串講04 隨機變量及其分布（考點串講）（解析版）

串講04隨機變量及其分布一、知識網絡二、常考題型三、知識梳理知識點一：離散型隨機變量及其分布1．離散型隨機變量一般地，如果隨機試驗的結果，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，通常用大寫拉丁字母X，Y，Z(或小寫希臘字母)等表示，而用小寫拉丁字母x，y，z(加上適當下標)等表示隨機變量取的可能值.注意:(1)一般地，一個試驗如果滿足下列條件：i)試驗可以在相同的情形下重復進行；ii)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；iii)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果.這種試驗就是個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.(2)所謂隨機變量，即是隨機試驗的試驗結果與實數(shù)之間的一個對應關系，這種對應關系是人為建立起來的，但又是客觀存在的.這與函數(shù)概念的本質是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量是實數(shù)，而在隨機變量的概念中，隨機變量的自變量是試驗結果.(3)一般情況下，我們所說的隨機變量有以下兩種：如果隨機變量所有可能的取值都能一一列舉出來，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.如果隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.(4)離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的區(qū)別：離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量都用來刻畫隨機試驗所出現(xiàn)的結果，但二者之間又有著根本的區(qū)別：對于離散型隨機變量來說，它所可能取的值為有限個或至多可列個，或者說能將它的可能取值，按一定次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量可取某一區(qū)間內的一切值，我們無法將其中的值一一列舉.2．離散型隨機變量的分布列及其數(shù)字特征1、概念一般地，設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,?,xiXxx?x?xPpp?p?p為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列.2、性質離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質13．離散型隨機變量的均值與方差1、均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．2、均值的性質（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3、方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。唬?）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．4、方差的性質（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．4、二項分布與超幾何分布1.定義：在一次隨機試驗中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個離散型隨機變量．如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率是，（）．于是得到離散型隨機變量的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于表中第二行恰好是二項展開式中各對應項的值，所以稱這樣的隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作．2．如何求有關的二項分布（1）分清楚在n次獨立重復試驗中，共進行了多少次重復試驗，即先確定n的值，然后確定在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值；（2）準確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率；（3）用表格形式列出隨機變量的分布列。3.二項分布的均值與方差若隨機變量服從參數(shù)為,的二項分布，即,則,.知識點二：正態(tài)分布1.正態(tài)曲線及性質（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)其中實數(shù)和（>0）為參數(shù)，我們稱的圖象（如圖）為正態(tài)分布密謀曲線，簡稱正態(tài)曲線。注：是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標準。（2）正態(tài)曲線的性質：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線x=對稱；③曲線在x=處達到峰值④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙表示。2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P（a<X≤b）=,則稱X的分布為正態(tài)分布，記作。（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間取值的概率值①P（-＜X≤+）=0.6826;②P(-2＜X≤+2)=0.9544;③P(-3＜X≤+3)=0.9974.（3）3原則通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量X只?。?3，+3）之間的值，并簡稱為3原則。正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間（-3，+3）之內，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生。要點詮釋：正態(tài)曲線的對稱性正態(tài)曲線的函數(shù)很顯然，當μ＝0時，是偶函數(shù)，關于y軸對稱；當μ≠0時，對稱軸為x＝μ，所以正態(tài)曲線是一個軸對稱圖形，很多關于正態(tài)分布的概率問題，都是根據(jù)其對稱性求解．四、?？碱}型探究考點一隨機變量的概念、表示及特征1．甲、乙兩班進行足球對抗賽，每場比賽贏了的隊伍得3分，輸了的隊伍得0分，平局的話，兩隊各得1分，共進行三場．用表示甲的得分，則表示（

）．A．甲贏三場 B．甲贏一場、輸兩場C．甲、乙平局三次 D．甲贏一場、輸兩場或甲、乙平局三次【答案】D【解析】由于贏了的隊伍得3分，輸了的隊伍得0分，平局的話，兩隊各得1分，所以可以分成兩種情況，即或，即甲贏一場、輸兩場或甲、乙平局三次．故選：D．2．將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（

）A．兩次擲得的點數(shù)B．兩次擲得的點數(shù)之和C．兩次擲得的最大點數(shù)D．第一次擲得的點數(shù)減去第二次擲得的點數(shù)的差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機變量為一個變量判斷.【詳解】因為隨機變量為一個變量，而A中兩次擲得的點數(shù)的取值是一個數(shù)對，不是一個數(shù)，所以不能作為隨機變量，故選A.考點二離散型隨機變量3．10件產品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機變量的是A．取到產品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】C【詳解】逐一考查所給的選項：A中取到產品的件數(shù)是一個常量而不是變量,B,D中的量也是一個定值,而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機變量.本題選擇C選項.4．下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的為（

）①高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數(shù)；②一個沿直線進行隨機運動的質點離坐標原點的距離；③某同學射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對于①，半小時內經過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，故①是離散型隨機變量；對于②，沿直線進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機變量；對于③，某同學射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來，故③是離散型隨機變量；對于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，故④不是離散型隨機變量；故選：C.5．已知X，Y均為離散型隨機變量，且X＝2Y，若X的所有可能取值為0,2,4，則Y的所有可能取值為________．【解析】由題意Y＝eq\f(1,2)X且X∈{0,2,4}，得Y∈{0,1,2}．6．在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個問題的總得分的所有可能取值的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】依題意可得可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結果，即可得到得分的可能取值；【詳解】可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結果，相應得分為300分，100分，分，分，因此甲回答這三個問題的總得分的所有可能取值有4個．故選：B考點三離散型隨機變量的分布列及其性質7．已知隨機變量的分布列是：123則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】解：因為，所以，所以，故選：A.8．已知隨機變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）：X012345P0.10.1a0.30.20.1則等于（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.9．袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球為止，求取球次數(shù)X的分布列．【解析】X的可能取值為1,2,3,4,5，則第1次取到白球的概率為P(X＝1)＝eq\f(1,5)，第2次取到白球的概率為P(X＝2)＝eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(1,5)，第3次取到白球的概率為P(X＝3)＝eq\f(4×3×1,5×4×3)＝eq\f(1,5)，第4次取到白球的概率為P(X＝4)＝eq\f(4×3×2×1,5×4×3×2)＝eq\f(1,5)，第5次取到白球的概率為P(X＝5)＝eq\f(4×3×2×1×1,5×4×3×2×1)＝eq\f(1,5)，所以X的分布列為X12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)10．設隨機變量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5))).(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10)))【解析】由題意，所給分布列為Xeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)1Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性質得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝eq\f(1,15).(2)方法一Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋P(X＝1)＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5).方法二Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).(3)∵eq\f(1,10)<X<eq\f(7,10)，∴X＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).11．若隨機變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【解析】根據(jù)概率的性質可得，所以，所以，故選:C.12．一袋中裝5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為()A． B．C． D．【答案】C【解析】隨機變量的可能值為1，2，3，，，，故選C.13．若離散型隨機變量，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，得，所以，故選：C.14.若隨機變量ξ只能取兩個值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【答案】答案見解析【解析】解：由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列為ξ01P15．袋中有4只紅球，3只黑球，現(xiàn)從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值．【答案】答案見解析【解析】解：取出4只球顏色及得分分布情況是4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，X的可能取值為5,6,7,8，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，故X的分布列為X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7).16．某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率.（1）求當天商店不進貨的概率；（2）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）記“當天商品銷售量為0件”為事件A，“當天商品銷售量為1件”為事件B，“當天商店不進貨”為事件C，則；（2）由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝；P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝，故X的分布列為：X23P17．現(xiàn)有甲，乙兩名籃球運動員，甲?乙兩人各投籃一次，投中的概率分別和，假設每次投籃是否投中，相互之間沒有影響.（結果需用分數(shù)作答）（1）求甲投籃3次，至少有2次未投中的概率；（2）求兩人各投籃2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率；（3）設乙單獨投籃3次，用表示投中的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）（2）（3）分布列答案見解析，數(shù)學期望：【解析】解：（1）記“甲投籃3次至少有2次未投中”為事件，由題意知投籃3次，相當于3次獨立重復試驗，故；（2）記“甲投籃2次，恰有2次投中”為事件，“乙投籃2次，恰有1次投中”為事件，則，，由于甲?乙投籃相互獨立，故；（3）根據(jù)題意可知，的可能取值為0，1，2，3，服從二項分布，，則，，，，則的分布列為：0123的數(shù)學期望為.考點四正態(tài)分布18．設有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖像，且，則這個正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別是（

）．A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10【答案】B【解析】因為，所以，即正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別為與.故選：B．19．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則.故選:D20．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【解析】解：因為且，所以.故選：D21．【變式】已知隨機變量ξ服