廣東省清遠(yuǎn)市陽山縣2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.把二次函數(shù))，=一/一4%-3化成.丫=。。一//)2+&的形式是下列中的()

A.y=(x-2)2-lB.y=-(x-2)2-1

C.y-(x+2)~+lD.y=—(x+2)--1

2.已知二次函數(shù)y=-V+3,71V-3〃的圖像與x軸沒有交點，貝！j（）

4444

A.2m+n>—B.2m+n<-C.2m-n<—D.2m-n>—

3333

3.關(guān)于x的一元二次方程依2+3%—i=o有實數(shù)根，則％的取值范圍是（）

9999

A.k&—B.kN—且左。0C.kN—D.k>—且左

4444

4.已知二次函數(shù)y=o?2+法+。的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.ac=QC.ac<0D."的符號不能確定

5.在一個不透明的布袋中有紅色、黑色的球共10個，它們除顏色外其余完全相同.小娟通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其

中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在60%附近，則口袋中黑球的個數(shù)很可能是（）

A.4B.5C.6D.7

6.^AABC^AADE,若AB=9,AC=6,AD=3,則EC的長是（）

D,

B

A.2B.3C.4D.5

7.如圖,AB是。。的直徑，弦COJ_AB于點￡,OC=5c%,CO=8cw2jilijAE=()

A.8cmB.5cmC.3cmD.2cm

9.若「「在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則X的取值范圍是（）

yl-2x

A.x<—B.x<2C.x<—D.x>0

22

10.如圖，AE是四邊形ABCD外接圓。。的直徑，AD=CD,ZB=50°,則NDAE的度數(shù)為（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，四邊形的兩條對角線AC、80相交所成的銳角為60。，當(dāng)AC+BZ）=8時，四邊形ABCO的面積的最大

值是.

12.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是A3邊上的高，CE是AS邊上的中線，若AO=3,CE=5,則CD等

于.

c

13.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點E,沿EB,EC剪下一個三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；

第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M,線段BC上任意取

一點N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;

第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點按順時針旋轉(zhuǎn)180。，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時

針方向旋轉(zhuǎn)180",使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片（裁剪和拼圖過程均無

縫且不重疊）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最大值為__cm.

■\）_KY—r）

14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù),=肌*+①與7=?>+岳的圖象如圖所示，則關(guān)于x,y的方程組;一」的

y—k2x=b1

解是________

15.關(guān)于X的一元二次方程（加一3）￡+X+病-9=0有一根為0,則m的值為

16.一元二次方程X2+3X=Q的根的判別式的值為

17.關(guān)于x的方程/+丘+2=0的一個根是1,則方程的另一個根是一?

18.把拋物線y=2x2向上平移3個單位，得到的拋物線的解析式為.

三、解答題（共66分）

19.(10分)AABC中，NACB=90。，AC=BC,。是BC上一點，連接AZ>,將線段AO繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點

D的對應(yīng)點E在BC的延長線上。過點E作EFLAD垂足為點G,

(1)求證：FE=AE；

(2)填空：—=

BF

4G

(3)若二=攵，求空AH■的值(用含4的代數(shù)式表示).

DGEH

20.(6分)如圖，ABHCD,AC與8。的交點為E,Z4BE=ZACB.

(1)求證：△ABE-△ACB；

(2)如果A8=6,AE=4,求AC,8的長.

區(qū)

CD

21.(6分)如圖，四邊形ABCD中，AC平分NDAB,ZADC=ZACB=90°,E為AB的中點,

(1)求證：AC2=AB?AD；

(2)求證：△AFDs^CFE.

22.(8分)如圖，大圓的弦AB、AC分別切小圓于點M、N.

(1)求證：AB=AC；

(2)若AB=8,求圓環(huán)的面積.

23.(8分)某次足球比賽，隊員甲在前場給隊友乙擲界外球.如圖所示：已知兩人相距8米，足球出手時的高度為2.4

米，運行的路線是拋物線，當(dāng)足球運行的水平距離為2米時，足球達(dá)到最大高度4米.請你根據(jù)圖中所建坐標(biāo)系，求

出拋物線的表達(dá)式.

24.(8分)定義：連結(jié)菱形的一邊中點與對邊的兩端點的線段把它分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，那

么稱這樣的菱形為自相似菱形.

(1)判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E為BC中點，貝!J在△A5E,AAED,△EDC中，相

似的三角形只有△A8E與△AE0.

(2)如圖2,菱形是自相似菱形，NABC是銳角，邊長為4,E為8c中點.

①求AE,OE的長；

②AC,BD交于點O,求tanNOBC的值.

25.(10分)如圖，在△ABC中，BD平分NABC,交AC于點D,點E是AB上一點，連接DE,BD2=BCBE.

證明：ABCD^ABDE.

B

26.(10分)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點A(a,O),若點T(x,y)滿足x=W,^=—,

33

那么稱點T是點A，B的融合點.

-1+48+(-2)

例如：A(-l,8),6(4,-2),當(dāng)點T(x,y)滿是=y=_1=2時,則點T(l,2)是點A，8的融合

點，

/O1DX

1/

(1)已知點A(—1,5),8(7,7),C(2,4),請說明其中一個點是另外兩個點的融合點.

(2)如圖，點。(3,0),點E(f,2f+3)是直線/上任意一點，點T(x,y)是點。，￡的融合點.

①試確定》與x的關(guān)系式.

②若直線ET交x軸于點，，當(dāng)AD7H為直角三角形時，求點E的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、C

【分析】先提取二次項系數(shù)，然后再進(jìn)行配方即可.

【詳解】y=-x2-4x-3=-U2+4x+4)-3+4=-(-^+2)2+l.

故選：c.

【點睛】

考查了將一元二次函數(shù)化成y=a(x-h)2+k的形式，解題關(guān)鍵是正確配方.

2、C

【分析】若二次函數(shù)y=-2+3蛆-3〃的圖像與X軸沒有交點，則A<0,解出關(guān)于m、n的不等式，再分別判斷即可;

3

【詳解】解：>y=+3機一3〃與X軸無交點,A=9/n2-\2n<0,：.n>-m2,

4

a、a(4\244

2m+n>2m+~^m~+~—?故A、B錯誤；

日鈿。-323(4丫44

I可理：2>n—n<2m——m=——m——+—<—；

4413)33

故選C.

【點睛】

本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點，掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點是解題的關(guān)鍵.

3、B

【分析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了.關(guān)于x的一元二次方程

kx?+3x-l=l有實數(shù)根，則△=b2-4ac?l.

【詳解】解：Va=k,b=3,c=-l,

9

A△=b2-4ac=32+4xkxl=9+4k>l,k>——，

4

?.?k是二次項系數(shù)不能為i,kri,

9

即kN--且呼1.

4

故選：B.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件.

4、A

【分析】由題意根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案判斷選項.

【詳解】解：由圖象可知開口向上a>0,與y軸交點在上半軸c>0,

/.ac>0,

故選A.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中等題型.

5、C

【分析】根據(jù)題意得出摸出黑球的頻率，繼而根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)X頻率計算即可.

【詳解】???小娟通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在60%附近，

，口袋中黑球的個數(shù)可能是10X60%=6個.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查利用頻率估計概率.大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況

數(shù)之比.

6、C

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)得，對應(yīng)邊的比相等，求出AE的長，EC=AC-AE,即可計算DE的長；

【詳解】VAABC^AADE,

.ABAC

?.=,

ADAE

VAB=9,AC=6,AD=3,

.?.AE=2,

即EC=AC-AE=6-2=4；

故選C.

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】根據(jù)垂徑定理可得出CE的長度，在RSOCE中，利用勾股定理可得出OE的長度，再利用AE=AO+OE即

可得出AE的長度.

【詳解】：弦CDLAB于點E,CD=8cm,

.,.CE=—CD=4cm.

2

在RtAOCE中，OC=5cm,CE=4cm,

.*?OE=yJoC2-CE2=3cm,

AE=AO+OE=5+3=8cm.

故選A.

【點睛】

本題考查了垂徑定理以及勾股定理，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理求出OE的長度是解題的關(guān)鍵.

8、C

【分析】逐一分析四個選項，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向以及對稱軸與y軸的位置關(guān)系，即可得出a、b的正負(fù)性，

由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出結(jié)論.

【詳解】AJ.?二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，

.?.av(),b<0,

一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項錯誤；

B.?.?二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，

?*.a>0,b<0,

???一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，故本選項錯誤；

C.?.?二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，

/.a<0,b<0,

...一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項正確；

D.?.?二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，

.".a<0,b<0,

二一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

9、A

【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件:被開方數(shù)20和分式有意義的條件:分母W0,列出不等式，解不等式即可.

【詳解】解:由題意可知：1—2x>0

解得：

故選A.

【點睛】

此題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件:被開方數(shù)20和分式有意義的

條件:分母W0是解決此題的關(guān)鍵.

10、B

【分析】連接OC、OD,利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理求得NAOD=50。，然后根據(jù)的等腰三角形的性

質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求得NDAE=65。.

【詳解】解：連接OC、OD,

VAD=CD,

：?AD=CD，

AZAOD=ZCOD,

VZAOC=2ZB=2x50°=100°,

/.AOD=50°,

VOA=OD,

ZDAO=ZADO=180-5°=65°,即NDAE=65。,

2

本題考查了圓中弦，弧，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理和三角形內(nèi)角和，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，能夠熟

練掌握圓心角，弧，弦之間的關(guān)系.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、4百

【分析】設(shè)AC=x，根據(jù)四邊形的面積公式，S=[ACxBOxsin60。，再根據(jù)sin60。=苴得出S=L(8—x)x式

222V72

再利用二次函數(shù)最值求出答案.

【詳解】解：VAC、BD相交所成的銳角為60°

...根據(jù)四邊形的面積公式得出，S=-ACxBDxsin60°

2

設(shè)AC=x,則BD=8-x

所以，S=；x(8-x)x￡=-當(dāng)(8-4)2+4君

/.當(dāng)x=4時，四邊形ABCD的面積取最大值4百

故答案為：4A/3.

【點睛】

本題考查的知識點主要是四邊形的面積公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

12、VH

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=1,進(jìn)而得出DE=2,利用勾股定理解答即可.

【詳解】解：.在R3ABC中，ZACB=90°,CE為AB邊上的中線，CE=1,

/.AE=CE=1,

VAD=3,

ADE=2,

???CD為AB邊上的高，

：,在RtACDE中，CD=^CE2-ED2=A/52-22=V21，

故答案為：V21.

【點睛】

此題考查勾股定理的應(yīng)用以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=1.

13、12+4713

【分析】首先確定剪拼之后的四邊形是個平行四邊形，其周長大小取決于MN的大小.然后在矩形中探究MN的不同

位置關(guān)系，得到其長度的最大值與最大值，從而問題解決.

【詳解】解：畫出第三步剪拼之后的四邊形MiNN2M2的示意圖，如答圖1所示.

圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,

M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位線定理),

又?.?M1M2〃N1N2,

...四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形，

其周長為2NIN2+2MINI=2BC+2MN.

VBC=6為定值，

二四邊形的周長取決于MN的大小.

如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖，

過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD

的一半，

是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，

根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；

而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即

y]PB2+BC2=V42+62=2V13，

四邊形MiNiN2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN,

二最大值為12+2X2x/13=12+4A/13.

故答案為：12+4"\/將.

【點睛】

此題通過圖形的剪拼，考查了動手操作能力和空間想象能力，確定剪拼之后的圖形，并且探究MN的不同位置關(guān)系得

出四邊形周長的最值是解題關(guān)鍵.

x=2

14、b＜=1.

【分析】利用方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)求解.

【詳解】?.,一?次函數(shù)＞=?1*+加與7=4力+。2的圖象的交點坐標(biāo)為（2,1）,

y-kx=b,[x=2

...關(guān)于X,y的方程組.,y,:的解是

y-k2x=b2=l

x=2

故答案為一

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo).

15、m=-l

【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2?9=0得m2-9=0,解得mi=Lm2=-l,然后根據(jù)一元二次方程的定義確定m

的值.

222

【詳解】把x=0代入方程（m-1）x+x+m-9=0^m-9=0,解得mi=Lm2=-l,

而m-1^0,

所以m的值為-1.

故答案是：-1.

【點睛】

考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方

程的定義.

16、1.

【解析】直接利用根的判別式A=bZ4ac求出答案.

【詳解】一元二次方程x2+3x=0根的判別式的值是：△=32-4x1x0=1.

故答案為1.

【點睛】

此題主要考查了根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵.

17、x=2

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)方程的另一個根為XI,

?方程V+日+2=0的一個根是1,

；.X1?1=1,即Xl=l,

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），掌握知識點是解題關(guān)鍵.

18、y-2x2+3

【解析】由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=2/向上平移3單位，得到的拋物線的解析式是＞=2/+3.

故答案為y=2/+3.

【點睛】

二次函數(shù)圖形平移規(guī)律：左加右減，上加下減.

三、解答題（共66分）

AH2

19、(1)證明見解析；(2)V2；(3)

EHk+l

【分析】(1)由AC=3C得乙鉆C=ZB4C,由NAGH=NECH=90°可得NDAC=NBEF,由軸對稱的性質(zhì)得到

ZDAC=ZEAC,從而可得NBEF=NEAC,利用三角形外角的性質(zhì)得到加E=NE4E,即可得到結(jié)論成立；

(2)過點E作EMJ_BE,交BA延長線于點M,作ANLME于N,先證明也EF^NEA,得到BF=AM,再利用

等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到8尸=JIAN，DE=2CE=2AN,即可得到答案；

(3)先利用相似三角形的判定證明VADC?V￡DG,得到處=空，從而得到巳=J二一，再證明

DEDGmU+1

NAGH7ECH,即可得到?色=kA-.

EHU+l

【詳解】（1）證明：；AC=BC,

:.ZABC=ZBAC,

V石/_1_4）垂足為點6,

..ZAGE=NOGE=90。，

?：ZACB=9Q°,

ACLBE,

VAE=AD,

：.ZDAC^ZEAC,

VACYBE,

NACE=90。，

在RtAAGH和RtAECH中,ZDAC^900-ZAHG,NBEF=90?！?EHC,ZAHG=/EHC,

ZDACZBEF,

:.ZBEF=ZEAC,

VZAFE=ZABC+/BEF,ZEAE=ABAC+ZEAC,

:.ZAFE^AFAE,

：.FE=AE；

（2）如圖，過點E作EM_LBE,交BA延長線于點M,作AN_LME于N,

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZB=45°,

VEM1BE,

AZM=ZB=45°,

由（1）已證：ZAFE^ZFAE,

：A8O0-ZAFE=1SO°-ZFAE,即NBFE=ZM4E,

NB=NM

在△班廠和AME4中，<NBPE=NAME,

FE=AE

/.ABEF=JVtEA（AAS）,

；.BF=AM,

VAN±ME,NM=45°,

:.△AWN是等腰直角三角形，

.,.AN=MN,AM=NAN=BF，

易知四邊形ACEN是矩形，

.?,CE=AN=MN,

VDE=2CE=2AN,

.DE.2AN涇

??薩一瓦L'

故答案為：V2；

（3）VAE=AD,AC1BE,

CE—CD>

??,NAC8=90。，

由（1）知NDGE=90°,

:.ZACB=ZDGE,

由（1）知/DAC=/BEF,

￡iADC?iJEDG,

ADDC

~DE~~DG

設(shè)CZ)=m,DG-n>則CEn"?,DE-2m>AG=kn,=(k+V)n,

(Z+l)〃_m

2mn

VZAHG=ZCHE,ZAGH=ZACE=90°,

:.屈GHYCH,

.AHAG_kn_

"~EH~~CE~~m~Vl+T'

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及

等角對等邊等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題，注意角度之間的相互轉(zhuǎn)換.

20、（1）詳見解析；（2）AC=9,CD=—.

2

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定證明即可；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】證明：（1）ZABE=ZACB,ZA=ZA,

（2）

.ABAE

-------=-------9

ACAB

：.AB2=AC>AE,

"：AB=6,AE-4,

AB2

=9,

~AE

'：AB//CD,

：.^CDE<^^ABE,

.CD_CE

??一9

ABAE

.fAB?CEAB^(AC-AE)6x515

AEAE42

【點睛】

此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定證明△ABESAACB.

21、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)兩組對角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=BE=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NEAC=NECA,推出AD〃CE即可解決

問題；

【詳解】(1)證明：；AC平分NDAB,

.,.ZDAC=ZCAB,

VZADC=ZACB=90°,

/.△ADC^AACB,

AAD：AC=AC：AB,

.,.AC2=AB?AD；

(2)證明：；E為AB的中點，

.*.CE=BE=AE,

.".ZEAC=ZECA,

VZDAC=ZCAB,

.,.ZDAC=ZECA,

ACE//AD,

.,.△AFD^ACFE.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22、(1)證明見解析；(2)Sms?=16n

【解析】試題分析：(1)連結(jié)。M、ON、由切線長定理可得AM=AN,由垂徑定理可得AN=NC,從而

可得AB=AC.

(2)由垂徑定理可得AM=8M=4,由勾股定理得OK-0^2=4^2=16,代入圓環(huán)的面積公式求解即可.

(1)證明：連結(jié)OM、ON、OA

???AB、AC分別切小圓于點M、N.

.\AM=AN,OM±AB,ON±AC,

/.AM=BM,AN=NC,

/.AB=AC

(2)解：I?弦AB切與小圓。。相切于點M

.*.OM±AB

；.AM=BM=4

:.在RtAAOM中，OA?—OM2=AM2=16

...S畫環(huán)=7tOA2—kORf=JTAM2=16JT

23、y=-0.4x2+4

【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+4（。。0）,代入（-2,2.4）,即可求出a.

【詳解】解：設(shè)y=ax2+4（。聲0）

■:圖象經(jīng)過（-2,2.4）

:.4a+4=2.4

a=-0.4

/.表達(dá)式為y=-0.4X2+4

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型.

24、（1）見解析；（2）①AE=2Q,DE=4&_；②tanNO8C=客.

【分析】（1）①證明AASE之△OCE（S4S）,得出"BEs/XoCE即可；

②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論；

③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

A3BEAE

（2）①由（1）③得得出一=——=—，求出4E=20,OE=4也即可；

DEAEAD

②過E作EM_LAD于M,過。作ON_LBC于N,則四邊形OMEN是矩形，得出ON=EM,DM=EN,NM=NN=

90°,設(shè)4M=x,則EN=DM=x+4,由勾股定理得出方程，解方程求出AM=1,EN=DM=5,由勾股定理得出ON

=EM=^AE2-AM2=V7>求出BN=7,再由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命題；理由如下：

如圖3所示：

二?四邊形A3。是正方形，點E是5c的中點，

：.AB=CD,BE=CE,N45E=NOCE=90°,

在AABE和AOCE中

AB=CD

<ZABE=ZDCE,

BE=CE

：.^ABE^/\DCE（SAS）,

:.AABESADCE,

...正方形是自相似菱形,

故答案為：真命題；

圖3

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形，是假命題；理由如下:

如圖4所示：

連接AC,

???四邊形AB。是菱形，

：.AB=BC=CD,AD//BC,AB//CD,

,:N8=60。，

.,.△ABC是等邊三角形，Z￡>C￡=120°,

,點E是的中點，

：.AE1.BC,

：.NAE5=NO4E=90。，

:.只能△AEB與△ZME相似，

'：AB//CD,

二只能N8=NAE〃，

若NAEZ)=N5=60°,則NCEO=180°-90°-60°=30°,

ZCZ)E=180°-120°-30°=30°,

NCED=NCDE,

：.CD=CE,不成立，

二有一個內(nèi)角為60。的菱形不是自相似菱形，

故答案為：假命題；

圖4

③若菱形ABC。是自相似菱形，ZABC=a(00<a<90°),E為BC中點,

則在△ABE,△AEO,△E0C中，相似的三角形只有aABE與是真命題；理由如下:

,:ZABC=a(0°<a<90°),

.,.Z0900,且NABC+NC=180。，4ABE與△E0C不能相似，

同理△4EO與△EOC也不能相似，

???四邊形A5C。是菱形，

：.AD//BC,

:.ZAEB=ZDAE,

當(dāng)NAEO=N8時，AABEsADEA,

,若菱形AB。是自相似菱形，NABC=a(0o〈aV90。)，E為BC中點，

則在△ABE,4AED,△E0C中，相似的三角形只有△A5E與△AE。，

故答案為：真命題；

(2)①?.,菱形A8CO是自相似菱形，NA8C是銳角，邊長為4,E為8c中點，

：.BE=2,AB=AD=4,

由(1)③得：AABE^ADEA,

?_A_B___B_E___A__E

??麗一靠一罰

29

:.AE=BEAD=2X4=89

:.AE=2叵,誨小竺=生還=40,

BE2

故答案為：A