考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷3（共252題）

考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷3（共9套）（共252題）考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、若事件A和B同時出現(xiàn)的概率P(AB)=0，則()A、A和B不相容(互斥)．B、AB是不可能事件．C、AB未必是不可能事件．D、P(A)=0或P(B)=0．標準答案：C知識點解析：本題考查的知識點是不可能事件與概率為0的隨機事件之間的區(qū)別和聯(lián)系．這兩者之間的關系為：不可能事件的概率，但概率為零的隨機事件A未必是不可能事件，也就是說，由P(A)=0不能推出A=，所以選項C正確．2、已知事件A發(fā)生必導致B發(fā)生，且0＜P(B)＜1，則P(A|)=()A、0．B、C、D、1．標準答案：A知識點解析：3、在全概率公式中，除了要求條件B是任意隨機事件及P(Ai)＞0(i=1，2，…，n)之外，我們可以將其他條件改為()A、A1，A2，…，An兩兩獨立，但不相互獨立．B、A1，A2，…，An相互獨立．C、A1，A2，…，An兩兩互不相容．D、A1，A2，…，An兩兩互不相容，其和包含事件B，即標準答案：D知識點解析：如果A1，A2，…，An兩兩互不相容，則A1B，A2B，…，AnB亦兩兩互不相容，且因應用加法與乘法兩個公式可得出全概率公式，即應選D．4、設A、B、C是三個相互獨立的隨機事件，且0＜P(C)＜1，則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：本題考查多個隨機事件間的獨立性的關系．由A,B、C相互獨立可知，事件A、B的和、差、積(或其逆)與事件C或必相互獨立，因此選項A、C、D均被排除，選項B正確．5、連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)則其中的常數(shù)a和b為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：為連續(xù)型X的分布，故F(x)必連續(xù)，那么F(x)在x=0連續(xù)．6、設隨機變量X的密度函數(shù)為φ(x)，且φ(一x)=φ(x)，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有()A、F(一a)=1一∫0aφ(x)dxB、C、F(一a)=F(a)．D、F(一a)=2F(a)一1．標準答案：B知識點解析：7、已知隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|一1＜x＜1，一1＜y＜1}上服從均勻分布，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)題設知(X，Y)的概率密度函數(shù)為所以選項A、B、C都不正確，故選D．8、設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，且它們不相關，則()A、X與Y一定獨立．B、(X，Y)服從二維正態(tài)分布．C、X與Y未必獨立．D、X+Y服從一維正態(tài)分布．標準答案：C知識點解析：因為只有當(X，Y)服從二維正態(tài)分布時，X與Y不相關X與Y相互獨立．本題已知X和Y服從正態(tài)分布，不能推得(X，Y)服從二維正態(tài)分布，因此由不相關推不出X與Y一定獨立，故排除選項A．若X和Y都服從正態(tài)分布且相互獨立，則(X，Y)服從二維正態(tài)分布，但由題設并不知道X和Y是否相互獨立，故排除選項B．同樣，當X和Y都服從正態(tài)分布且相互獨立時，才能推出X+Y服從一維正態(tài)分布，又排除選項D．綜上可知，選擇C．9、已知隨機變量X與Y均服從0一1分布，且E(XY)=，則P{X+Y≤1}=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為X與Y均服從0一1分布，所以可以列出(X，Y)的聯(lián)合分布如下：故選C．10、假設二維隨機變量(X1，X2)的協(xié)方差矩陣為，其中σij=Cov(Xi，Xj)(i，j=1，2)，如果X1與X2的相關系數(shù)為p，那么行列式|∑|=0的充分必要條件是()A、ρ=0．B、C、D、|ρ|=1．標準答案：D知識點解析：故選擇D．11、設總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其均值、方差分別為，S2．則()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：12、設X1，X2，…，Xn是來自X～P(λ)的簡單隨機樣本，則可以構(gòu)造參數(shù)λ2的無偏估計量()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)13、從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為X，再從1，…，X中任取一個數(shù)，記為Y，則P{Y=2}=________．標準答案：知識點解析：由于事件{X=1}，{X=2}，{X=3}，{X=4}是一個完備事件組，且P{X=i}=，i=1，2，3，4．所以條件概率P{Y=2|X=1}=0，P{Y=2|X=i}=，i=2，3，4．根據(jù)全概率公式14、口袋中有n個球，從中取出一個再放人一個白球，如此交換進行n次，已知袋中自球數(shù)的期望值為a，那么第n+1次從袋中取出一個白球的概率為________．標準答案：知識點解析：本題主要考查事件的設定、全概概率，題中有一個完備事件組：n次交換后袋中存有白球數(shù)X(X=1，2，…，n)，因此是全概概型．設B為第n+1次從袋中取白球，Ak(k=1，2，…，n)表示n次交換后袋中的白球數(shù)，則n次交換后袋中的白球數(shù)的期望值為15、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，已知P{X≤2}=0．062，P{X≥9}=0．025，則概率P{|X|≤4}=________．(Ф(1．54)=0．938，Ф(1．96)=0．975)標準答案：0．2946知識點解析：要計算正態(tài)分布隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率，首先必須求出分布參數(shù)μ與σ．根據(jù)題意有16、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，則P{X≤一0．92}=________．標準答案：0．025知識點解析：由=Ф(3一μ)=0．975，可知3一μ=1．96，μ=1．04，于是P{X≤一0．92}=Ф(一0．92一μ)=Ф(一1．96)=0．025．17、已知隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，如果隨機變量Y=X1X2X3的方差則σ2=________．標準答案：知識點解析：已知隨機變量X1、X2、X3相互獨立，則X12、X22、X32相互獨立．又因E(Xi)=0，E(X12)=D(Xi)=σ2．故D(y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2一E2(X1X2X3)=[E(X12X22X32)]一[E(X1)E(X2)E(X3)2=E(X12)E(X22)E(X32)=(σ2)3=18、設隨機變量X與Y相互獨立同分布，且都服從的0一1分布，則隨機變量Z=max{X，Y}的分布律為________．標準答案：知識點解析：根據(jù)題意顯然Z也是離散型隨機變量，只取0，1兩個值，且19、設盒子中裝有m個顏色各異的球，有放回地抽取n次，每次1個球．設X表示n次中抽到的球的顏色種數(shù)，則E(X)=________．標準答案：知識點解析：則X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中沒有抽到第i種顏色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取結(jié)果互不影響，所以有20、設隨機變量X1，X2，X3相互獨立，其中X1服從區(qū)間[0，6]上的均勻分布，X2服從正態(tài)分布N(0，22)，X3服從參數(shù)為3的泊松分布，則D(X1一22+3X3)=________．標準答案：46知識點解析：根據(jù)題設可知，D(X1)==3，D(X2)=22=4，D(X3)=3，于是D(X1一2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．21、設隨機變量X與Y相互獨立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，則P{0＜X+Y＜10}≥________．標準答案：0．928知識點解析：因為E(X)=4，D(X)=0．8，E(Y)=1，D(Y)=1，所以E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1．8．根據(jù)切比雪夫不等式，可得P{0＜x+Y＜10}=P{|X+Y一5|＜5}≥即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．22、設X1，X2，…，X9是來自總體X～N(μ，4)的簡單隨機樣本，而X是樣本均值，則滿足P{|X一μ|＜μ}=0．95的常數(shù)μ=________．(Ф(1．96)=0．975)標準答案：1．3067知識點解析：根據(jù)題意可知23、設總體X～N(μ，σ2)，u未知，x1，x2，…，xn是來自該總體的樣本，樣本方差為．S2，對H0：σ2≥16H←→H1：σ2＜16，其檢驗統(tǒng)計量為________，拒絕域為________．標準答案：χ2統(tǒng)計量；{χ2＜χ1一α2(n—1)}．知識點解析：u未知，對σ2的檢驗使用χ2檢驗，又根據(jù)題設知，假設為單邊檢驗，所以統(tǒng)計量為χ2=三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)24、已知隨機變量X的概率密度(Ⅰ)求分布函數(shù)F(x)．(Ⅱ)若令Y=F(X)，求Y的分布函數(shù)FY(y)．標準答案：直接根據(jù)F(x)=P{X≤x}，F(xiàn)Y(y)=P|F(X)≤y}求解．知識點解析：暫無解析25、設隨機變量X與Y獨立，X在區(qū)間[0，2]上服從均勻分布，Y服從指數(shù)分布e(2)，求：(Ⅰ)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度；(Ⅱ)概率P(X≤Y)．標準答案：(Ⅰ)已知X在區(qū)間[0，2]上服從均勻分布，y服從指數(shù)分布e(2)，因此可得(Ⅱ)當x＜0或者x＞2時，f(x，y)=0，因此區(qū)域x≤y為y軸和x=2之間，且在直線y=x上方的無界區(qū)域，所以其對概率密度在積分區(qū)域上進行二重積分，所以可表示為知識點解析：暫無解析26、在時刻t=0時開始計時，設事件A1，A2分別在時刻X，Y發(fā)生，X和Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為求A1先于A2發(fā)生的概率．標準答案：根據(jù)X和Y的獨立性，可知X和Y的聯(lián)合概率密度為按題意需求概率P{X＜Y}，如圖3—3所示知識點解析：暫無解析27、設隨機變量且P{|X|≠|(zhì)Y|}=1．(Ⅰ)求X與Y的聯(lián)合分布律，并討論X與Y的獨立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X—Y，討論U與V的獨立性．標準答案：(Ⅰ)由P{|X|≠|(zhì)Y|}=1知，P{|X|=|Y|}=0．由此可得X與Y的聯(lián)合分布律為即可驗證U與V獨立．知識點解析：暫無解析28、已知總體X的數(shù)學期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，X1，X2，…，X2n是來自總體X容量為2n的簡單隨機樣本，樣本均值為，求E(Y)．標準答案：因為總體分布未知，所以需將Y化簡，并且根據(jù)數(shù)字特征性質(zhì)計算E(Y)．因為知識點解析：暫無解析29、設總體X的概率分布為其中是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3．求θ的矩估計和最大似然估計值．標準答案：E(X)=0×θ2+1×2θ(1—θ)+2×θ2+3×(1—2θ)=3—4θ，知識點解析：暫無解析30、設總體X的概率密度為其中參數(shù)λ(λ＞0)未知，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本．(Ⅰ)求參數(shù)λ的矩估計量；(Ⅱ)求參數(shù)λ的最大似然估計量．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、對于任意兩個事件A和B，有P(A一B)=()A、P(A)一P(B)．B、P(A)一P(B)+P(AB)．C、P(A)一P(AB)．D、標準答案：C知識點解析：如圖1—1所示，可知A=(A—B)+AB，(A—B)∩(AB)=．所以P(A)=P(A一B)+P(AB)，進而P(A—B)=P(A)=P(AB)．故C選項正確．2、設A，B是任意兩個隨機事件，又知BA，且P(A)＜P(B)＜1，則一定有()A、P(A∪B)=P(A)+P(B)．B、P(A—B)=P(A)一P(B)．C、P(AB)=P(A)P(B|A)．D、P(A|B)≠P(A)．標準答案：D知識點解析：由于BA，則A∪B=B，AB=A．當P(A)＞0，選項A不成立；當P(A)=0時，條件概率P(B|A)不存在，選項C不成立；由于任何事件概率的非負性，而題設P(A)＜P(B)，故選項B不成立．對于選項D，根據(jù)題設條件0≤P(A)＜P(B)＜1，可知條件概率P(A|B)存在，并且故應選D．3、將一枚勻稱的硬幣獨立地擲三次，記事件A=“正、反面都出現(xiàn)”；B=“正面最多出現(xiàn)一次”；C=“反面最多出現(xiàn)一次”，則下列結(jié)論中不正確的是()A、A與B獨立．B、B與C獨立．C、A與C獨立．D、B∪C與A獨立．標準答案：B知識點解析：試驗的樣本空間有8個樣本點，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．顯然B與C為對立事件，且依古典型概率公式有即P(AB)=P(A)P(B)．因此A與B獨立，類似地A與C也獨立，又因必然事件與任何事件都獨立，因此B∪C與A也獨立，用排除法應選B．4、設A、B、C三個事件兩兩獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是()A、4與BC獨立．B、AB與A∪C獨立．C、AB與AC獨立．D、A∪B與A∪C獨立．標準答案：A知識點解析：經(jīng)觀察，即可知由選項A能夠推得所需條件．事實上，若A與BC獨立，則有P(ABC)=P(A)P(BC)，而由題設知P(BC)=P(B)P(C)．從而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．故選A．5、假設F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是()A、如果F(a)=0，則對任意x≤a有F(x)=0．B、如果F(a)=1，則對任意x≥a有F(x)=1．C、D、標準答案：D知識點解析：由于F(x)是單調(diào)不減且0≤F(x)≤1，F(xiàn)(x)=P{x≤x}，因此A、B、C都成立，而選項D未必成立，因此選D．6、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，對給定的α∈(0，1)，數(shù)uα滿足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜x}=α，則x等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：根據(jù)標準正態(tài)分布上α分位數(shù)的定義及條件P{X＞uα}=α與P{|X|＜X}=α，并考慮到標準正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可作出如圖2—3所示圖形．由圖(b)，根據(jù)標準正態(tài)分布的上Q分位數(shù)的定義，可知故選項C正確．7、設隨機變量X1，X2，…，Xn(n＞1)，獨立同分布，且方差σ2＞0，記的相關系數(shù)為()A、一1．B、0．C、D、1．標準答案：B知識點解析：8、設相互獨立的兩隨機變量X和Y分別服從E(λ)(λ＞0)和E(λ+2)分布，則P{min(X，Y)＞1}的值為()A、e一(λ+1)．B、1一e一(λ+1)．C、e一2(λ+1)．D、1一e一2(λ+1)．標準答案：C知識點解析：P{min(X，Y)＞1}=P{x＞1，Y＞1}=P{X＞1}P{Y＞1}=e一λ．e一(λ+2)=e一2(λ+1)故選項C正確．9、將一枚硬幣重復擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關系數(shù)等于()A、一1．B、0．C、D、1標準答案：A知識點解析：根據(jù)題意，Y=n一X，故ρXY=一1．應選A．一般來說，兩個隨機變量X與Y的相關系數(shù)ρXY滿足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b為常數(shù))，則當a＞0時，ρXY=1，當a＜0時，ρXY=一1．10、已知隨機變量X與Y有相同的不為零的方差，則X與Y的相關系數(shù)等于1的充分必要條件是()A、Cov(X+Y，X)=0．B、Coy(X+Y，Y)=0．C、Cov(X+Y，X—Y)=0．D、Cov(X—Y，X)=0．標準答案：D知識點解析：直接根據(jù)定義通過計算確定正確選項，已知D(X)=D(Y)，故選擇D．其余選項均不正確，這是因為當D(X)=D(Y)時必有Coy(X+Y，X—Y)=Coy(X，X)一Coy(X，Y)+Cov(Y，X)一Cov(Y，Y)=D(X)一D(Y)=0，選項C成立，不能推出ρ=1．選項A、B可推出Cov(X，Y)=一Coy(X，X)=一D(X)或Cov(X，Y)=一Coy(Y，Y)=一D(Y)，11、設總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn是分別來自總體X與Y的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量服從t(n)分布，則等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)t分布典型模式來確定正確選項．由于～N(0，1)且相互獨立，所以，U與V相互獨立，根據(jù)t分布典型模式知，12、設n個隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布，D(Xi)=σ2，則()A、S是σ的無偏估計量．B、S是σ的最大似然估計量．C、S是σ的相合估計量(即一致估計量)．D、S與相互獨立．標準答案：C知識點解析：本題主要考查統(tǒng)計量的評價標準．因為S2是σ2的無偏估計，即E(S2)=σ2，但未必有E(S)=σ，故排除選項A．若X1，X2，…，Xn來自正態(tài)總體，則是σ的最大似然估計，又排除選項B．同樣，當X1，X2，…，Xn來自正態(tài)總體時，S與才相互獨立，選項D也不正確．因而應選C．下面證明選項C正確．設X表示總體，根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律此時顯然有S依概率收斂于σ，即S是σ的相合估計量．因而選C．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)13、三個箱子，第一個箱子中有4個黑球與1個白球，第二個箱中有3個黑球和3個白球，第三個箱子中有3個黑球與5個白球．現(xiàn)隨機地選取一個箱子，從中任取1個球，則這個球為白球的概率是________；若已發(fā)現(xiàn)取出的這個球是白球，則它不是取自第二個箱子的概率是________．標準答案：知識點解析：設事件Ai=“取到第i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，則第一個空應為P(B)，第二個空應為顯然A1，A2，A3是一完備事件組，由題意可得根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式，可得14、如果用X，Y分別表示將一枚硬幣連擲8次正反面出現(xiàn)的次數(shù)，則t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是________．標準答案：知識點解析：15、已知隨機變量Y服從[0，5]上的均勻分布，則關于x的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0有實根的概率p=________．標準答案：知識點解析：所以所求的概率為P=P{方程有實根}=P{A≥0}=P{16Y2—16(Y+2)≥0}=P{16(Y一2)(Y+1)≥0}=P{(Y≥2)∪(Y≤一1)}=P{Y≥2}+P{Y≤一1}16、設隨機變量X的概率密度為Y表示對X三次獨立重復觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y=2)=________．標準答案：知識點解析：由題設可知17、一批元件其壽命(單位：小時)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．系統(tǒng)初始先由一個元件工作，當其損壞時立即更換一個新元件接替工作，那么到48小時為止，系統(tǒng)僅更換一個元件的概率為________．標準答案：48λe一48λ知識點解析：記事件A=“到48小時為止，系統(tǒng)僅更換一個元件”，用元件的壽命來表示A．如果用Xi表示第i個元件的壽命，根據(jù)題意Xi相互獨立且有相同的密度函數(shù)即事件A=“第一個元件在48小時之前已經(jīng)損壞，第一個、第二個元件壽命之和要超過48小時”=“0≤X，＜48，X1+X2＞48”，所以題意要求P(A)，如圖3—1所示，P(A)=P{0≤X1＜48，X1+X2＞48}18、已知隨機變量X與Y獨立同分布，且X的分布函數(shù)為F(x)，記Z=max(X，Y)，則(X，Z)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x，z)=________．標準答案：知識點解析：已知X與Y獨立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z}19、設隨機變量X的概率密度為則隨機變量X的二階原點矩為________．標準答案：知識點解析：依題設，即求E(X2)．首先對所給概率密度作變換：對于x(一∞＜x＜+∞)，有20、設隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為則X和Y的相關系數(shù)ρ=________．標準答案：0知識點解析：根據(jù)題意X與Y的邊緣分布分別為E(X)=0．6，D(X)=0．24，E(Y)=0．2，E(Y2)=0．5，D(Y)=0．46，E(XY)=一0．08+0．20=0．12，Cov(X，Y)=0．12—0．6×0．2=0．所以ρ=0．21、設隨機變量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互獨立，且λ服從參數(shù)為λ的泊松分布，Yi服從參數(shù)為的指數(shù)分布，i=1，2，…，n，則當n充分大時，近似服從________分布，其分布參數(shù)為________與________．標準答案：知識點解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互獨立同分布．因E(Xi)=D(Xi)=λ，E(Yi)=λ，D(YI)=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，則當n充分大時，近似服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)22、設總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自總體X的簡單隨機樣本，則服從________分布，分布參數(shù)為________．標準答案：F；(10，5)知識點解析：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，X15相互獨立，且均服從正態(tài)分布N(0，σ2)，所以X12+X22+…+X102與X112+X122+…+X152，相互獨立，由于所以23、假設X1，X2，…，X16是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，X為樣本均值，S2為樣本方差，如果P{X＞μ+aS}=0．95，則a=________．(t0．05(15)=1．7531)標準答案：一0．4383知識點解析：因此由可知，4a是t(15)分布上α=0．95的分位點為t0．95(15)，所以4a=t0．95(15)，由于t分布密度函數(shù)是關于x=0對稱的，故一tα=t1一a，4a=t0．95(15)=一t0．05(15)=一1．7531，解得a=一0．4383．24、Z檢驗、t檢驗都是關于________的假設檢驗．當________已知時，用Z檢驗；當________未知時，用t檢驗．標準答案：均值；方差σ2；方差σ2．知識點解析：根據(jù)Z檢驗、t檢驗的概念可知，Z檢驗、t檢驗都是關于均值的假設檢驗，當方差σ2為已知時，用Z檢驗；當方差σ2為未知時，用t檢驗．三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)25、已知一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布p(0．2)，寫出X的概率分布，并求一頁上印刷錯誤不多于1個的概率．標準答案：由題意可知，X～p(0．2)，X的概率函數(shù)為p(x；0．2)=，x=0，1，2，3…，將x=0，1，2，3…代入函數(shù)，可得p(0)≈0．8187，p(1)≈0．1637，p(2)≈0．0164，p(3)≈0．0011，p(4)≈0．0001，p(5)≈0．X的概率分布表如下：一頁上印刷錯誤不多于1個的概率p=p(0)+p(1)≈0．9824．知識點解析：暫無解析26、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為(Ⅰ)求P{x＞2Y}；(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度．標準答案：(Ⅰ)已知X，Y的概率密度，所以(Ⅱ)先求Z的分布函數(shù)：(1)當Z＜0時，F(xiàn)Z(0)=0；(4)當z≥2時，F(xiàn)Z(z)=1．故Z=X+Y的概率密度為知識點解析：暫無解析27、設二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|0≤y≤x≤3一y，y≤1}上服從均勻分布，求邊緣密度fX(x)及在X=x條件下，關于Y的條件概率密度．標準答案：如圖3—4所示，區(qū)域D是一個底邊平行于x軸的等腰梯形，(4)當x≤0或x≥3時，由于fX(x)=0，因此條件密度fY|X(y|x)不存在．注意在x≤0或x≥3時，fY|X(y|x)不是零，而是不存在．知識點解析：暫無解析28、已知隨機變量X與Y相互獨立且都服從參數(shù)為的0一1分布，即P{x=0}=P{X=1}=求Z的分布；(X，Z)的聯(lián)合分布；并問X與Z是否獨立．標準答案：由于(X，Y)是二維離散隨機變量，故由邊緣分布及相互獨立可求得聯(lián)合分布；應用解題一般模式，即可求得Z及(X，Z)的分布，進而判斷X、Z是否獨立．由題設知知識點解析：暫無解析29、設總體X服從幾何分布：p(x；p)=p(1一p)x一1(x=1，2，3，…)，如果取得樣本觀測值為x1，x2，…，xn，求參數(shù)p的矩估計值與最大似然估計值．標準答案：已知總體X的概率函數(shù)的未知參數(shù)為p，且總體X的一階原點矩為知識點解析：暫無解析30、設x1，x2，…，xn為來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，其中μ0已知，σ2＞0未知，x和S2分別表示樣本均值和樣本方差．(Ⅰ)求參數(shù)σ2的最大似然估計；(Ⅱ)計算標準答案：(Ⅰ)似然函數(shù)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設兩個相互獨立的隨機變量X和Y的方差分別為4和2，則隨機變量3X-2Y的方差是()A、8B、16C、28D、44標準答案：D知識點解析：由DX=4，DY=2，且X與Y獨立，故D(3X-2y)=9DX+4DY=9×4+4×2=44二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)2、已知隨機事件A的概率P(A)=0．5，隨機事件B的概率P(B)=0．6及條件概率P(B|A)=0．8，則和事件A∪B的概率P(A∪B)=_______．標準答案：0.7知識點解析：由0．8=P(B|A)=，得P(AB)=0．8P(A)=0．8×0．5=0．4．故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0．5+0．6-0．4=0．73、設兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=_______．標準答案：知識點解析：由題意得得P(A)-P(AB)=P(B)=P(AB)，∴P(A)=P(B)∴=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-2P(A)+[P(A)]2解得P(A)=4、設相互獨立的兩個隨機變量X與Y具有同一分布律，且X的分布律為，則隨機變量Z=max{X，Y}的分布律為_______．標準答案：知識點解析：由已知知，Z可能取的值為0、1兩個而P{Z=0}=P{max{X，Y}=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}．P{Y=0}=∴P{Z=1}=1=P(Z=0)=5、從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為X，再從1，…，X中任取一個數(shù)，記為Y，則P{Y=2}=_______。標準答案：知識點解析：由題意，X的概率分布為：且P(Y=2|X=1)=0，P(Y=2|X=2)=，P(Y=2|X=3)=，P(Y=2|X=4)=，故由全概率公式得三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)6、將n個同樣的盒子和，n只同樣的小球分別編號為1，2，…，n。將這n個小球隨機地投入n個盒子中，每個盒子中投入一只小球，問至少有一只小球的編號與盒子的編號相同的概率是多少?標準答案：知識點解析：暫無解析7、設事件A、B、C兩兩獨立，且ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)=p，問p可能取的最大值是多少?標準答案：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p-3p2，又P(A∪B∪C)≥P(A∪B)=P(A)+(B)-P(AB)=2p-p2，∴2p-p2≤3p-p2，解得(p=0顯然無意思)；取Ω={w1，w2，w3，w4}，p(wi)=，i=1，…，4，A={w1，w2}，B={w1，w3}，C={w2，w3}，則P(A)=P(B)=P(C)=，而此A、B、C兩兩獨立且ABC=φ，可見p可能取的最大值應為(后半部分在說明：這個可以“取到”，而非僅是一個“界”)知識點解析：暫無解析8、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，求常數(shù)A及條件概率密度fY|X(y|x)．標準答案：關于X的邊緣概率密度為：當-∞＜x＜+∞時，知識點解析：暫無解析9、某種產(chǎn)品的次品率為0．1，檢驗員每天獨立地檢驗6次，每次有放回地取10件產(chǎn)品進行檢驗，若發(fā)現(xiàn)這10件產(chǎn)品中有次品，就去調(diào)整設備(否則不調(diào)整)，記X為一天中調(diào)整設備的次數(shù)，試求X的分布列．標準答案：設檢驗員取出的10件產(chǎn)品中有Y件次品，則Y～B(10，0．1)而X～B(6，p)，其中p=P(Y＞1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C100．0．910-0-C101．0．11．0．910-1=0．2639，故P(X=k)=C6k．0．2639k．0．73616-k，k=0，1，2，…，6。知識點解析：暫無解析10、設隨機變量X，Y，Z獨立，均服從指數(shù)分布，參數(shù)依次為λ1，λ2，λ3(均為正)，求P{X=min(X，Y，Z)}．標準答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度為知識點解析：暫無解析11、設一電路裝有3個同種電氣元件，它們工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布(λ＞0)，當3個元件都無故障時，電路正常工作，否則電路不能正常工作，求電路正常工作的時間T的密度f(t)。標準答案：記X1，X2，X3為這3個元件的無故障工作的時間，則T=min(X1，X2，X3)的分布函數(shù)為FT(t)=P(T≤t)=1-P{min(X1，X2，X3)＞t}=1-[P(X1＞t)]3=1-[1-P(X1≤t)]3知識點解析：暫無解析12、從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是2／5，設X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學期望。標準答案：由題意，X～B(3，)分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)．當x＜0時，F(xiàn)(x)=0當0≤x＜1時，F(xiàn)(x)=P{X=0}=當1≤x＜2時，F(xiàn)(x)=P(X=0)+P(X=1)=當2≤x＜3時，F(xiàn)(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=當x≥3時，F(xiàn)(x)=1知識點解析：暫無解析設隨機變量X的概率密度為對X進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記Y為觀測次數(shù)．13、求Y的概率分布；標準答案：知識點解析：暫無解析14、求EY．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設隨機變量X1，…Xn，Xn+1獨立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1-p，記：標準答案：EYi=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，Xi+1=1)+P(Xi=1，Xi+1=0)=2p(1-p)，i=1，…，n=2np(1-p)，而E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1-p)，∴DYi=E(Y22)-(EYi)2=2p(1-p)[1-2p(1-p)]，i=1，2，…，n．若l-k≥2，則Yk與Yl獨立，這時cov(Yk，Yl)=0，而E(YkYk+1)=P(Yk=1，Yk+1=1)=P(Xk+Xk+1=1，Xk+1+Xk+2=1)=P(Xk=0，Xk+1=1，Xk+2=0)+P(Xk=1，Xk+1=0，Xk+2=1)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p)，∴cov(Yk，Yk+1)=E(YkYk+1)-EYk．EYk+1=p(1-p)-4p2(1-p)2，故=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+cov(Yk，Yk+1)=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+2(n-1)[p(1-p)-4p2(1-p)2]=2p(1-p)[2n-6np(1-p)+4p(1-p)-1]．知識點解析：暫無解析16、利用中心極限定理證明：標準答案：引隨機變量Xk～π(1)(參數(shù)為1的泊松分布)，k=1，2，…，且{Xk}相互獨立，由泊松分布的再生性知令n→∞，由中心極限定理即知：知識點解析：暫無解析17、從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0．02，求總體的標準差(Φ(2．33)=0．99)．標準答案：設總體X～N(μ，σ2)，則，由題意得：知識點解析：暫無解析18、設總體X的概率密度為其中θ＞-1是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機樣本，分別用矩估計法和極大似然估計法求θ的估計量．標準答案：矩估計：再求最大似然估計，似然函數(shù)L(x1，…，xn；θ)為當0＜x1，…，xn＜1時，lnL=nln(θ+1)+θln(x1…xn)由于，∴l(xiāng)nL，在θ0處取得唯一駐點、唯一極值點且為極大值，故知lnL(或L)在θ=θ0處取得最大值，故知θ的最大似然估計為知識點解析：暫無解析19、設總體X的概率密度為其中θ是未知參數(shù)(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值x1，x2，…，xn中小于1的個數(shù)，求θ的最大似然估計．標準答案：似然函數(shù)而由題意，x1，x2，…，xn中有N個的值在區(qū)間(0，1)內(nèi)，故知L=θN(1-θ)n-N∴l(xiāng)nL=Nlnθ+(n-N)ln(1-θ)故知θ的最大似然估計為知識點解析：暫無解析設總體X的概率密度為其中參數(shù)θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，是樣本均值．20、求參數(shù)θ的矩估計量標準答案：知識點解析：暫無解析21、判斷是否為θ2的無偏估計量，并說明理由。標準答案：由DX≥0，θ＞0，可知E[4()2]＞θ2，有[4()2]≠θ2，即4()2不是θ的無偏估計量．知識點解析：暫無解析22、設總體的密度為：其中θ＞0，而θ和μ為未知參數(shù)，從X中抽得簡單樣本X1，X2，…，Xn，試求θ和μ的矩估計和最大似然估計．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設某次考試的考生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6．5分，標準差為15分，問在顯著性水平0．05下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分?并給出檢驗過程。[附表]：t分布表，P{t(n)≤tp(n)}=p標準答案：設這次考試全體考生的成績?yōu)榭傮wX，抽的36位考生的成績?yōu)楹唵坞S機樣本值x1，…，xn，而和s2分別為樣本均值和樣本方差，由題意，可設X～N(μ，σ2)，σ2未知．現(xiàn)要檢驗H0：μ=70，(H1：μ≠70)(α=0．05)故接受H0，即認為這次考試全體考生的平均成績(即μ)與70分沒有顯著差異(在顯著水平0．05下)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、已知A，B為隨機事件，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，則的充要條件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：已知選項A、B是A與B相互獨立的充要條件，因此不能選．由“對稱性”可知選項C正確，故選C．2、設隨機事件A與B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結(jié)論中一定成立的有()A、A，B為對立事件．B、互不相容．C、A，B不獨立．D、A，B相互獨立．標準答案：C知識點解析：AB互不相容，只說明AB=，但不一定滿足A∪B=Ω，即互不相容的兩個事件不一定是對立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故亦不一定成立，因此選項A、B都不成立。同時因為P(AB)=P()=0，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A與B一定不獨立，應選C。3、在最簡單的全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+中，要求事件A與B必須滿足的條件是()A、0＜P(A)＜1，B為任意隨機事件．B、A與B為互不相容事件．C、A與B為對立事件．D、A與B為相互獨立事件．標準答案：A知識點解析：4、設A、B是兩個隨機事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=P(B|)，則必有()A、P(A|B)=P(|B)．B、P(A|B)≠P(|B)．C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．標準答案：C知識點解析：化簡整理上式可得P(AB)=P(A)P(B)．即A，B相互獨立，故選項C正確．5、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，其密度函數(shù)為A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：根據(jù)題意得f(x)關于6、設隨機變量X—N(μ，σ2)，σ＞0，其分布函數(shù)F(x)的曲線的拐點為(a，b)，則(a，b)為()A、(μ，σ)．B、C、D、(0，σ)．標準答案：C知識點解析：X一N(μ，σ2)，其密度函數(shù)F(x)的拐點的x坐標a應滿足F"(a)=f’(a)=0，故a=μ為f(x)的駐點，當x=μ時，故曲線拐點在，故選項C正確．7、已知隨機變量X1與X2相互獨立且有相同的分布：P{Xi=一1}=P{Xi=1}=，則()A、X1與X1X2獨立且有相同的分布．B、X1與X1X2獨立且有不同的分布．C、X1與X1X2不獨立且有相同的分布．D、X1與X1X2不獨立且有不同的分布．標準答案：A知識點解析：根據(jù)題設知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}所以X1與X1X2的概率分布為從而X1與X1X2有相同的分布且相互獨立，故選項A正確．8、設二維隨機變量(X1，X2)的密度函數(shù)為f1(x1，x2)，則隨機變量(Y1，Y2)(其中Y1=2X1，Y2=)的概率密度f2(y1，y2)等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：設(X1，X2)的分布為F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布為F2(y1，y2)．9、對任意兩個隨機變量X和y，若E(XY)=E(X)．E(Y)，則()A、D(XY)=D(X)．D(Y)．B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)．C、X與Y獨立．D、X與Y不獨立．標準答案：B知識點解析：因為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X)．E(Y)]，可見D(X+Y)=D(X)+D(Y)E(XY)=E(X)．E(Y)，故選擇B．對于隨機變量X與Y，下面四個結(jié)論是等價的．①Cov(X，Y)=0②X與Y不相關③E(XY)=E(X)．E(Y)④D(x+Y)=D(X)+D(Y)10、設隨機變量X和Y的方差存在且不等于0，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y()A、不相關的充分條件，但不是必要條件．B、獨立的充分條件，但不是必要條件·C、不相關的充分必要條件．D、獨立的充分必要條件·標準答案：C知識點解析：11、設X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為X，S2，則可以作出服從自由度為n的χ2分布的隨機變量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于總體X～N(μ，σ2)，故各選項的第二項獨立，根據(jù)χ2分布可加性，僅需確定服從χ2(1)分布的隨機變量．因為故選擇D．12、已知總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ2已知)，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，均值為，如果記，則由P{a＜u＜b}=1一α，可以求得μ置信度為1一α的置信區(qū)間，其中a、b是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為a、b應使P{a＜μ＜b}=1一αa、b應滿足P{μ≥b}+P{μ≤a}=α，故選D．13、某員工以往的記錄是：平均每加工100個零件，有60個是一等品，今年考核他，在他加工零件中隨機抽取100件，發(fā)現(xiàn)有70個是一等品，這個成績是否說明該員工的技術水平有了顯著的提高(取(α=0．05)?對此問題，假設檢驗問題就設為()A、H0：p≥0．6H←→H0：p＜0．6．B、H0：p≤0．6H←→H0：p＞0．6．C、H0：p=0．6H←→H0：p≠0．6．D、H0：p≠0．6H←→H0：p=0．6．標準答案：B知識點解析：一般地，選取問題的對立事件為原假設．在本題中，需考察員工的技術水平是否有了顯著性的提高，故選取原假設為H0：p≤0．6，相應的，對立假設為H1：p＞0．6，故選B．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)14、設每次射擊命中概率為0．3，連續(xù)進行4次射擊，如果4次均未擊中，則目標不會被摧毀；如果擊中1次、2次，則目標被摧毀的概率分別為0．4與0．6；如果擊中2次以上，則目標一定被摧毀．那么目標被摧毀的概率p=________．標準答案：0．4071知識點解析：設事件Ak=“射擊4次命中k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目標被摧毀”，則根據(jù)4重伯努利試驗概型公式，可知P(Ai)=C4i0．3i，0．74一i，i=0，1，2，3，4，則P(A0)=0．74=0．2401，P(A1)=0．4116，P(A2)=0．2646，P(A3)=0．0756，P(A4)=0．0081．由于A0，A1，A2，A3，A4是一完備事件組，且根據(jù)題意得P(B|A0)=0，P(B|A1)=0．4，P(B|A2)=0．6，P(B|A3)=P(B|A4)=1．應用全概率公式，有15、統(tǒng)計資料表明，男性患色盲的概率為5％，現(xiàn)有一批男士做體檢．則事件“發(fā)現(xiàn)首例患色盲的男士已檢查了30名男士"的概率α為________．標準答案：0．785知識點解析：設X表示發(fā)現(xiàn)首例色盲患者時已檢查過的男士數(shù)，則X服從參數(shù)為0．05的幾何分布．16、設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機變量函數(shù)y=1—e一X的分布函數(shù)為FY(y)，則標準答案：知識點解析：17、設一次試驗成功的概率為p，進行100次試驗．當p=________時，成功次數(shù)的標準差的值最大，其最大值為________．標準答案：知識點解析：若設進行100次試驗成功的次數(shù)為X，則X—B(100，p)，X的標準差為18、假設隨機變量X在[一1，1]上服從均勻分布，a是區(qū)間[一1，1]上的一個定點，Y為點X到a的距離，當a=________時，隨機變量X與Y不相關．標準答案：0知識點解析：已知E(X)=0，依題意Y=|X—a|，a應使E(XY)=E(X)E(Y)=0．其中19、已知(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=標準答案：F(1，1)知識點解析：根據(jù)由題設可知(X，Y)服從二維正態(tài)分布且密度函數(shù)為故X～N(0，22)，Y一N(1，32)，X與Y的相關系數(shù)p=0，所以X與Y獨立，N(0，1)，根據(jù)F分布典型模式知20、已知某自動生產(chǎn)線一旦出現(xiàn)不合格產(chǎn)品就立即進行調(diào)整，經(jīng)過調(diào)整后生產(chǎn)出的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品的概率是0．1，如果用X表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量，則E(X)=________．標準答案：10知識點解析：X是離散型隨機變量，其可能的取值為1，2，…，令{調(diào)整后生產(chǎn)出的產(chǎn)品前后一1個為合格品，第k個為不合格品}=P{X=k}，其中Ai=“第i個生產(chǎn)出的產(chǎn)品為合格品”，Ai相互獨立，P(Ai)=0．9，故21、將10雙不同的鞋隨意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一雙鞋的堆數(shù)，則E(X)=________．標準答案：知識點解析：將第i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要與第一只鞋配對，只有在不同于第一只鞋剩下的19只中唯一的一只才有可能，故22、設隨機試驗成功的概率p=0．20，現(xiàn)在將試驗獨立地重復進行100次，則試驗成功的次數(shù)介于16與32之間的概率α=________．(Ф(3)=0．9987，Ф(1)=0．8413)標準答案：0．84知識點解析：令X=“在100次獨立重復試驗中成功的次數(shù)”，則X服從參數(shù)為(n，p)的二項分布，其中n=100，p=0．20．且根據(jù)棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，可知隨機變量近似服從標準正態(tài)分布N(0，1)．因此試驗成功的次數(shù)介于16和32之間的概率23、設隨機變量X服從n個自由度的t分布，定義tα滿足P{X≤tα}=l一α(0＜0[＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，則x=________．標準答案：知識點解析：根據(jù)t分布的對稱性以及b＞0，可知x＞0．所以根據(jù)題干“tα滿足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)”可知，三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)24、設離散型隨機變量X服從參數(shù)p(0＜p＜1)的0一1分布．(Ⅰ)求X的分布函數(shù)F(x)；(Ⅱ)令Y=F(x)，求Y的分布律及分布函數(shù)G(y)．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為求：(Ⅰ)系數(shù)A；(Ⅱ)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)；(Ⅲ)邊緣概率密度；(Ⅳ)(X，Y)落在區(qū)域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6內(nèi)的概率．標準答案：(Ⅰ)根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)解得A=6．(Ⅱ)將A=6代入得(X，Y)的聯(lián)合概率密度為所以當x＞0，y＞0時，F(xiàn)(x，y)=∫0y∫0x6e一(2x+3y)dxdy=6∫0xe一2xdx∫0ye一3ydy=(1一e一2x)(1一e一3y)，而當x和y取其它值時，F(xiàn)(x，y)=0．綜上所述，可得聯(lián)合概率分布函數(shù)為(Ⅲ)當x＞0時，X的邊緣密度為fX(x)=∫0+∞6e一(2x+3y)dy=2e一2x，當x≤0時fZ(x)=0．因此X的邊緣概率密度為同理，可得Y的邊緣概率密度函數(shù)為已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，將其轉(zhuǎn)化為二次積分，可表示為知識點解析：暫無解析26、設在一高速公路的某一路段，每年發(fā)生交通事故的次數(shù)X～P(20)．對每次交通事故而言，有人死亡的概率為p=0．05．設各次交通事故的后果是相互獨立的，以Y記一年中發(fā)生的引起死亡的交通事故的次數(shù)，求Y的分布律．標準答案：根據(jù)題意X～P(20)，即有在X取特定值m時，Y的可能取值為0，1，…，m．因各次交通事故的后果是相互獨立的，所以P{Y=k|X=m}=Cmk0．05k0．95m一k，k=0，1，2，…，m．于是得到X和Y的聯(lián)合分布律為P{X=m，Y=k}=P{Y=k|X=m}P{X=m}知識點解析：暫無解析27、設二維離散型隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布為試求：(Ⅰ)X與Y的邊緣分布律，并判斷X與Y是否相互獨立；(Ⅱ)P{X=Y}．標準答案：(Ⅰ)因為邊緣分布律就是聯(lián)合分布律表格中行或列中諸元素之和，所以假如隨機變量X與Y相互獨立，就應該對任意的i，j都有pij=pi．pj，而本題中p14=0，但是p1與p4均不為零，所以p14≠p1．p4故X與Y不是相互獨立的．知識點解析：暫無解析28、設總體X～N(μ，σ2)，μ，σ2未知，X1，X2，…，Xn是來自X的樣本，試確定常數(shù)C，使CY=C[(X1一X2)2+(X3一X4)2+(X5一X6)2]的期望為σ2．標準答案：E[(X1一X2)2]=D(X1一X2)+[E(X1一X2)]2=D(X1)+D(X2)=2σ2(因X1，X2獨立)．同理E[(X3一X4)2]=E[(X5一X6)2]=2σ2，于是引C[(X1一X2)2+(X3一X4)2+(X5一X6)2]}=C{E[(X1一X2)2]+E[(X3一X4)2]+E[(X5一X6)2]}=C(2σ2+2σ2+2σ2)=6Cσ2，即有E(CY)=6Cσ2．根據(jù)題設，設E(CY)=6Cσ2=σ2，即得知識點解析：暫無解析29、設某種元件的使用壽命X的概率密度為f(x；θ)=其中θ＞0為未知參數(shù)．又設x1，x2，…，xn是X的一組樣本觀測值，求參數(shù)θ的最大似然估計值．標準答案：似然函數(shù)為由于0必須滿足xi＞θ(i=1，2，…，n)，因此當θ取x1，x2，…，xn中最小值時，L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析30、設X1，X2，…，Xn是總體為N(μ，σ2)的簡單隨機樣本．記(Ⅰ)證明T是μ2的無偏估計量；(Ⅱ)當μ=0，σ=1時，求D(T)．標準答案：(Ⅰ)首先T是統(tǒng)計量．其次知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設A、B是兩個隨機事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=，則必有()A、P(A|B)=B、P(A|B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)標準答案：C知識點解析：由P(B|A)=化簡得P(AB)=P(A)P(B)．2、設0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，則A與B必()A、不相容B、對立C、獨立D、不獨立標準答案：C知識點解析：由P(A|B)=，得P(AB)=P(A)P(B)，故應選(C)．3、設隨機變量X的分布函數(shù)，則P{X=1}=()A、0B、C、D、1-e-1標準答案：C知識點解析：P(X=1)=F(1)-F(1-0)=(1-e-1)--e-1，故選(C)．4、設連續(xù)型隨機變量X1與X2相互獨立且方差均存在，X1與X2的概率密度分別為f1(x)與f2，隨機變量Y1的概率密度為[f1(y)+f2(y)]，隨機變量Y2=(X1+X2)，則()A、EY1＞EY2，DY1＞DY2B、EY1=EY2，DY1=DY2C、EY1=EY2，DY1＜DY2D、EY1=EY2，DY1＞DY2標準答案：D知識點解析：由題意，X1與X2獨立，且X1與X2均為連續(xù)型隨機變量，故E[(X1-X1)2]＞0，即有E(X12)+E(X22)＞2E(X1X2)即E(Y12)＞E(Y22)，故得DY1＞DY2，選(D)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、設三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于，則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為_______．標準答案：知識點解析：設在每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p，則，=P(A至少出現(xiàn)1次)=1-P(A出現(xiàn)0次)=1-C230p0(1-p)3-0=1-(1-p)3，解得6、設一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，現(xiàn)從中任取一件，結(jié)果不是三等品，則取到的是一等品的概率為_______．標準答案：知識點解析：記Ai={取得i等品)，i=1，2，3．則=0．9，而=P(A1)=0．6，故P(A1|)=7、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為則P{X+Y≤1}=_______．標準答案：知識點解析：其中區(qū)域G如如圖所示(陰影部分)8、設隨機變量X的概率密度為，-∞＜x＜+∞，問X服從什么分布(若有參數(shù)須答出)?且常數(shù)A=_______．標準答案：知識點解析：∵-x2+x=，與正態(tài)分布的概率密度相比較，得9、用一臺機器接連獨立地制造3個同種零件，第i個零件是次品的概率為，(i=1，2，3)，設這3個零件中有X個合格品(非次品即為合格品)，則P(X=2)=_______．標準答案：11/24知識點解析：設Ai={第i個零件是合格品}，i=1，2，3．則P(X=2)=10、設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數(shù)，每次射中目標的概率為0．4，則E(X2)=_______。標準答案：18．4知識點解析：由題意，X～B(10，0．4)，∴EX=10×0．4=4DX=10×0．4×(1-0．4)=2．4所以EX2=DX+(EX)2=2．4+42=18．411、設ξ和η是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N(0，1／2)的隨機變量，則E(|ξ-η|)=_______。標準答案：知識點解析：若記X=ξ-η，則EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)．12、設二維隨機變量(X，Y)的分布列為(如表)，其中α，β未知，但已知E(Y)=5／3，則α=_______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_______．標準答案：2／9；1／9；5／3；25／9知識點解析：13、已知一批零件的長度X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(μ，1)，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40cm，則μ的置信度為0．95的置信區(qū)間是_______．(注：標準正態(tài)分布函數(shù)值Φ(1．96)=0．975，Φ(1．645)=0．95)標準答案：(39．51，40．49)．知識點解析：總體X～N(μ，σ02)，σ02=1已知，n=16，=40(樣本均值)，1-α=0．95，∴=u0975=1．96，故得μ的置信下限為：μ的置信上限為：故μ的置信區(qū)間為(39．51，40．49)．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、設隨機變量X與y相互獨立，X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，y服從[-π，π]上均勻分布，試求Z=X+Y的概率分布密度(計算結(jié)果用標準正態(tài)分布函數(shù)Φ表示，其中)標準答案：由題意，y的概率密度為由卷積公式，知Z的概率密度為知識點解析：暫無解析15、設飛機引擎在飛行中正常運行的概率為p，且各引擎是否正常運行是相互獨立的，如果有至少50％的引擎正常運行，飛機就能成功飛行，問對于多大的p而言，4引擎飛機比2引擎飛機更可取?標準答案：設4引擎與2引擎飛機分別有X與Y個引擎正常工作，則X～B(4，p)，Y～B(2，p)，P(X≥2)=1-(1-p)4-4p(1-p)3，P(Y≥1)=1-(1-p)2，由P(X≥2)≥P(Y≥1)，而0＜P＜1，可解得知識點解析：暫無解析設隨機變量X的概率分布為P{X=1)=P(X=2)=1／2，在給定X=i的條件下，隨機變量Y服從均勻分布U(0，i)(i=1，2)。16、求Y的分布函數(shù)FY(y)；標準答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y|X=1)P(X=1)+P(Y≤y|X=2)P(X=2)由題意可得：知識點解析：暫無解析17、求EY．標準答案：由FY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y|X=1)P(X=1)+P(Y≤y|X=2)P(X=2)由題意可得：得Y的概率密度為知識點解析：暫無解析18、對隨機變量X，已知EekX存在(k＞0常數(shù))，證明：P{X≥ε}≤．E(ekX)，(其中ε＞0)．標準答案：不失一般性，設X為連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x)，則EekX=∫-∞+∞exkx．f(x)dx，而P{x≥ε)=知識點解析：暫無解析19、設總體X～N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于0．95，樣本容量n至少應取多大?Φ(1．645)=0．95標準答案：由題意知：知識點解析：暫無解析設總體X的概率密度為其中θ＞0是未知參數(shù)，從總體X中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，記=min(X1，X2，…，Xn)．20、求總體X的分布函數(shù)F(x)；標準答案：F(x)=∫-∞xf(t)dt當x＜θ時，F(xiàn)(x)=0；當x≥θ時，F(xiàn)(x)=∫θx2e-2(t-θ)dt=1-e-2(x-θ)知識點解析：暫無解析21、求統(tǒng)計量的分布函數(shù)；標準答案：=P{min(X1，…，Xn)≤x}=1-P{min(X1，…，Xm)＞x}=1-P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}=1-P{X1＞x)P{X2＞x}…{Xn＞x}=1-[1-F(x)]n知識點解析：暫無解析22、如果用作為θ的估計量，討論它是否具有無偏性．標準答案：的概率密度為：知識點解析：暫無解析23、設總體X～B(m，p)，其中m已知，p未知，從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn，試求p的矩估計和最大似然估計．標準答案：矩估計：EX=mp，；最大似然估計；似然函數(shù)為：L=P(Xi=xi)=知識點解析：暫無解析24、隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標準差S=11，設炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為0．95的置信區(qū)間．標準答案：設炮口速度為總體X，X～N(μ，σ2)，而n=9，α=0．05，∴σ的置信下限為=7．4299，σ的置信上限為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自總體的簡單隨機樣本，樣本均值為()A、與σ及n都有關B、與σ及n都無關C、與σ無關，與n有關D、與σ有關，與n無關標準答案：C知識點解析：由題設，(0，1)，于是所以比值與σ無關，與n有關．2、設X1，X2，…，Xn(n＞1)是來自總體N(0，1)的簡單隨機樣本，記，則()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：，Q2～γ2(n)．因此本題選C．3、設X1，X2，…，X8是來自總體N(2，1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從()A、χ2(2)B、χ2(3)C、t(2)D、t(3)標準答案：C知識點解析：4、設X1，X2，…，Xn是來自總體X～N(0，1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從()A、Y～χ2(n一1)B、Y～t(n一1)C、Y～F(n，1)D、Y～F(1，n一1)標準答案：B知識點解析：由總體X～N(0，1)知，且它們相互獨立，所以因此本題選B．5、設隨機變量X～F(n，n)，記p1=P{X≥1)，p2=P{X≤1}，則()A、p1＜p2B、p1＞p2C、p1=p2D、p1，p2大小無法比較標準答案：C知識點解析：由X～F(n，n)知，所以因此本題選C．6、設X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分別是來自正態(tài)總體N(-1，4)和N(2，5)的簡單隨機樣本，且相互獨立，S12，S22分別為這兩個樣本的方差，則服從F(7，9)分布的統(tǒng)計量是()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：因此本題選D．7、設總體X~N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互獨立．分別從X和Y中各抽取容量為9和10的簡單隨機樣本，記它們的方差為SY2和SY2，并記則這四個統(tǒng)計量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小者是()A、SX2B、SY2C、S122D、SXY2標準答案：D知識點解析：所以，方差最小者為SXY2．因此本題選D．8、設x1，x2，…，xn是來自總體X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的簡單隨機樣本的觀察值，則σ2的最大似然估計值為()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：在μ未知時，σ2的最大似然估計值為，因此本題選B．9、設總體X~P(λ)(λ為未知參數(shù))，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其均值與方差分別為是λ的無偏估計量，常數(shù)a應為()A、-1B、0C、D、1標準答案：C知識點解析：要使是λ的無偏估計量，應有，．因此本題選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)10、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為則隨機變量U=X+2Y，V=一X的協(xié)方差Cov([U，V)為_________．標準答案：知識點解析：11、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為則隨機變量Z=X—Y的方差DZ為_________．標準答案：知識點解析：12、設隨機變量X的數(shù)學期望．EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估計得P{｜X一75｜≥k}≤0．05，則k=________．標準答案：10知識點解析：即K=10．13、設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則標準答案：φ(x)知識點解析：由列維一林德伯格中心極限定理即得．14、設總體X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是來自X的簡單隨機樣本，它的均值和方差分別為和S2，則和E(S2)分別為______．標準答案：知識點解析：15、設總體X和y相互獨立，且分別服從正態(tài)分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分別來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量的數(shù)學期望和方差分別為________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)16、設X，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布，證明：Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設ξ，η是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知ξ的分布律為i=1，2，3，又設X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，試寫出二維隨機變量(X，Y)的分布律及邊緣分布律，并求P{ξ=η}.標準答案：X的可能值為1，2，3，Y的可能值為1，2，3．以此類推可求出(X，Y)的分布律及邊緣分布列如下：知識點解析：暫無解析18、設隨機變量X與Y相互獨立，都服從均勻分布U(0，1)．求Z=｜X—Y｜的概率密度及標準答案：U=X—Y的密度為知識點解析：暫無解析19、設(X，Y)的概率密度為問X，Y是否獨立?標準答案：邊緣密度為知識點解析：暫無解析20、設隨機變量(X，Y)的概率密度為求Z=X2+Y2的概率密度fz(z)．標準答案：設Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則知識點解析：暫無解析21、設隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，其密度為求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設X關于Y的條件概率密度為而Y的概率密度為求．標準答案：(X，Y)的概率密度為知識點解析：暫無解析23、設(X，Y)服從G={(x，y)｜x2+y2≤1)上的均勻分布，試求給定Y=y的條件下X的條件概率密度函數(shù)fX｜Y(x｜y)．標準答案：因為(X，Y)服從G={(x，y)｜x2+y2≤1)上的均勻分布，所以知識點解析：暫無解析24、設試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復試驗直到成功兩次為止，試求試驗次數(shù)的數(shù)學期望．標準答案：設X表示所需試驗次數(shù)，則X的可能取值為2，3，…，于是知識點解析：暫無解析25、市場上有兩種股票，股票A的價格為60元／股，每股年收益為R1元，其均值為7，方差為50．股票B的價格為40元／股，每股年收益為R2元，其均值為3．2，方差為25，設R1和R2互相獨立．某投資者有10000元，擬購買s1股股票A，s2股股票B，剩下的s3元存銀行，設銀行1年期定期存款利率為5％，投資者希望該投資策略的年平均收益不少于800元，并使投資收益標準答案：設投資策略為(s1，s2，s3)，則該投資策略的收益為平均收益及方差為：ES=s1×7+s2×3．2+(10000—60s1—40s2)×5％，DS=50s12+25s22，問題為求DS=50s12+25s22的最小值．約束條件為：ES=s1×7+s2×3．2+(10000—60s1一40s2)×5％≥800,用拉格朗日乘數(shù)法求解該問題，令L=50s1+25s2+δ(800一s1×7—s2×3．2一(10000—60s1一40s2)×5％)，其中δ是待定系數(shù)，最優(yōu)解應滿足的一階條件為：解此方程組得：s1=63．56元，s2=38．14元，s3=4660．8元．該投資策略的方差和標準差分別為：DS=50×63．562+25×38．142≈238360，．知識點解析：暫無解析26、設隨機變量服從幾何分布，其分布律為P{X=k)=(1一p)k-1，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX與DX．標準答案：知識點解析：暫無解析27、設隨機變量X的概率密度為已知，求(1)a，b，c的值；(2)隨機變量Y=ex的數(shù)學期望和方差．標準答案：知識點解析：暫無解析28、設(X，Y)的概率密度為求的數(shù)學期望．標準答案：知識點解析：暫無解析29、在長為L的線段上任取兩點，求兩點距離的期望和方差．標準答案：以線段的左端點為原點建立坐標系，任取兩點的坐標分別為X，Y，則它們均在[0，L]上服從均勻分布，且X，Y相互獨立．所以知識點解析：暫無解析30、設X，Y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布的隨機變量，求E｜X—Y｜與D｜X—Y｜．標準答案：設Z=X一Y，則Z～N(0，1)．故知識點解析：暫無解析31、設隨機變量X與Y獨立同分布，均服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，求：(1)max(X，Y}的數(shù)學期望；(2)min{X，Y}的數(shù)學期望．標準答案：(1)設，則U和V獨立同服從正態(tài)分布N(0，1)，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設隨機變量X取非負整數(shù)值，P{X=n)=an(n≥1)，且EX=1，則a的值為()A、B、C、D、1／5標準答案：B知識點解析：2、設X1，X2，X3相互獨立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，令Y=(X1+X2+X3)，則Y2的數(shù)學期望為()A、B、λ2C、D、標準答案：C知識點解析：因為X1，X2，X3相互獨立且均服從P(λ)，所以X1+X2+X3～P(3λ)，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3λ，3、設X為連續(xù)型隨機變量，方差存在，則對任意常數(shù)C和ε＞0，必有()A、P{｜X—C｜≥ε)=E｜X—C｜／εB、P{｜X—C｜≥ε)≥E｜X—C｜／εC、P{｜X—C｜≥ε)≤E｜X—C｜／εD、P{｜X—C｜≥ε)≤DX／ε2標準答案：C知識點解析：故選C．4、設隨機向量(X，Y)的概率密度f(x，y)滿足f(x，y)一f(-x，y)，且ρXY存在，則ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1標準答案：B知識點解析：5、