專題04 指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程（5知識點+4重難點+7技巧+4易錯）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識

專題04指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1指數(shù)冪與對數(shù)1、根式與分數(shù)指數(shù)冪（1）根式的定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．（2）根式的性質(zhì)（，且）：；（3）分數(shù)指數(shù)冪的表示正分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義2、指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）無理數(shù)指數(shù)冪：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．（2）指數(shù)冪的運算性質(zhì)①．②．③．3、對數(shù)與對數(shù)運算（1）對數(shù)的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式。（2）對數(shù)的性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1)；=1\*GB3①loga1＝0，=2\*GB3②logaa＝1，=3\*GB3③alogaN＝N，=4\*GB3④logaaN＝N(a>0，且a≠1).指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系（3）對數(shù)的的運算法則與換底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0運算法則：=1\*GB3①loga(M·N)＝logaM＋logaN=2\*GB3②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN=3\*GB3③logaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式：=1\*GB3①logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，選用換底公式時，一般選用e或10作為底數(shù)。=2\*GB3②換底公式的三個重要結(jié)論：logab＝eq\f(1,logba)；logambn＝eq\f(n,m)logab；logab·logbc·logcd＝logad.知識點2冪函數(shù)及其性質(zhì)1、冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．（1）冪函數(shù)的特征：xα的系數(shù)是1；xα的底數(shù)x是自變量；xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．（2）冪函數(shù)的圖象：同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的圖象(如圖2、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；（2）如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；（3）如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；（4）在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．2、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)知識點3指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象圖像特征在軸的上方，過定點當(dāng)逐漸增大時，圖象逐漸上升當(dāng)逐漸增大時，圖象逐漸下降性質(zhì)定義域值域單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)范圍當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；3、指數(shù)函數(shù)的常用技巧（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情況討論；（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）的圖象，底數(shù)與1的之間的大小關(guān)系為；規(guī)律：在軸右（左）側(cè)圖象越高（低），其底數(shù)越大。（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱。知識點4對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)（，且）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為．（2）特殊的對數(shù)函數(shù)=1\*GB3①常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù).=2\*GB3②自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù).2、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(1,0)當(dāng)0＜x＜1時，y＜0；當(dāng)x＞1時，y＞0當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)x＞1時，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)3、對數(shù)函數(shù)圖象的常用結(jié)論（1）函數(shù)y＝logax與y=log1a（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．知識點5函數(shù)零點與二分法1、函數(shù)零點的定義（1）函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．（2）函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．【注意】函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點，而是交點的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個數(shù)．2、函數(shù)零點存在定理（1）定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．（2）兩個重要推論推論1：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點.推論2：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、二分法（1）二分法的定義：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．（2）給定精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟=1\*GB3①確定零點的初始區(qū)間，驗證=2\*GB3②求區(qū)間的中點=3\*GB3③計算，進一步確定零點所在的區(qū)間：若（此時），則就是函數(shù)的零點；若（此時），則令；若（此時），則令.=4\*GB3④判斷是否達到精確度：若，則得到零點近似值（或）；否則重復(fù)（2）~（4）【注意】初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點；重難點01指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域1、形如（，且）的函數(shù)求值域換元法：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍2、形如（，且）的函數(shù)求值域換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域。【典例1】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因為單調(diào)遞增，所以，則的最大值是16.【典例2】（23-24高三上·福建福州·期中）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】因為，又，所以，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域為.【典例3】（23-24高三上·湖北·期中）已知是定義域為的奇函數(shù).（1）函數(shù)，，求的最小值.（2）是否存在，使得對恒成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）由為上的奇函數(shù)，知，得；代入函數(shù)得：，由于，故時，為奇函數(shù)，滿足條件，，令，易知在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，，當(dāng)時，取得最大值，.∴，則上式轉(zhuǎn)化為，∴時，，此時；（2），，代入不等式得，即得：，∵時，，∴，又，當(dāng)，即時，取得最小值，而，∴.重難點02對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域1、形如（，且）的函數(shù)求值域換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性，再求出的值域。2、形如（，且）的函數(shù)的值域換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性，求出的值域。【典例1】（23-24高三上·四川廣安·月考）已知函數(shù)，則的值域是.【答案】【解析】,單調(diào)遞增，，則的值域是?！镜淅?】（23-24高三上·江蘇常州·月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為．【答案】【解析】由于，由，得，解得，即函數(shù)的定義域為,．，又，，，故函數(shù)的值域為.重難點03嵌套函數(shù)的零點問題處理復(fù)合函數(shù)的零點問題的方法：=1\*GB3①確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；②確定外層函數(shù)的零點；③確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、…、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.【典例1】（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】，當(dāng)時，，則，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)和的圖象如下：令得，故，令，則，且，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，綜上，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5.故選：D【典例2】（23-24高三上·江西上饒·月考）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)恰好有五個零點.則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，令，函數(shù)恰好有五個零點．則方程化為，則必有兩個不同實根，則，結(jié)合圖形可知，則必不為，故方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，令，則，解得：，綜上：實數(shù)的取值范圍為.【典例3】（23-24高三下·重慶·月考）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個解，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題可得，令，則方程的解有3個，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)時，，所以，畫的圖象如下：由圖象可得，且方程的三個解分別為，不妨設(shè)，則有，即，又所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又因為，所以，所以有，即，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，綜上，的取值范圍為。重難點04關(guān)于函數(shù)零點求和問題利用函數(shù)零點位置的對稱性求和（1）將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題；（2）=1\*GB3①如果兩個函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱，那么這兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于直線對稱，則對應(yīng)的兩零點之和為；=2\*GB3②如果兩個函數(shù)圖象都關(guān)于點對稱，那么這兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點對稱，則對應(yīng)的兩零點之和為.【典例1】（23-24高三上·河北邢臺·月考）已知定義域為的函數(shù)滿足，且曲線與曲線有且只有兩個交點，則函數(shù)的零點之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】A【解析】由題意定義域為的函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于點成中心對稱，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移一個單位得到，故的圖象關(guān)于點成中心對稱，又曲線與曲線有且只有兩個交點，則這兩個交點關(guān)于對稱，故這兩個交點的橫坐標(biāo)之和為2，而函數(shù)的零點即為曲線與曲線交點的橫坐標(biāo)，故函數(shù)的零點之和是2，故選：A【典例2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點中心對稱，而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個單位得到的函數(shù)，因而關(guān)于中心對稱，函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，且，所以由函數(shù)零點定義可知，即，由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對稱，所以兩個函數(shù)的交點也關(guān)于中心對稱，又因為恰有個零點，即函數(shù)和函數(shù)的交點恰有個，且其中一個為，其余的個交點關(guān)于對稱分布，所以個零點的和滿足，故選：D.一、指對冪與對數(shù)式運算1、指數(shù)冪運算的一般原則（1）指數(shù)冪的運算首先將根式統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算；（2）先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；（3）底數(shù)為負數(shù)，先確定符號；底數(shù)為小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)；（4）運算結(jié)果不能同時包含根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)。2、對數(shù)混合運算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然后進行化簡合并；（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分數(shù)，分數(shù)一般寫成對數(shù)相減的形式。3、對數(shù)運算中的幾個運算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對數(shù)運算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進行化簡；（2）的應(yīng)用技巧：對數(shù)運算過程中如果出現(xiàn)兩個對數(shù)相乘且兩個對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡；（3）指對互化的轉(zhuǎn)化技巧：對于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解。【典例1】（23-24高三上·山東菏澤·月考）化簡求值：（1）（2）【答案】（1）1；（2）【解析】（1）原式；（2）原式.【典例2】（23-24高三上·河南信陽·月考）計算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式.二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=1，y=1，y=x所分區(qū)域.根據(jù)a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.【典例1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數(shù)圖象過點，則函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由于函數(shù)過點，故，解得，該冪函數(shù)的解析式為；故選：B【典例2】（23-24高三上·廣東佛山·月考）當(dāng)時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則．【答案】【解析】由題意可知或，當(dāng)時，，此時在第一象限是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，，此時在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；綜上：.【典例3】（23-24高三上·遼寧大連·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點，且，則a的取值范圍是．【答案】【解析】因為的圖象過點所以，解得所以在定義域上遞減，故，解得三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖象需要注意以下幾個特征：（1）指數(shù)函數(shù)的圖象所過的關(guān)鍵點為，，；（2）函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點位置；（3）函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性?！镜淅?】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，又，所以當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，因為，所以，故.故選：B【典例2】（23-24高三上·山西晉中·月考）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】當(dāng)時，對應(yīng)的圖象可能為選項A；當(dāng)時，對應(yīng)的圖象可能為選項C.故選：AC.【典例3】（23-24高三上·福建莆田·月考）函數(shù)且的圖象恒過定點，若且，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)且的圖象恒過定點，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以的最小值為.故選：B.【典例4】（23-24高三下·江西鷹潭·月考）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因為在定義域上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：C四、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法（1）在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點（與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等）排除不符合要求的選項；（2）一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【典例1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則對數(shù)函數(shù)的解析式為.【答案】【解析】設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為(且)，由已知可得，即，解得，即函數(shù)解析式為.【典例2】（23-24高三上·四川綿陽·月考）若為奇函數(shù)，則.【答案】【解析】，由，得或，所以函數(shù)的定義域為，因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，得，此時，，即，函數(shù)為奇函數(shù)，所以.【典例3】（23-24高三上·廣東東莞·月考）（多選）對數(shù)函數(shù)（且）與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】選項A，B中，由對數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項系數(shù)，其對應(yīng)方程的兩個根為0，，選項A中，由圖象得，從而，選項A可能；選項B中，由圖象得，與相矛盾，選項B不可能．選項C，D中，由對數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；選項C中，由圖象與x軸的交點的位置得，與相矛盾，選項C不可能．故選：BCD．【典例4】（23-24高三下·陜西西安·月考）已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，因為單調(diào)遞增，若在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，則滿足，即，解得，故的取值范圍是.五、指對冪比較大小的常見方法1、單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較；2、作差法、作商法：（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大??；（2）作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法；3、中間值法或1/0比較法：比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”“1”作為分界點，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大??；4、估值法：（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；（2）可以對區(qū)間使用二分法（或利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值；5、構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性比較：構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)規(guī)律（1）對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f()外衣”比較大??；（2）有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，比較大小。6、放縮法：（1）對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；（2）指數(shù)和冪函數(shù)結(jié)合來放縮；（3）利用均值不等式的不等關(guān)系進行放縮；（4）“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)（主要是整數(shù)多一些），那么可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系?！镜淅?】（23-24高三上·天津武清·月考）已知，，.則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知在R上單調(diào)遞減，所以，令，由冪函數(shù)的性質(zhì)知在單調(diào)增，所以，所以.故選：C【典例2】（2024·山東濰坊·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以，故選：A.【典例3】（2024·山東聊城·三模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故，又，所以.故選：A【典例4】（23-24高三上·河南·月考）已知正數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，可得，，可得，，可得，且考慮和的圖象相交，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、與的圖象如下：根據(jù)圖象可知.故選：B.六、函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法1、直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.2、定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.3、圖象法：（1）單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；（2）兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)【典例1】（23-24高三上·廣東深圳·月考）函數(shù)，的零點個數(shù)為．【答案】【解析】令，由二倍角公式可得，即，解得或，當(dāng)時，若時，解得或；若，解得或；綜上所述，函數(shù)在上的零點個數(shù)為個.【典例2】（23-24高三上·廣東中山·月考）函數(shù)的零點個數(shù)為【答案】6【解析】，故，畫出和，兩函數(shù)交點個數(shù)即為的零點個數(shù)，

由圖象可得，共6個交點，所以的零點個數(shù)為6.【典例3】（2024·河南·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，對任意，均有，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點有個.【答案】4【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，說明函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，說明的周期是2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示：如圖所示，共有4個不同的交點，即有4個零點.七、已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍的方法1、直接法：利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進行適當(dāng)?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．【典例1】（23-24高三上·山東濟南·月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】作出的函數(shù)圖象如圖所示:畫出函數(shù)的圖象,由圖象可知當(dāng)時，有1零點，當(dāng)時，有3個零點，當(dāng)或時，有2個零點.【典例2】（23-24高三上·廣東惠州·月考）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)函數(shù)，令，即，所以問題轉(zhuǎn)化為，有3個交點；在坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)的圖像如下所示，結(jié)合圖象可知，，故實數(shù)的取值范圍為.故選：B【典例3】（2023·天津河北·一模）函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】或【解析】因為，所以，則函數(shù)恰有2個零點等價于有兩個不同的解，故，的圖象有兩個不同的交點，設(shè)，又，的圖象如圖所示，由圖象可得兩個函數(shù)的圖象均過原點，當(dāng)時，考慮直線與的圖象相切，則由可得，即，考慮直線與的圖象相切，由可得，則，即．考慮直線與的圖象相切，由可得，則，即，結(jié)合圖象可得當(dāng)或時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，綜上，或．易錯點1指數(shù)與對數(shù)函數(shù)中忽略對底數(shù)的討論點撥：指數(shù)與對數(shù)函數(shù)問題中，其底數(shù)若不是確定的數(shù)值，需要對底數(shù)分a＞1或0<a<1兩種情況進行討論。【典例1】（2023·四川攀枝花·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)在上的最大值為，則（）A．或3 B．或2 C．3 D．2【答案】A【解析】因為是奇函數(shù)，所以，所以．即，則，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以，，整理得，解得或(舍去)，所以；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，，整理得，解得或(舍去)，所以，綜上，或3．故選：A．【典例2】（23-24高三上·上海浦東新·月考）設(shè)常數(shù)且，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，最小值為0，則實數(shù).【答案】2【解析】當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，無解易錯點2求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時忽略定義域點撥：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用“同增異減”法則寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是“同增異減”法則不會或法則用錯?！镜淅?】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）