考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷17（共237題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷17（共9套）（共237題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0處可導(dǎo)，則()．A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)=f’(0)D、f(0)=一f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：F(0)=f(0)，F(xiàn)－’(0)==f’(0)一f(0)；F＋’(0)==f’(0)+f(0)，因?yàn)镕(x)在x=0處可導(dǎo)，所以F－’(0)=F＋’(0)，于是f(0)=0，故應(yīng)選(A)．2、設(shè)M=(x2sin3x－cos4x)dx，則有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P＜M＜N，選(D)．3、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(x0，y)在y=一y0處導(dǎo)數(shù)為零B、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)大于零C、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)小于零D、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則有fx’(x0，y0)=0，fy’(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零，選(A)．4、設(shè)平面區(qū)域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr一∫01rf(r2)dr]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2π∫12rf(r)dr，選(A)．5、設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，f(0)=0且=2，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由得f(0)+f’(0)=0，于是f’(0)=0．再由=f’(0)+f’’(0)=2，得f’’(0)=2＞0，故f(0)為f(x)的極小值，選(B)．6、設(shè)=r，則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r=一1D、r=1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)平面π1：3x一2y+6z一2=0與平面π2：3x一2y+6z+12=0，則兩平行平面之間的距離為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：．9、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，4)知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e－4x+x2+3x+2，則Q(x)=________，該微分方程的通解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Q(x)=2＋2x＋3—12(x2+3x+2)=一12x2－34x一19，通解為y=C1e－4x＋C2e3x+x2＋3x＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))知識(shí)點(diǎn)解析：顯然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=－12，即特征方程為λ2+λ一12=0，特征值為λ1=一4，λ2=3．因?yàn)閤2+3x+2為微分方程y’’+y’一12y=Q(x)的一個(gè)特解，所以Q(x)=2＋2x＋3—12(x2+3x+2)=一12x2－34x一19，且通解為y=C1e－4x＋C2e3x+x2＋3x＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．11、∫02=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)z=f(x，y)二階可偏導(dǎo)，=2，且f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，則f(x，y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y1+xy+1知識(shí)點(diǎn)解析：由=2y+φ(x)，因?yàn)閒y’(x，0)=x，所以φ(x)=x，即=2y+x，z=y2+xy+C，因?yàn)閒(x，0)=1，所以C=1，于是z=y1+xy+1．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求(其中ai＞0(i=1，2，…，n))標(biāo)準(zhǔn)答案：所以原式=a1a2…an．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f’(0)≠0，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)PQ為拋物線y=的弦，且PQ在此拋物線過P點(diǎn)的法線上，求PQ長(zhǎng)度的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、ds，其中L為由x軸，x2+y2=4及y=x所圍成的第一封限內(nèi)的區(qū)域的邊界．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，并說明反之不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L經(jīng)過點(diǎn)()，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線MA：Y一y=y’(X一x)．令X=0，則Y=y—xy’，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y—xy’)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在(一1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f''(x)≠0．證明：23、對(duì)(一1，1)內(nèi)任一點(diǎn)x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任意x∈(一1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因?yàn)閒’’(x)∈C(－1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(一1，1)內(nèi)保號(hào)，不妨設(shè)f’’(x)＞0，則f’(x)在(一1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0與x之間，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有f’[θ(x)x]=，令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，f＋’(a)f－’(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b]，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f＋’(a)＞0，f－’(6)＞0，由f＋’(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；由f－’(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，因?yàn)閒(x1)f(x2)＜0，所以由零點(diǎn)定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．令h(x)=，顯然h(x)在[a，b]上連續(xù)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=令φ(x)=f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’’(x)g(x)一f(x)g’’(x)，所以．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對(duì)任意的x∈[0，1]，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=a2(x2一y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(一∞，+∞)求連續(xù)函數(shù)y(x)，使其在(一∞，1)及(1，+∞)內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時(shí)，y’一2y=2的通解為y=C1e2x一1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x一1；當(dāng)x＞1時(shí)，y’一2y=0的通解為y=C2e2x，根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2=y(1—0)=e2一1，解得C2=1一e－2，y=(1一e－2)ee2x，補(bǔ)充定義y(1)=e2一1，則得在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、下列命題中正確的是()A、有界函數(shù)乘無界函數(shù)仍是無界函數(shù)．B、無界函數(shù)乘無窮大量仍是無窮大量．C、無窮小量乘任一個(gè)實(shí)數(shù)仍是無窮小量．D、兩個(gè)無窮大量之和仍是無窮大量．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(反例排除法)取f(x)=，g(x)=x，則當(dāng)x→∞時(shí)f(x)是有界函數(shù)，g(x)是無界函數(shù)，但，排除A．取f(x)=xsinx，g(x)=x，則當(dāng)x→∞時(shí)f(x)是無界函數(shù)，g(x)是無窮大量，但不是無窮大量，排除B．取f(x)=x，g(x)=-x，則當(dāng)x→∞時(shí)f(x)，g(x)都是無窮大量，但[f(x)+g(x)]=(x-x)=0，排除D．2、函數(shù)f(x)=的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、無窮多個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)的表達(dá)式知，x=0，±1，±2，…是間斷點(diǎn)，由于當(dāng)x0=±2，±3，…時(shí)，，所以只需考慮x=0，-1，1三點(diǎn)即可，因?yàn)樗詘=0，-1，1都是f(x)的可去間斷點(diǎn)．故應(yīng)選C．3、已知函數(shù)y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0確定，則f’’(0)等于()A、-2．B、2．C、-3．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)二元方程所確定的一元隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)問題．將x=0代入已知方程，得y=0．已知方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得eyy’+6y+6xy’+2x=0，所以于是y’(0)=0．進(jìn)一步，故y’’(0)=-2．4、設(shè)f(x)在[0，1]二階可導(dǎo)，且f’’(x)＜0，則下列命題正確的是()-A、f’(1)＜f’(0)＜f(1)-f(0)．B、f’(1)＜f(1)-f(0)＜f’(0)．C、f(1)-f(0)＜f’(1)＜f’(0)．D、f’(1)＜f(0)-f(1)＜f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在[0，1]上用拉格朗日中值定理，得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，即f(1)-f(0)=f’(ξ)，其中0＜ξ＜1．因?yàn)閒’’(x)＜0，所以f’(x)單調(diào)減少．由0＜ξ＜1得f’(1)＜f’(ξ)＜f’(0)，即f’(1)＜f(1)-f(0)＜f’(0)．5、設(shè)f(lnx)=x+ln2x，則∫f’(x)dx等于()A、ex+x3+C．B、ex+22+C．C、lnx+x3+C．D、lnx+x2+C．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令lnx=t，則x=et，從而f(t)=et+t2，故∫f’(x)dx=f(x)+C=ex+x2+C．6、等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題既是無界函數(shù)的反常積分，又是無窮限的反常積分．7、設(shè)a，b，c均為單位向量，且a+b+c=0，則a.b+b.c+c.a等于()A、1．B、C、D、-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由a+b+c=0，有(a+b+c).(a+b+c)=0，即a.a+b.b+c.c+2(a.b+b.c+c.a)=0，由于a，b，c均為單位向量，所以a.a=b.b=c.c=1，故a.b+b.c+c.a=8、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F’z≠0，則=()A、x．B、z．C、-x．D、-z．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)三元方程所確定的二元隱函數(shù)的變形問題，本題采用公式法．9、設(shè)f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分可寫成()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)直角坐標(biāo)下交換積分次序問題，其方法是根據(jù)所給定的積分次序，畫出積分區(qū)域圖，根據(jù)積分區(qū)域圖，寫出另一種積分次序．由已知二次積分知，積分區(qū)域D由直線x=-1，x=0，y=x+1及曲線y=圍成，如圖24所示，其Y型區(qū)域由兩部分構(gòu)成{(x，y)｜0≤y≤1，-1≤x≤y-1}，10、設(shè)L為曲線y=1-｜1-x｜(0≤x≤2)，則沿x增長(zhǎng)方向，曲線積分∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查第二類曲線積分的計(jì)算方法．(利用直接計(jì)算法)曲線L可寫成：如圖29所示，根據(jù)曲線積分對(duì)積分曲線的可加性，有∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=∫L1(x2+y2)dx+(x2-y2)dy+∫L2(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=(x2+x2)dx+([x2+(2-x)2]-[x2-(2-x)2]}dx11、設(shè)an＞0，n=1，2，…，且()A、必發(fā)散．B、必收斂，且其和為0．C、必收斂，且其和為D、所給條件尚不足以確定斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)的部分和12、設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)特解，如果常數(shù)a，b使ay1+by2是該方程的解，ay1-by2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2是微分方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)特解，所以y’i+P(x)yi=Q(x)(i=1，2)，因?yàn)閍y1+by2是該方程的解，所以(ay’1+by’2)+P(x)(ay1+by2)=Q(x)，即a[y’1+P(x)y1]+b[y’2+P(x)y2]=Q(x)，aQ(x)+bQ(a)=Q(x)，于是a+b=1．又因?yàn)閍y1-by2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，所以(ay’1-by’2)+P(x)(ay1-by2)=0，即a[y’1+P(x)y1]-b[y’2+P(x)y2]=0，aQ(x)-bQ(x)=0，于是a-b=0．解關(guān)于a，b的方程組，得13、某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性的絕對(duì)值為Pln3，已知該商品的最大需求量為1000，則需求量Q關(guān)于價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系是()A、Q=1000e-P．B、Q=1000×3-P．C、Q=1000e-2P．D、Q=1000×3-3P．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件知，即等式兩邊積分，得lnQ=-Pln3+ln｜C｜，即Q=C.3-P．由于已知商品的最大需求量為1000，即Q(0)=1000，由此得C=1000，于是Q=1000×3-P．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，如果=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：這是已知一個(gè)極限，求另一個(gè)極限問題．由15、設(shè)曲線f(x)=x2n在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn，0)，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=2nx2n-1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線f(x)=x2n在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率k=f’(1)=2n．于是切線方程為y-1=2n(x-1)．令y=0，得xn=從而16、d(arctane2x)=_________dex．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接求d(arctane2x)=______dex空中的表達(dá)式非常困難，但如果將問題轉(zhuǎn)化為=_______，即轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的微分的商，問題迎刃而解．17、=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)型未定式的極限，可先考慮用等價(jià)無窮小替換化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算．因?yàn)楫?dāng)x→0，arctanx～x，e-ecosx=ecosx(e1-cosx-1)～ecosx(1-cosx)～ecosx.x2．所以18、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)x=x(t)由方程確定，其中可導(dǎo)函數(shù)φ(u)＞0，且φ(0)-φ’(0)=1，則x’’(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)隱函數(shù)求導(dǎo)問題，只要注意到方程表達(dá)式中積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與方程中各個(gè)變量的含義，不要弄混淆就行了．方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得cost-φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，所以進(jìn)一步當(dāng)t=0時(shí)，由已知方程得，因?yàn)棣?u)＞0，所以x(0)=0．從而x’(0)=2，x’’(0)=-3．19、由曲線y=e2x與該曲線過原點(diǎn)的切線及x軸所圍成的平面圖形的面積為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖36所示，要求平面圖形的面積，應(yīng)先求切線方程．設(shè)切點(diǎn)為A(x0，e2x0)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有于是x0=，從而切線方程為y-e=即y=2ex．所以所求平面圖形的面積為20、空間曲線т：的參數(shù)方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將y=z代入到方程x2+y2+z2=9中，得x2+2y2=9，即令x=3cosθ，y=，則空間曲線г的參數(shù)方程為21、函數(shù)z=x2+y3-3xy的極小值為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二元函數(shù)z=f(x，y)的極值問題．首先求出二元函數(shù)的駐點(diǎn)，在每一個(gè)駐點(diǎn)處，用極值的充分條件判斷駐點(diǎn)是否是極(大、小)值點(diǎn)．令解得駐點(diǎn)為(0，0)，(1，1)．在駐點(diǎn)(0，0)處，，B2-AC-9＞0，故駐點(diǎn)(0，0)不是極值點(diǎn)．在駐點(diǎn)(1，1)處，，B2-AC=-27＜0，而A=6＞0，故駐點(diǎn)(1，1)是極小值點(diǎn)，極小值為z(1，1)=-1．22、設(shè)f(x，y)=其中D={(x，y)｜x2+y2≥2x}，則f(x，y)dxdy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D是圓x2+y2=2x之外的無界區(qū)域，但是在區(qū)域D1={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x}之外，被積函數(shù)f(x，y)=0，所以二重積分的有效積分區(qū)域應(yīng)是D與D1相交部分，設(shè)其為D2，如圖51所示，則D2={(x，y}｜1≤x≤，≤y≤x}這是一個(gè)X型區(qū)域，于是23、均勻曲面的質(zhì)心的豎坐標(biāo)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查曲面的質(zhì)心坐標(biāo)公式與第一類曲面積分的計(jì)算．由曲面的質(zhì)心坐標(biāo)公式知，所求曲面質(zhì)心的豎坐標(biāo)為24、已知fn(x)滿足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n為正整數(shù))，且fn(1)=，則級(jí)數(shù)fn(x)的和為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-exln(1-x)，x∈[-1，1)知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查一階微分方程的解與冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．首先求一階微分方程的解．由已知條件知fn(x)滿足的微分方程可寫成這是一階線性微分方程的初值問題，可以用一階線性微分方程的通解公式求其通解，也可以用下面簡(jiǎn)便方法：將方程兩邊乘以e-x，得f’n(x)e-x-e-xfn(x)=xn-1，于是[fn(x)e-x]’=xn-1，等式兩邊積分，得fn(x)e-x=∫xn-1dx，即fn(x)ex=xn+C，fn(x)=ex由fn(1)=，得C=0．故fn(x)=xnex．其次求級(jí)數(shù)fn(x)的和．令s(x)=，則等式兩邊從0到x積分，得即s(x)=-ln(1-x)，x∈(-1，1)．因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，s(x)=-ln(1-x)連續(xù)，而收斂，所以25、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件，則f(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3e3x-2e2x知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)是連續(xù)函數(shù)，所以積分上限函數(shù)+e2x知f(x)可導(dǎo)．將已知方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得f’(x)=3f(x)+2e2x，即f’(x)-3f(x)=2e2x，這是一個(gè)一階線性微分方程，可以利用一階線性微分方程通解公式求解，也可以用下面的簡(jiǎn)便方法求解．將方程f’(x)-3f(x)=2e2x兩邊乘以e-3x，得[f(x)e-3x]’=2e-x，等式兩邊積分，得f(x)e-3x=-2e-x+C，所以f(x)=Ce3x-2e2x，在已知等式中，取x=0，得f(0)=1，代入上式得C=3，于是f(x)=3e3x-2e2x．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)，g(x)在x=x0均不連續(xù)，則在x=x0處A、f(x)+g(x)，f(x)．g(x)均不連續(xù)．B、f(x)+g(x)不連續(xù)，f(x)g(x)的連續(xù)性不確定．C、f(x)+g(x)的連續(xù)性不確定，f(x)g(x)不連續(xù)．D、f(x)+g(x)，f(x)g(x)的連續(xù)性均不確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如：f(x)=在x=0均不連續(xù)，但f(x)+g(x)=1，f(x)．g(x)=0在x=0均連續(xù)．又如：f(x)=在x=0均不連續(xù)，而f(x)+g(x)=在x=0均不連續(xù)．因此選(D)．2、設(shè)有多項(xiàng)式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又設(shè)x=x0是它的最大實(shí)根，則P’(x0)滿足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：注意P(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，又P(x)=+∞x＞x0時(shí)P(x)＞0選(D)．3、下列函數(shù)中在[－1，2]上定積分不存在的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然，(A)，(B)，(C)中的f(x)在[－1，2]均有界，至多有一個(gè)或兩個(gè)間斷點(diǎn)，因而f(x)在[－1，2]均可積，即ヨ∫－12f(x)dx．選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，(2／3)x＜1，于是有5、∫01xarcsinxdx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識(shí)點(diǎn)解析：其中∫01dx是1／4單位圓的面積即π／4．6、數(shù)列1，…的最大項(xiàng)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：31／3知識(shí)點(diǎn)解析：考察函數(shù)f(x)=x1／x(x≥1)，求f(x)在[1，+∞)上的最大值．由f(x)在[1，e]單調(diào)上升，在[e，+∞)單調(diào)下降，f(x)=x1／x在x=e取最大值，它的相鄰兩點(diǎn)是x=2，3．現(xiàn)比較f(2)=21／2=81／6＜f(3)=31／3=91／6，因此，最大項(xiàng)是：31／3．7、函數(shù)z=1－(x2+2y2)在點(diǎn)M0()處沿曲線C：x2+2y2=1在該點(diǎn)的內(nèi)法線方向n的方向?qū)?shù)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：M0在曲線C上，C在M0點(diǎn)的內(nèi)法線方向n=－grad(x2+2y2－1)=－(2x，4y)單位內(nèi)法向以n0=n／|n|=按方向?qū)?shù)計(jì)算公式8、I=|xy|dxdy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1╱6知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域如圖9．2所示，由對(duì)稱性與奇偶性其中D0：0≤y≤1－x，0≤x≤1．于是I=4∫01dx∫01－xxydy=4∫011／2x(1－x)2dx=－2／3∫01xd(1－x)3=2／3∫01(1－x)3dx=2／3[－1／4(1－x)4|01]=1／6．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)求下列極限：9、(a，b，c為正的常數(shù))標(biāo)準(zhǔn)答案：屬1∞型極限．原極限=eA，而因此，原極限=(aabbcc)1／(a+b+c)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：被積函數(shù)中含有參數(shù)x，把因子提到積分號(hào)外后，易見所求極限為“∞／∞”型未定式．應(yīng)當(dāng)想到洛必達(dá)法則，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=asint(|t|＜π／2)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、過曲線y=x2(x≥0)上某點(diǎn)A作一切線，使之與曲線及x軸圍成圖形面積為1／12，求：(Ⅰ)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(Ⅱ)過切點(diǎn)A的切線方程；(Ⅲ)由上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．9．(I)設(shè)點(diǎn)A(x0，x02)，點(diǎn)A處的切線方程y=x02+2x0(x－x0)，即y=2x0x－x02．令y=0截距x=x0／2．按題意解得x0=1A(1，1)．(II)過A點(diǎn)的切線y=2x－1．(Ⅲ)旋轉(zhuǎn)體體積V=π∫01(x2)2dx－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、證明∫0πdx=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：使用和差化積公式．由于sin2nx=sin2x－sin2x+sin4x－sin4x+…+sin(2n－2)x－sin(2n－2)x+sin2nx=sin2x+2cos3xsinx+2cos5xsinx+…+2cos(2n－3)xsinx+2cos(2n－1)xsinx，所以I=2∫0π[cosx+cos3x+cos5x+…+cos(2n－1)x]dx=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[0，1]可導(dǎo)且f(1)=2∫01／2f(x)dx，求證：ヨξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)，則F(x)在[0，1]可導(dǎo)，且F(1)=e－1f(1)=2e－1∫01／2f(η)=F(η)，η∈[0，1／2]．因此，由羅爾定理，ヨξ∈(0，η)(0，1)，使得即f’(ξ)=2ξf(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[0，b]可導(dǎo)，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，問t取何值時(shí)，圖中陰影部分的面積最大?最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：由于S(t)=∫0t[f(t)－f(x)]dx+∫tb[f(x)－f(t)]dx=tf(t)－∫0tf(x)dx+∫tbf(x)dx+(t－b)f(t)在[0，b]可導(dǎo)，且S’(t)=tf’(t)+f(t)－f(t)－f(t)+f(t)+(t－b)f’(t)則S(t)在[0，b／2]“↘”，在[b／2，b]“”，因此t=b／2時(shí)，S(t)取最小值．S(0)=∫0bf(x)dx－bf(0)，S(b)=bf(b)－∫0bf(x)dx，S(b)－S(0)不能肯定．即t取何值時(shí)S(t)最大不能確定，但只能在t=0或t=b處取得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求下列函數(shù)的帶皮亞諾余項(xiàng)至括號(hào)內(nèi)所示階數(shù)的麥克勞林公式：16、f(x)=excosx(x3)；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=excosxf’(x)=ex(cosx－sinx)，f"(x)=－2sinxex，f"’(x)=－2ex(sinx+cosx)f(0)=1，f’(0)=1，f"(0)=0，f"’(0)=－2因此f(x)=f(0)+f’(0)x+f"(0)x2+f"’(0)x3+o(x3)=1+x－x3+o(x3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、f(x)=(x3)；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=1／3[1－x+x2－x3－(1+2x+(2x)2+(2x)3)+o(x3)]=1／3(－3x－3x2－9x3)+o(x3)=－x－x2－3x3+o(x3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、f(x)=其中a＞0(x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析確定下列無窮小量當(dāng)x→0時(shí)關(guān)于x的階數(shù)：19、f(x)=ex－1－x－xsinnx；標(biāo)準(zhǔn)答案：用待定階數(shù)法(洛必達(dá)法則)確定無窮小的階。確定n使得下面的極限ヨ而不為零：ex－1－x－xsinx是x的3階無窮?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、f(x)=(1+)cosx－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：用待定階數(shù)法(洛必達(dá)法則)確定無窮小的階．確定n使得下面的極限ヨ且不為零因此，cosx+cosx－1是x的4階無窮小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)，g(x)在x=x0某鄰域有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，曲線y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求證：曲線y=f(x)和y=g(c)在點(diǎn)(x0，y0)處相交、相切且有相同曲率的充要條件是：f(x)－g(x)=o((x－x0)2)(x→x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：相交與相切即f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)．若又有曲率相同，即亦即|f"(x0)|=|g"(x0)|．由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及相同的凹凸性得，或f"(x0)=g"(x0)=0或f"(x0)與g"(x0)同號(hào)，于是f"(x0)=g"(x0)．因此，在所設(shè)條件下，曲線y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)處相交、相切且有相同曲率(x0)－g(x0)=0，f’(x0)－g’(x0)=0，f"(x0)－g"(x0)=0．f(x)－g(x)=f(x0)－g(x0)+[f(x)－g(x)]’(x－x0)+[f(x)－g(x)]"(x－x0)2+o(x－x0)2=o((x－x0)2)(x→x0)．即當(dāng)x→x0時(shí)f(x)－g(x)是比(x－x0)2高階的無窮?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二階線性常系數(shù)非齊次方程的三個(gè)特解，試求其通解及該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：易求得該微分方程相應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)特解y1*－y3*=e－x，y2*－y3*=2e－x－e2x．進(jìn)一步又可得該齊次方程的兩個(gè)特解是y1=e－x，y2=2(y1*－y3*)－(y2*－y3*)=e2x，它們是線性無關(guān)的．為簡(jiǎn)單起見，我們又可得該非齊次方程的另一個(gè)特解y4*=y1*－y2=xex．因此該非齊次方程的通解是y=C1e－x+C2e2x+xex，其中C1，C2為任意常數(shù)．由通解結(jié)構(gòu)易知，該非齊次方程是：二階線性常系數(shù)方程y"+py’+gy=f(x)．它的相應(yīng)特征根是λ1=－1，λ2=2，于是特征方程是(λ+1)(λ－2)=0，即λ2－λ－2=0．因此方程為y"－y’－2y=f(x)．再將特解y4*=xex代入得(x+2)ex－(x+1)ex－2xex=f(x)，即f(x)=(1－2x)ex因此方程為y"－y’－2y=(1－2x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求直線L：=y／2=z／3繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：記所得旋轉(zhuǎn)面為∑，取點(diǎn)M(x，y，z)∈∑，它是直線L上某點(diǎn)(x0，y0，z0)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得，于是x0，y0，z0滿足x0=2，y0=2／3x0，代入得x2+y2=4+z2．①反之，若(x，y，z)滿足①，則它必是L上的點(diǎn)(2，2／3z，z)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得．因此，∑的方程是x2+y2=4+z2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、作自變量與因變量變換：u=x+y，v=x－y，w=xy－z，變換方程為w關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)滿足的方程，其中z對(duì)x，y有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于z=xy－w，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求曲面積分I=(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S為x+y+z=π在第一卦限部分，取上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面S的單位法向量n=(cosα，cosβ，cosγ)=(1，1，1)，由第一、二類曲面積分的關(guān)系，可得下面求I2．投影到xy平面上化為二重積分．S的投影區(qū)域?yàn)镈xy，如圖9．26，則有I2=[cosy．(－z’x)+cos(π－(x+y))．(－z’y)+cosx]dxdy其中由z=π－(x+y)得z’x=－1，z’y=－1．由于Dxy關(guān)于y=x對(duì)稱，則有于是cosxdxdy=∫0πdy∫0π－ycosxdx=∫0πsinx|0π－ydy=∫0πsinydy=2，cos(x+y)dxdy=∫0πdx∫0π－xcos(x+y)dy=∫0πsin(x+y)|0π－xdx=－∫0πsinxdx=－2．因此I2=2×2－(－2)=6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)有平面光滑曲線l：x=x(t)，y=y(t)，z=0，t∈[α，β]，以及空間光滑曲線L：x=x(t)，y=y(t)，z=f(x(t)，y(t))，t∈[α，β]，t=α，t=β分別是起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)．26、試說明l，L及曲面S：z=f(x，y)的關(guān)系；標(biāo)準(zhǔn)答案：l是L在xy平面上的投影曲線，定向相同．以l為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面與曲面S相交得曲線L．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、若P，Q，R連續(xù)，f(x，y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求證：∫LP(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz=∫l[P(x，yf(x，y))+R(x，y，f(x，y))]+[Q(x，y，f(x，y))+R(x，y，f(x，y))]dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：按線積分化定積分公式得∫LP(x，y，z)dx=∫αβP(x(t)，y(t)，f(x(t)，y(t)))x’(t)dt=∫lP(x，y，f(x，y))dx．∫LP(x，y，z)dy=∫αβQ(x(t)，y(t)，f(x(t)，y(t)))y’(t)dt=∫lQ(x，y，f(x，y))dy．∫LP(x，y，z)dz三式相加即得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求向量的散度與旋度已知層=q／r3r，其中r={x，y，z}，r=|r|，q為常數(shù)，求divE與rotE．標(biāo)準(zhǔn)答案：E=q／r3{x，y，z}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、將函數(shù)f(x)=sin(x+a)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域.標(biāo)準(zhǔn)答案：sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina．由sinx與cosx的展開式得其中m=0，1，2，3，…因此sin(x+a)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在(a，b)上可導(dǎo)，考慮下列敘述：①若f(x)＞g(x)，則f’(x)＞g’(x)；②若f’(x)＞g’(x)，則f(x)＞g(x)．則()A、①，②都正確B、①，②都不正確C、①正確，但②不正確D、②正確，但①不正確標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：考慮f(x)=e－x與g(x)=－e－x，顯然f(x)＞g(x)，但f’(x)=－e－x，g’(x)=e－x，f’(x)＜g’(x)，①不正確．將f(x)與g(x)交換可說明②不正確．2、已知a≠0，b≠0，c≠0，且a，b，c互相垂直，則向量r=xa+yb+zc的模為()A、｜r｜=x｜av+y｜b｜+z｜c(diǎn)｜B、｜r｜=｜xa｜+｜yb｜+｜zc｜C、｜r｜=(x2+y2+z2)1／2D、｜r｜=(x2｜a｜2+y2｜b｜2+z2｜c(diǎn)｜2)1／2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：｜r｜2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc)=x2｜a｜2+y2｜b｜2+z2｜c(diǎn)｜2，所以應(yīng)選D．3、設(shè)有直線L1：則L1與L2的夾角為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：L1的方向向量s1=(1，－2，1)，L2的方向向量S2==－i－j+2k，所以L1與L2之間夾角θ的余弦4、設(shè)曲線L是區(qū)域D的正向邊界，那么D的面積為()A、∮Lxdy－ydxB、∮Lxdy+ydxC、∮Lxdy－ydxD、∮Lxdy+ydx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查用第二型曲線積分求平面面積，是一種比較新穎的提法，但是內(nèi)容是經(jīng)典的，主要看考生能否抓住數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系．①令P=－y，Q=x，則由格林公式得②令p=－y，Q=0，則由格林公式得③令P=0，Q=x，則由格林公式得由上述三個(gè)面積的表達(dá)式知，答案選A．5、對(duì)于級(jí)數(shù)(－1)n－1un，其中un＞0(n=1，2，3，…)，則下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因｜(－1)n－1un｜=｜un｜J=un，由絕對(duì)收斂，命題B正確．命題A錯(cuò)誤：如6、微分方程的通解(其中C為任意常數(shù))是A、2e3x+3ey2=CB、2e3x+3e－y2=CC、2e3x－3e－y2=CD、e3x－e－y22=C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程寫成yy’+ey2+3x=0，分離變量有ye－y2dy+e3xdx=0，積分得2e3x－3e－y2=C，其中C為任意常數(shù)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設(shè)則y’｜x=0=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)則∫－20f(x+1)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：作定積分換元x+1=t，原積分=∫－11f(t)dt=∫－10(t+1)dt+∫01t2dt=9、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)z=esinxy，則dz=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知識(shí)點(diǎn)解析：由于zx’=esinxycosxy，zy’=esinxycosxy.x，所以dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．11、設(shè)y(x)是微分方程y’’+(x+1)y’+x2y=ex的滿足y(0)=0，y’(0)=1的解，并設(shè)存在且不為零，則正整數(shù)k=______，該極限值=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由y(0)=0知，所求極限為型．由初始條件y’(0)=1，若k=1，則上述極限為0，不符，故k≥2．但y’’(0)=[ex－(x+1)y’－x2y]｜x=0=0，若k=2，則上式極限為0，不符．故k≥3．但y’’(0)=[(ex－(x+1)y’－x2y)’]｜x=0=[ex－y’－(x+1)y’’－2xy－x2y’]｜x=0=0，若k=3，則上式極限為0，不符，故k≥4．又y(4)(0)=[ex－y’’－y’’－(x+1)y’’’－2y－4xy’－x2y’’]｜x=0=1，故知當(dāng)k=4時(shí)，12、設(shè)x＞0，微分方程的特解是y=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：此為齊次方程．令y=ux，原方程化為分離變量，積分得arcsinu=lnx+C，即y=xsin(lnx+C)．再由三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：分子分母同乘e－x，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)，證明：存在常數(shù)A，B，使得當(dāng)x→0+時(shí)，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常數(shù)A，B．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)y=f(Inx)ef(x)，其中f可微，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：=[f(lnx)]’.ef(x)+／f(lnx).[ef(x)]’=f’(lnx)..ef(x)+f(lnx).ef(x).f’(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)滿足求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得原等式中x換成，得②式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得③×2－①得，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．證明：(1)在(a，b)內(nèi)，g(x)≠0；(2)在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)反證法．設(shè)存在一點(diǎn)c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上兩次運(yùn)用羅爾定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)．對(duì)g’(x)在[ξ1，ξ2]上運(yùn)用羅爾定理，可得g’’(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)．與已知g’’(x)≠0矛盾，故g(c)≠0．(2)F(x)=f(x)g’(x)－f’(x)g(x)，F(xiàn)(a)=0，F(xiàn)(b)=0，在[a，b]上運(yùn)用羅爾定理，故存在ξ∈(a，b)，使知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為(1+sinx)lnx求∫xf’(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∫xf’(x)dx=xf(x)－∫f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，因此f(x)=[(1+sinx)lnx]’=且∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、(1)若試證：f’(0)=0；(2)若f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)=∫0xf(t)dt，試證：f(x)≡0(－∞)＜x＜+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)?2)由f(x)=∫0xf(x)dt可知f’(x)=f(x)，其通解為f(x)=cex，又f(0)=0，得C=0，故f(x)≡0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、f(x)在[0，1]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)在[0，1]上連續(xù)，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，設(shè)為m，M，即存在x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M．由積分中值定理，對(duì)任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使∫0xf’(x)dx=f’(η)x，即f(x)=f(x)－f(0)=f’(η)x，于是有f’(x1)x=Mx≤f(x)=f(x)－f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x，兩邊在[0，1]上積分得f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx，即f’(x1)≤∫01f(x)dx≤f’(x2)，即f’(x1)≤2∫01f(x)dx≤f’(x2)．因?yàn)閒’(x)在[0，1]上連續(xù)，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2][0，1]，或ξ∈[x2，x1][0，1]，使f’(ξ)=2∫0xf(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)在平面區(qū)域D上數(shù)量場(chǎng)u(x，y)=50－x2－4y2，試問在點(diǎn)P0(1，一2)∈D處沿什么方向時(shí)u(x，y)升高最快，并求一條路徑，使從點(diǎn)P0(1，一2)處出發(fā)沿這條路徑u(x，y)升高最快．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉较驅(qū)?shù)沿其梯度方向取得最大值，則考慮gradu｜(1，－2)==(－2xi－8yj)｜(1，－2)=－2i+16j，故u(x，y)在點(diǎn)P0(1，－2)處沿gradu｜(1，－2)=－2i+16j方向升高最快．設(shè)所求的路徑為y=y(x)，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的切向量τ=(dx)i+(dy)j，由題意知，它應(yīng)與它的梯度方向gradu=－2xi－8yj一致，則有求解此微分方程初值問題可知，沿著y=－2x4出發(fā)時(shí)u(x，y)升高最快．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z=z(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x+y，x－y)滿足微分方程(1)求z=z(u，v)所滿足關(guān)于u，v的微分方程；(2)由(1)求出z=z(x+y，x－y)的一般表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)u=x+y，v=x=y，得所以原式經(jīng)變換后成為(2)由(1)可知=+C1(v)u+C2(v)=(x+y)2+C1(x－y).(x+y)+C2(x－y)，其中C1(v)與C2(v)為v的具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算ln(1+x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求下列曲面所圍成的立體體積：(1)z=1－x2－y2，z=0；(2)z=(x2+y2)，x2+y2=8x，z=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)V==∫02πdθ∫01(1－r2)rdr=2π∫01(r－r3)dr=(2)投影區(qū)域D={(x，y)｜(x－4)2+y2≤42}，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算I=∫L+ydx+zdy+xdz，其中L+為曲線其方向從y軸正向往負(fù)向看去為逆時(shí)針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x+y+z=1在球的內(nèi)部的區(qū)域?yàn)镾，法向量取向上．由斯托克斯公式有：易知S指定側(cè)的單位法向量為其中α，β，γ為n的方向角．由第一、二型曲面積分的聯(lián)系，得∫L+ydx+zdy+xdz=其中｜S｜為圓S的面積．易知S的半徑知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)a與b都是常數(shù)且b＞a＞0．(1)試寫出yOz平面上的圓(y－b)2+z2=a2繞Oz軸一圈生成的環(huán)面S的方程；(2)S所圍成的實(shí)心環(huán)的空間區(qū)域?yàn)棣?，?jì)算三重積分(x+y)2dv．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用替代(y－b)2+z2=a2中的y，便得S的直角坐標(biāo)方程(2)用柱面坐標(biāo)，按先z再r后θ的次序，=∫02πdθ∫b－ab+adr∫z1z2r3(cosθ+sinθ)2dz，其中∫02π(cosθ+sinθ)2dθ=∫02π(1+2cosθsinθ)dθ=2π，作積分變量替換t=r－b，得再令t=asinu，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、已知fn(x)滿足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n為正整數(shù))，且求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知，函數(shù)fn(x)滿足一階線性非齊次微分方程fn’(x)－fn(x)=xn－1ex，其通解為由條件記容易求出其收斂域?yàn)閇－1，1)，且S(0)=0，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，求導(dǎo)得于是得S(x)=S(0)+∫0xS’(t)dt==－ln(1－x)由S(x)=－1n(1－x)在x=－1處的連續(xù)性知，上述和函數(shù)在x=－1處也成立．于是，當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，有fn(x)=exS(x)=－exln(1－x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求微分方程y’cosy=(1+cosxsiny)siny的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：作適當(dāng)代換z=siny便可化為伯努利方程．令z=siny，則代入原方程，得伯努利方程兩邊同除以z2得代入上面的方程，得解此一階非齊次線性微分方程，得u=e－∫dx(－∫cosx.e∫dxdx+C)=(cosx+sinx)+C1e－x，回代即得原方程通解其中C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設(shè)z＝f(x，y)滿足＝2x，f(x．1)＝0，＝sinx，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2xy＋φ(x)，(x)為x的任意函數(shù)f(x，y)＝xy2＋φ(x)y＋ψ(x)，ψ(x)也是x的任意函數(shù)．由＝sinx，得[2xy＋φ(x)]｜y＝0＝sinx，則φ(x)＝sinx．由f(x，1)＝0，得[xy2＋φ(x)y＋ψ(x)]｜y＝1＝x＋sinx＋ψ(x)＝0，則ψ(x)＝一x一sinx．因此，f(x，y)＝xy2＋ysinx一x一sinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)u＝u(x，y)由方程u＝φ(u)＋P(t)dt確定，其中φ可微，P連續(xù)，且φ’(u)≠1，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程對(duì)x求導(dǎo)將原方程對(duì)y求導(dǎo)考由①×P(y)＋②×P(x)得由于φ’(u)≠1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)u(x，y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，滿足，又滿足下列條件：u(x，2x)＝x，u’x(x，2x)＝x2(即u’x(x，y)｜y＝2x＝x2)，求u’’xx(x，2x)，u’’xy(x，2x)，u’’yy(x，2x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u(x，2x)＝x兩邊對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及ux’(x，2x)＝x2得ux’(x，2x)＋2uy’(x，2x)＝1，uy’(x，2x)＝(1一x2)．現(xiàn)將ux’(x，2x)＝x2，uy’2＝1(1一x2)分別對(duì)x求導(dǎo)得uxx’’(x，2x)＋2uxy’’(x，2x)＝2x，uyx’’(x，2x)＋2uyy’’(x，2x)＝一x．①①式×2一②式，利用條件uxx’’(x，2x)一uyy’’(x，2x)＝0及uxy’’(x，2x)＝uyx’’(x，2x)得②3uxy’’(x，2x)＝5x，uxy’’(x，2x)＝．代入①式得uxx’’(x，2x)＝uyy’’(x，2x)＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)z＝f(xy)＋yφ(x＋y)，且f，φ具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求．由于f(xy)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u＝xy的復(fù)合，u是中間變量，φ(x＋y)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v＝x＋y的復(fù)合，v是中間變量．由題設(shè)知方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)，求du及．標(biāo)準(zhǔn)答案：u是u＝f(s，t)與復(fù)合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du．由一階全微分形式不變性及全微分四則運(yùn)算法則，得進(jìn)一步由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、已知函數(shù)f(x，y，z)＝x3y2z及方程x＋y＋z—3＋e—3＝e—(x＋y＋z)，(*)(I)如果x＝x(y，z)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿足x(1，1)＝1，又u＝fx(y，z)，y，z)，求(Ⅱ)如果z＝z(x，y)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿足z(1，1)＝1，又w＝f(x，y，z(x，y))，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)依題意，為f[x(y，z)，y，z]對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，故有①因?yàn)轭}設(shè)方程(*)確定x為y，z的隱函數(shù)，所以在(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)將z看成常量，從而有由此可得＝一1．代入①式，得(Ⅱ)同(I)一樣，求得在題設(shè)方程(*)中將x看成常量，對(duì)y求導(dǎo)，可得＝一1，故有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)z＝f(x，y，u)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x，y)由方程u5—5xy＋5u＝1確定．求標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程u5—5xy＋5u＝1兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得5u4ux’一5y＋5ux’＝0，解得，故在上式對(duì)x求導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)注意其中的f1’，f3’仍是x，y，u的函數(shù)，而u又是x，y的函數(shù)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)y＝f(x，t)，且方程F(x，y，t)＝0確定了函數(shù)t＝t(x，y)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y＝f(x，t)知②由F(x，y，t)＝0知，將dt的表達(dá)式代入②式并整理可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、若可微函數(shù)z＝f(x，y)在極坐標(biāo)系下只是θ的函數(shù)，求證(r≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由z＝f(rcosθ，rsinθ)與r無關(guān)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、作自變量與因變量變換：u＝x＋y，v＝x—y，w＝xy—z，變換方程為w關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)滿足的方程，其中z對(duì)x，y有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于z＝xy—w，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)u＝u(x，y)，v＝v(x，y)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足條件：F(u，v)＝0，其中F有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程F(u，v)＝0分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得按題設(shè)，這個(gè)齊次方程有非零解，其系數(shù)行列式必為零，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)z＝f(x，y)，滿足，又，由z＝f(x，y)可解出y＝y(tǒng)(z，x)．求：(I)；(Ⅱ)y＝(z，x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)以z，x為自變量，y為因變量y＝y(tǒng)(z，x)，它滿足z＝f(x，y(z，x))．將z＝f(x，y)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得．再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得將代入上式，得利用條件得(Ⅱ)因y＝y(tǒng)(z，x)，y＝xφ(z)＋ψ(z)·知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x，y)＝2(y一x2)2一x7一y2，(I)求f(x，y)的駐點(diǎn)；(Ⅱ)求f(x，y)的全部極值點(diǎn)，并指明是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)解即駐點(diǎn)為(0，0)與(一2，8)．在(一2，8)處，，AC一B2＞0，A＞0(—2，8)為極小值點(diǎn).在(0，0)處，AC一B2＝0，該方法失效·但令x＝0f(0，y)＝y(tǒng)2這說明原點(diǎn)鄰域中y軸上的函數(shù)值比原點(diǎn)函數(shù)值大，又令y＝x2，f(x，x2)＝，這說明原點(diǎn)鄰域中拋物線y＝x2上的函數(shù)值比原點(diǎn)函數(shù)值小，所以(0，0)不是極值點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求z＝2x＋y在區(qū)域D：≤1上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，λ)＝2x＋y＋λ(x2＋一1)，解方程組由①，②得y＝2x，代入③得相應(yīng)地因?yàn)閦在D存在最大、最小值z(mì)在D的最大值為，最小值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)z＝(1＋ey)cosx一yey，證明：函數(shù)z有無窮多個(gè)極大值點(diǎn)，而無極小值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)先計(jì)算(II)求出所有的駐點(diǎn)．由解得(x，y)＝(2nπ，0)或(x，y)＝((2n＋1)π，一2)，其中n＝0，±1，±2，…(Ⅲ)判斷所有駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)．在(2nπ，0)處，由于＝(一2)×(一1)一＝2＞0，一2＜0，則(2nπ，0)是極大值點(diǎn)．在((2n＋1)π，—2)處，由于則((2n＋1)π，一2)不是極值點(diǎn)．因此函數(shù)z有無窮多極大值點(diǎn)(2nπ，0)(n＝0，±1，±2，…)，而無極小值點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(y)連續(xù)可導(dǎo)，且g(y)在y＝1處取得極值g(1)＝2．求復(fù)合函數(shù)z＝f(xg(y)，x＋y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1，1)處的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：計(jì)算可得將x＝1與y＝1代入并利用g(1)＝2，g’(1)＝0即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(a，b)的某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f’y(a，b)≠0，證明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某鄰域所確定的隱函數(shù)y＝φ(x)在x＝a處取得極值＝φ(a)的必要條件是：f(a，b)＝0，f’x(a，b)＝0，且當(dāng)r(a，b)＞0時(shí)，b＝φ(a)是極大值；當(dāng)r(a，b)<0時(shí)，b＝φ(a)是極小值．其中標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝φ(x)在x＝a處取得極值的必要條件是φ’(a)＝0．按隱函數(shù)求導(dǎo)法，φ’(x)滿足f’x(x，φ(x))＋f’y(x，φ(x))φ’(x)＝0．(*)因b＝φ(a)，則有f(a，b)＝0，φ’(a)＝于是fx’(a，b)＝0．將(*)式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f’’xx(x，φ(x))＋f’’xy(x，φ(x))φ’(x)＋[f’y(x，φ(x))]φ’(x)＋f’y(x，φ(x))φ’’(x)＝0，上式中令x＝a，φ(x)＝b，φ’(a)＝0，得因此當(dāng)時(shí)，φ’’(a)＜0，故b＝φ(a)是極大值；當(dāng)時(shí)，φ’’(a)＞0，故b＝φ(a)是極小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、建一容積為V0的無蓋長(zhǎng)方體水池，問其長(zhǎng)、寬、高為何值時(shí)有最小的表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：化為無條件最值問題．由條件解出，代入S表達(dá)式得S＝xy＋＝xy＋2V0(x＞0，y＞0)解得x＝y(tǒng)＝因該實(shí)際問題存在最小值，所以當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別為時(shí)無蓋長(zhǎng)方體水池的表面積最小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知三角形的周長(zhǎng)為2p，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一立體，求使立體體積最大的那個(gè)三角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)旋轉(zhuǎn)邊上的高為z，分該邊長(zhǎng)為x與y，見圖8.2，于是該三角形的周長(zhǎng)為l＝x＋y＋，該旋轉(zhuǎn)體的體積V＝π(x＋y)z2．問題化成求V在條件l一2p＝0下的最大值點(diǎn)求(x＋y)z2在條件l一2p＝0下的最大值點(diǎn)求ln(x＋y)＋2lnz在條件x＋y＋—2p＝0下的最大值點(diǎn)．用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ)＝ln(x＋y)＋2lnz＋λ(x＋y＋)，解方程組由①，②x＝y(tǒng)，再由④⑤由實(shí)際問題知，最大體積一定存在，以上又是方程組的唯一解，因而三角形的三邊長(zhǎng)分別為，旋轉(zhuǎn)邊為時(shí)旋轉(zhuǎn)體的體積最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明條件極值點(diǎn)的必要條件(8．9)式，并說明(8．9)式的幾何意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：由所設(shè)條件，φ(x，y)＝0在x＝x0的某鄰域確定隱函數(shù)y＝y(tǒng)(x)滿足y0＝y(tǒng)(x0)，于是P0(x0，y0)是z＝f(x，y)在條件φ(x，y)＝0下的極值點(diǎn)z＝f(x，y(x))在x＝x0取極值f’x(x0，y0)＋f’y(x0，y0)y’(x0)＝0①又由φ(x，y(x))＝0，兩邊求導(dǎo)得φ’x(x0，y0)＋φ’y(x0，y0))＝0，解得y’(x2)＝一φ’x(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．②將②式代入①式得f’x(x0，y0)—f’y(x0，y0)φ’(x0，y0)／φ’y(x0，yn)＝0．因此在Oxy平面上看，φ(x，y)＝0是一條曲線，它在P0(x0，y0)的法向量是(φ’x(P0)，φ’y(P0))，而f(x，y)＝f(x0，y0)是一條等高線，它在P0的法向量是(f’x(P0)，f’y(P0))，(8．9)式表示這兩個(gè)法向量平行，于是曲線φ(x，y)＝0與等高線f(x，y)＝f(P0)在點(diǎn)P0處相切．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求函數(shù)u＝xy＋yz＋zx在M0(2，l，3)處沿與各坐標(biāo)軸成等角方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求出所設(shè)方向的方向余弦．設(shè)所求方向與各坐標(biāo)軸的夾角為α，由方向余弦的性質(zhì)得cos2α＋cos2α＋cos2α＝1cosα＝±．均與各坐標(biāo)軸成等角．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求橢球面S：x2＋y2＋z2一yz一1＝0上具有下列性質(zhì)的點(diǎn)(x，y，z)的軌跡：過(x，y，z)的切平面與Oxy平面垂直．標(biāo)準(zhǔn)答案：橢球面S上點(diǎn)x，y，z)處的法向量n＝{2x，2y一z，2z—y}．點(diǎn)(x，y，z)處切平面上Oxy平面，則n·k＝0，即2z—y＝0．又(x，y，z)在S上x2＋y2＋z2一yz一1＝0．因此所求點(diǎn)的軌跡：．它是圓柱面x2＋＝1與平面2x一y＝0的交線．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、過球面x2＋y2＋z2＝169上點(diǎn)M(3，4，12)分別作垂直于x軸與y軸的平面，求過這兩平面與球面的截線的公共點(diǎn)的兩截線的切線方程，并求通過這兩條切線的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過M點(diǎn)分別與x、y軸垂直的平面是z＝3與y＝4，與球面的截線它們的交點(diǎn)是M1(3，4，12)，M2(3，4，一12)．г1在M1的切向量＝{0，24，一8}＝8{0，3，一1}，г2在M1的切向量＝{一24，0，6}＝6{一4，0，1}．г1，г2在M1點(diǎn)的切線方程分別為過這兩條切線的平面方程是，即3(x一3)＋4(y一4)＋12(z—12)＝0．又г2在M2的切向量＝{0，一24，一8}＝8{0，一3，一1}，г2在M2的切向量＝{24，0，6}＝6{4，0，1}，г1，г2在M2點(diǎn)的切線方程分別為過兩條切線的平面方程是，即3(x一3)＋4(y一4)一12(z＋12)＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)a，b，c＞0，在橢球面的第一卦限部分求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：先寫出橢球面上點(diǎn)(x，y，z)處的切半面方程，然后求出它在三條坐標(biāo)軸上的截距，由此可寫出四面體的體積表達(dá)式V(x，y，z)．問題化為求V(x，y，z)在條件下的最小值點(diǎn)．將橢球面方程改寫成G(x，y，z)橢球面第一卦限部分上點(diǎn)(x，y，z)處的切平面方程是其中（X．Y．Z)為切平面上任意點(diǎn)的坐標(biāo)．分別令Y＝Z＝0，Z＝X＝0，X＝Y(jié)＝0，得該切平面與三條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為四面體的體積為V(x，y，z)＝為了簡(jiǎn)化計(jì)算，問題轉(zhuǎn)化成求V0＝xyz(x＞0，y＞0，z＞0)在條件下的最大值點(diǎn)．令F(x，y，z，λ)＝xyz＋，求解方程組因?qū)嶋H問題存在最小值，因此橢球面上點(diǎn)(x，y，z)＝處相應(yīng)的四面體的體積最小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)D是有界閉區(qū)域，下列命題中錯(cuò)誤的是A、若f(x，y)在D連續(xù)，對(duì)D的任何子區(qū)域D0均有f(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可積，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D連續(xù)，f2(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D連續(xù)，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：直接指出其中某命題不正確．因?yàn)楦淖冇邢迋€(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不改變函數(shù)的可積性及相應(yīng)的積分值，因此命題(B)不正確．設(shè)(x0，y0)是D中某點(diǎn)，令f(x，y)=則在區(qū)域D上f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此選B．或直接證明其中三個(gè)是正確的．命題(A)是正確的．用反證法、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及二重積分的不等式性質(zhì)可得證．若f(x，y)在D不恒為零→(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨設(shè)f(x0，y0)＞0，由連續(xù)性→有界閉區(qū)域D0D，且當(dāng)(x，y)∈D0時(shí)f(x，y)＞0→f(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命題(D)是正確的．利用有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)達(dá)到最小值及重積分的不等式性質(zhì)可得證．這是因?yàn)閒(x，y)≥(x，y)=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某點(diǎn)．于是由二重積分的不等式性質(zhì)得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面積．命題(C)是正確的．若f(x，y)≠0→在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假設(shè)f2(x，y)在D連續(xù)→f2(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此選B．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)2、設(shè)L為曲線常數(shù)a＞0，則I=∮L(xy+yz+zx)ds=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一πa3知識(shí)點(diǎn)解析：注意(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)，則xy+yz+zx=(x2+y2+z2)，因此I=五(xy+yz+zx)ds=(x2+y2+z2)ds．由L的方程，其中x+y+z=0，x2+y2+z2=a2，于是I=0一a2．2πa=一πa3，其中L是球面x2+y2+z2=a2與平面x+y+z=0的交線，它是半徑為a的圓周．3、設(shè)f(x，y，z)在Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}連續(xù)，又f(0，0，0)≠0，則R→0時(shí)，f(x，y，z)dV是R的____________階無窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：三知識(shí)點(diǎn)解析：本題就是確定n=?使得=A≠0．由積分中值定理知，(x0，y0，z0)∈ΩR，使得f(x，y，z)dV=f(x0，y0，z0)．πR3，則因此R→0時(shí)，f(x，y，z)dV是R的三階無窮小．4、設(shè)L為｜x｜+｜y｜=1，取逆時(shí)針方向，則曲線積分=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由于曲線L關(guān)于x軸與y軸均對(duì)稱(見圖9．29)，且被積函數(shù)P=Q=關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，則I=∫LPdx+Qdy=0．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)5、求I=dxdy，其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分段表示為｜y—x2｜=，因此要將D分塊，用分塊積分法．又D關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)，記D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)D由拋物線y=x2，y=4x2及直線y=1所圍成．用先x后y的順序?qū)=f(x，y)dxdy化成累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖9．30所示，將D分成x≥0與x≤0兩部分，用分塊積分法得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、求I=xydxdy，D由曲線x2+y2=2x+2y一1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域：(x一1)2+(y一1)2≤1，見圖9．31．作平移變換：u=x一1，v=y一1，則其中D’={(u，v)｜u2+v2≤1}．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、計(jì)算三重積分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ω是兩個(gè)球體x2+y2+z2≤4與x2+y2+z2≤4z(x2+2y+(z一2)2≤4)的公共部分，兩球面的交線是圖9．32是Ω在yz平面上的截面圖．這里適宜用球坐標(biāo)變換的情形．這時(shí)要用錐面z=(以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，通過兩球的交線)將Ω分成Ω=Ω1∪Ω2，其中Ω1={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，z≥}，Ω2={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4z，z≤}，見截面圖9．33．用球坐標(biāo)表示Ω1：0≤θ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π，Ω2：0≤ρ≤4cosφ，，0≤θ≤2π，其中球面x2+y2+z2=4z的球坐標(biāo)方程是ρ=4cosφ，錐面z=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、求I=的上側(cè)，a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：注意∑上x2+y2+z2=a2，則I=xdydz．∑在xy平面上的投影區(qū)域Dxy，x2+y2≤a2，且，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、(Ⅰ)設(shè)S為球面x2+y2+z2=9，取外側(cè)，則zdxdy=____________；(Ⅱ)設(shè)D為平面區(qū)域：x2+y2≤4，則=____________；(Ⅲ)設(shè)Ω是球體：(x一a)2+(y一b)2+(z一c)2≤R2，則(x+y+z)dV=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：36π；π．22×2一π；πR3(a+b+c)知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)5圍成的球體為Ω，則由高斯公式得π．33=36π．(球體的體積)(Ⅱ)由二重積分的幾何意義知=柱體的體積一錐體的體積=π．22×2一π．(Ⅲ)由球的質(zhì)心公式知11、求I=(x2一y2)dydz+(y2一z2)dzdx+(z2一x2)dxdy，S是上半橢球面+z2=1(z≥0)取上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易求S在xy平面上的投影區(qū)域D：≤1，于是這里，D關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，對(duì)y也是奇函數(shù)，就有其中D1=D∩{x≥0，y≥0}．用極坐標(biāo)變換：x=rcosθ，y=rsinθ，則由對(duì)稱性(將x，y互換，同時(shí)a，b也互換，D不變)→知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、計(jì)算曲面積分x2cosγdS，其中曲面∑是球面x2+y2+z2=a2的下半部分，γ是∑向上的法向量與z軸正向的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)兩類曲面積分的關(guān)系，知x2zdxdy．又根據(jù)∑的表達(dá)式：z=一，以及γ為銳角，因此其中D為∑在xOy平面上的投影，實(shí)際上D為圓：x2+y2≤a2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)力為曲面x2+y2=az與z=2a一所圍成的空間區(qū)域(如圖9．35)，求它的體積，其中a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：用