備考高考數(shù)學(xué)(文)總復(fù)習(xí)-全書(shū)教學(xué)教案

著名的數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開(kāi)拓者波利亞提出“掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題”．他將解題過(guò)程分為四個(gè)部分：“審題，轉(zhuǎn)換，實(shí)施，反思”．要解好題必須先審好題，審題是解題的第一步．一切解題的思路、方法、技巧都來(lái)源于認(rèn)真審題．審題是解題者對(duì)題目提供信息的發(fā)現(xiàn)、辨認(rèn)和轉(zhuǎn)譯，并對(duì)信息作有序提煉．本講結(jié)合實(shí)例，教你正確的審題方法，開(kāi)啟成功解題之路．審條件挖隱含條件是解題的主要材料，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路，審題時(shí)要充分挖掘每個(gè)條件的內(nèi)涵和隱含的信息，以便于明確解題的思路．例1已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D為邊BC的中點(diǎn)，則||等于()A．6 B．5C．4 D．3[審題導(dǎo)引][規(guī)范解題]由||＝10，得|－|＝10，平方得||2－2·＋||2＝100，因?yàn)椤ぃ剑?6，所以||2＋||2＝68，又因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以＝eq\f(1,2)(＋)，即||＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\r(36)＝3.故選D.[答案]D審結(jié)論逆向推結(jié)論是解題的最終目標(biāo)。解決問(wèn)題的思維，很多情形下都是在目標(biāo)意識(shí)下啟動(dòng)和定向的，審視結(jié)論要探究已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律，善于從結(jié)論中捕捉解題信息，確定解題方向．例2已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)設(shè)bn＝eq\f(an,2n－1)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[審題導(dǎo)引][規(guī)范解題](1)證明：因?yàn)閍n＋1＝2an＋2n，所以eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1，所以eq\f(an＋1,2n)－eq\f(an,2n－1)＝1，n∈N*，又因?yàn)閎n＝eq\f(an,2n－1)，所以bn＋1－bn＝1.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)b1＝a1＝1，公差為1.(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝2n－1bn＝n·2n－1.審圖形抓特點(diǎn)在一些高考試題中，問(wèn)題的條件往往是以圖形的形式給出，或?qū)l件隱含于圖形之中，由此在審題時(shí)，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì)、抓住圖形的特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，是破解考題的關(guān)鍵．例3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12＋π B．8＋πC．12－π D．6－π[審題導(dǎo)引]eq\x(條件)eq\x(組合體)eq\x(\a\al(正方體下面,挖去一個(gè)圓柱))eq\x(結(jié)果)[規(guī)范解題]V＝V正方體－V圓柱＝2×2×3－π×12×1＝12－π.故選C.[答案]C[易錯(cuò)提醒]本題容易錯(cuò)想成一個(gè)圓柱上放一正方體，所以易錯(cuò)選成B.審結(jié)構(gòu)巧計(jì)算數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的，認(rèn)真分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出其隱含的特殊關(guān)系，尋找突破問(wèn)題的方案．例4不等式(5x＋3)3＋x3＋6x＋3>0的解集為_(kāi)_______．[審題導(dǎo)引][規(guī)范解題]不等式變形為(5x＋3)3＋(5x＋3)>－(x3＋x)，設(shè)f(x)＝x3＋x，則不等式變?yōu)閒(5x＋3)>－f(x)，又f(－x)＝－f(x)，故f(5x＋3)>f(－x)，因?yàn)閒(x)＝x3＋x在R上單調(diào)遞增．所以5x＋3>－x，即x>－eq\f(1,2)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2))))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))審圖表和數(shù)據(jù)題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問(wèn)題的基本信息，也往往暗示著解決問(wèn)題的目標(biāo)和方向．審題時(shí)要認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，為問(wèn)題解決提供有效的途徑．例5某中學(xué)為了了解高一學(xué)生在一月內(nèi)參加各種社團(tuán)活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取200名學(xué)生，獲得了他們的活動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如圖所示．組號(hào)分組頻數(shù)1[0,2)122[2,4)163[4,6)x4[6,8)445[8,10)506[10,12)247[12,14)128[14,16)49[16,18)4合計(jì)200(1)從該校高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該月參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間少于14小時(shí)的概率；(2)求統(tǒng)計(jì)表中的x的值和頻率分布直方圖中的b的值；(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的200名學(xué)生該月活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)在第幾組(只需寫(xiě)出結(jié)論)．[審題導(dǎo)引]eq\x(審表格)eq\x(\a\al(計(jì)算不少于14,小時(shí)學(xué)生數(shù)))eq\x(求概率)→eq\x(審圖形)eq\x(計(jì)算b)eq\x(得出結(jié)論)[規(guī)范解題](1)根據(jù)頻數(shù)分布表可知，200名學(xué)生參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間不少于14小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為4＋4＝8，所以樣本中學(xué)生參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間少于14小時(shí)的頻率是1－eq\f(8,200)＝eq\f(24,25)，用頻率估計(jì)概率可得所求概率大約為eq\f(24,25).(2)依據(jù)頻率分布直方圖可知x＝200×0.085×2＝34.依據(jù)頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖可知b＝eq\f(\f(50,200),2)＝0.125.(3)估計(jì)樣本中的200名學(xué)生活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)在第4組．專(zhuān)題一集合、常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式第一講集合、常用邏輯用語(yǔ)(選擇、填空題型)命題全解密MINGTIQUANJIEMIeq\o(\s\up7(),\s\do5(1.命題點(diǎn)))集合間的關(guān)系、集合的基本運(yùn)算；四種命題之間的關(guān)系、命題的否定、充要條件．eq\o(\s\up7(),\s\do5(2.交匯點(diǎn)))集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算常與不等式、函數(shù)的定義域、值域交匯考查；充要條件常與不等式、立體幾何、函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯考查．eq\o(\s\up7(),\s\do5(3.常用方法))Venn圖法，數(shù)軸法判斷集合之間的關(guān)系；定義法或集合法判斷充要條件．eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P002),\s\do5())[必記公式]集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.(2)集合的運(yùn)算：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(?UA)＝A.[重要結(jié)論]1．集合與集合之間的關(guān)系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n，真子集數(shù)為2n－1，非空真子集數(shù)為2n－2.2．四種命題的關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．3．復(fù)合命題真假的判斷方法命題p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表來(lái)判定：pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口訣記憶p∨q，一真則真；p∧q，一假則假；綈p與p真假相反．4．充分條件與必要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p，q互為充要條件；(2)充要條件與集合的關(guān)系：設(shè)命題p對(duì)應(yīng)集合A，命題q對(duì)應(yīng)集合B，則p?q等價(jià)于A?B，p?q等價(jià)于A＝B.5．全(特)稱(chēng)命題及其否定(1)全稱(chēng)命題p：?x∈M，p(x)．它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．(2)特稱(chēng)命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．[易錯(cuò)提醒]1．在A?B中，易忽略A＝?的情形．2．命題的否定與否命題不同，否命題是對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定．3．“A的充分不必要條件是B”與“A是B的充分不必要條件”不同．4．忽視集合元素“互異性”的驗(yàn)證．5．集合的含義認(rèn)識(shí)不清，如：{x|y＝2x}表示定義域{x|x∈R}，{y|y＝2x}表示值域{y|y>0}．eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P002),\s\do5())熱點(diǎn)一集合的概念及運(yùn)算例1(1)[2015·陜西質(zhì)檢]設(shè)集合A＝{x|y＝lg(3－2x)}，集合B＝{x|y＝eq\r(1－x)}，則A∩B＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) B．(－∞，1]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[解析]∵A＝{x|y＝lg(3－2x)}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())x<\f(3,2)))，B＝{x|y＝eq\r(1－x)}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x≤1}，故選B.[答案]B(2)[2015·洛陽(yáng)統(tǒng)測(cè)]已知集合A＝{x|x2－4x－12<0}，B＝{x|x<2}，則A∪(?RB)＝()A．{x|x<6} B．{x|－2<x<2}C．{x|x>－2} D．{x|2≤x<6}[解析]由x2－4x－12<0，解得－2<x<6，所以A＝{x|－2<x<6}．又?RB＝{x|x≥2}，所以A∪(?RB)＝{x|x>－2}，故選C.[答案]C例(2)中B＝{x|y＝eq\r(x8－x)}則?R(A∩B)＝________.答案{x|x<0或x≥6}解析由x2－4x－12<0得－2<x<6，由x(8－x)≥0得0≤x≤8.則A∩B＝{x|0≤x<6}所以?R(A∩B)＝{x|x<0或x≥6}．解答集合運(yùn)算問(wèn)題的策略首先正確理解各個(gè)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性，代表的意義．然后根據(jù)集合中元素的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合．(1)若給定集合涉及不等式的解集，要借助數(shù)軸．(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn圖．(3)若給定集合是點(diǎn)集，要注意借助函數(shù)圖象．提醒：注意元素的互異性及空集的特殊性．1．[2015·唐山統(tǒng)測(cè)]函數(shù)y＝eq\r(x3－x)＋eq\r(x－1)的定義域?yàn)?)A．[0,3] B．[1,3]C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)答案B解析要使函數(shù)有意義，需要保證eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－x≥0,x－1≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,x≥1))，∴1≤x≤3，故選B.2．[2015·九江一模]已知全集U＝R，集合A＝[2,5)，?UB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，則A∩B＝()A．(2,5) B．(1,2)C．{2} D．?答案C解析由題知B＝[1,2]，∴A∩B＝{2}，故選C.熱點(diǎn)二命題真假的判斷與否定例2(1)[2015·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]下列說(shuō)法正確的是()A．命題“?x∈R，ex>0”的否定是“?x∈R，ex>B．命題“已知x，y∈R，若x＋y≠3，則x≠2或y≠1”C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D．命題“若a＝－1，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題[解析]A中命題的否定是“?x∈R，ex≤0”，∴A錯(cuò)誤；B中逆否命題為“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，則x＋y＝3”，易知為真命題，∴B正確；C中分析題意可知，不等式兩邊的最值不一定在同一個(gè)點(diǎn)取到，故C錯(cuò)誤；D中若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個(gè)零點(diǎn)，則①：a＝0，符合題意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a[答案]B(2)[2014·重慶高考]已知命題p：對(duì)任意x∈R，總有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．則下列命題為真命題的是()A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∧q[解析]由題意知，命題p為真命題，命題q為假命題，所以綈p為假，綈q為真．所以p∧(綈q)為真，(綈p)∧q為假，(綈p)∧(綈q)為假，p∧q為假．故選A.[答案]A命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識(shí)辨別．(2)四種命題真假的判斷依據(jù)：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個(gè)命題的真假無(wú)關(guān)．(3)形如p∨q，p∧q，綈p命題的真假根據(jù)真值表判定．(4)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)(存在性)命題真假的判定：①全稱(chēng)命題：要判定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立，要判定其為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可；②特稱(chēng)(存在性)命題：要判定一個(gè)特稱(chēng)(存在性)命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)成立即可，否則，這一特稱(chēng)(存在性)命題就是假命題．1．[2015·安徽高考]已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線(xiàn)D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面答案D解析A中，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行，故A錯(cuò)誤；B中，平行于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)可能平行、相交或異面，故B錯(cuò)誤；C中，若兩個(gè)平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)與交線(xiàn)平行的直線(xiàn)一定和另一個(gè)平面平行，故C錯(cuò)誤；D中，若兩條直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線(xiàn)平行，所以若兩條直線(xiàn)不平行，則它們不可能垂直于同一個(gè)平面，故D正確．2．[2015·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為()A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n答案C解析命題p是一個(gè)特稱(chēng)命題，其否定是全稱(chēng)命題，故選C.熱點(diǎn)三充要條件的判斷例3(1)[2015·陜西高考]“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵sinα＝cosα?tanα＝1?α＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又cos2α＝0?2α＝2kπ＋eq\f(π,2)或2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)?α＝kπ＋eq\f(π,4)或kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，∴sinα＝cosα成立能保證cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保證sinα＝cosα成立，∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要條件．[答案]A(2)[2015·唐山統(tǒng)考]“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線(xiàn)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線(xiàn)，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件，故選A.[答案]A(2)題中將“k<9”改為“k>9”、將“雙曲線(xiàn)”改為“橢圓”，那么正確答案是()答案B解析方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示橢圓．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－9>0,25－k>0,25－k≠k－9))，即9<k<25且k≠17，故k>9是方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1為橢圓的必要不充分條件，故選B.判斷充分、必要條件的方法及關(guān)注點(diǎn)1．充分、必要條件的判斷方法先判斷p?q與q?p是否成立，然后再確定p是q的什么條件．2．判斷充分、必要條件時(shí)的關(guān)注點(diǎn)(1)要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.(2)要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行，可以嘗試通過(guò)舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明．(3)要注意轉(zhuǎn)化：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，那么p是q的充要條件．1．[2015·北京高考]設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線(xiàn)且m?α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析若m?α且m∥β，則平面α與平面β不一定平行，有可能相交；而m?α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．2．[2015·四川高考]設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，若3a>3b>3，則a>b>1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得loga3<logb3；反之，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，顯然有l(wèi)oga3<logb3，此時(shí)0<b<a<1，于是3>3a>3b，所以“3a>3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的充分不必要條件，選B.eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P004),\s\do5())課題1集合中的新定義問(wèn)題[2015·湖北高考]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為()A．77 B．49C．45 D．30審題過(guò)程eq\a\vs4\al(切入點(diǎn))將數(shù)學(xué)關(guān)系式用圖形表達(dá)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．eq\a\vs4\al(關(guān)注點(diǎn))正確“翻譯”A⊕B的意義.eq\a\vs4\al([規(guī)范解答])集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn))，即圖中圓內(nèi)及圓上的整點(diǎn)．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))，即圖中正方形ABCD內(nèi)及正方形ABCD上的整點(diǎn)．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1內(nèi)及正方形A1B1C1D1上除去四個(gè)頂點(diǎn)外的整點(diǎn)，共7×7－4＝45個(gè)．故選C.解決此類(lèi)問(wèn)題的模型示意圖如下：1．定義A*B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA－CB，CA≥CB，,CB－CA，CA<CB))(其中C(A)，C(B)表示非空集合A，B中的元素個(gè)數(shù))，若A＝{1,2}，B＝{x||x2＋ax＋1|＝1，a∈R}，且A*B＝1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，那么C(S)＝()A．4 B．3C．2 D．1答案B解析由定義A*B可知，A*B＝1表示A、B中元素個(gè)數(shù)差為1，由A＝{1,2}有2個(gè)元素，得B中有1個(gè)或3個(gè)元素，在集合B中，|x2＋ax＋1|＝1，整理得，x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0，若a＝0，則B＝{0}符合要求，若Δ＝a2－8＝0，即a＝±2eq\r(2)，a＝2eq\r(2)時(shí)，B＝{0，－2eq\r(2)，－eq\r(2)}，a＝－2eq\r(2)時(shí)，B＝{0,2eq\r(2)，eq\r(2)}，符合要求．故S＝{0,2eq\r(2)，－2eq\r(2)}，C(S)＝3.選B.2．設(shè)U為全集，對(duì)集合X，Y，定義運(yùn)算“⊕”，滿(mǎn)足X⊕Y＝(?UX)∪Y，則對(duì)于任意集合X，Y，Z，則X⊕(Y⊕Z)＝()A．(X∪Y)∪(?UZ) B．(X∩Y)∪(?UZ)C．[(?UX)∪(?UY)]∩Z D．(?UX)∪(?UY)∪Z答案D解析由定義運(yùn)算得X⊕(Y⊕Z)＝X⊕[(?UY)∪Z]＝(?UX)∪[(?UY)∪Z]＝(?UX)∪(?UY)∪Z.eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P143),\s\do5())一、選擇題1．[2015·蘭州雙基過(guò)關(guān)]已知集合U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，則A∩(?UB)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案D解析因?yàn)?UB＝{x|x≥1}，所以A∩(?UB)＝{x|1≤x≤2}，故選D.2．[2015·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)]已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}且A??RB，那么mA．1 B．2C．3 D．4答案A解析由B＝{x|x<2m}，得?RB＝{x|x≥2m}．∵A??RB，∴2m≤2，∴3．[2015·遼寧五校聯(lián)考]設(shè)集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤4))))，則M∪N＝()A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1}C．{x|x<－1} D．{x|x≤－2}答案A解析因?yàn)镸＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2<x<－1}，N＝[－2，＋∞)，所以M∪N＝[－2，＋∞)，故選A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}關(guān)系的韋恩圖如圖所示，則陰影部分所示集合中的元素共有()A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．無(wú)窮多個(gè)答案B解析由韋恩圖可知，陰影部分可表示為(?UA)∩B.由于?UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(?UA)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4個(gè)元素．5．命題“對(duì)任意x∈[1,2)，x2－a≤0”A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)>4C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1答案B解析要使得“對(duì)任意x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題，只需要a≥4，∴a6．[2015·唐山一模]命題p：?x∈N，x3<x2；命題q：?a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函數(shù)f(x)＝loga(x－1)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0)．則()A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真答案A解析∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在這個(gè)范圍內(nèi)沒(méi)有自然數(shù)，命題p為假命題．∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0)，∴l(xiāng)oga1＝0，對(duì)?a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立，命題q為真命題．7．[2015·大連雙基測(cè)試]命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥ln2”A．對(duì)任意x∈R，都有x2<ln2B．不存在x∈R，都有x2<ln2C．存在x∈R，使得x2≥ln2D．存在x∈R，使得x2<ln2答案D解析按照“任意”改“存在”，結(jié)論變否定的模式，應(yīng)該為存在x∈R，使得x2<ln2.故選D.8．[2015·貴州七校聯(lián)考]以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”②存在正實(shí)數(shù)a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb.③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”．④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要條件．A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①原命題的逆命題為：若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則a＋b≥2，而a＝2，b＝－2滿(mǎn)足條件a，b中至少有一個(gè)不小于1，但此時(shí)a＋b＝0，故是假命題；②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，知當(dāng)a＝b＝2時(shí)，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故是真命題；③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定為“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”，③是真命題；④根據(jù)題意，結(jié)合邊角的轉(zhuǎn)換，以及正弦定理，可知A<B?a<b(a，b為角A，B所對(duì)的邊)?2RsinA<2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)?sinA<sinB，故可知A<B是sinA<sinB的充要條件，故是假命題．選C.9．[2015·浙江高考]設(shè)A，B是有限集，定義：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的個(gè)數(shù)．命題①：對(duì)任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”命題②：對(duì)任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．()A．命題①和命題②都成立B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立D．命題①不成立，命題②成立答案A解析由題意，d(A，B)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)≥0，對(duì)于命題①，A＝B?card(A∪B)＝card(A∩B)?d(A，B)＝0，∴A≠B?d(A，B)>0，命題①成立．對(duì)于命題②，由韋恩圖易知命題②成立，下面給出嚴(yán)格證明：d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)?card(A)＋card(C)－2card(A∩C)≤card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)?card(A∩C)≥card(A∩B)＋card(B∩C)－card(B)?card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)．因?yàn)閏ard(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)≤0，故命題②成立．10．給定下列四個(gè)命題：命題p：當(dāng)x>0時(shí)，不等式lnx≤x－1與lnx≥1－eq\f(1,x)等價(jià)；命題q：不等式ex≥x＋1與ln(x＋1)≤x等價(jià)；命題r：“b2－4ac≥0”是“函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)bx2＋cx＋d(a≠0)有極值點(diǎn)”的充要條件；命題s：若對(duì)任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，不等式a<eq\f(sinx,x)恒成立，則a≤eq\f(2,π).其中為假命題的是()A．(綈s)∧p B．(綈q)∧sC．(綈r)∧p D．綈(q∧p)答案A解析由eq\f(1,x)>0，lnx≤x－1，得lneq\f(1,x)≤eq\f(1,x)－1，即lnx≥1－eq\f(1,x)，故命題p為真命題；由于x的取值范圍不同，故命題q是假命題；當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，故命題r是假命題；設(shè)h(x)＝eq\f(sinx,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))，由于函數(shù)h(x)＝eq\f(sinx,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是減函數(shù)，故eq\f(sinx,x)>eq\f(2,π)，a≤eq\f(2,π)，即命題s是真命題．根據(jù)復(fù)合命題的真值表可知選A.二、填空題11．已知條件p：－3≤x<1，條件q：x2＋x<a2－a，且p為q的必要而不充分條件，則a的取值范圍是________．答案[－1,2]解析條件q：由x2＋x<a2－a得x2＋x－a2＋a<0，即(x＋a)[x－(a－1)]<0，當(dāng)－a<a－1，即a>eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解為－a<x<a－1；當(dāng)－a＝a－1，即a＝eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解為?；當(dāng)－a>a－1，即a<eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解為a－1<x<－a.由p為q的必要而不充分條件，可知當(dāng)a>eq\f(1,2)時(shí)，由{x|－a<x<a－1}{x|－3≤x<1}，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤－a，,1≥a－1，))解得eq\f(1,2)<a≤2；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，因?yàn)榭占侨我庖粋€(gè)非空集合的真子集，所以顯然滿(mǎn)足條件；當(dāng)a<eq\f(1,2)時(shí)，由{x|a－1<x<－a}{x|－3≤x<1}，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a－1，,1≥－a，))解得－1≤a<eq\f(1,2).綜上，a的取值范圍為[－1,2]．12．[2015·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有兩個(gè)元素的子集，且滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①若a1∈A，則a2∈A；②若a3?A，則a2?A；③若a3∈A，則a4?A.則集合A＝________.(用列舉法表示)答案{a2，a3}解析若a1∈A，則a2∈A，則由若a3?A，則a2?A可知，a3∈A，假設(shè)不成立；若a4∈A，則a3?A，則a2?A，a1?A，假設(shè)不成立，故集合A＝{a2，a3}．13．[2015·山東高考]若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi)_______．答案1解析由已知可得m≥tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))))恒成立．設(shè)f(x)＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))))，顯然該函數(shù)為增函數(shù)，故f(x)的最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即實(shí)數(shù)m的最小值為1.14．給出下列命題：①若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；②向量a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；③在△ABC中，sinA>sinB的充要條件為A>B；④在△ABC中，設(shè)命題p：△ABC是等邊三角形，命題q：a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，那么命題p是命題q的充分不必要條件．其中正確的命題為_(kāi)_______．(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)答案①③解析①正確．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).②不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．③正確．由正弦定理知sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，當(dāng)sinA>sinB成立時(shí)，得a>b，則A>B；當(dāng)A>B時(shí)，則有a>b，則sinA>sinB，故命題正確．④不正確．若△ABC是等邊三角形，則a＝b＝c，sinB＝sinC＝sinA，即命題p是命題q的充分條件；若a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，則eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(b,c)，又由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(c,a)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，即c2＝ab，同理得a2＝bc，b2＝ac，所以c＝a＝b，所以△ABC是等邊三角形．因此命題p是命題q的充要條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是①③.第二講函數(shù)的圖象與性質(zhì)(選擇、填空題型)命題全解密MINGTIQUANJIEMIeq\o(\s\up7(),\s\do5(1.命題點(diǎn)))函數(shù)的定義域、值域；函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；函數(shù)的圖象及其應(yīng)用．eq\o(\s\up7(),\s\do5(2.交匯點(diǎn)))函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性交匯命題；函數(shù)的定義域、值域與不等式交匯命題；函數(shù)的圖象與性質(zhì)交匯命題．eq\o(\s\up7(),\s\do5(3.常用方法))利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性；利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性；排除法判斷函數(shù)的圖象.eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P005),\s\do5())[重要概念]1．單調(diào)性定義如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，則f(x)在D上是增函數(shù)(都有f(x1)>f(x2)成立，則f(x)在D上是減函數(shù))．2．奇偶性定義對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．3．周期性定義周期函數(shù)f(x)的最小正周期T必須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：(1)當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)；(2)T是不為零的最小正數(shù)．[重要結(jié)論]抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性1．函數(shù)的周期性(1)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，2a(2)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a(a≠0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期函數(shù)，2a(3)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a(a≠0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期函數(shù)，4a2．函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性(1)若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a(2)若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,(3)若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱(chēng)．[易錯(cuò)提醒]1．分段函數(shù)仍然是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．2．在處理有關(guān)對(duì)數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意底數(shù)與真數(shù)的取值．3．確定函數(shù)的奇偶性必須先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P006),\s\do5())熱點(diǎn)一函數(shù)及其表示例1(1)[2015·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]函數(shù)f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域?yàn)?)A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6][解析]依題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－|x|≥0,\f(x2－5x＋6,x－3)>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤4,x>2且x≠3))，即函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)∪(3,4]．[答案]C(2)[2015·唐山統(tǒng)測(cè)]已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1,lnx，x≥1))的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[解析]要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0,ln1≤1－2a＋3a))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2),a≥－1))，∴－1≤a<eq\f(1,2)，故選C.[答案]C(3)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.[解析]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.[答案]1(2)題中“的值域?yàn)镽”改為“在R上遞增”，那么a的取值范圍該選哪項(xiàng)．答案A解析由題可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0,1－2a＋3a≤0，))解得a≤－1，故選A.1．求函數(shù)定義域的類(lèi)型和相應(yīng)的方法(1)若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構(gòu)建并解不等式(組)即可．(2)在實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題中除要考慮解析式有意義外，還要使實(shí)際問(wèn)題有意義．2．求函數(shù)值的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值，要遵循先內(nèi)后外的原則．(2)對(duì)于分段函數(shù)求值，應(yīng)注意依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解．(3)對(duì)于周期函數(shù)要充分利用好周期性．3．函數(shù)值域的求法求解函數(shù)值域的方法有：公式法、圖象法、分離常數(shù)法、判別式法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、有界性法等，要根據(jù)問(wèn)題具體分析，確定求解的方法．1．[2015·唐山統(tǒng)考]函數(shù)y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋5)的定義域?yàn)?)A．[－5,2] B．(－∞，－5]∪[2，＋∞)C．[－5，＋∞) D．[2，＋∞)答案D解析要保證函數(shù)式有意義，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0,x＋5≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,x≥－5))，∴x≥2，∴函數(shù)的定義域?yàn)閇2，＋∞)，故選D.2．[2015·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝()A．3 B．6C．9 D．12答案C解析由于f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2eq\s\up15(log212－1)＝2eq\s\up15(log26)＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.故選C.3．[2015·福建高考]若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(1,2]解析因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2，))所以當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)≥4；又函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇4，＋∞)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3＋loga2≥4.))解得1<a≤2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2]．熱點(diǎn)二函數(shù)的圖象例2(1)[2015·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的圖象大致是()[解析]由題意得，x≠0，排除A；當(dāng)x<0時(shí)，x3<0,3x－1<0，∴eq\f(x3,3x－1)>0，排除B；又∵x→＋∞時(shí)，eq\f(x3,3x－1)→0，∴排除D，故選C.[答案]C(2)將一系列下頂點(diǎn)相接的正三角形的底邊放在同一直線(xiàn)上，正三角形的內(nèi)切圓由第一個(gè)正三角形的O點(diǎn)沿三角形列的底邊勻速向前滾動(dòng)(如圖)，設(shè)滾動(dòng)中的圓與系列正三角形的腰相交截得的最大弦長(zhǎng)s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為s＝f(t)，則下列圖中與函數(shù)s＝f(t)圖象最近似的是()[解析]以O(shè)為原點(diǎn)，與地面相切的直線(xiàn)為x軸，過(guò)O垂直于x軸的直線(xiàn)為y軸．不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，則圓的半徑為1，圓心(a,1)到直線(xiàn)eq\r(3)x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|\r(3)a－2|,2)，弦長(zhǎng)2eq\r(1－d2)＝eq\r(－3a2＋4\r(3)a)(a∈[0，eq\r(3)])，同理，圓心(a,1)到直線(xiàn)eq\r(3)x－y－3＝0的距離d1＝eq\f(|\r(3)a－4|,2)，弦長(zhǎng)2eq\r(1－d\o\al(2,1))＝eq\r(－3a2＋8\r(3)a－12)(a∈[eq\r(3)，2eq\r(3)])．由于弦長(zhǎng)的變化具有周期性，故選C.[答案]C作圖、識(shí)圖、用圖的方法技巧(1)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換，尤其注意y＝f(x)與y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關(guān)系．(2)識(shí)圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)用圖：在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究．1．[2015·大連測(cè)試]函數(shù)f(x)＝2x－4sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的圖象大致是()答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以排除A、B.f′(x)＝2－4cosx，令f′(x)＝2－4cosx＝0，得x＝±eq\f(π,3)，所以選D.2．[2015·安徽高考]函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>0，b>0，c<0 B．a(chǎn)<0，b>0，c>0C．a(chǎn)<0，b>0，c<0 D．a(chǎn)<0，b<0，c<0答案C解析∵f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)的圖象與x，y軸分別交于N，M，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)均為正，∴x＝－eq\f(b,a)>0，y＝eq\f(b,c2)>0，故a<0，b>0，又函數(shù)圖象間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，∴－c>0，故c<0，故選C.熱點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3[2015·洛陽(yáng)統(tǒng)測(cè)](1)若函數(shù)y＝f(2x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2[解析]∵f(2x＋1)是偶函數(shù)，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)?f(x)＝f(2－x)，∴f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1.[答案]A(2)已知f(x)為定義在[a－1,2a＋1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋1，則f(2x＋1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))的解的取值范圍是()A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,9))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5)))[解析]函數(shù)為偶函數(shù)，滿(mǎn)足－(a－1)＝2a＋1?a＝0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇－1,1]，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋1，所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(2x＋1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))滿(mǎn)足f(|2x＋1|)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))))，所以不等式的解的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤2x＋1≤1,－1≤\f(x,2)＋1≤1,|2x＋1|>\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))))?－1≤x<－eq\f(4,5).[答案]D(3)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則它們的和為()A．－6 B．－8C．0 D．2[解析]因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)．如圖所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4，由對(duì)稱(chēng)性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8，故選B.[答案]B函數(shù)三個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問(wèn)題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，這是簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)．(2)單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．1．[2015·廣東高考]下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex答案D解析選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù)；選項(xiàng)B中的函數(shù)是奇函數(shù)；選項(xiàng)C中的函數(shù)是偶函數(shù)；只有選項(xiàng)D中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．2．[2015·湖南高考]設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)答案A解析由題意可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，且f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，選A.3．[2015·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.答案1解析由題意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.

eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P008),\s\do5())課題2函數(shù)圖象辨析題[2015·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為()審題過(guò)程eq\a\vs4\al(切入點(diǎn))由圖分類(lèi)建立函數(shù)y＝f(x)的關(guān)系．eq\a\vs4\al(關(guān)注點(diǎn))結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng).eq\a\vs4\al([規(guī)范解答])由于f(0)＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，故排除選項(xiàng)C、D；當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，f(x)＝BP＋AP＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,4)))，不難發(fā)現(xiàn)f(x)的圖象是非線(xiàn)性的，排除選項(xiàng)A.故選B.1．如圖，過(guò)單位圓O上一點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)MN，點(diǎn)Q為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠POQ＝x，弓形PRQ的面積為S，則S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致圖象是()答案B解析S＝f(x)＝S扇形PRQ＋S△POQ＝eq\f(1,2)(2π－x)·12＋eq\f(1,2)sinx＝π－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)sinx，則f′(x)＝eq\f(1,2)(cosx－1)≤0，所以函數(shù)S＝f(x)在[0,2π]上為減函數(shù)，當(dāng)x＝0和x＝2π時(shí)，分別取得最大值與最小值．又當(dāng)x從0逐漸增大到π時(shí)，cosx逐漸減小，切線(xiàn)斜率逐漸減小，曲線(xiàn)越來(lái)越陡；當(dāng)x從π逐漸增大到2π時(shí)，cosx逐漸增大，切線(xiàn)斜率逐漸增大，曲線(xiàn)越來(lái)越平緩．結(jié)合選項(xiàng)可知，B正確．2．函數(shù)y＝a|x|與y＝sinax(a>0且a≠1)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象可能是()答案D解析y＝a|x|為偶函數(shù)，排除A項(xiàng)；當(dāng)a>1時(shí)，y＝sinax的周期為eq\f(2π,a)<2π，排除C項(xiàng)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝sinax的周期eq\f(2π,a)>2π，排除B項(xiàng)，故選D.eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P144),\s\do5())一、選擇題1.[2015·太原一模]已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x)}，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝()A．(－∞，1] B．[0，＋∞)C．(0,1) D．[0,1]答案D解析由題意得A＝(－∞，1]，B＝[0，＋∞)，∴A∩B＝[0,1]．2．[2015·江西八校聯(lián)考]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x＋m(m為常數(shù))，則f(－log35)的值為()A．4 B．－4C．6 D．－6答案B解析∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，得m＝－1，∴f(log35)＝3log35－1＝4，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－4.3．[2015·云南統(tǒng)測(cè)]下列函數(shù)，有最小正周期的是()A.y＝sin|x|B．y＝cos|x|C．y＝tan|x|D．y＝(x2＋1)0答案B解析A：y＝sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))，不是周期函數(shù)；B：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，x≥0,－tanx，x<0))，不是周期函數(shù)；D：y＝(x2＋1)0＝1，無(wú)最小正周期．4．[2015·太原一模]已知函數(shù)f(x)＝log2x，若在[1,8]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，則不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7) D.eq\f(1,2)答案C解析1≤f(x0)≤2?1≤log2x0≤2?2≤x0≤4，∴所求概率為eq\f(4－2,8－1)＝eq\f(2,7).5．[2015·石家莊一模]設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則f(－eq\r(2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))＝log2eq\r(2)＝eq\f(1,2)，故選B.6．[2015·長(zhǎng)春質(zhì)監(jiān)(二)]已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，－a)上是單調(diào)函數(shù)，所以－a≥－1，解得a≤1.故選A.7．[2015·山西四校聯(lián)考(三)]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1,logeq\s\do8(\f(1,3))xx＞1))，則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是()答案D解析當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3)，排除A；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－2，－1)，排除B；當(dāng)x＝－eq\f(1,3)時(shí)，y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(4,3)＜0，即y＝f(1－x)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，logeq\s\do8(\f(1,3))\f(4,3)))，排除C，故選D.8．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．－1<a<4 B．－2<a<1C．－1<a<0 D．－1<a<2答案A解析∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，eq\f(a－4,a＋1)<0，解得－1<a<4.9．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，若對(duì)?x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，－3] B．[－3,0)C．(－∞，3] D．(0,3]答案C解析由題意分析可知條件等價(jià)于f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵f(x)＝x|x－a|，∴當(dāng)a≤0時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥a,－x2＋ax，x<a))，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，∴0<a≤3.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]．10．[2015·長(zhǎng)春質(zhì)監(jiān)(三)]對(duì)定義在[0,1]上，并且同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱(chēng)為M函數(shù)：(1)對(duì)任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(2)當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1時(shí)，總有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．則下列3個(gè)函數(shù)中不是M函數(shù)的個(gè)數(shù)是()①f(x)＝x2②f(x)＝x2＋1③f(x)＝2x－1A．0 B．1C．2 D．3答案B解析(1)在[0,1]上，3個(gè)函數(shù)都滿(mǎn)足．(2)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1時(shí)，對(duì)于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＝2x1x2≥0，滿(mǎn)足；對(duì)于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(xeq\o\al(2,1)＋1)＋(xeq\o\al(2,2)＋1)]＝2x1x2－1<0，不滿(mǎn)足；對(duì)于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，滿(mǎn)足．故選B.二、填空題11．[2015·唐山一模]函數(shù)f(x)＝eq\r(2－x－2)的定義域是__________．答案(－∞，－1]解析由題意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1，∴x≤－1，即函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－1]．12．[2015·陜西質(zhì)檢(二)]若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,1－x，x≤0))，則f(f(－99))＝________.答案2解析f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg100＝2.13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0,1，x<0))，則滿(mǎn)足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是________．答案(－1，eq\r(2)－1)解析由題意f(1－x2)>f(2x)等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0,1－x2>2x))，∴不等式的解集為(－1，eq\r(2)－1)．14．[2015·山東高考]已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.答案－eq\f(3,2)解析①當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝0,f0＝－1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0,a0＋b＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－2))，此時(shí)a＋b＝－eq\f(3,2).②當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－1,f0＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1,a0＋b＝0))，顯然無(wú)解．所以a＋b＝－eq\f(3,2).第三講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用(選擇、填空題型)命題全解密MINGTIQUANJIEMIeq\o(\s\up7(),\s\do5(1.命題點(diǎn)))指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(2.交匯點(diǎn)))函數(shù)的零點(diǎn)常與一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象交匯命題．eq\o(\s\up7(),\s\do5(3.常用方法))解方程判斷法(若方程易解時(shí)用此法)；零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)零點(diǎn).eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P009),\s\do5())[必記公式]指數(shù)與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式1．a(chǎn)m·an＝am＋n；2．(am)n＝amn；3．loga(MN)＝logaM＋logaN；4．logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；5．logaMn＝nlogaM；6．a(chǎn)logaN＝N；7．logaN＝eq\f(logbN,logba)(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0)．[重要性質(zhì)]指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象單調(diào)性0<a<1時(shí)，在R上單調(diào)遞減；a>1時(shí)，在R上單調(diào)遞增0<a<1時(shí)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a>1時(shí)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)值性質(zhì)0<a<1，當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>10<a<1，當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0a>1，當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1a>1，當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0[必會(huì)關(guān)系]函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．[易錯(cuò)提醒]1．函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)的坐標(biāo)，而是函數(shù)值等于零的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)零點(diǎn)存在性定理要求函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的．并且有f(a)·f(b)<0這兩個(gè)條件同時(shí)成立．3．滿(mǎn)足零點(diǎn)存在性定理的條件時(shí)得出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定；反之函數(shù)在[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0.eq\o(\s\up7(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P010),\s\do5())熱點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)例1(1)[2015·南昌一模]若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，則A∩B＝()A．(2,4] B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4][解析]因?yàn)锳＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2<x≤4}＝(2,4]．[答案]A(2)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]解法一：由題意作出y＝f(x)的圖象如圖．顯然當(dāng)a>1或－1<a<0時(shí)，滿(mǎn)足f(a)>f(－a)．故選C.解法二：對(duì)a分類(lèi)討論：當(dāng)a>0時(shí)，log2a>logeq\s\do8(\f(1,2))a，即log2a>0，∴a>1.當(dāng)a<0時(shí)，logeq\s\do8(\f(1,2))(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，∴－1<a<0，故選C.[答案]C(3)已知a＝5eq\s\up15(log23.4)，b＝5eq\s\up15(log43.6)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(log30.3)，則有()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．c>a>b[解析]∵a＝5eq\s\up15(log23.4)，b＝5eq\s\up15(log43.6)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(log30.3)＝5eq\s\up15(log33eq\s\up15(eq\f(1,3)))，根據(jù)y＝ax且a＝5，知y是增函數(shù)．又∵log23.4>log33eq\f(1,3)>1，0<log43.6<1，∴5eq\s\up15(log23.4)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(log30.3)>5eq\s\up15(log43.6)，即a>c>b.[答案]C1．解決含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題對(duì)于含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，在應(yīng)用單調(diào)性時(shí)，要注意對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論．解決對(duì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要考慮定義域，其次再利用性質(zhì)求解．2．指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問(wèn)題(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；(2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對(duì)數(shù)值用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；(3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個(gè)數(shù)，常引入中間量或結(jié)合圖象比較大小．1．[2015·北京高考]如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線(xiàn)ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}答案C解析在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象如圖所示．所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1<x≤1}，所以選C.2．[2014·天津高考]設(shè)a＝log2π，b＝logeq\s\do8(\f(1,2))π，c＝π－2，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a答案C解析∵log2π>1，logeq\s\do8(\f(1,2))π<0,0<π－2<1，∴a>c>b，故選C.3．[2015·浙江高考]若a＝log43，則2a＋2－a答案eq\f(4\r(3),3)解析原式＝2eq\s\up15(log43)＋2eq\s\up15(－log43)＝eq\r(3)＋eq\f(1,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例2(1)[2015·洛陽(yáng)