高中數(shù)學(xué)選修2-3課件2：1-1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

§1.1分類加法計數(shù)原理與分布乘法計數(shù)原理高中數(shù)學(xué)選修2-3·精品課件第一章計數(shù)原理

問題1.某旅游團(tuán)從南京到上海，可以乘汽車，也可以乘火車，假定汽車每日有3班,火車每日有2班,那么一天中從南京到上海共有多少種不同的走法?5=3+2問題探究

問題2.后來該旅游團(tuán)改變行程，增加杭州兩日游，先乘汽車從南京至杭州，兩天后再乘汽車從杭州至上海，假定南京至杭州的汽車每天有３班，杭州至上海的汽車每天有2班，那么該團(tuán)從南京經(jīng)杭州到上海有多少種不同的方法？=3×26分類加法計數(shù)原理

做一件事，完成它有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+…+m

n種不同的方法.

分步乘法計數(shù)原理做一件事,完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×m

n

種不同的方法.計數(shù)原理兩個基本計數(shù)原理理的聯(lián)系和區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別1（方式不同）區(qū)別2（各方法作用不同）完成一件事，共有n類辦法，方式是“分類”完成一件事，共分n個步驟，方式是“分步”各類辦法相互獨立；各類辦法中的任何一種方法都能獨立地完成這件事.各步驟相互依存，缺一不可；只有把各個步驟全部完成，才能完成這件事.都是研究完成一件事的不同方法種數(shù)的計數(shù)方法1.一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中間放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書:（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？解：（1）從書架上任取一本書，有三類辦法：第一類辦法:從書架上層任取一本數(shù)學(xué)書，有5種不同的方法；第二類辦法:從書架中層任取一本語文書，有3種不同的方法；第三類辦法:從書架下層任取一本英語書，有2種不同的方法.只要從書架上任意取出一本書，任務(wù)即完成，由分類加法計數(shù)原理，可得不同的取法共有N=5+3+2=10（種）.合作探究（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，可以分三個步驟完成：第一步從書架上層任取一本數(shù)學(xué)書，有5種不同的方法；第二步從書架中層任取一本語文書，有3種不同的方法；第三步從書架下層任取一本英語書，有2種不同的方法。由分步乘法計數(shù)原理，可得不同的取法共有N=5×3×2=30（種）.探究成果:

1.應(yīng)用兩個基本計數(shù)原理解題時，要明確是“分類”？還是“分步”？“分類”完成用加法計數(shù)原理;“分步”完成用乘法計數(shù)原理；

2.注意解題步驟的規(guī)范。解：（1）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分四個步驟：第一步選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的四位密碼共有

N=5×4×3×2=120（個）2.用0，1，2，3，4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：（1）銀行存折的四位密碼？（2）四位數(shù)？（3）四位奇數(shù)？合作探究（2）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四個步驟：第一步從1，2，3，4中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字做個位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的四位數(shù)共有N=4×4×3×2=96（個）合作探究(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四個步驟：第一步確定個位數(shù)字：從1，3中選取一個數(shù)字做個位數(shù)字,有2種不同的選取方法；第二步確定千位數(shù)字：從1，2，3，4剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第三步確定百位數(shù)字：從1，2，3，4剩余的兩個數(shù)字和0共三個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步確定十位數(shù)字：從剩余的兩個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，符合條件的四位奇數(shù)共有

N=2×3×3×2=36（個）.合作探究(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四個步驟：第一步確定個位數(shù)字：從1，3中選取一個數(shù)字做個位數(shù)字,有2種不同的選取方法；第二步確定千位數(shù)字：從1，2，3，4剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第三步確定百位數(shù)字：從1，2，3，4剩余的兩個數(shù)字和0共三個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步確定十位數(shù)字：從剩余的兩個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，符合條件的四位奇數(shù)共有

N=2×3×3×2=36（個）.合作探究探究成果2.對于有特殊元素或特殊位置的問題，可優(yōu)先安排。3.對于同一個事件的處理，可以采用不同的解法，但結(jié)果肯定是相同的，用這種方法可以起到很好的檢驗效果。1.應(yīng)用兩個基本計數(shù)原理解題時，首先必須弄明白怎樣就能“完成這件事”？其次要做到合理分類，準(zhǔn)確分步，按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程分步是計數(shù)問題的基本方法。用0，1，2，3，4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”這件事，有兩類辦法：第一類辦法四位偶數(shù)的個位數(shù)字為0，這件事分三個步驟完成：第一步從1，2，3，4中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第三步從剩余的兩個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，第一類的四位偶數(shù)共有N1=4×3×2=24（個）變式練習(xí)用0，1，2，3，4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”這件事，有兩類辦法：第一類辦法四位偶數(shù)的個位數(shù)字為0，這件事分三個步驟完成：第一步從1，2，3，4中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第三步從剩余的兩個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，第一類的四位偶數(shù)共有N1=4×3×2=24（個）變式練習(xí)第二類辦法四位偶數(shù)的個位數(shù)字為2或4，這件事分四個步驟完成：第一步從2，4中選取一個數(shù)字做個位數(shù)字，有2種不同的選取方法；第二步從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第三步從1，2，3，4剩余的兩個數(shù)字與0共三個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步從剩余的兩個數(shù)字中，選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，第二類的四位偶數(shù)共有N2=2×3×3×2=36（個）最后，由分類加法計數(shù)原理，符合條件的四位偶數(shù)共有

N=N1+N2=24+36=60（個）

3.我們把一元硬幣有國徽的一面叫正面，有幣值的一面叫反面。現(xiàn)依次拋出5枚一元硬幣，按照拋出的順序得到一個由5個“正”或“反”組成的序列，如“正、反、反、反、正”.問一共可以得到多少個不同的這樣的序列？解：分5個步驟完成這件事，每個步驟都有“正”或“反”兩種不同的情況，有分步乘法計數(shù)原理，得N=2×2×2×2×2=25=32,所以一共可以得到32個不同的序列.探究成果:

應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題時，要注意判斷是否重復(fù).合作探究

3.我們把一元硬幣有國徽的一面叫正面，有幣值的一面叫反面?，F(xiàn)依次拋出5枚一元硬幣，按照拋出的順序得到一個由5個“正”或“反”組成的序列，如“正、反、反、反、正”.問一共可以得到多少個不同的這樣的序列？解：分5個步驟完成這件事，每個步驟都有“正”或“反”兩種不同的情況，有分步乘法計數(shù)原理，得N=2×2×2×2×2=25=32,所以一共可以得到32個不同的序列.探究成果:

應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題時，要注意判斷是否重復(fù).合作探究鞏固練習(xí)一個科技小組中有3名女同學(xué)，5名男同學(xué)。從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有不同的選派方法____種；若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有不同的選派方法_____種.8153.3位旅客到4個旅館住宿，有

種不同的住宿方法.2.從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通.從甲地經(jīng)過乙地或丁地到丙地共有

種不同的走法.1464課堂小結(jié)2.其次分類要不重不漏，分步要步驟完整.一、兩個基本計數(shù)原理：1.分類加法計數(shù)原理：N=m1+m2+…+m

n

；2.分步乘法計數(shù)原理：N=m1×m2×…×m

n

.二、

應(yīng)用兩個基本計數(shù)原理解題時應(yīng)注意的問題：1.首先必須明確怎樣就“完成這件事”？3.還須注意特殊元素（或特殊位置）優(yōu)先安排以及是否重復(fù)等.自學(xué)訓(xùn)練1.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法種數(shù)是多少？2.從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是多少？3.設(shè)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中任選出兩幅不同畫種的畫布置房間，有幾種不同的選法？4.甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍，每門學(xué)科只有一名冠軍產(chǎn)生，有多少種不同的冠軍獲得情況？自學(xué)訓(xùn)練1.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法種數(shù)是多少？2.從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是多少？3.設(shè)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中任選出兩幅不同畫種的畫布置房間，有幾種不同的選法？4.甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍，每門學(xué)科只有一名冠軍產(chǎn)生，有多少種不同的冠軍獲得情況？1.由1,2,3,4可以組成多少個自然數(shù)(數(shù)字可以重復(fù)，最多只能是四位數(shù))?解：組成的自然數(shù)可以分為以下四類：第一類：一位自然數(shù)，共有4個；第二類：二位自然數(shù)，共有4×4＝16(個)；第三類：三位自然數(shù)，共有4×4×4＝64(個)；第四類：四位自然數(shù)，共有4×4×4×4＝256(個)．由分類加法計數(shù)原理知，可以組成的不同的自然數(shù)為4＋16＋64＋256＝340(個)．小組競學(xué)分類加法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用變式1:從1～20共20個整數(shù)中任取兩個相加，使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種？解:第一類：兩個偶數(shù)相加，由分步乘法計數(shù)原理，共有45(種)不同的取法；第二類：兩個奇數(shù)相加，由分步乘法計數(shù)原理，共有45(種)不同的取法．由分類加法計數(shù)原理得，共有45＋45＝90(種)不同取法．變式練習(xí)2.(1)有5本書全部借給3名學(xué)生，有多少種不同的借法？(2)有3名學(xué)生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐，有多少種不同的分配方案？小組競學(xué)分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用解：(1)中要完成的事件是把5本書全部借給3名學(xué)生，可分5個步驟完成．每一步把一本書借出去，有3種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(種)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3個學(xué)生分配到5個車間中，可分3個步驟完成，每一步分配一名學(xué)生，有5種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(種)不同的分配方案．變式2：(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？

變式練習(xí)解：(1)該問題中要完成的事是4名同學(xué)報名，因而可按學(xué)生分步完成，每一名同學(xué)有3種選擇方法，故共有34＝81(種)報名方法．(2)該問題中，要完成的事是三項冠軍花落誰家，故可按冠軍分步完成，每一項冠軍都有4種可能，故可能的結(jié)果有43＝64(種)．3.用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，問有多少種不同的涂色方案？師生合作探究

分類計數(shù)與分步計數(shù)的綜合應(yīng)用先分兩類：第一類：D與A不同色，分四步完成．第一步涂A有5種方法；第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法；第四步涂D有2種方法，則共有5×4×3×2＝120(種)方法．第二類：D與A同色，分三步完成．第一步涂A和D有5種方法；第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法，則共有5×4×3＝60(種)方法．所以共有120＋60＝180(種)不同的涂色方案．規(guī)范解答變式3.將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，則不同的種植方法共有多少種(以數(shù)字作答)?變式練習(xí)解：分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊試驗田，有3種方法，不妨設(shè)種a，再安排第二塊試驗田種b或c，有2種方法，不妨設(shè)種b，安排第三塊試驗田也有2種方法，種c或a.(1)若第三塊試驗田種c,則第四、五塊田分別有2種種法，共有2×2種種法．(2)若第三塊試驗田種a:第四塊田仍有2種種法abcaba變式練習(xí)①若第四塊田種c：

則第五塊田仍有2種種法．②若第四塊田種b：

則第五塊田只能種c，只有1種種法．綜上，共有3×2×[2×2＋(2＋1)]＝42(種)種法．a(chǎn)bacabab變式練習(xí)課堂反饋1.書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有6本不同的語文書，下層放有4本不同的英語書，從中任取1本書的不同取法的種數(shù)是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3

A

2.在上題中,如果從中任取3本,數(shù)學(xué),語文,英語各一本,則不同取法的種數(shù)是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C4.火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有（）種

A.510B.105C.50D.以上都不對A3.把四封信任意投入三個信箱中,不同投法種數(shù)是()A.12B.64C.81D.7C課堂反饋弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提和條件,這兩個原理都是指完成一件事而言的,其區(qū)別在于：課堂小結(jié)（1）分類計數(shù)原理是“分類”，每類辦法中的每一種方法都能獨立完成一件事；（2）分步計數(shù)原理是“分步”；每種方法都只能做這件事的一步，不能獨立完成這件事!課堂反饋1.書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有6本不同的語文書，下層放有4本不同的英語書，從中任取1本書的不同取法的種數(shù)是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3

A

2.在上題中,如果從中任取3本,數(shù)學(xué),語文,英語各一本,則不同取法的種數(shù)是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C解：分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊試驗田，有3種方法，不妨設(shè)種a，再安排第二塊試驗田種b或c，有2種方法，不妨設(shè)種b，安排第三塊試驗田也有2種方法，種c或a.(1)若第三塊試驗田種c,則第四、五塊田分別有2種種法，共有2×2種種法．(2)若第三塊試驗田種a:第四塊田仍有2種種法abcaba變式練習(xí)（2）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四個步驟：第一步從1，2，3，4中選取一個數(shù)字做千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字做百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字做十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字做個位數(shù)字，有2種不同的選取方法；由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的四位數(shù)共有N=4×4×3×2=96（個）合作探究（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，可以分三個步驟完成：第一步從書架上層任取一本數(shù)學(xué)書，有5種不同的方法；第二步從書架中層任取一本語文書，有3種不同的方法；第三步從書架下層任取一本英語書，有2種不同的方法。由分步乘法計數(shù)原理，可得不同的取法共有N=5×3×2=30（種）.探究成果:

1.應(yīng)用兩個基本計數(shù)原理解題時，要明確是“分類”？還是“分步”？“分類”完成用加法計數(shù)原理;“分步”完成用乘法計數(shù)原理；

2.注意解題步驟的規(guī)范。

問題1.某旅游團(tuán)從南京到上海，可以乘汽車，也可以乘火車，假定汽車每日有3班,火車每日有2班,那么一天中從南京到上海共有多少種不同的走法?5=3+2問題探究

問題2.后來該旅游團(tuán)改變行程，增加杭州兩日游，先乘汽車從南京至杭州，兩天后再乘汽車從杭州至上海，假定南京至杭州的汽車每天有３班，杭州至上海的汽車每天有2班，那么該團(tuán)從南京經(jīng)杭州到上海有多少種不同的方法？=3×261.一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中間放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書:（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？解：（1）從書架上任取一本書，有三類辦法：第一類辦法:從書架上層任取一本數(shù)學(xué)書，有5種不同的方法；第二類辦法:從書架中層任取一本語文書，有3種不同的方法；第三類辦法:從書架下層任取一本英語書，有2種不同