新教材人教a版必修第二冊第七章復數(shù)

第七章復數(shù)

7.1復數(shù)的概念

7.數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

新課程標準解讀核心素養(yǎng)

1.通過方程的解，了解引進復數(shù)的必要性數(shù)學抽象

邏輯推理

?3K>需酸葡知看梳理

b情境導入

數(shù)的擴充過程，也可以從方程是否有解的角度來理解：

因為類似x+4=3的方程在自然數(shù)范圍內(nèi)無解，所以人們引入了負數(shù)并將自然數(shù)擴充成

整數(shù)，使得類似x+4=3的方程在整數(shù)范圍內(nèi)有解：

因為類似2x=5的方程在整數(shù)范圍內(nèi)無解，所以人們引入了分數(shù)并將整數(shù)擴充成有理

數(shù)，使得類似2x=5的方程在有理數(shù)范圍內(nèi)有解；

因為類似/=7的方程在有理數(shù)范圍內(nèi)無解，所以人們引入了無理數(shù)并將有理數(shù)擴充成

實數(shù)，使得類似f=7的方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解.

［問題］我們已經(jīng)知道，類似f=-l的方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解.那么，能否像前面一

樣，引入一種新的數(shù)，使得這個方程有解并將實數(shù)進行擴充呢？

均新知初探

知識點一復數(shù)的有關概念

1.復數(shù)

(1)定義：形如歷(a,〃GR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位,滿足i2=」.復

數(shù)a+歷的實部是心虛部是生

(2)表示：復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式z=a+歷(a,Z>GR).

2.復數(shù)集

(1)定義：全體復數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+Mla,匕6R}叫做復數(shù)集；

(2)表示：通常用大寫字母&表示.

6想一想

1.復數(shù)，〃+“i(機，“GR)的實部是相，虛部是〃i,對嗎？

提示：不對.

2.復數(shù)z=a+從(a,6GR)可以是實數(shù)嗎？滿足什么條件？

提示：匕=0時，復數(shù)為實數(shù).

。做一做

1.復數(shù)z=2+5i的實部等于,虛部等于.

答案：25

2.若復數(shù)z=(2a—l)+(3+〃)i(aGR)的實部與虛部相等，貝U。=

解析：由題意知2a—1=3+。，解得“=4.

答案：4

知識點二復數(shù)的分類

1.對于復數(shù)z=a+bi(a,匕GR)而言:

(l)z為實數(shù)㈡6=0;

(2)z為虛數(shù)O6W0；

4=0,

(3)z為純虛數(shù)O二

力￥().

2.集合表示：

。做一做

1.在復數(shù)l+2i,小一也，0,4i,—3—也i中，不是虛數(shù)的為.

答案：小一血，0

2.若復數(shù)z=(,〃-2)+(,〃+l)i是純虛數(shù)，則實數(shù),〃=.

答案：2

知識點三復數(shù)相等

設a,b,c,d都是實數(shù)，那么a+8i=c+diU>a=c且b=d.

??>點一點?

在兩個復數(shù)相等的條件中，注意前提條件是“，b,c,"GR,即當a,b,c,dCR時,

a+bi=c+di^a—c且6=d.若忽略前提條件，則結(jié)論不能成立.

。做一做

已知x,yWR，若x+3i=(j—2)i,則x+y=

解析：由題意知x=0,y—2=3,即)，=5,

Ax+j=5.

較享?5

…忽)殿.典國精析

復數(shù)的概念

［例1］(i)(多選)下列說法中，錯誤的是()

A.復數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成

B.若復數(shù)z=3/n+2wi,則其實部與虛部分別為3，〃，2n

C.在復數(shù)z=x+yi(x,ydR)中，若xHO,則復數(shù)z一定不是純虛數(shù)

D.若aGR,aWO,則(a+3)i是純虛數(shù)

(2)(鏈接教科書第70頁練習1題)分別指出下列復數(shù)的實部和虛部，并指出哪些是實數(shù)，

哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).

5+小i,-2,y［2—i,一/，i2.

(DI解析］A錯，復數(shù)由實數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).

B錯，只有當,%〃GR時，才能說復數(shù)z=3m+2M的實部與虛部分別為3機，2n.

C正確，復數(shù)z=x+yi(x,yWR)為純虛數(shù)的條件是x=0且y#0,只要x#0,則復數(shù)z

一定不是純虛數(shù).

D錯，只有當“GR,且4/一3時，(“+3)i才是純虛數(shù).

［答案］(l)ABD

(2)［解］5+小i的實部是5,虛部是小.

-2=-2+0i,二一2的實部是一2,虛部是0.

也一i的實部是血，虛部是一1.

一*=0+(一%二一的實部是0,虛部是一；.

i2=-l=-l+0i,的實部是一1,虛部是0.

-2,i?是實數(shù)；5+小i,也一i,一去是虛數(shù)，一;i是純虛數(shù).

復數(shù)概念的幾個關注點

(1)復數(shù)的代數(shù)形式：若z=a+加，只有當a,bdR時，。才是z的實部，〃才是z的虛

部，且注意虛部不是歷，而是人;

(2)不要將復數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復數(shù)的兩大構(gòu)成部分;

(3)如果兩個復數(shù)都是實數(shù)可以比較大小，否則是不能比較大小的；

(4)舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答判斷命題真假類

題目時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答.

[跟蹤訓練]

下列說法中，正確的是()

A.l-ai(aeR)是一個復數(shù)

B.形如。+歷(6GR)的數(shù)一定是虛數(shù)

C.兩個復數(shù)一定不能比較大小

D.若a>b,則a+i>6+i

解析：選A由復數(shù)的定義知A正確；當"GR,b=0時a+bi(6CR)表示實數(shù)，故B

項錯誤；如果兩個復數(shù)同時是實數(shù)時，可以比較大小，故C項錯誤；”+i與〃+i不能比較

大小，故D項錯誤.

復數(shù)的分類

7.2—m—6

[例2](鏈接教科書第69頁例1)當m為何實數(shù)時，復數(shù)z=〃?+3—+(m2-2w—15)i

是下列數(shù)？(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù).

|w+3W0,

|解I⑴當,二即機"5且，〃#一3時，復數(shù)z是虛數(shù).

[m--2〃?-15WO,

m2—m—6

?6=0，

(2)當，〃?+3即〃?=3或一2時，復數(shù)z是純虛數(shù).

,/M2—27w—15^0,

I母題探究I

1.(變設問)本例中條件不變，當相為何值時，復數(shù)z為實數(shù)？

[w+3#0,

解：當,即山=5時，復數(shù)z是實數(shù).

[w2—2ZM—15=0,

2.(變設問)本例中條件不變，當機為何值時，z>0.

nz2-m—6

~>0，

解：因為z>0,所以z為實數(shù)，需滿足，—〃?m+3解得團=5.

15=0,

解決復數(shù)分類問題的方法與步驟

(1)化標準式：解題時一定要先看復數(shù)是否為a+bi(a,bwR)的形式，以確定實部和虛

部;

(2)定條件：復數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需

把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可；

(3)下結(jié)論：設所給復數(shù)為z=a+bi(a,Z>eR)：

①z為實數(shù)06=0；②z為虛數(shù)仁坨WO；

③z為純虛數(shù)㈡a=O且bWO.

I跟蹤訓練|

+m-6

實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z=+("-2股是下列數(shù)？

⑴實數(shù)；(2)虛數(shù)；⑶純虛數(shù).

m2—2m=O,

解：(1)當即"7=2時，復數(shù)Z是實數(shù).

m豐0,

(加2—2加K0,

(2)當彳即mW0且時，復數(shù)z是虛數(shù).

機2+加一6

=0,

(3)當jm即加=-3時，復數(shù)z是純虛數(shù).

、加2—2加#0,

兩個復數(shù)相等

[例3](1)(鏈接教科書第70頁練習3題)已知(>+7m+10)+(小一5〃?-14)i=0,求實

數(shù)m的值；

(2)已知x+y—xyi=24i—5,其中x,y《R，求x,y的值.

[m2+7ni+10=0,

[解](1)由已知得,

[m—5m-14=0,

解得m=-2.

(2)因為x,y￡R,所以x+y￡R,xy￡R,

x+y=-5,

依題意,得

「孫=24,

復數(shù)相等問題的解題技巧

(1)必須是復數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解;

(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應用方程思想提供了條件，

同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).

[跟蹤訓練]

已知i是虛數(shù)單位，若(3+5i)x+(2-i)y=17—2i,x,yGR,則x+y=()

A.6B.7

C.8D.-7

解析：選C由(3+5i)x+(2-i)y=17-2i,可得(3x+2)，)+(5x-y)i=17-2i,所以

3x+2y=17,\x=1,

?解得則x+yC.

[5x-y=~2,[y=7,

冒髓堂檢測

1.復數(shù)(2+小)i的實部是()

A.2B.小

C.2+小D.0

解析：選D復數(shù)(2+小)i的實部是0,故選D.

2.“a=-2”是“復數(shù)z=(〃2—4)+(a+l)i(a,6@R)為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選Aa=-2時，z=(22—4)+(—2+l)i=-i是純虛數(shù)；z為純虛數(shù)時，a2—4

=0,且a+IWO,即〃=±2.

???%=2”可以推出“z為純虛