2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)鞏固檢測題30

第16課時(shí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用課時(shí)目標(biāo)1.能運(yùn)用三角函數(shù)模型解決一些具有周期性變化規(guī)律的問題．2．能解決一些簡單的與三角函數(shù)有關(guān)的物理問題和實(shí)際問題．識(shí)記強(qiáng)化三角函數(shù)模型應(yīng)用的四個(gè)問題是：(1)根據(jù)圖象建立解析式；(2)根據(jù)解析式畫圖象；(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型；(4)利用收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到三角函數(shù)模型．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．某人的血壓滿足函數(shù)式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)為血壓，t為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為()A．60B．70C．80D．答案：C解析：由于ω＝160π，故函數(shù)的周期T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80，即每分鐘心跳的次數(shù)為80.故選C.2．單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離Scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系為S＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,3)))，那么單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s答案：D解析：因?yàn)棣兀?π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.3．水平地面上發(fā)射的炮彈，初速度大小為v0，發(fā)射角為θ，重力加速度為g，則炮彈上升的高度y與飛行時(shí)間t之間的關(guān)系式為()A．y＝v0tB．y＝v0sinθt－eq\f(1,2)gt2C．y＝v0sinθtD．y＝v0cosθt答案：B解析：豎直方向的分速度v0sinθ，由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式y(tǒng)＝v0sinθt－eq\f(1,2)gt2，故選B.4．單位圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，同時(shí)從P(1,0)點(diǎn)出發(fā)，沿圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，M點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，速度為eq\f(π,6)rad/s，N點(diǎn)按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)，速度為eq\f(π,3)rad/s，則它們出發(fā)后第三次相遇時(shí)各自走過的弧度數(shù)分別為()A．π，2πB．π，4πC．2π，4πD．4π，8π答案：C解析：設(shè)M、N兩點(diǎn)走過的弧長分別為l1和l2，自出發(fā)至第三次相遇，經(jīng)過t秒，則l1＝eq\f(π,6)t，l2＝eq\f(π,3)t.∴eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)t＝6π，∴t＝12，∴l(xiāng)1＝2π，l2＝4π.5．如圖為2015年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，eq\f(π,2)<φ<π的半個(gè)周期的圖象，則該天8h的溫度大約為()A．16℃BC．14℃D答案：D解析：由題意得A＝eq\f(1,2)×(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴eq\f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq\f(π,8)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20，將x＝6，y＝10代入得10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×6＋φ))＋20＝10，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝－1，由于eq\f(π,2)<φ<π，可得φ＝eq\f(3π,4)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．當(dāng)x＝8時(shí)，y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×8＋\f(3,4)π))＋20＝20－5eq\r(2)≈13，即該天8h的溫度大約為13℃，故選D.6．一根長l厘米的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移s(厘米)和時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系是：s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3))).已知g＝980厘米/秒，要使小球擺動(dòng)的周期是1秒，線的長度應(yīng)當(dāng)是()A.eq\f(980,π)cmB.eq\f(245,π)cmC.eq\f(245,π2)cmD.eq\f(980,π2)cm答案：C解析：由周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\b\lc\/\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))))＝2πeq\r(\f(l,g))，所以小球的擺動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(l,g)).由l＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π)))2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得l＝980eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2π)))2＝eq\f(245,π2)cm.二、填空題7．電流I(mA)隨時(shí)間t(s)變化的函數(shù)關(guān)系是I＝3sin100πt＋eq\f(π,3)，則電流I變化的最小正周期、頻率和振幅分別為______，______，______.答案：eq\f(1,50)503解析：最小正周期T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)；頻率f＝eq\f(1,T)＝50；振幅A＝3.8．據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(,A>0，ω>0,)))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的模型波動(dòng)(x為月份)．已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元．根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為________．答案：f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)解析：由題意，可得A＝eq\f(9－5,2)＝2，B＝7，周期T＝eq\f(2π,ω)＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq\f(π,4).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))＋7.∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＋7＝9.即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝1.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,4).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)．9．如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m,60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h，則h答案：h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))解析：以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如右圖，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－eq\f(π,2)，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4.8cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))))).∴h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).三、解答題10．交流電的電壓E(單位：V)隨時(shí)間t(單位：s)變化的關(guān)系式是E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)．(1)求開始時(shí)(t＝0)的電壓；(2)求電壓的最大值和首次達(dá)到最大值的時(shí)間；(3)求電壓的最大值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔．解：(1)當(dāng)t＝0時(shí)，E＝220eq\r(3)×sineq\f(π,6)＝110eq\r(3)，即開始時(shí)的電壓為110eq\r(3)V.(2)電壓的最大值為220eq\r(3)V.當(dāng)100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)時(shí)，t＝eq\f(1,300)，即電壓首次達(dá)到最大值的時(shí)間為eq\f(1,300)s.(3)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)，即電壓的最大值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔為eq\f(1,50)s.11．電流強(qiáng)度I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系式是I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)為了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一個(gè)eq\f(1,100)s的時(shí)間段內(nèi)電流強(qiáng)度I能取得最大值與最小值，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？解：(1)由圖，可知A＝300.設(shè)t0＝－eq\f(1,300)，t1＝eq\f(1,150)，t2＝eq\f(1,60).∵T＝t2－t0＝eq\f(1,60)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)，0))代入解析式，得－eq\f(π,3)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))).(2)由題意，知eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，∴ω≥200π，∴正整數(shù)ω的最小值為629.能力提升12．如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AB的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()答案：C解析：令所對(duì)的圓心角為θ，由|OA|＝1，得l＝θ.又∵sineq\f(θ,2)＝eq\f(d,2)，∴d＝2sineq\f(θ,2)＝2sineq\f(l,2).∴d＝f(l)＝2sineq\f(l,2)(0≤l≤2π)，它的圖象為C.13．節(jié)能環(huán)保日益受到人們的重視，水污染治理也已成為“十三五”規(guī)劃的重要議題．某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，AB＝30km，BC＝15km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)，且與A、B等距離的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO、BO、PO.設(shè)∠BAO＝x(弧度)，(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定O點(diǎn)的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短，并求總長度的最短公里數(shù)(精確到0.01分析：(1)直接由已知條件求出AO、BO、OP的長度，即可得到所求函數(shù)關(guān)系式；(2)記p＝eq\f(2－sinx,cosx)，則sinx＋pcosx＝2，求出p的范圍，即可得出結(jié)論．解：(1)由已知得y＝2×eq\f(15,cosx)＋15－15tanx，即y＝15＋15×eq\f(2－sinx,cosx)(其中0≤x≤eq\f(π,4))(2)記p＝eq\f(2－sinx,cosx)，則sinx＋pcosx＝2，則有eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋p2))))≤1，解得p≥eq\r(3)或p≤－eq\r(3)由于y>0，所以，當(dāng)x＝eq\f(π,6)，即點(diǎn)O在CD中垂線上離點(diǎn)P距離為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(