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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.2.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點(diǎn)()A.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變B.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變C.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變D.向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變3.已知圓:,圓:,點(diǎn)、分別是圓、圓上的動點(diǎn),為軸上的動點(diǎn),則的最大值是()A. B.9 C.7 D.4.?dāng)?shù)列滿足:,,,為其前n項(xiàng)和,則()A.0 B.1 C.3 D.45.偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,當(dāng)時,,求()A. B. C. D.6.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.37.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當(dāng)時,,則()A. B. C. D.8.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.9.已知全集,函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.10.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.10011.當(dāng)時,函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.12.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面向量、的夾角為,且,則的最大值是_____.14.設(shè)f(x)=etx(t>0),過點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.15.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.16.設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時,求直線的普通方程.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②比較與的大小;(2)當(dāng)時,若對時,,且有唯一零點(diǎn),證明:.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知中,內(nèi)角所對邊分別是其中.(1)若角為銳角,且,求的值;(2)設(shè),求的取值范圍.22.(10分)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計(jì)算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.2.A【解析】
由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點(diǎn)畫法中的點(diǎn)坐標(biāo)求出,進(jìn)而求出的解析式,與對比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變)即可.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系,屬于中檔題.3.B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點(diǎn),,故的最大值為,故選B.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.4.D【解析】
用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計(jì)算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項(xiàng)分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.5.D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時,,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.6.A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】
由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
求函數(shù)定義域得集合M,N后,再判斷.【詳解】由題意,,∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時要注意代表元形式,集合是函數(shù)的定義域,還是函數(shù)的值域,是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集,都由代表元決定.10.D【解析】
由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.11.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.12.B【解析】
由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),可得,進(jìn)而可得出,,由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù),利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè),,以、為鄰邊作平行四邊形,則,設(shè),則,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,則,當(dāng)時,取最大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計(jì)算,將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于難題.14.【解析】
計(jì)算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時,S′>0,當(dāng)0<t<1時,S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15.-15【解析】
是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計(jì)算.16.【解析】
由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時,,即單調(diào)遞減;當(dāng)時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
詳解:(Ⅰ)當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,不成立;當(dāng)時,由,解得.所以不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)椋?由題意知對,,即,因?yàn)椋?,解?【點(diǎn)睛】⑴絕對值不等式解法的基本思路是:去掉絕對值號,把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解,轉(zhuǎn)化的方法一般有:①絕對值定義法;②平方法;③零點(diǎn)區(qū)域法.⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也是求最值.一般有:①為參數(shù))恒成立②為參數(shù))恒成立.18.(1),;(2).【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得,,則,求得取最小值時符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,因?yàn)?則,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,兩邊同乘,得,所以的直角坐標(biāo)方程為,即.(2)設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程(參數(shù)),代入的直角坐標(biāo)方程中,整理得.由韋達(dá)定理得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,則,所以當(dāng)取得最小值時,直線的普通方程為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系.19.(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.(2)由題意,,在上有唯一零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng),時,在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時,,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當(dāng)時,,即;當(dāng)時,,即;當(dāng)時,,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng),
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