新教材蘇教版必修第二冊(cè)9. 2 .3 向量的數(shù)量積作業(yè)

2021-2022學(xué)年新教材蘇教版必修第二冊(cè)9.2.3向量的數(shù)量積

作業(yè)

一、選擇題

1、

n-->1

…-a|=1,b|=-

已知平面向量a，b的夾角為3,且2,則a-2b|=()

3

A.1B.樞C.2D.2

2、若平面向量aB嗨足a|=2,冏=4,a?b=4,c-a+8=區(qū)則的最大值為()

A.麻木B.揚(yáng)+4C.2、后-酒D.2,石+小

3

AB=l,AC=5,sinA=-

3、在-ABC中，若5,則A3-AC=（）

A.3B.±3c.4D.±4

4、已知"=（1，-2,—1）,"=（3,加,一1）,若c,則加等于（）

A.1B.2C.6D.3

5如圖，AB=1,AC=3,ZA=90°,CD=2DB

貝ijAD-AB=）

6、對(duì)于非零向量"？、"，定義運(yùn)算"#"：m#n=|m|-|n|sin^)其中8為機(jī)、〃

的夾角，有兩兩不共線的三個(gè)向量。、「、"，下列結(jié)論：①若則"=J

②a#b=b#a；③若a#b=0,則W/b；@^+b)#c=a#c+b#c；

^a#b=(-a)#b-

⑤11；其中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1B.2C.3D.4

7、在一ABC中，NB=90°,AB=2,BC=1,且CA/=2M8,AN=NB,則

AMAB+CNBC=（）

79

A.3B.5C.2D.2

8、在矩形ABCD中，AB=3AD=3,則ACB￡>=（）

A.-6B.6c.-8D.8

9、如圖，點(diǎn)P在LABC的內(nèi)部，D,E是邊AB,AC的中點(diǎn)（。，P,E三點(diǎn)、

UllUUUUl

不共線），PE=2PD=2,BCPD=-4t則向量P。與PE的夾角大小為（）

10、已知非零向量滿足1"卜2性，且則。與〃的夾角為

兀兀2兀5兀

A.6B.3C.3D.6

11、如圖，直角三角形ABC中，48c=9（）°,A3=3,5C=4,M點(diǎn)是線段AC

一動(dòng)點(diǎn)，若以〃為圓心半徑為逐的圓與線段A。交于RQ兩點(diǎn)，則8戶.BQ的最

小值為（）

12w.2_12

A.15B.25C.BD.15

12、已知在四邊形ABCO中，ABYAD,8=1,A8+2C￡>=0,則A6-AC=

().

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

13、在MBC中，已知A8=2,AC=3,ZBAC=60,M為BC的中點(diǎn)，N在AC上，

且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)p,則cosNMPN=.

14、已知平行四邊形ABCD中，AD=2,/BAD=120。，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，AE-BD=1,則

BD-BE=,

15、已知向量犯AC,AD滿足AC=AB+AD,網(wǎng)=2,網(wǎng)=1,星尸

“…DEBF=~-

分別是線段BC,C。的中點(diǎn)，若4,則向量AB與向量AO的夾角為

16、已知-A6C外接圓的圓心為0,M為邊BC的中點(diǎn)，若他=3,AC=5,則

AOAM=.

三、解答題

「1=4r1=2--

17、(本小題滿分10分)如圖，在AABO中，OA,OB，且。A與。B的夾角為60,

一二3一

BPPA.

⑴求OPAB的值；

==x'+y?

(2)若OQQA,PQOAOB,求x,y的值.

18、(本小題滿分12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,DC上的點(diǎn)，且

滿足BE=EC,DF=2FC,記AB=a,AD=b,試以a,b為平面向量的一組基底.利用向量

的有關(guān)知識(shí)解決下列問(wèn)題；

AB

(1)用a，b來(lái)表示向量DE,BF；

6B-?-?

⑵若AB/AD=3,,BF

,且I

19、(本小題滿分12分)已知向量。=0'2),，=(一3,1)

(1)求與2。+人同向的單位向量e；

.(.in

c=-3,---

(2)若向量(’3人請(qǐng)以向量"，人為基底表示向量J

(3)若。，b夾角為。,求cos26的值.

參考答案

1、答案A

n--1

…—la=1Ibl=-

詳解：平面向量;，'的夾角為3,且‘’2,

1?

不妨設(shè)「=(1,0),工(巴4),

，「自

則a-2，=(2,-2),

故Ia-2b|=1,

故選：A.

點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了向量的點(diǎn)積運(yùn)算和模長(zhǎng)的求法；對(duì)于向量的題目一般是以小題的

形式出現(xiàn)，常見(jiàn)的解題思路為：向量基底化，用已知長(zhǎng)度和夾角的向量表示要求的向量,

或者建系實(shí)現(xiàn)向量坐標(biāo)化，或者應(yīng)用數(shù)形結(jié)合.

2、答案D

解析詳解

設(shè)向量a,，的夾角為0,

則日?日=|0116|cosS=8cos0=4,

1n

cos9=-9=-

,2,3.

于是可設(shè)a=(2,0),B=(2,2我,令c=(x,y),

則q+0=(x,y+2澗)，

由題意得怛-日+即=x?+僅+2柯=3表示點(diǎn)(x,y)在以。-2向?yàn)閳A心，半徑為酒的圓上.

又6-6=(x-2,y-2同

Ia-6|=J(x-2/+(y-2府,表示圓上的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(2,2囪間的距離，

10-8|的最大值為＞°-2產(chǎn)+卜2出-2收2+4=2底+4.

故選D.

點(diǎn)睛

由于向量具有數(shù)形兩方面的性質(zhì)，所以在解答向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)可借助坐標(biāo)，將向量的

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問(wèn)題，如本題中最值的計(jì)算問(wèn)題，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)

系，將向量模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題求解，考查數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，同時(shí)也考查計(jì)

算能力.

3、答案D

.43?,4

sinA=—cosA=±—.n4(IADII.八］A?A

解析在，ABC因?yàn)?,所以5,所以AB-AC=|AB|-|AC|COSA=±4

4、答案B

解析

。_L〃，:,a-b=09

即lx3+(-2)根+(—1)x(—1)=0,解得：加=2.

故選：B

5、答案C

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

詳解：由3333,

(21A221

ADAB^-AB+-AC\-AB^-AB+-AC-AB

所以133J33

=|xl2+||AC||AB|cos90°=|+1x3x0=|

故選：c

6、答案B

詳解：由向量。、“、。兩兩不共線可得①、③錯(cuò)誤；

對(duì)于②，..怦喈耳，癡明西網(wǎng)詞,所以a#b=b#a,

故②正確；

對(duì)于④，若。、5、，均為單位向量且兩兩夾角均為12°,如圖，

b

Hea+b1

易得

(a+〃)#C=|c/+/?|-|c|sinl80=0

所以

iz#c+/?#c=|?|-|c|sin120+|/?|-|c|sinl20=G

(a+b]#c^a#c+b#c

所以1>故④錯(cuò)誤;

a#Z>=|?|-|/?|sin^,/?^卜@#〃=卜《卜卜in卜一《,用=卜卜雨心力）

對(duì)于⑤，，，

故⑤正確.

故選：B.

7、答案A

1

AM=AB+BMAB+-BC

詳解：由CM=2MB,AN=NB得3

CN=BN-BC=--AB-BC

2又ABBC=0,AB=2,BC=\,

AM-AB+CN-BC=\ABf-\Bcf=3

所以Illi.

故選：A

點(diǎn)睛

本題主要考查向量的線性表示和向量的數(shù)量積的計(jì)算，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查

了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

8、答案C

詳解：由題意作出圖形，如下圖，

AC-BD^^AD+DC)-(AD-AB)=^AD+AB)-(AD-AB)

所以

=AD'-AB2=\AD^-\AB^=1-9=-8

故選：C.

9、答案B

詳解：連接OE,如下圖所示.

DE=-BC

因?yàn)镼,￡是邊AB,AC的中點(diǎn)，所以DE//BC,且2,所以8C=2OE,

uuouunuuuuunuuruunuun

BC,PD=2DE,PD=2、PE—PD\?PD

所以

uuruunuun2uuruunuiin2

=2PEPD+2PD=2PEPDcosNDPE—2PD=4小用.

cosNOPE—n2=T,解得

cos/DPJ-；又因?yàn)棰?

所以NDPE=120°.則向量產(chǎn)。與PE的夾角大小為120。，

故選:B.

點(diǎn)睛

本題考查向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積.

10、答案B

解析

分析

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、

數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由（。一^^■"得出向量”力的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向

量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

詳解因?yàn)椋╝-b）上b,所以（a-b）b=a-b-b=O,所以a-b^b,所以

a-h|Z?|21

COS6=MW2仍I2,所以a與力的夾角為亍，故選民

11、答案B

詳解：因?yàn)镸P=-M0,

2

所以=+=\BM|-|MPp；

BPBQ=|BM2

即|-5

只需要求怛"I的最小值即可,

當(dāng)3M_LAC時(shí)，網(wǎng)最小,此時(shí)忸”卜彳,

144119

（BPBQ）而,.------5=—

所以2525,

故選：B

12、答案C

詳解：由A8+2C￡>=°,可得A8=2OC,

所以AB//DC,網(wǎng)=2網(wǎng)=2.

又由45,4),所以四邊形ABCO是直角梯形，如圖所示,

所以ABAC=AB-（AO+DC）=ABA￡>+4BDC=0+2xl=2

故選：C.

點(diǎn)睛

本題考查向量的線性運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟練向量的數(shù)量積的

運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.

13、答案里9

38

詳解：如圖所示:

A

設(shè)AP=/IAM,

因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，N在AC上，且AN=2NC,

uuur1zuunuumx3

AM=-(AB+AC]AC=-AN

所以2、),2,

AP=-(AB+AC\=-[AB+-AN\

所以2，212人

因?yàn)?,P,N三點(diǎn)共線，

所以BP』BN,

所以”=(1-+〃4V

-=L—U

2

'32_

所以14,

解得5,

PM=-AM=—(AB+

所以510、

3

BP=-BN

同理5

22/\2(2、24

PN=—BN=-(BA+AN)=-BA+-AC=-AB+—AC

所以55、；5(3)515

PMPN=—(AB+ACY\-4^AC--AB\

斫以小"155)

2|21

——+AC\——ACAB

251?75

-x3x2xcos60

257575

---4-1--18---3=—1

25757525

2

1|2

PM=AB+ACABf+2AB-AC+\AC\

看（10

—A/4+2X2X3XCOS60+9

10

PN

14/8^“16c

—x4-----x2x2x3xcos60+------x9

2575225

1616164

----------+----=-

2525255

1

PMPN叵

cosNMPN25

x

所以105

叵

故答案為：38

點(diǎn)睛

本題主要考查平面向量的基本定理以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能

力，屬于中檔題.

14、答案13

(AD+-AB)?(AD-AB)=AD2—AB-AD—AB2=1

解析由AEBD=1,得222

設(shè)|AB|=m

112

4+-m——m=1

22,解得m=3.

__一3_11一

BD-BE=(AD-AB)(AD—AB)=AD2—AD-AB+-AB2

222

319

=4+-x2x3x-+-=13

222

答案：13

點(diǎn)睛：給出向量a，,，求a，的三種方法：

(1)若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，且兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向

量的起點(diǎn)不同，需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算.

(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量占，,，

然后再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算求解.

(3)若圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系，可建立坐標(biāo)系，求出a,6的坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求

解.

15、答案?

詳解：因?yàn)橄蛄緼3,AC,AD滿足AC=AB+AD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=DC,AD=BC

BF=BC+CF=AD--AB,DE=DC+CE^AB--AD

所以22

DEBF=\AD--AB\\AB--AD\

所以I2A2

=-ABAD--AB~~-AD~

422

51cle5

=-ABAD——x22——xl2=——

4224,

uuuuuu

所以A6A0=1,

設(shè)向量A6與向量AO的夾角為。,

AB-Ab=\AB\-\AD\cos0=\

所以IHI

八1

COS0=—

即2,

因?yàn)橥?,句,

0=-

所以3,

71

故答案為：3.

點(diǎn)睛

本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能

力，屬于中檔題.

16、答案］17

2

詳解：如圖，取AC的中點(diǎn)。，A3的中點(diǎn)E,并連接前，0E,

則ODLAC,OE±AB,

/.\1225

AOAC=（AD+DOyAC=-AC=y

/\129

AOAB=^AE+EOjAB=-AB=-

22,

-------1-----——25+917

AO-AM=-AO\AB+AC）=^-^-=—

242

17

故答案為：2

點(diǎn)睛

本題考查幾何圖形中的向量問(wèn)題、平行四邊形法則、向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

1

x=y=--

17、答案（1）-9；（2）4.

詳解

-?->

選取向量。A'OB為基底.

3331

=+=+-=+-(-)=-+-

(1)由已知得OPOBBPOB4BAOB4OAOB4OA4OB,

=-

ABOBOA,

4OA4OB2OAOE

=-12+1+2

=-9

13111

=_=-_—_-=>->-

(2)由(1)得PQOQOP2OA4OA4OB4OA4OB,

=x?+y?

又PQOAOB,

1

x=y=--

.?.4.

點(diǎn)睛

求向量數(shù)量積的方法

(1)根據(jù)數(shù)量積的定義求解，解題時(shí)需要選擇平面的基底，將向量統(tǒng)一用同一基底表

示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算量求解.

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問(wèn)

題求解.

解析

18、答案(1)見(jiàn)解析；(2)"

玲今1今》少今1玲2分22分少

BF=AD--ABDE=AB--ADBF=(AD--AB)=AD--AD-AB+-AB

(2)由(I)可知:3,2,故339

1

cos^BAD=-,--

可得2即可求得求|DE12,從而求得?DE.

詳解

(1)?.?在"BCD中，DF=2FC,

一4_1

DE=DC+CE=AB+-CB=AB--AD=a--b

222

___1_1__1一

BF=BC+CF=AD+-CD=AD--AB=b--a

333

--1-

BF=AD--ABDE=AB--A