2024-2025學(xué)年江西省贛州市十二縣高三下學(xué)期5月份月考（三）數(shù)學(xué)試題理試卷含解析

2024-2025學(xué)年江西省贛州市十二縣高三下學(xué)期5月份月考（三）數(shù)學(xué)試題理試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線2．某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤(rùn)最大C．這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤(rùn)超過400萬元3．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或4．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．45．給出個(gè)數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，以此類推，要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則不可能為（）A． B． C． D．7．已知直線：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．10．將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．11．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（）A． B． C． D．12．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，的夾角為30°，，則_________.14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________．15．已知橢圓的下頂點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)_____時(shí)，外心的橫坐標(biāo)最大．16．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，則的離心率為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.18．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．19．（12分）設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．20．（12分）如圖，底面是等腰梯形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為邊作正方形，且平面平面.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．22．（10分）已知正實(shí)數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.2．D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項(xiàng)A正確；1至12月份的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤(rùn)最高，故選項(xiàng)B正確；易求得總利潤(rùn)為380萬元，眾數(shù)為30，中位數(shù)為30，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：.本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.3．C【解析】分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，而，故選C.點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結(jié)果.4．C【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，又，解?故選：C.本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.5．A【解析】

要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1，故判斷語句①應(yīng)為，第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.6．D【解析】

依題意，設(shè)，由，得，再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，?jīng)驗(yàn)證不滿足，故選：D.本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．9．A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D．故選：A．本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．10．B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．11．A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即.故選：A．本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.12．B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

由求出，代入，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.【詳解】，存在實(shí)數(shù)，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

解法一：曲線上任取一點(diǎn)，利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行，則，解得，當(dāng)時(shí)，到直線的距離；當(dāng)時(shí)，到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15．【解析】

由已知可得、的坐標(biāo)，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設(shè)，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中等題．16．【解析】

設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，設(shè)，，，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長(zhǎng)為，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴離心率.故答案為：.本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:（1）因?yàn)?所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因?yàn)榍?即,解得,因?yàn)?所以,所以,所以,所以本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.18．（1）（2）直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】

（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以①，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以②，將①②?lián)立解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，設(shè)，．將代入，消去可得，則，，，所以，所以，此時(shí)，所以，此時(shí)直線的方程為，即，令，可得，所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．19．（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)椤?；同時(shí)含有和的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；不含有的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為．同理，經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為．所以的所有可能取值的和為，又因?yàn)?、、、，所以的所有可能取值的和不超過．本題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和不超過的證明，考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大．20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;（2）記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),,所以,因?yàn)?所以,所以四邊形是平行四邊形,因?yàn)?所以平行四邊形是菱形,所以,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面.因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形，且,所以,則,設(shè)平面ABF的法向量為,則,