2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專題21 條件概率與正態(tài)分布（解析）

專題21條件概率與正態(tài)分布一、條件概率1．在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手M對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為34，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為1(1)求甲隊(duì)最終2:1獲勝且種子選手M上場(chǎng)的概率；(2)已知甲隊(duì)2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場(chǎng)的概率.【答案】(1)7(2)7【分析】（1）設(shè)事件Ai=“種子選手M第i局上場(chǎng)”i=1,2,3，事件B=“甲隊(duì)最終2:1獲勝且種子選手M上場(chǎng)”，求出PAi、（2）設(shè)事件A0=“種子選手M未上場(chǎng)”，事件C=“甲隊(duì)2:1獲得勝利”，計(jì)算出PC、P【詳解】（1）解：設(shè)事件Ai=“種子選手M第i局上場(chǎng)”事件B=“甲隊(duì)最終2:1獲勝且種子選手M上場(chǎng)”.由全概率公式知，P因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故PAPBA1=3所以PB所以甲隊(duì)最終2:1獲勝且種子選手M上場(chǎng)的概率為740（2）解：設(shè)事件A0=“種子選手M未上場(chǎng)”，事件C=“甲隊(duì)PA0=A4PC因?yàn)镻A0由（1）知PA0C所以，已知甲隊(duì)2:1獲得最終勝利，種子選手M上場(chǎng)的概率為7112．（1）若B和C是兩個(gè)互斥事件，求證：P(B∪C（2）在孟德?tīng)柾愣乖囼?yàn)中，子二代的基因型為DD,Dd,dd，其中D為顯性基因，d為隱性基因，且這三種基因型的比為1:2:1，如果在子二代中任意選取2株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)，試求出子三代中基因型為Dd的概率.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率公式及條件概率公式證明即可；（2）子二代基因配型有六種情況：分別記為事件A1,A2,【詳解】（1）已知事件B與事件C互斥，所以事件AB與事件AC互斥，有P(A(B∪C))=P(AB∪BC)=P(AB)+P(AC)所以P(B∪C|A)=（2）子二代基因配型有六種情況：分別記為事件A1“子三代中基因型為Dd”記為事件B，則事件AAAAAA配型DD×DDDD×DdDD×ddDd×DdDd×dddd×ddP(111111P(B|011110P(B)=i=1所以子三代中出現(xiàn)基因型為Dd的概率是123．某地區(qū)舉行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以學(xué)校為單位參賽，最終A學(xué)校和B學(xué)校進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩校每位參賽同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱；環(huán)節(jié)二：由A學(xué)校和B學(xué)校分別派出一名代表進(jìn)行比賽．兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定名次．(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道從A學(xué)校抽取12人，其答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1，從B學(xué)校抽取8人，其答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對(duì)題目的均值與方差；(2)環(huán)節(jié)二，A學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后B學(xué)校代表再?gòu)囊蚁渲谐槿☆}目，已知B學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求A學(xué)校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．【答案】(1)這20人答對(duì)題目的均值為1.2，方差為0.76(2)6【分析】（1）根據(jù)均值和方差公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)A學(xué)校答對(duì)題目的樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,?,由題意得i=112xi所以這20人答對(duì)題目的均值為i=112由(x1?1)由(y1?1.5)i=112(==i=112(i=18(==i=18(這20人答對(duì)題目的方差為i=112(x（2）記B=“B學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一道題是選擇題”，A1=“A2=“A3=“易知A1,AP(A1)=C4P(B|A1)=58P(B)=P(=2P(A1|B)=P(A1所以A學(xué)校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率為6134．一只不透朋的袋中裝有10個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0~9，先后從袋中隨機(jī)取兩只小球.用事件A表示“第二次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號(hào)之和是m”.(1)若用不放回的方式取球，求PA(2)若用有放回的方式取球，求證：事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是m=9.【答案】(1)110(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算作答.（2）利用列舉法求出概率，結(jié)合獨(dú)立性推理判斷充分性，再利用條件概率公式推理判斷必要性作答.【詳解】（1）用C表示“第一次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，則P(C)=110，P(A|C)=0，P(C所以PA=P=1（2）記第一次取出的球的標(biāo)號(hào)為x，第二次的球的標(biāo)號(hào)為y，用數(shù)組x,y兩次取球，則nΩ充分性：當(dāng)m=9時(shí)，事件B發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0)，因此P(B)=n(B)n(Ω)=10100又P(A)=110，于是必要性因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，則PAB=PA而P(A)=110，P(AB)P(B)事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為m?2,2，即nAB=1，則又x+y=m，0≤x≤9，0≤y≤9，因此關(guān)于x的不等式組0≤x≤90≤m?x≤9即關(guān)于x的不等式組0≤x≤9m?9≤x≤m，有10組整數(shù)解，從而m=9m?9=0，得所以事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是m=9.5．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(3)參照第（2）問(wèn)給出判斷，求第1，2，3臺(tái)車床操作員對(duì)加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.【答案】(1)0.0525(2)2(3)第1，2臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)27，第3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)3【分析】（1）設(shè)B=“任取一零件為次品”，Ai=“零件為第i臺(tái)車床加工”則Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，求出P(A1（2）“求次品為第1臺(tái)車床所加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件A1（3）由條件概率公式計(jì)算可得答案；【詳解】（1）設(shè)B=“任取一零件為次品”，Ai=“零件為第i臺(tái)車床加工”則Ω=A1∪A2∪AP(A1)=0.25，P(P(B|A1)=0.06，P由全概率公式，得P(B)=P(=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525；（2）“求次品為第1臺(tái)車床所加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件A1P(A（3）根據(jù)（2）P(AP(A故第1，2臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)27，第3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)36．某轄區(qū)組織居民接種新冠疫苗，現(xiàn)有A,B,C,D四種疫苗且每種都供應(yīng)充足.前來(lái)接種的居民接種與號(hào)碼機(jī)產(chǎn)生的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的疫苗，號(hào)碼機(jī)有A,B,C,D四個(gè)號(hào)碼，每次可隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)號(hào)碼，后一次產(chǎn)生的號(hào)碼由前一次余下的三個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)產(chǎn)生，張醫(yī)生先接種與號(hào)碼機(jī)產(chǎn)生的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的A種疫苗后，再為居民們接種，記第n位居民（不包含張醫(yī)生）接種A,B,C,D四種疫苗的概率分別為Pn(1)第2位居民接種哪種疫苗的概率最大；(2)張醫(yī)生認(rèn)為，一段時(shí)間后接種A,B,C,D四種疫苗的概率應(yīng)該相差無(wú)幾，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算第10位居民接種A,B,C,D四種的概率，解釋張醫(yī)生觀點(diǎn)的合理性.參考數(shù)據(jù)：13【答案】(1)A疫苗(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）分類討論，根據(jù)全概率公式計(jì)算；（2）根據(jù)（1）的邏輯，討論P(yáng)n+1【詳解】（1）第1位居民接種A,B,C,D疫苗的概率分別為0,1若第2位居民接種A疫苗，則第1位居民接種B，C，D疫苗，PA第2位居民接種B疫苗，則第1位居民接種C，D疫苗，P同理，第2位居民接種C,D疫苗的概率也等于29故第2位居民接種A疫苗的概率最大；（2）因?yàn)镻n+1所以Pn+1故數(shù)列PnA?又P1A即Pn從而P10同理P10P10所以P10A?第10位居民接種A,B,C,D疫苗概率應(yīng)該相差無(wú)幾.第n(n>10)位居民接種A,B,C,D疫苗概率應(yīng)該相差將會(huì)更小，所以張醫(yī)生的話合理.7．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開(kāi)2號(hào)箱之前，主持人先打開(kāi)了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開(kāi)甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.(1)計(jì)算主持人打開(kāi)4號(hào)箱的概率；(2)當(dāng)主持人打開(kāi)4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）【答案】(1)1(2)甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.【分析】（1）設(shè)出事件，根據(jù)已知條件得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式即可得出答案；（2）根據(jù)條件概率公式，求出抽獎(jiǎng)人甲選擇各個(gè)箱子，獲得獎(jiǎng)品的概率，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)A1設(shè)B1,B則Ω=A1∪由題意可知，事件A1,A2,A3,A4的概率都是由全概率公式，得PB（2）在主持人打開(kāi)4號(hào)箱的條件下，1號(hào)箱?2號(hào)箱?3號(hào)箱里有獎(jiǎng)品的條件概率分別為PAPAPA通過(guò)概率大小比較，甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.8．杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽就無(wú)法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來(lái)從敗者組殺上來(lái)拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為A,B,C,D，其中A對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為p，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為12．最初分組時(shí)AB同組，CD(1)若p=23，在淘汰賽賽制下，(2)分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用p表示），并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？【答案】(1)49；7(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為p2，雙敗賽制獲得冠軍概率為p【分析】（1）若A拿冠軍則只需要連贏兩場(chǎng)，對(duì)于C想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝D，然后戰(zhàn)勝A,B中的勝者，然后根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式分別算出A在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進(jìn)行比較.【詳解】（1）記A,C拿到冠軍分別為事件M,N淘汰賽賽制下，A只需要連贏兩場(chǎng)即可拿到冠軍，因此PM對(duì)于C想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝D，然后戰(zhàn)勝A,B中的勝者，因此PN（2）記兩種寒制下A獲得冠軍的概率分別為p1,p而雙敗賽制下，A獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此p2=p3+p則不論哪種賽制下，A獲得冠軍的概率均小于p，p2若p>12，雙敗賽制下，若p<12，雙敗賽制下，綜上可知：雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．9．甲袋中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中裝有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從甲袋中一次性抽取2個(gè)小球，記錄顏色后放入乙袋，混勻后從乙袋一次性抽取3個(gè)小球，記錄顏色.設(shè)隨機(jī)變量X表示在甲袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù)，Yk表示X=k時(shí)，在乙袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù)，Z(1)求X的分布列；(2)求Yk的數(shù)學(xué)期望EYk(3)記X的所有可取值為a1,a2,?,【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)5+k4(3)證明見(jiàn)解析，3120【分析】（1）根據(jù)題意，求得X的取值，再求對(duì)應(yīng)概率，即可求得分布列；（2）Y(k)服從超幾何分布，直接寫出期望即可；（3）根據(jù)全期望公式，結(jié)合條件概率的和全概率公式，整理化簡(jiǎn)即可證明，再根據(jù)所證結(jié)論，直接計(jì)算即可.【詳解】（1）X的所有可能取值為0,1,2PX=0所以X的分布列為X012P133（2）依題意，Yk服從超幾何分布，且N=10+2=12,M=5+k,n=3故EY（3）Z的所有可能取值為0，1，2，3，則由全概率公式，PZ=l=k=02P因此E==k=1故EZ【點(diǎn)睛】本題屬于中檔題，考查隨機(jī)變量的分布列、期望、全概率公式.同四省聯(lián)考一樣，本題直接考查超幾何分布的期望.作為重要的離散型隨機(jī)變量之一，超幾何分布的參數(shù)含義、均值一定要熟記，方差課本上不做要求，如果對(duì)自己要求較高的同學(xué)應(yīng)掌握推導(dǎo)過(guò)程，具體證明可參見(jiàn)2023屆“星云”五一聯(lián)考22題.本題第（3）問(wèn)的背景是重期望（或全期望）公式：對(duì)隨機(jī)變量X和Y，總有EX10．某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)6件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天、第三天分別生產(chǎn)出了2件、1件、1件次品，質(zhì)檢部門每天要從生產(chǎn)的6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過(guò).(1)求第一天的產(chǎn)品通過(guò)檢測(cè)的概率；(2)求這三天內(nèi)，恰有兩天能通過(guò)檢測(cè)的概率.【答案】(1)1(2)3【分析】（1）由古典概型公式計(jì)算第一天通過(guò)檢查的概率P1（2）由古典概型公式求出第i天的產(chǎn)品能通過(guò)檢測(cè)的概率為pi（i=1【詳解】（1）因?yàn)榈谝惶煊?件正品，隨意抽取3件產(chǎn)品檢查，第一天通過(guò)檢查的概率為P1（2）依題意知，記第i天的產(chǎn)品能通過(guò)檢測(cè)的概率為pi（i=1則p1=1則三天中恰有兩天能通過(guò)的檢測(cè)的概率是P211．在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課程上，老師和班級(jí)同學(xué)玩了一個(gè)游戲.老師事先準(zhǔn)備3張一模一樣的卡片，編號(hào)為1、2、3后，放入一個(gè)不透明的袋子中，再準(zhǔn)備若干枚1元硬幣與5角硬幣和一個(gè)儲(chǔ)蓄罐；然后邀請(qǐng)同學(xué)從袋子中有放回地抽取1張卡片，若抽到的卡片編號(hào)為1或2，則將1枚1元硬幣放入儲(chǔ)蓄罐中，若抽到的卡片編號(hào)為3，則將2枚5角硬幣放入儲(chǔ)蓄罐中，如此重復(fù)k次試驗(yàn)后，記儲(chǔ)蓄罐中的硬幣總數(shù)量為Sk(1)若k=4，求Sk(2)若k=5，記第nn=1,2,3,4,5次抽卡且放置硬幣后，5角硬幣的數(shù)量為Xn，1元硬幣的數(shù)量為Yn，求在S5【答案】(1)11(2)60【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式即可求解.（2）分兩種情況，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率乘法計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）“Sk故所求概率P=1?C（2）依題意，S5≥7的概率為若有2次抽到3號(hào)卡，即2次放置5角硬幣，3次放置1元硬幣，則在前3次中放了2次1元和1次5角，后2次放了1次1元和1次5角，即2次放5角，一次在前3次，另一次在后2次，故其概率為C3若有3次抽到3號(hào)卡，即3次放置5角硬幣，2次放置1元硬幣，必須在前3次放了2次1元和1次5角，后2次放了2次5角，即2次放1元都在前3次，故所求概率為C32×故PX12．果酒由水果本身的糖分被酵母菌發(fā)酵而成.研究表明，果酒中的芳香氣味主要來(lái)自于酯類化合物.某學(xué)習(xí)小組在實(shí)驗(yàn)中使用了3種不同的酵母菌（A型，B型，C型）分別對(duì)三組（每組10瓶）相同的水果原液進(jìn)行發(fā)酵，一段時(shí)間后測(cè)定發(fā)酵液中某種酯類化合物的含量，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中部分發(fā)酵液因被污染而廢棄，最終得到數(shù)據(jù)如下（“X”表示該瓶發(fā)酵液因廢棄造成空缺）：酵母菌類型該酯類化合物的含量（μg/L）A型X27472688XX28172679X26922721B型1151X1308X994XXX1002XC型2240XX23402318X25192162XX根據(jù)發(fā)酵液中該酯類化合物的含量t（μg/L）是否超過(guò)某一值來(lái)評(píng)定其品質(zhì)，其標(biāo)準(zhǔn)如下：酵母菌類型品質(zhì)高品質(zhì)普通A型t>2700t≤2700B型t>1000t≤1000C型t>2300t≤2300假設(shè)用頻率估計(jì)概率(1)從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，求其品質(zhì)高的概率；(2)設(shè)事件D為“從樣本含A型，B型,C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中各隨機(jī)抽取一瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”，求事件D發(fā)生的概率PD(3)設(shè)事件E為“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中不放回地隨機(jī)抽取三瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”試比較事件E發(fā)生的概率PE與（2）中事件D發(fā)生的概率P【答案】(1)3(2)19(3)P【分析】（1）先求未廢棄的發(fā)酵液總數(shù)，再求品質(zhì)高的瓶數(shù)，結(jié)合古典概率求解可得答案；（2）設(shè)出事件，利用對(duì)立事件求解概率可得答案；（3）先求事件E的概率，比較大小可得答案.【詳解】（1）設(shè)事件F=“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，由題可知，未廢棄的發(fā)酵液共有6+4+5=15瓶，其品質(zhì)高的有9瓶，所以PF（2）事件A=“從樣本含A型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，事件B=“從樣本含B型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，事件C=“從樣本含C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，由題意得PAPPD（3）由題意PE=1?C13．新冠病毒在傳播過(guò)程中會(huì)發(fā)生變異，現(xiàn)在已有多種變異毒株，傳播能力和重癥率都各不相同．某地衛(wèi)生部門統(tǒng)計(jì)了本地新冠確診病例中感染每種毒株的患者在總病例中的比例和各自的重癥率，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．病毒類型在確診病例中的比例重癥率阿爾法α10%2.4%貝爾特β15%3.8%德?tīng)査?5%4%奧密克戎o50%2%已知當(dāng)?shù)貙柗ā⒇悹査?、德?tīng)査N類型病例全部集中收治在甲醫(yī)院，奧密克戎病例全部單獨(dú)收治在乙醫(yī)院．以頻率估計(jì)概率回答下列問(wèn)題．(1)某醫(yī)生從甲醫(yī)院新冠確診病例名單中任取1人，求其為重癥病例的概率；(2)某醫(yī)生從乙醫(yī)院新冠確診病例名單中任取2人，已知2人中有重癥病例，求2人都是重癥病例的概率（結(jié)果保留4位小數(shù)）．【答案】(1)0.0362(2)0.0101【分析】（1）設(shè)事件B=“甲醫(yī)院中任取1位病例為重癥病例”，事件A=“甲醫(yī)院中病例來(lái)自毒株類型i(i=α,β,δ)”，pAα=1010+15+25（2）設(shè)事件M=“2人中有重癥”，事件N=“2人都是重癥”則pM=1?0.982=0.0396，因?yàn)镹∈M【詳解】（1）設(shè)事件B=“甲醫(yī)院中任取1位病例為重癥病例”，事件A=“甲醫(yī)院中病例來(lái)自毒株類型i(i=α,β,δ)”，其樣本空間Ω=Aα∪Aβ∪ApApApA則pB|AαpB|AβpB|Aδ根據(jù)全概率公式得p（2）設(shè)事件M=“2人中有重癥”，事件N=“2人都是重癥”則pM=1?0.982=0.0396PN|M所以，已知2人中有重癥病例，2人都是重癥病例的概率為0.0101．14．甲、乙兩個(gè)學(xué)校分別有n+1位同學(xué)和n位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)，假定所有同學(xué)成功的概率都是12，所有同學(xué)是否成功互不影響．記事件A＝“甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次”，事件B(1)若n=3，求事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；(2)證明：PA【答案】(1)12(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知求出P(A)及甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率，再利用條件概率公式求事件A發(fā)生的條件下恰有5位同學(xué)成功的概率（2）根據(jù)題設(shè)寫出P(A)、P(B)，利用組合數(shù)的性質(zhì)證明結(jié)論即可.【詳解】（1）由題設(shè)，甲乙學(xué)校分別有4個(gè)、3個(gè)學(xué)生參加活動(dòng)，P(A)=C41(1?=C41(1而甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率為P=C所以事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率PP(A)（2）由題設(shè)知：P(A)=CP(B)=C因?yàn)镃n+1k+1Cnk=15．雙淘汰賽制是一種競(jìng)賽形式，比賽一般分兩個(gè)組進(jìn)行，即勝者組與負(fù)者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負(fù)者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負(fù)者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負(fù)者組，只有在負(fù)者組中再次失敗后才會(huì)被淘汰出整個(gè)比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場(chǎng)比賽為決賽.

(1)假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①隊(duì)伍A和D在決賽中過(guò)招的概率；②D在一共輸了兩場(chǎng)比賽的情況下，成為亞軍的概率；(2)若A的實(shí)力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，求D進(jìn)入決賽且先前與對(duì)手已有過(guò)招的概率.【答案】(1)①18；②1(2)37【分析】（1）①隊(duì)伍A和D在第一輪對(duì)陣，若A和D在決賽也對(duì)陣，必然有1個(gè)隊(duì)伍在負(fù)者組對(duì)陣其他組都贏得比賽，且另一個(gè)隊(duì)伍和其他組比賽也都勝利.第一輪勝利者需要再勝1次，失敗者需要再勝兩次，才能會(huì)師決賽.②為條件概率，根據(jù)條件概率公式去入手解決問(wèn)題.（2）可通過(guò)分類把復(fù)雜事件分為幾個(gè)容易分析的事件，再解決問(wèn)題.【詳解】（1）解：假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%，即概率為12①由題意，第一輪隊(duì)伍A和隊(duì)伍D對(duì)陣，則獲勝隊(duì)伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊(duì)伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對(duì)陣，所以A和D在決賽中過(guò)招的概率為P=1②設(shè)Wi表示隊(duì)伍D在比賽i中勝利，Li表示隊(duì)伍D所參加的比賽則事件E：隊(duì)伍D獲得亞軍，事件F：隊(duì)伍D所參加所有比賽中失敗了兩場(chǎng)，事件F：包括L1L4，L1W4L其中這五種情況彼此互斥，可得:P=P(=1其中積事件EF包括W1L3可得P(EF)=P(W所以所求概率為P(E|F)=P(EF)（2）解：由題意，A獲勝的概率為34，B、C、D之間獲勝的概率均為1要使得D進(jìn)入決賽且先前與對(duì)手已有過(guò)招，可分為兩種情況：①若A與D在決賽中相遇，分為A1勝，3勝，D1負(fù)4勝5勝，或A1負(fù)4勝5勝，D1勝，3勝，可得概率為P1②若B與D決賽相遇，D1勝，3勝，B2勝3負(fù)5勝，或D1勝，3負(fù)，5勝，B2勝3勝，可得概率為P1③若C與D決賽相遇，同B與D在決賽中相遇，可得概率為P3所以D進(jìn)入決賽且先前與對(duì)手已有過(guò)招的概率P=P【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：學(xué)會(huì)對(duì)復(fù)雜事件進(jìn)行分解是解決復(fù)雜事件的概率的基本思路.一般把復(fù)雜事件分解成互斥事件的和事件或相互獨(dú)立事件的積事件，另外要注意對(duì)立事件公式的運(yùn)用，即正難則反；另外要注意看清題目，準(zhǔn)確理解題目的意思.16．某足球俱樂(lè)部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時(shí)候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無(wú)需出場(chǎng)罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn),由甲隊(duì)球員先罰球,甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為12,乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為2(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率;(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分,甲隊(duì)暫時(shí)以2:0領(lǐng)先,求甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率.【答案】(1)1(2)4【分析】(1)每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球.(2)甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過(guò)1分,即四輪罰球結(jié)束時(shí)比分可能為2:1或2:2或3:2.【詳解】（1）設(shè)每一輪罰球中,甲隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為A,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為A;乙隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為B,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為B.設(shè)每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的事件為C,由題意,得在每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球,則PC故每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率為12（2）因?yàn)榧钻?duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過(guò)1分,即四輪罰球結(jié)束時(shí)比分可能為2:1或2:2或3:2.①比分為2:1的概率為P=1?②比分為2:2的概率為PA③比分為3:2的概率為P=1綜上,甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率為1917．中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問(wèn)題中．例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場(chǎng)比賽獲勝概率均為12，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場(chǎng)比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場(chǎng)的概率為1(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；(2)若甲拋擲n+1次，乙拋擲n次，n∈N【答案】(1)11(2)1【分析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率p1（2）分①出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)；②出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)；③出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，由對(duì)稱性可得答案．【詳解】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率p1P1由對(duì)稱性可知?jiǎng)t甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故P=1?（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為p1，則第n+1②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第n+1次無(wú)論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為p2③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第n+1次無(wú)論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為p3，由對(duì)稱性可知p故Pn=1可得Pn18．為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員M對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為34，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為1(1)求甲隊(duì)明星隊(duì)員M在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；(2)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；(3)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)的概率.【答案】(1)3(2)13(3)9【分析】（1）事件B=“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件Aj=“甲隊(duì)第（2）討論M上場(chǎng)或不上場(chǎng)兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）利用貝葉斯公式求甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)的概率.【詳解】（1）事件B=“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件Aj=“甲隊(duì)第j局獲勝”，其中j=1,2,3,4,又甲隊(duì)明星隊(duì)員M前四局不出場(chǎng)，故PAB=A1A（2）設(shè)C為甲3局獲得最終勝利，D為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)比賽，由全概率公式知，PC因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故PD=PC|D所以PC（3）由（2），PD|C19．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt?2，Xt?1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為當(dāng)賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時(shí)，最終輸光的概率為P(1)請(qǐng)直接寫出P0與P(2)證明Pn是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d(3)當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算B=200，B=1000時(shí)，PA的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→∞時(shí)，【答案】(1)P0=1(2)證明見(jiàn)解析；d=?(3)B=200時(shí)，PA=50%，當(dāng)B=1000時(shí)，【分析】（1）明確n=0和n=B的含義，即可得答案；（2）由全概率公式可得P(n)=12P(n?1)+（3）由（2）結(jié)論可得P(A)=1?AB，即可求得B=200，B=1000時(shí)，【詳解】（1）當(dāng)n=0時(shí)，賭徒已經(jīng)輸光了，因此P0當(dāng)n=B時(shí)，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率PB（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場(chǎng)贏的事件,P(M)=P(N)P(M|N)+P(N即P(n)=1所以Pn所以{Pn設(shè)Pn?Pn?1累加得Pn?P(0)=nd，故PB（3）A=100，由Pn?P0=nd得當(dāng)B=200時(shí)，PA當(dāng)B=1000時(shí)，PA當(dāng)B→∞時(shí)，PA即便是一個(gè)這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會(huì)100%的概率輸光．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題很新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識(shí)綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確P(n)=120．某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以班級(jí)為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙箱中有3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級(jí)每位同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱．并分別統(tǒng)計(jì)兩班級(jí)學(xué)生測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長(zhǎng)王剛和二班班長(zhǎng)李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定班級(jí)的名次．(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班級(jí)抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對(duì)題目的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；二班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對(duì)題目的均值與方差；(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．【答案】(1)樣本均值為1.2，樣本方差為0.76(2)6【分析】（1）首先求分層抽取的兩個(gè)班的人數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合總體平均數(shù)和方差公式，代入求值；（2）根據(jù)全概率公式和條件概率公式，即可求解.【詳解】（1）一班抽取4575×20=12人，二班抽取一班樣本平均數(shù)為x=1，樣本方差為s12=1；二班樣本的平均數(shù)為y=1.5記總樣本的樣本方差為s2則s2所以，這20人答對(duì)題目的樣本均值為1.2，樣本方差為0.76．（2）設(shè)事件A為“李明同學(xué)從乙箱中抽出的第1個(gè)題是選擇題”，事件B1事件B2事件B3則B1、B2、B3PB1=C4PAB1=5P=所求概率即是A發(fā)生的條件下B1PB二、正態(tài)分布21．抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：mg），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.i=1i=1i=1i=129.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇y=cxd作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=cxd兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dlnx，可以看出lnx與(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布N～0.48,0.032附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)ui,vii=1,2,?,10，其回歸直線v②若隨機(jī)變量Z~Nμ,σ2，則有P(μ?σ<Z<μ+σ)≈0.6826，P(μ?2σ<Z<μ+2σ)≈0.9544③取e≈2.7【答案】(1)y=ex(2)0.0228【分析】（1）用最小二乘法求解回歸直線方程，再求非線性回歸方程即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解給定區(qū)間的概率即可.【詳解】（1）將y=cxd兩邊取對(duì)數(shù)，得設(shè)z=lny，t=lnx，則回歸方程變?yōu)閦=lnc+dt，由表中數(shù)據(jù)可知，z=110所以d^=i=1所以z=1+0.5t，即ln故y關(guān)于x的回歸方程為y=e當(dāng)x=25mg時(shí)，y^（2）因?yàn)閦服從正態(tài)分布N0.48,0.032，其中μ=0.48所以Pμ?2σ<z<μ+2σ所以Pz>0.54故這種抗體藥物的有效率z超過(guò)0.54的概率約為0.0228.22．法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購(gòu)買一個(gè)面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動(dòng)不超過(guò)50g.這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000g(1)已知如下結(jié)論：若X～Nμ,σ2，從X的取值中隨機(jī)抽取kk∈N?,k≥2（i）假設(shè)面包師的說(shuō)法是真實(shí)的，隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包，記隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包的平均值為Y，求PY<980（ii）龐加萊每天都會(huì)將買來(lái)的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在950,1050上，并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為978.72g(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ?σ≤η≤μ+σ=0.6827②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.【答案】(1)（i）0.02275；（ii）理由見(jiàn)解析(2)分布列見(jiàn)解析，17【分析】(1)(i)由正態(tài)分布的對(duì)稱性及3σ原則進(jìn)行求解；(ii)結(jié)合第一問(wèn)求解的概率及小概率事件進(jìn)行說(shuō)明；(2)設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為0,1,2，求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）（i）因?yàn)?0225=100，所以Y~N1000,102，因?yàn)樗訮Y≤980（ii）由第一問(wèn)知PY≤980=PY≤μ?2σ=0.02275，龐加萊計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為978.72g，（2）設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為0，1，2.則pξ=0=Pξ=2ξ012p5344973其中數(shù)學(xué)期望Eξ23．為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．(1)用樣本估計(jì)總體，求此次知識(shí)競(jìng)賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．(2)可以認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N，2（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為、的近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差s7.36，如有84%的學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）(3)從得分區(qū)間80，90和90，100的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再?gòu)倪@10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來(lái)自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來(lái)自區(qū)間80，90的概率．參考數(shù)據(jù)：若X~N，2

，則PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.【答案】(1)80.5(2)73(3)3【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.（3）根據(jù)分層抽樣、條件概率知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，平均分=(65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015)×10=80.5；（2）由（1）可知X～N設(shè)學(xué)校期望的平均分約為m，則P(X≥m)=0.84，因?yàn)镻(μ?σ<X≤μ+o)≈0.68，P(μ?σ<X≤μ)≈0.34，所以P(X>μ?σ)≈0.84，即PX>73.14所以學(xué)校期望的平均分約為73分；（3）由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在80,90和90,100的頻率分別為0.35和0.15，那么按照分層抽樣，抽取10人，其中分?jǐn)?shù)在80,90，應(yīng)抽取10×0.35分?jǐn)?shù)在90,100應(yīng)抽取10×0.15記事件A：抽測(cè)的3份試卷來(lái)自于不同區(qū)間；事件B:取出的試卷有2份來(lái)自區(qū)間80，90，則PA=C則PB|A所以抽測(cè)3份試卷有2份來(lái)自區(qū)間80，90的概率為3424．隨著《2023年中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩(shī)詞與新時(shí)代精神相結(jié)合，使古詩(shī)詞綻放出新時(shí)代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級(jí)全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的情況，舉行了“古詩(shī)詞”測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)若該校高二學(xué)生“古詩(shī)詞”的測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布Nμ,169，其中μ(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場(chǎng)校內(nèi)“詩(shī)詞大會(huì)”.該“詩(shī)詞大會(huì)”共有三個(gè)環(huán)節(jié)，依次為“詩(shī)詞對(duì)抗賽”“畫中有詩(shī)”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，在前兩個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為45，57，12，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次“詩(shī)詞大會(huì)”中的累計(jì)得分為隨機(jī)變量ξ，求ξ（參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ<X≤μ+σ=0.6826【答案】(1)74分(2)159人(3)分布列見(jiàn)解析，E【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)進(jìn)行估值計(jì)算即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率即可；（3）根據(jù)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為：0,1,2,4,5,6，分別求概率，即可得分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為：0.005×10×45+0.010×10×55+0.020×10×65+0.030×10×75+0.025×10×85+0.01×10×95=74（分）（2）由題意可得測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N所以P61<X≤87=0.6826所以1000×0.1587=158.7≈159人故該校高二年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為159人；（3）隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為：0,1,2,4,5,6Pξ=0Pξ=1PPPξ=5P所以ξ的分布列如下：ξ012456P11321132數(shù)學(xué)期望Eξ25．隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷售情況，各購(gòu)物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量（盒）100,200200,300300,400400,500500,600購(gòu)物群數(shù)量（個(gè)）12m2032m(1)求實(shí)數(shù)m的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)（盒）；(2)假設(shè)所有購(gòu)物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ為（1）中的平均數(shù)，σ附：若X服從正態(tài)分布X~Nμ,σ2，則P(μ?σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ?2σ<X<μ+2σ)≈0.954,【答案】(1)m=18，376(2)186800元【分析】（1）根據(jù)樣本容量列方程求出m，利用組中數(shù)求出平均數(shù)；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式求出對(duì)應(yīng)的概率值，計(jì)算“優(yōu)質(zhì)群”和“一級(jí)群”的個(gè)數(shù)，求出獎(jiǎng)勵(lì)金.【詳解】（1）由題意得：12+2m+20+32=100，解得m=18．故平均數(shù)為1100（2）由題意，μ=376,σ=110，且266=376?110=μ?σ,596=376+220=μ+2σ，故P(X>596)=P(X>μ+2σ)=1所以“優(yōu)質(zhì)群”約有1000×0.023=23個(gè)，P(266≤X<596)=P(μ?σ<X<μ+2σ)=1所以“一級(jí)群”約有1000×0.8185=818.5≈819個(gè)；所以需要資金為23×1000+819×200=186800，故至少需要準(zhǔn)備186800元．26．為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)），將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)求a的值；(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間ξ近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知σ≈2.39(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)a=0.12(2)估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù)約為4093(3)這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解概率，進(jìn)而可求人數(shù)，（3）求出超幾何分布的分布列，即可求解期望.【詳解】（1）由題意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，解得a=0.12．（2）由題意知樣本的平均數(shù)為4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84，所以μ=9.84．又σ≈2.39，所以P(7.45<ξ≤14.62)=P(μ?σ<ξ≤μ+2σ)=12P(μ?σ<ξ≤μ+σ)+則5000×0.8186=4093，所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù)約為4093．（3）[7,9),[9,11)對(duì)應(yīng)的頻率比為0.24:0.36，即為2:3，所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的人數(shù)分別為2，3，設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，PX=0=C33所以E(X)=0×1則這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1．27．某商場(chǎng)在五一假期間開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為23，第二關(guān)通過(guò)的概率為5(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量Z～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)70(2)①能，理由見(jiàn)解析②假【分析】（1）設(shè)Ai為第i次通過(guò)第一關(guān)，Bi為第i次通過(guò)第二關(guān)，計(jì)算（2）①由X~N(μ,σ2)，且μ=171②假設(shè)乙所說(shuō)為真，由μ=201計(jì)算σ，求出PX≥μ+3σ【詳解】（1）設(shè)Ai：第i次通過(guò)第一關(guān)，Bi：第i次通過(guò)第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P=P=2（2）設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X～Nμ,σ2.①由題意可知μ=171，因?yàn)?7所以μ+2σ=351，則σ=351?1712=90且P(X>μ+σ)=1?P所以前400名參賽者的最低得分高于μ+σ=261，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)；②假設(shè)乙所說(shuō)為真，則μ=201，PX≥μ+2σ而572500=0.0228，所以σ=351?201而PX≥μ+3σ所以X≥μ+3σ為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說(shuō)為假.28．2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價(jià)格上漲，每個(gè)家庭的日常消費(fèi)也隨著提高，某社會(huì)機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了200個(gè)家庭的日常消費(fèi)金額并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：消費(fèi)金額（千元）2,33,44,55,66,77,8人數(shù)406040302010以頻率估計(jì)概率，如果家庭消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布Nμ,σ2，μ,σ2(1)求x和s2(2)試估計(jì)這200個(gè)家庭消費(fèi)金額為2.86,7.18的概率（保留一位小數(shù)）；(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，現(xiàn)要在10個(gè)家庭中隨機(jī)抽取4個(gè)家庭進(jìn)行更細(xì)致的消費(fèi)調(diào)查，記消費(fèi)金額為2.86,7.18的家庭個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望．參考數(shù)據(jù)：2.06≈1.44若隨機(jī)變量ξ～Nμ,σ2，則P(μ?σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827，P(μ?2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545【答案】(1)4.3；2.06(2)0.8(3)分布列見(jiàn)解析，16【分析】（1）利用組中值和對(duì)應(yīng)的頻率可求x和s2（2）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可求消費(fèi)金額為2.86,7.18的概率.（3）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．【詳解】（1）由題意得μ=xs+（2）由（1）得σ=所以P(2.86≤ξ≤7.18)=P(4.3?1.44≤ξ≤4.3+2×1.44)=0.6827+=0.9545+0.6827（3）由題意知這10個(gè)家庭中消費(fèi)金額在2.86,7.18范圍內(nèi)的有8個(gè)家庭，故X的所有取值為2，3，4，PX=2=C22所以X的分布列為X234P281所以EX29．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)x（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）(2)若年輕人每天閱讀時(shí)間X近似地服從正態(tài)分布N(μ,100)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，求P(64<X≤94)；(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組[50,60)，[60,70)，[80,90)的年輕人中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位于[80,90)的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①P(μ?δ<X≤μ+δ)=0.6827；②P(μ?2δ<X≤μ+2δ)=0.9545；③P(μ?3δ<X≤μ+3δ)=0.9973．【答案】(1)74(2)0.8186(3)分布列見(jiàn)解析；期望為6【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；（2）依據(jù)P(μ?δ<X≤μ+2δ)=P(64<X≤94)，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可；（3）先由題意得到隨機(jī)變量ξ的取值，并分別計(jì)算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：x=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74（2）由題意知X~N(74,100)，即μ=74,σ=10，所以P(64<X≤94)=P(μ?δ<X≤μ+2δ)=0.6827+0.9545（3）由題意可知[50,60)，[60,70)和[80,90)的頻率之比為：1:2:2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量ξ的取值可以為0,1,2,3，P(ξ=0)=C63P(ξ=2)=C61故ξ的分布列為：ξ0123P1131所以E(ξ)=0×130．為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)情況，某中學(xué)對(duì)高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查的樣本中高一年級(jí)有70%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，高二年級(jí)有65%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，高三年級(jí)有56%(1)從該校三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的概率；(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X（單位：小時(shí)），且X～N5.5,σ2.現(xiàn)從這三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，設(shè)這5名學(xué)生中每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的人數(shù)為Y【答案】(1)0.65；(2)1.5.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率及全概率公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求出該校學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率，再利用二項(xiàng)分布求出期望作答.【詳解】（1）記隨機(jī)抽取1名學(xué)生分別來(lái)自高一、高二、高三的事件為A,B,C，抽取的1名學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的事件為D，于是P(A)=920,P(B)=因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=9所以該學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的概率為0.65.（2）該校每名學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X（單位：小時(shí)），X～N5.5,則有P(X>5.5)=0.5，由（1）知，P(X>5)=0.65，于是P(5<X<5.5)=0.65?0.5=0.15，因此P(5<X<6)=2P(5<X<5.5)=0.3，即該校學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為0.3，依題意，Y～B(5,0.3)，則E(Y)=5×0.3=1.5,所以隨機(jī)變量Y的期望為1.5.31．2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球MIKASA_V200W已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：g）服從正態(tài)分布X~Nμ,σ2，其中μ=270，σ=5(1)令η=ξ?μσ，則η~N0,1，且Φa=P(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為fp，求出fp的最大值點(diǎn)p0，并以p（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為X，求X的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：X~Nμ,σ2，則Pμ?σ<X≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)0.02275；證明見(jiàn)解析.(2)（ⅰ）分布列見(jiàn)解析（ⅱ）能，189256【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得結(jié)果；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出p=3【詳解】（1）Φ?2=Pη<?2所以Φ?2因?yàn)棣?2=Pη<?2又因?yàn)棣?=Pη<2（2）f(p)=Cf'令f'(p)=0，得當(dāng)p∈0,34時(shí)，f'(p)>0當(dāng)p∈34,1時(shí)，f'(p)<0所以f(p)的最大值點(diǎn)p0=3（?。的可能取值為3，2，1，0.PX=3=pPX=1=C所以X的分布列為X3210P189812713（ⅱ）若X=3，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過(guò)后的總積分是28分，29>28，所以，1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為PX=332．2020年受疫情影響，我國(guó)企業(yè)曾一度停工停產(chǎn)，中央和地方政府紛紛出臺(tái)各項(xiàng)政策支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，以減輕企業(yè)負(fù)擔(dān).為了深入研究疫情對(duì)我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的影響，幫扶困難職工，在甲、乙兩行業(yè)里隨機(jī)抽取了200名工人進(jìn)行月薪情況的問(wèn)卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的月薪在2000元到8000元之間，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表.月薪/元[2000，3000）[3000，4000）[4000，5000）[5000，6000）[6000，7000）[7000，8000）人數(shù)203644504010將月薪不低于6000元的工人視為“I類收入群體”，低于6000元的工人視為“II類收入群體”，并將頻率視為概率.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：I類收入群體II類收入群體總計(jì)甲行業(yè)60乙行業(yè)20總計(jì)根據(jù)上述列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“II類收入群體”與行業(yè)有關(guān).附件：χ2=nk3.8416.63510.828P(0.0500.0100.001(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該地區(qū)工人的月薪X（單位：元）近似地服從正態(tài)分布N(μ,14002)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）.若X①已知工人王強(qiáng)參與了本次調(diào)查，其月薪為2500元，試判斷王強(qiáng)是否屬于“生活困難”的工人；②某超市對(duì)調(diào)查的工人舉行了購(gòu)物券贈(zèng)送活動(dòng)，贈(zèng)送方式為：月薪低于μ的獲得兩次贈(zèng)送，月薪不低于μ的獲得一次贈(zèng)送.每次贈(zèng)送金額及對(duì)應(yīng)的概率如下：贈(zèng)送金額/元100200300概率111求王強(qiáng)獲得的贈(zèng)送總金額的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有99%的把握(2)①不屬于；②E(Y)=【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，補(bǔ)充列聯(lián)表，進(jìn)而計(jì)算K2（2）①根據(jù)題意，計(jì)算對(duì)應(yīng)的平均數(shù)，再結(jié)合正態(tài)分布求解即可；②結(jié)合①獲得的贈(zèng)送總金額Y的可能取值為200，300，400，500，600，再求解相應(yīng)的概率得出分布列，計(jì)算期望即可.【詳解】（1）2×2列聯(lián)表如下：I類收入群體II類收入群體總計(jì)甲行業(yè)306090乙行業(yè)2090110總計(jì)50150200于是χ2從而沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“II類收入群體”與行業(yè)有關(guān).（2）①所調(diào)查的200名工人的月薪頻率分布表如下：月薪/元[2000，3000）[3000，4000）[4000，5000）[5000，6000）[6000，7000）[7000，8000）人數(shù)203644504010頻率0.10.180.220.250.20.05所以μ=2500×0.1+3500×0.18+4500×0.22+5500×0.25+6500×0.2+7500×0.05=4920.因?yàn)檫@200名工人的月薪X服從正態(tài)分布N(μ,14002)從而μ?2σ=4920?2800=2120.因?yàn)橥鯊?qiáng)的月薪為2500元，μ?2σ=2120，所以王強(qiáng)不屬于“生活困難”的工人.②由①知μ=4920，王強(qiáng)的月薪為2500元，低于4920元，所以王強(qiáng)可獲贈(zèng)兩次購(gòu)物券，從而他獲得的贈(zèng)送總金額Y的可能取值為200，300，400，500，600，則P(Y=200)=12×P(Y=400)=13×P(Y=600)=1Y200300400500600P11511所以王強(qiáng)獲得的贈(zèng)送總金額的數(shù)學(xué)期望E(Y)=200×133．某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績(jī)排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：

(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開(kāi)始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格，規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.2k（k=1，2，…，n）；③每答對(duì)一題加2分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī)，已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.8，且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī)，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?附：若Z～Nμ,σ2，則Pμ?σ<Z<μ+σ≈0.6827，P【答案】(1)813；(2)有(3)7或8【分析】（1）確定X的取值，算出預(yù)賽成績(jī)?cè)赱60,80)和[80,100)范圍內(nèi)的樣本量，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算求得至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率，繼而可求得X的分布列，求得期望；（2）求出變量Z的均值，確定Z～N53,362，即可求得P（3）設(shè)學(xué)生甲答對(duì)的題目數(shù)為ξ，復(fù)賽成績(jī)?yōu)閅，可得ξ～B(n,0.8)，結(jié)合二項(xiàng)分布的均值計(jì)算公式可得E(Y)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)，可得答案.【詳解】（1）預(yù)賽成績(jī)?cè)赱60,80)范圍內(nèi)的樣本量為：0.0125×20×100=25，預(yù)賽成績(jī)?cè)赱80,100)范圍內(nèi)的樣本量為：0.0075×20×100=15，設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為X，可能取值為0,1,2，則PX≥1又PX=0則X的分布列為：X012P5257故EX（2）μ=xσ2=362，則又Z～N53,362故PZ≥91故全市參加預(yù)賽學(xué)生中，成績(jī)不低于91分的有120000×0.02275=273人，因?yàn)?73<300，故小明有資格參加復(fù)賽.（3）設(shè)學(xué)生甲答對(duì)的題目數(shù)為ξ，復(fù)賽成績(jī)?yōu)閅，則ξ～B(n,0.8)，故E(ξ)=0.8n，Y=100?0.2(1+2+3+?+n)+2ξ，故E(Y)=100?0.2(1+2+3+?+n)+2E(ξ)=?1因?yàn)閚∈N34．為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強(qiáng)禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行分析，把他們的成績(jī)分成以下6組：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100．整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值并估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?chǔ)蹋ㄍ唤M中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)在（1）的條件下，若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X～參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ<X≤μ+σ≈0．6827，【答案】(1)a=0.01，μ=69(2)5114元【分析】（1）由頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為1，即可求得a=0.01，根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可得μ=69；（2）利用參考數(shù)據(jù)由正態(tài)分布的對(duì)稱性分別求出獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券為0,5,10,15元時(shí)的概率，即可得出一名學(xué)生的期望值為5.11375，便可計(jì)算出全校1000名學(xué)生共可獲得食堂消費(fèi)券為5114元．【詳解】（1）由題意可知，0.006×2+a+0.012+0.026+0.04×10=1解得a=0.01μ=（2）設(shè)參加知識(shí)競(jìng)賽的每位學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券為Y元，PY=0PY=5PY=10PY=15Y的分布列如下表：Y051015P0.158650.6827013590.02275即一名學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券的期望值為EY所以，全校學(xué)生可獲得1000×5.11375=5113.75≈5114（元）．故估計(jì)全校1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽共可獲得食堂消費(fèi)券5114元．35．一水果連鎖店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過(guò)去30天蘋果的日銷售量（單位：kg），得到如下頻率分布直方圖．

(1)求過(guò)去30天內(nèi)蘋果的日平均銷售量x和方差s2(2)若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ(3)該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎(jiǎng)品”活動(dòng)，規(guī)定：每位會(huì)員可以投擲n次骰子，若第一次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2，可以獲得100個(gè)積分，否則獲得50個(gè)積分，從第二次起若擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2，則獲得上一次積分的兩倍，否則獲得50個(gè)積分，直到投擲骰子結(jié)束．記會(huì)員甲第n次獲得的積分為Yn，求數(shù)學(xué)期望E參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)x=69，(2)57(3)EY【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和方差的計(jì)算方法即可計(jì)算；（2）根據(jù)正態(tài)分布圖的對(duì)稱性即可求解；（3）求出Y1的分布列和EY1，根據(jù)Yn+1,【詳解】（1）由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，則x=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69s=119，（2）由（1）得μ=x=69，因?yàn)槿珍N售量X近似服從正態(tài)分布N69,所以PX>79.9=1?P所以估計(jì)360天中日銷售量超過(guò)79.9kg的天數(shù)為360×0.15865≈57．（3）依題意Y1Y10050P21所以EY由題意得Yn+1所以EYn+1=又EY所以數(shù)列EYn+50是首項(xiàng)為400所以EY故EY36．據(jù)相關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查表明我國(guó)中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項(xiàng)身體指標(biāo)（如肺活量?柔?度?力量?速度?耐力等）自2000年起呈下降趨勢(shì)，并且下降趨勢(shì)明顯，在國(guó)家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量?柔?度?力量?速度?而力等多項(xiàng)指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖?近視等問(wèn)題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，學(xué)校在一次百米短跑測(cè)試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績(jī)（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）.

(1)估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績(jī)X～Nμ,σ2，其中μ近似為女生短跑平均成績(jī)x,σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s附參考數(shù)據(jù)：5.79≈2.41，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則【答案】(1)16.16(2)0.073【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)即可.（2）根據(jù)X～Nμ,σ2，可求得成績(jī)?cè)?1.34,20.98【詳解】（1）估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)為：11×0.04+13×0.12+15×0.36+17×0.28+19×0.12+21×0.06+23×0.02=16.16.（2）由題意知X～N16.16,5.79則μ?2σ=11.34,μ+2σ=20.98，故該校女生短跑成績(jī)?cè)?1.34,20.98內(nèi)的概率p=P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，由題意可得Y～B10,0.9545所以PY=9PY=10所以PY≤837．為調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的總體水平，某地區(qū)組織10000名學(xué)生（其中男生4000名，女生6000名）參加數(shù)學(xué)建模能力競(jìng)賽活動(dòng).(1)若將成績(jī)?cè)?0,85的學(xué)生定義為“有潛力的學(xué)生”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生中有潛力的學(xué)生有2500名，女生中有潛力的學(xué)生有3500名，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有關(guān)?是否有潛力性別合計(jì)男生女生有潛力沒(méi)有潛力合計(jì)(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生成績(jī)的均值為80，方差為49，女生成績(jī)的均值為75，方差為64.（?。┣笕w參賽學(xué)生成績(jī)的均值μ及方差σ2（ⅱ）若參賽學(xué)生的成績(jī)X服從正態(tài)分布Nμ,σ2參考數(shù)據(jù)：①P0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828②若X～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827參考公式：K2=n【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有關(guān)(2)（?。│?77，σ2=64（ⅱ）【分析】(1)根據(jù)條件填寫二聯(lián)表，并根據(jù)卡方公式計(jì)算判斷即可；(2)