l/3*exp(-l/2*t),*(4+2*sin(l/2*sqrt(3)*t-pi/6));yl=-l/3*exp(-l/2*t);y2=4+2*sin(l

/2*sqrt(3)*t-pi/6);y3=yl.*y2;plot(t,y,t,yl,t,y2,t,y3)

2、主導極點

在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，如果距虛軸

最近的閉環(huán)極點，其周圍沒有零點，而且與

其他閉環(huán)極點的實部超過五倍以上，則這種

極點稱為閉環(huán)主導極點。

在前面的例子中，我們已經(jīng)看到，靠近

虛軸的極點所在的環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的輸出有較

大的影響，高階系統(tǒng)的響應由主導極點所在

環(huán)節(jié)起決定影響，這樣，可將高階系統(tǒng)降階，

利于系統(tǒng)響應分析。

例；

G（s）=----------1---------?，其中玉=1,討論5=0」1210

（小+1）（心s+D

時的階躍響應。

解：