安徽省淮南市壽縣中學2021-2022學年高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．3．若滿足，且目標函數(shù)的最大值為2，則的最小值為()A．8 B．4 C． D．64．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3205．已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知正四面體外接球的體積為，則這個四面體的表面積為（）A． B． C． D．7．設等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A． B． C． D．8．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．9．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④10．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則（）A． B． C． D．11．設為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____．14．在三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.15．命題“”的否定是______．16．已知函數(shù)則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點；（2）設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，求證：；（3）若，且不等式對一切正實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當時，證明：.19．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，若（1）求角的大?。?）若，求的周長20．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．21．（12分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。?，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？22．（10分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2．C【解析】

函數(shù)的定義域應滿足故選C.3．A【解析】

作出可行域，由，可得.當直線過可行域內(nèi)的點時，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域，如圖所示由，可得.平移直線，當直線過可行域內(nèi)的點時，最大，即最大，最大值為2.解方程組，得..，當且僅當，即時，等號成立.的最小值為8.故選：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查基本不等式，屬于中檔題.4．C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.5．A【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.6．B【解析】

設正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積．【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設正方體的棱長為a，如圖所示，設正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得．因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球，則有，∴．而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個正四面體的表面積為．故選：B．【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計算能力，屬于中檔題．7．C【解析】

求得等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.8．B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法法則計算，由共軛復數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法計算，共軛復數(shù)的概念，屬于容易題.9．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點對四個結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數(shù)，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點.由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結(jié)論序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10．A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設,則∴當且僅當即時取等號,即.故選：A．【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應用,互斥事件概率加法公式的應用,以及基本不等式的應用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學生的數(shù)學運算能力和數(shù)學建模能力,屬于較難題.11．A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【點睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.12．C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學生空間想象,數(shù)學運算能力,難度一般.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2.【解析】

由雙曲線的一條漸近線為，解得．求出雙曲線的右焦點，利用點到直線的距離公式求解即可．【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質(zhì)，涉及到點到直線距離公式的考查，屬于基礎題．14．【解析】

設，可表示出，由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當時，．故答案為：．【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和．15．，【解析】

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題，則該命題的否定是：，故答案為：，．【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，屬于基礎題．16．【解析】

先由解析式求得（2），再求（2）．【詳解】（2），，所以（2），故答案為：【點睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號入座”,屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

（1）令，根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進而求解；（2）轉(zhuǎn)化思想，要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)進而求證；（3）不等式對一切正實數(shù)恒成立，，設，分類討論進而求解．【詳解】解：（1）令，所以，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；所以，所以的零點為．（2）由題意，，要證，即證，即證，令，則，由（1）知，當且僅當時等號成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式對一切正實數(shù)恒成立，，設，，記，△，①當△時，即時，恒成立，故單調(diào)遞增．于是當時，，又，故，當時，，又，故，又當時，，因此，當時，，②當△，即時，設的兩個不等實根分別為，，又，于是，故當時，，從而在單調(diào)遞減；當時，，此時，于是，即舍去，綜上，的取值范圍是．【點睛】（1）考查函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點；（2）考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)求極值；（3）考查分類討論思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導；屬于難題.18．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）在上有解，，設，求導根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以是的最大值點，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以是的最小值點，，則，故.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學生的綜合應用能力和轉(zhuǎn)化能力.19．（1）（2）11【解析】

（1）利用二倍角公式將式子化簡成，再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.（2）利用余弦定理可得，再將平方，利用向量數(shù)量積可得，從而可求周長.【詳解】由題解得，所以由余弦定理，，再由解得：所以故的周長為【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式，屬于基礎題.20．（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.（2）取的中點，連接，以為坐標原點，分別為正半軸建立空間直角坐標系求出平面的一個法向量，利用空間向量法即可求解.【詳解】因為平面平面，所以由為等腰直角三角形，所以又，故平面.取的中點，連接，因為，所以因為平面，