廣西壯族自治區(qū)廣西貴港市、百色市、河池市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆“貴百河”11月高三質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考試題數(shù)學(xué)一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，，則（）A B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A B. C. D.3.已知直線和，平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知圓心為的圓與雙曲線的一條漸近線相切，且與另一條漸近線無公共點，則該圓的標準方程是（）A. B.C D.5.某選拔性考試需要考查4個學(xué)科（語文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（）A. B. C. D.6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.7.已知向量，，若，則（）A. B.1 C.或1 D.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯得0分．9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計說法中正確的是（）A.兩個變量，的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱B.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C.在回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的更好D.某人在10次答題中，答對題數(shù)為，，則答對7題的概率最大10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的一條對稱軸方程為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時，，則的最大值為1D.當(dāng)時，方程有且只有兩個實根12.已知橢圓，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上異于，的一個動點．下列結(jié)論中，正確的有（）A.橢圓的長軸長為 B.滿足為直角三角形的點恰有6個C.的最大值為8 D.直線與直線的斜率乘積為定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)，則在處的切線方程為________．14.在的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則各項的系數(shù)的絕對值之和為________．15.高為3的圓錐內(nèi)放進一個球，若球的最大半徑為1，則圓錐的體積為________．（圓錐表面的厚度忽略不計）16.科拉茨是德國數(shù)學(xué)家，他在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．這是一個很有趣的猜想，但目前還沒有證明或否定．如果對正整數(shù)（首項）按照上述規(guī)則施行變換后得到，依次施行變換后所得到的數(shù)組成數(shù)列，是數(shù)列的前項和，若，則________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列和前項和分別為，，且，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若．（1）求的值；（2）若的面積為，求周長的取值范圍．19.已知正方體中，、分別是，的中點，點是棱上的動點，．（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的值．20.規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有一個白球和兩個紅球，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止：否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過，有1500名數(shù)學(xué)愛好者獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如右表：12345256100664830求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）．附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．21.設(shè)，是拋物線上異于的兩點．（1）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，求證：；（2）設(shè)直線經(jīng)過點，若上恰好存在三個點，使得的面積等于，求直線的方程．22.已知函數(shù)．（1）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）斜率為的直線與曲線交于兩點，求證：．2024屆“貴百河”11月高三質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考試題數(shù)學(xué)一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合交集的定義和運算即可求解.【詳解】因為，，所以．故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法所以可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，則．故選：B.3.已知直線和，平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合線面平行的判定以及性質(zhì)判斷“”和“”的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意知，，，根據(jù)線面平行的判定定理可得；當(dāng)時，，則和可能異面，不一定平行，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A4.已知圓心為的圓與雙曲線的一條漸近線相切，且與另一條漸近線無公共點，則該圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】確定漸近線，根據(jù)直線與圓相切得到半徑，再驗證另一漸近線與圓的關(guān)系得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線為，即，①當(dāng)圓與相切時，半徑，此時圓方程為，圓心到的距離為，成立；②當(dāng)圓與相切時，半徑，此時圓方程為，圓心到的距離為，不成立；綜上所述：圓方程為.故選：A5.某選拔性考試需要考查4個學(xué)科（語文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用全排列與插空法分別求得所需要考試順序種類，再利用古典概型即可得解.【詳解】這4個學(xué)科不同的考試順序有種，先安排語文、政治形成3個空隙，再將數(shù)學(xué)、物理插入到其中2個空隙中，則物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的考試順序共有種，所以所求概率為.故選：B.6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A，根據(jù)時，的符號可排除D，根據(jù)時，函數(shù)的函數(shù)值可排除C，即可得解.【詳解】解：因為，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A；時，恒成立，排除D；當(dāng)時，根據(jù)一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長速度，可知，排除C；故選：B.7.已知向量，，若，則（）A. B.1 C.或1 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合數(shù)量積的坐標運算，兩角和的平方關(guān)系和切化弦即可求解.【詳解】，則，即，當(dāng)時，即，則，結(jié)合，解得或者，結(jié)合檢驗得；當(dāng)時，滿足題意.故選：C8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取對數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因為，，，則，設(shè)，，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，所以，即上單調(diào)遞增，因為，所以，即，又，即，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯得0分．9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計說法中正確的是（）A.兩個變量，的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱B.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C.在回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的更好D.某人在10次答題中，答對題數(shù)為，，則答對7題的概率最大【答案】ACD【解析】【分析】用概率與統(tǒng)計的知識點，逐個分析每個選項，排除可得答案.【詳解】對于A，兩個變量，的相關(guān)系數(shù)為，越小，與之間的相關(guān)性越弱，故A正確對于B，，，故B錯誤對于C，越接近1，模型擬合越好，且，故C正確.對于D，，則數(shù)學(xué)期望為，說明答對題的概率最大，故D正確.故選：ACD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的一條對稱軸方程為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，逐項判斷對錯即可.【詳解】由圖像知函數(shù)的最小值為-2，最大值為2，所以，又函數(shù)半個周期為，所以A正確；又，因為，所以，則B錯誤；所以，則對稱軸為，所以不為其對稱軸，即C錯誤；因，所以其單調(diào)遞增區(qū)間為，所以D正確；故選：AD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時，，則的最大值為1D.當(dāng)時，方程有且只有兩個實根【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可求得極值，判斷B；結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理可判斷A；結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及極值可判斷C；結(jié)合函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷D.【詳解】由可得，令，得或，當(dāng)或時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，則有極小值，極大值為，B正確；又，，即在內(nèi)有1個零點；又，故在內(nèi)有1個零點；當(dāng)時，，此時無零點，故函數(shù)存在2個不同的零點，A錯誤；結(jié)合以上分析可作出函數(shù)圖象：函數(shù)在時取極大值，故時，，則的最大值為1，C正確；結(jié)合函數(shù)圖像可知當(dāng)時，圖象與只有2個交點，故方程有且只有兩個實根，D正確，故選：BCD12.已知橢圓，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上異于，的一個動點．下列結(jié)論中，正確的有（）A.橢圓的長軸長為 B.滿足為直角三角形的點恰有6個C.的最大值為8 D.直線與直線的斜率乘積為定值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得長軸長，判斷A；根據(jù)橢圓的對稱性結(jié)合直角三角形性質(zhì)可判斷B；利用橢圓定義以及基本不等式可判斷C；設(shè)，根據(jù)橢圓方程可得，結(jié)合斜率公式化簡可判斷D.【詳解】對于A，對于橢圓，，它的長軸長為，A錯誤；對于B，為直角三角形，若為直角頂點，則過點作x軸的垂線，則與橢圓有兩個交點，這兩個交點滿足題意；若為直角頂點，則過點作x軸的垂線，則與橢圓有兩個交點，這兩個交點也滿足題意；若P為直角頂點，則，此時P點為橢圓短軸的2個端點，故滿足為直角三角形的點恰有6個，B正確；對于C，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即最大值為8，C正確；對于D，由題意知，設(shè)，則，故，D正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷選項B時，要注意利用橢圓的對稱性，數(shù)形結(jié)合，進行判斷.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)，則在處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，再求斜率，進而可得直線方程.【詳解】依題知切點為，則，則，則切線方程為：，即.故答案為：14.在的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則各項的系數(shù)的絕對值之和為________．【答案】729##【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和求出n的值，進而設(shè)出各項的系數(shù)，然后采用賦值法即可求得答案.【詳解】由題意的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，即，設(shè)的各項的系數(shù)為，則各項的系數(shù)的絕對值之和為，即為中各項的系數(shù)的和，令，，即各項的系數(shù)的絕對值之和為，故答案為：72915.高為3的圓錐內(nèi)放進一個球，若球的最大半徑為1，則圓錐的體積為________．（圓錐表面的厚度忽略不計）【答案】【解析】【分析】根據(jù)球與圓錐底面和側(cè)璧相切時，半徑最大半徑求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，，所以，則，所以，解得，所以圓錐的體積為：，故答案為：16.科拉茨是德國數(shù)學(xué)家，他在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．這是一個很有趣的猜想，但目前還沒有證明或否定．如果對正整數(shù)（首項）按照上述規(guī)則施行變換后得到，依次施行變換后所得到的數(shù)組成數(shù)列，是數(shù)列的前項和，若，則________．【答案】148【解析】【分析】根據(jù)題意依次寫出項，找到項出現(xiàn)的規(guī)律，即從開始，周期性出現(xiàn)，由此即可求得答案.【詳解】由題意可得對依次施行變換后所得到的數(shù)組成數(shù)列，其項依次為，即從開始，周期性出現(xiàn)，故，故答案為：148四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列和的前項和分別為，，且，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，代入，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量即可求解.（2）分組求和及等差等比公式求和即可求解.【小問1詳解】依題的：，解得：，，即，又，即，解得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，則；【小問2詳解】由（1）得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，則，由，，，18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若．（1）求的值；（2）若的面積為，求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和差正弦公式、正弦定理和余弦定理角化邊可整理得到關(guān)于的方程，解方程可求得結(jié)果；（2）由三角形面積公式，結(jié)合余弦定理可求得，由此可得；利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識可將整理為關(guān)于的三角函數(shù)的形式，根據(jù)正弦型函數(shù)值域求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，，解得：（舍）或，.【小問2詳解】，，，又，，，則，，，，，，，又，周長的取值范圍為.19.已知正方體中，、分別是，的中點，點是棱上的動點，．（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，設(shè)，求得相關(guān)點坐標，求出的坐標，計算的數(shù)量積，即可證明結(jié)論.（2）求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，列式計算，即可求得t的值，即得答案.【小問1詳解】以點D為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，，則，設(shè)，則，則，則，即，故；【小問2詳解】由（1）可知,設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，由于直線與平面所成角的正弦值為，故，即，即，解得（負值舍去），符合題意，即.20.規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有一個白球和兩個紅球，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止：否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過，有1500名數(shù)學(xué)愛好者獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如右表：12345256100664830求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）．附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．【答案】（1）見解析（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意寫出每一輪成功和失敗的概率，結(jié)合概率乘法公式以及離散型分布列的概念與數(shù)學(xué)期望的計算公式，可得答案；（2）根據(jù)題目中所給公式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可得答案.【小問1詳解】設(shè)事件：“第一輪成功”，事件：“第一輪失敗”，，；事件：“第二輪成功”，事件：“第二輪失敗”，，；事件：“第一輪成功”，事件：“第一輪失敗”，，，由題意可知的可能取值分別為，，，，則的分布列如下表：.【小問2詳解】設(shè)，，，，，可得回歸方程，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，易知當(dāng)時，，，故預(yù)測成功的人數(shù)為.21.設(shè)，是拋物線上異于的兩點．（1）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，求證：；（2）設(shè)直線經(jīng)過點，若上恰好存在三個點，使得的面積等于，求直線的方程．【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，進而結(jié)合拋物線方程表示出的結(jié)果，即可證明結(jié)論；（2）說明直線AB的斜率不存在時不合題意，故設(shè)出直線方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出和平行的拋物線的切線的切點坐標，進而聯(lián)立直線和拋物線方程，求出弦長，再求出切點到直線AB的距離，結(jié)合三角形面積即可求出直線AB的斜率，結(jié)合拋物線的對稱性即可得答案.【小問1詳解】由題意，是拋物線上異于的兩點，設(shè)，則，故，由題意知的斜率存在，故，故；【小問2詳解】由題意知直線經(jīng)過點，若直線AB的斜率不存在，此時其方程為，不妨取，此時，此時曲線在左側(cè)的部分上不存在點D，使得的面積等于，曲線在右側(cè)的部分上將存在兩點，使得的面積等于，此時上存在兩個點，使得的面積等于，不合題意；當(dāng)AB斜率存在時，結(jié)合拋物線的對稱性，不妨設(shè)的斜率為，設(shè)和平行的直線l和拋物線相切，設(shè)切點為，由于，此時切線l和拋物線在第一象限內(nèi)的部分相切，此時，，則，則，設(shè)直線的方程為，