考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷7（共258題）

考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷7（共9套）（共258題）考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設則g[f(x)]為A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析2、當x→0時，變量是A、無窮小B、無窮大C、有界的，但不是無窮小D、無界的，但不是無窮大標準答案：D知識點解析：暫無解析3、設數(shù)列xn與yn滿足則下列斷言正確的是A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散B、若xn無界，則yn必無界C、若xn有界，則yn必為無窮小D、若為無窮小，則yn必為無窮小標準答案：D知識點解析：暫無解析4、設f(x)=2x+3x一2，則當x→0時A、f(x)與x是等價無窮小B、f(x)與x是同階但非等價無窮小C、f(x)是比x較高階的無窮小D、f(x)是比x較低階的無窮小標準答案：B知識點解析：暫無解析5、設x→0時，etanx一en是與xn同階的無窮小，則n為A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：暫無解析6、設對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且則A、存在且一定等于零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標準答案：D知識點解析：暫無解析7、設函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且則常數(shù)a，b滿足A、a＜0，b＜0B、a＞0，b＞0C、a≤0，b＞0D、a≥0，b＜0標準答案：D知識點解析：暫無解析8、設f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點，則A、φ{(diào)f(x)]必有間斷點B、[φ(x)]2必有間斷點C、f[φ(x)]必有間斷點D、必有間斷點標準答案：D知識點解析：暫無解析9、設函數(shù)討論函數(shù)f(x)的間斷點，其結論為A、不存在間斷點B、存在間斷點x=1C、存在間斷點x=0D、存在間斷點x=一1標準答案：B知識點解析：暫無解析10、設則f(x)在點x=0處A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導D、可導標準答案：C知識點解析：暫無解析11、設則在點x=1處函數(shù)f(x)A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導，但導數(shù)不連續(xù)D、可導且導數(shù)連續(xù)標準答案：B知識點解析：暫無解析12、設f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導的一個充要條件是A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析13、若f(x+1)=af(x)總成立，且f’(0)=b(a，b為非零常數(shù))，則f(x)在x=1處A、不可導B、可導且f(1)=aC、可導且f’(1)=bD、可導且f’(1)=ab標準答案：D知識點解析：暫無解析14、設函數(shù)f(x)在點x=a處可導，則函數(shù)|f(x)|在點x=a處不可導的充分條件是A、f(a)=0且f’(a)=0B、f(a)=0且f’(a)≠0C、f(a)＞0且f’(a)＞0D、f(a)＜0且f’(a)＜0標準答案：B知識點解析：暫無解析15、設f(x)在(一∞，+∞)上可導，且對任意的x1和x2，當x1>x2時都有f(x1)>f(x2)，則A、對任意x，f’(x)＞0B、對任意x，f’(一x)≤0C、函數(shù)f(一x)單調(diào)增加D、函數(shù)一f(一x)單調(diào)增加標準答案：D知識點解析：暫無解析16、設f(x)的導數(shù)在x=a處連續(xù)，則A、x=a是f(x)的極小值點B、x=a是f(x)的極大值點C、(a，f(a))是曲線y=f(x)的拐點D、x=a不是f(x)的極值點，(a，f(a))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：暫無解析17、設y=f(x)滿足y"+y’一esinx=0，且f’(x0)=0，則f(x)在A、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加B、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少C、x0處取得極小值D、x0處取極大值標準答案：C知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)f(x)滿足關系式f"(x)+[f’(x)2=x且f’(0)=0，則A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：暫無解析19、曲線的漸近線有A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：暫無解析20、若則為()A、0B、6C、36D、∞標準答案：C知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)21、已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x2，則φ(x)=_____________的定義域為______________．標準答案：arcsin(1一x2)，知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、設函數(shù)f(x)=ax(a＞0，a≠1)，則標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：2知識點解析：暫無解析26、若在(一∞，+∞)上連續(xù)，則a=___________．標準答案：一2知識點解析：暫無解析27、已知f’(x0)=-1標準答案：1知識點解析：暫無解析28、設f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|sinx|)，其中f(x)連續(xù)，則f’(1)=__________．標準答案：2知識點解析：暫無解析29、設f’(1)=2，極限存在，則標準答案：一2知識點解析：暫無解析30、已知f’(x)=arctanx2，則標準答案：知識點解析：暫無解析31、設函數(shù)y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定，則標準答案：1知識點解析：暫無解析32、設其中f(x)可導且f’(0)≠0，則標準答案：3知識點解析：暫無解析33、標準答案：知識點解析：暫無解析34、設f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)，則f’(0)=_______________，f(n+1)(x)=___________．標準答案：(一1)nn!，(n一1)!知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、若函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導，且f(0)＜0，f’(x)≥k＞0，則在(0，+∞)內(nèi)f(x)A、沒有零點．B、至少有一個零點．C、只有一個零點．D、有無零點不能確定．標準答案：C知識點解析：討論函數(shù)的零點，一般要用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的介值定理．根據(jù)拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．顯然當x足夠大時f(x)＞0(事實上只需x＞－f(0)／k)，又f(0)＜0，這就表明在(0，x)內(nèi)存在f(x)的零點，又f’(x)＞0，即有f(x)單調(diào)增加，從而零點唯一，故選(C)．2、設y1(x)、y2(x)為二階變系數(shù)齊次線性方程y"+p(x)y’+q(x)y=0的兩個特解，則C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2為任意常數(shù))是該方程通解的充分條件為A、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．B、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)≠0．C、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0．D、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0．標準答案：B知識點解析：根據(jù)題目的要求y1(x)與y2(x)應該線性無關，即y1(x)／y2(x)≠λ(常數(shù))．反之，若這個比值為常數(shù)，即y1(x)=λy2(x)，那么y1’(x)=λy2’(x)，利用線性代數(shù)的知識，就有y1(x)y2’(x)－y2(x))，y1’(x)=0．所以，(B)成立時，y1(x)，y2(x)一定線性無關，應選(B)．3、設f(x，y)在(x0，y0)鄰域存在偏導數(shù)且偏導數(shù)在點(x0，y0)處不連續(xù)，則下列結論中正確的是A、f(x，y)在點(x0，y0)處可微且dB、f(x，y)在點(x0，y0)處不可微．C、f(x，y)在點(x0，y0)沿方向ヨ方向導數(shù)．D、標準答案：D知識點解析：當f(x，y)在(x0，y0)鄰域ヨ偏導數(shù)，而在(x0，y0)不連續(xù)時，不能確定f(x，y)在(x0，y0)是否可微，也不能確定它在(x0，y0)是否存在方向導數(shù)．故(A)，(B)，(C)不正確，只有(D)正確．或直接考察曲線它在點(x0，y0，f(x0，y0))處的切向量是故(D)正確．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、1+x2－當x→0時是x的_______階無窮小(填數(shù)字)．標準答案：4知識點解析：由于因此當x→0時1+x2－是x的4階無窮小．5、設y=f()且f’(x)=arctanx2，則dy／dx|x=0=_______．標準答案：3／4π知識點解析：y=f(u)，u=u|x=0=－1．6、曲線上對應點t=2處的切線方程為_______．標準答案：y=3x－7知識點解析：t=2時(x，y)=(5，8)，切線方程為y－8=3(x－5)，即y=3x－7．7、∫(lnlnx+)dx=_______.標準答案：xlnlnx+C知識點解析：原式=∫(lnlnx+x．)dx=∫lnlnxdx+xd(lnlnx)=∫d(xlnlnx)=xlnlnx+C．8、∫0+∞x7dx=_______．標準答案：3知識點解析：令x2=t，財原式=1／2∫0+∞t3e－tdt．令∫t3e－tdt=e－t(at3+bt2+dt+e)+C，兩邊求導得t3e－t=e－t[－at3+(3a－b)t2+(2b－d)t+d－e]，比較兩邊t的同次冪項的系數(shù)得a=－1，b=－3，d=－6，e=－6．于是原式=1／2．|0+∞=3．9、標準答案：知識點解析：考察部分和三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、求d／dx∫0φ(x)[φ(x)－t]f(t)dt，其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)，φ(x)為已知的可微函數(shù)．標準答案：d／dx∫0φ(x)[φ(x)－t]f(t)dt=d／dx[φ(x)∫0φ(x)f(t)dt]－[∫0φ(x)tf(t)dt]=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt+φ(x)f[φ(x)]φ’(x)－φ(x)f[φ(x)]φ’(x)=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt．知識點解析：暫無解析求下列旋轉體的體積V：11、由曲線y=x2，x=y2所圍圖形繞x軸旋轉所成旋轉體；標準答案：如圖3．2，交點(0，0)，(1，1)，則所求體積為V=∫01π[()2－(x2)2]dx=π∫01(x－x4)dx知識點解析：暫無解析12、由曲線x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)，y=0所圍圖形繞y軸旋轉的旋轉體．標準答案：如圖3．3，所求體積為V=2π∫02πayxdx=2π∫02πa(1－cost)a(t－sint)a(1－cost)dt=2πa3∫02π(1－cost)2(t－sint)dt=2πa3∫02π(1－cost)2tdt－2πa3∫－ππ(1－cost)2sintdt=2πa3∫02π(1－cost)2tdt2πa3∫－ππ[1－cos(u+π)]2(u+π)du=2πa3∫－ππ(1+cos)2udu+2π2a3∫－ππ(1+cosu)2du=4π2a3∫02π(1+cosu)2du=4π2a3∫02π(1+2cosu+cos2u)du=4π2a3(π+)=6π3a3．知識點解析：暫無解析13、設f(x)在[a，b]連續(xù)，在(a，b)可導，f(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數(shù)，求證：在(a，b)內(nèi)存在一點ξ，使得f’(ξ)＞0．標準答案：若不然x∈(a，b)，f’(x)≤0f(x)在[a，b]單調(diào)不增x∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]為常數(shù)，矛盾了．知識點解析：暫無解析求下列微分方程的通解：14、(x－2)dy=[y+2(x－2)3]dx；標準答案：原方程改寫成=2(x－2)2．(一階線性方程)積分得=(x－2)2+C．通解y=(x－2)3+C(x－2)，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析15、y2dx=(x+y2e(y－1)／y)dy；標準答案：原方程改寫成(以y為自變量，是一階線性的)通解x=，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析16、(3y－7x)dx+(7y－3x)dy=0；標準答案：原方程改寫成積分得－1／7(ln|1－u|2+ln|1+u|5)=ln|x|+C’1，通解為(x－y)2(x+y)5=C，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析17、－3xy=xy2．標準答案：這是伯努利方程．將原方程改寫成故通解為其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析18、5kg肥皂溶于300L水中后，以每分鐘10L的速度向內(nèi)注入清水，同時向外抽出混合均勻之肥皂水，問何時余下的肥皂水中只有1kg肥皂．標準答案：設t時刻水中含的肥皂量為Q(t)kg，任取[t，t+dt]，這段時間內(nèi)肥皂含量的減少量=抽出水的肥皂含量，即解此初值問題得因此，當t=T=301n5時肥皂水中只有1kg肥皂．知識點解析：暫無解析19、已知α，β，γ不共線，證明α+β+γ=0的充要條件是α×β=β×γ=γ×α．標準答案：設α+β+β=0α×β+γ×β=0α×β－β×γ=0α×β=β×γ．同理，由α+β+γ=0α×γ+β×γ=0β×γ=γ×α．設α×β=β×γ=γ×α，則(α+β+γ)×α=β×α+γ×α=0，(α+β+γ)×β=α×β+γ×β=0，(α+β+γ)×γ=α×γ+β×γ=0．α，β，γ均與α+β+γ，共線α+β+γ=0．知識點解析：暫無解析20、設u=f(x／z，y／z)，求du及標準答案：u是u=f(s，t)與s=x／z，t=y／z復合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du．由一階全微分形式不變性及全微分四則運算法則，得du=f’1d(x／z)+f’2d(y／z)知識點解析：暫無解析21、求橢球面S：x2+y2+z2－yz－1=0上具有下列性質(zhì)的點(x，y，z)的軌跡：過(x，y，z)的切平面與Oxy，平面垂直．標準答案：橢球面S上點(x，y，z)處的法向量n={2x，2y－z，2z－y}．點(x，y，z)處切平面⊥Oxy平面，則n．k=0，即2z－y=0．又(x，y，z)在S上x2+y2+z2－yz－1=0．因此所求點的軌跡：它是圓柱面x2+y2=1與平面2z－y=0的交線．知識點解析：暫無解析求下列二重積分的累次積分22、I=∫01dxsiny／ydy；標準答案：如圖9．15所示．=∫01siny／y(y－y2)dy=∫01sinydy+∫01ydcosy=－cosy|01+cos1－∫01cosydy=1－siny|01=1－sin1．知識點解析：暫無解析23、I=∫0Rdxln(1+x2+y2)dy(R＞0)．標準答案：如圖9．16所示．=π／4[R2ln(1+R2)－R2+ln(1+R2)]=π／4[(1+R2)ln(1+R2)－R2]．知識點解析：暫無解析24、標準答案：Ω：1≤z≤1+，(x，y)∈Dxy如圖9．21—(a)．它是由半球面：(z－1)2=1－x2－y2(z≥1)與平面z=1所圍成的y≥0部分．作球坐標變換．z=1對應ρ=1／cosφ，半球面對應ρ=2cosφ．Ω的球坐標表示(如圖9．21—(b))知識點解析：暫無解析25、求，其中L：x2+y2=R2的正方向．標準答案：將L表成參數(shù)方程的形式，即x=Rcosθ，y=Rsinθ(0≤θ≤2π)，于是注意到右端積分存在且為一常數(shù)，所以知識點解析：暫無解析判斷下列曲線積分在指定區(qū)域D是否與路徑無關，為什么?26、∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)，其中f(u)為連續(xù)函數(shù)，D：全平面.標準答案：f(x2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d[1／2(x2+y2)]=d[1／2(∫0uf(t)dt)]，即被積表達式f(x2+y2)(xdx+ydy)ヨ原函數(shù)，因此該線積分在全平面與路徑無關．知識點解析：暫無解析27、∫L，D={(x，y)|全平面除去－∞＜x≤0，y=0}．標準答案：如圖10．9，L=∫LPdx+Qdy，則，(x，y)∈D．D為單連通區(qū)域，因此積分在D與路徑無關．知識點解析：暫無解析28、設φ(x)在(0，+∞)有連續(xù)導數(shù)，φ(π)=1．試確定φ(x)，使積分在x＞0與路徑無關，并求當A，B分別為(1，1)，(π，π)時的積分值．標準答案：記I=Pdx+Qdy，在單連通區(qū)域D：x＞0上該積分與路徑無關兩邊乘μ(x)xφ(x)=－cosx+C．由φ(π)=1得C=π－1，因此φ(x)=下求積分值I．注意=φ’(x)，代入得=yφ(x)|(1，1)(π，π)=πφ(π)－φ(1)=π－φ(1)=1+cos1．知識點解析：暫無解析29、設f(x)是區(qū)間[－π，π]上的偶函數(shù)，且滿足f(－x)．證明：f(x)在[－π，π]上的傅里葉級數(shù)展開式中系數(shù)a2n=0，n=1，2，…．標準答案：由于f(x)為偶函數(shù)，所以a2n=2／π∫0πf(x)cos(2nx)dx=2／π[∫0π／2f(x)cos(2nx)dx+∫π／2πf(x)cos(2nx)dx]．對于右端前一個積分，令x=－t，后一個積分，令x=+t，則根據(jù)假設f(+t)=0，所以a2n=0，n=1，2，…．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、A、等于e－1／6．B、等于e1／6．C、等于e－6．D、不存在．標準答案：A知識點解析：注意到sinx／x=1，本題為1∞型．設f(x)=sinx／x，則原極限故原極限=e－1／6，應選(A)．2、曲線y=arctan漸近線的條數(shù)是A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：A知識點解析：令f(x)=aretan，f(x)的定義域是(－∞，－2)∪(－2，1)∪(1，+∞)，因|f(x)|＜π／2，從而x=1與x=－2不是曲線y=f(x)的漸近線．又因故y=π／4是曲y=f(x)的水平漸近線．綜合知曲線y=f(x)有且只有一條漸近線．選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)3、已知=9，則a=_______．標準答案：ln3知識點解析：4、r=a(1+cosθ)在點(r，θ)=(2a，0)，(a，π／2)，(0，π)處的切線方程分別為_______．標準答案：x=2a(dy／dx=∞)；y－a=x；y=0知識點解析：(I)在點(r，θ)=(2a，0)處，(x，y)=(2a，0)，切線x=2a(dy／dx=∞)．(1I)在點(r，θ)=(a，π／2)處，(x，y)=(0，a)，dy／dx=1，切線y－a=x．(Ⅲ)在點(r，θ)=(0，π)處，(x，y)=(0，0)，dy／dx=0，切線y=0．5、∫(cosx－sinx)dx=_______．標準答案：知識點解析：6、設z=f(t，et)dt，其中f是二元連續(xù)函數(shù)，則dz=_______．標準答案：f(x2y，)(2xydx+x2dy)知識點解析：dz=f(x2y，)d(x2y)=f(x2y，)(2xydx+x2dy)．7、設L是區(qū)域D：x2+y2≤－2x的正向邊界，則I=∫L(x3－y)dx+(x－y3)dy=_______．標準答案：2π知識點解析：把線積分表成∫LPdx+Qdy，則=1－(－1)=2，D是圓域：(x+1)2+y2≤1，于是由格林公式I=2dxdy=2π．8、冪級數(shù)xn－1／n2n的收斂區(qū)間是_______．標準答案：(－2，2)知識點解析：先求收斂半徑R：有相同的收斂半徑R，R=2，收斂區(qū)間為(－2，2)．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)求下列極限：9、標準答案：屬0／0型．利用洛必達法則．知識點解析：暫無解析10、標準答案：記pn=則原式=(－npn)=－t，因此，原式=e－t．知識點解析：暫無解析求下列極限：11、標準答案：注意立方和公式13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=[]2，則知識點解析：暫無解析12、標準答案：注意2×=x／2n－1，為利用倍角公式化簡xn，兩邊同乘sinx／2n，得x=0時，xn=1，則xn=1．知識點解析：暫無解析13、標準答案：分別求左、右極限：知識點解析：暫無解析14、設f(x)在(a，b)連續(xù)，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn為任意n個正數(shù)，求證：ヨξ∈(a，b)，使得標準答案：依題設n個函數(shù)值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨設min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)，記η=αif(xi)，若η=f(x1)，則ヨξ=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，則ヨξ=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，由定理，ヨξ在x1與xn之間，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知識點解析：暫無解析15、設函數(shù)f(x)有反函數(shù)g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f"(a)=2，求g"(3)．標準答案：記y=f(x)．應注意到，g(x)為f(x)的反函數(shù)，已經(jīng)改變了變量記號，為了利用反函數(shù)導數(shù)公式，必須將g(x)改寫為g(y)．由反函數(shù)求導公式有f’(x)g’(y)=1，將該等式兩邊關于x求導得f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0，或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g"(y)=0．注意到g’(3)=1／f’(a)=1，在上式中令x=a，應有y=3，因此得到g"(3)=－f"(a)g’(3)=－2．知識點解析：暫無解析16、設x∈[0，a]時f(x)連續(xù)且f(x)＞0(x∈(0，a])，又滿足f(x)=求f(x)．標準答案：由f(x)連續(xù)及x2可導知f2(x)可導，又f(x)＞0，從而f(x)可導，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故將上式兩邊對x求導，得2f(x)f’(x)=f(x)．2xf’(x)=x.在(*)式中令x=0可得f(0)=0．于是(*)式兩邊積分(∫0x)得∫0xf’(t)dt=∫0xtdt，f(0)=0f(x)x2／2，x∈[0，a]知識點解析：暫無解析求功：17、設半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，問要做多少功?標準答案：把球的質(zhì)量4／3π集中于球心．球從水中取出作的功問題可以看成質(zhì)量為4／3π的質(zhì)點向上移動距離為1時變力的做功．問題歸結為求變力F．(重力與浮力的合力)球受的重力=球的體積，球受的浮力=沉在水中的球的體積，它們的合力=球露出水面部分的體積．當球心向上移距離h(0≤h≤1)時，球露出水面部分的體積：因此，取出球時需做功知識點解析：暫無解析18、半徑為R的半球形水池，其中充滿了水，要把池內(nèi)的水全部取盡需做多少功?標準答案：建立坐標系如圖3．6．取x為積分變量，x∈[0，R]．[x，x+dx]相應的水薄層，看成圓柱體，其體積為π(R2－x2)dx，又比重ρ=1，于是把這層水抽出需做功dw=πx(R2－x2)dx．因此，所求的功w=∫0Rπx(R2－x2)dx=π(R2．)=R4／4π．知識點解析：暫無解析19、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，f(x)≥0且∫abf(x)dx=0，求證：在[a，b]上f(x)≡0．標準答案：由定積分的性質(zhì)0≤∫axf(t)dt≤∫abf(x)dx=0(x∈[a，b])∫axf(t)dt=0(z∈[a，b])=[∫abf(t)dt]’=f(x)=0(x∈[a，b])．知識點解析：暫無解析20、證明：x－x2＜ln(1+x)＜x(x＞0)．標準答案：(Ⅰ)對F(t)=ln(1+t)在[0，x]區(qū)間用拉格朗日中值定理得其中c∈(0，x)．因此ln(1+x)＜x(x＞0)．(Ⅱ)對f(t)=ln(1+t)與g(t)=tt2在[0，x]區(qū)間用柯西中值定理得其中c∈(0，x)．當x＞0且x－x2＞0時，1＞1－c2＞0＞1ln(1+x)＞x－x2．若x＞0，x－x2≤0，上式顯然成立．因此ln(1+x)＞x－x2(x＞0)．知識點解析：暫無解析21、求函數(shù)f(x)=x(x∈(－∞，+∞))的最小值．標準答案：先求導數(shù)并得駐點．由f’(x)=0即2x－=0得唯一駐點x=方法再考察于是可導函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)ヨ最小值，最小值點必是駐點，又駐點唯－(x=)，因此f(x)的最小值為知識點解析：暫無解析22、確定常數(shù)a和b的值，使得=6．標準答案：(用泰勒公式)因為ln(1－2x+3x2)=－2x+3x2－(－2x+3x2)2+o((－2x+3x2)2)=－2x+3x2－2x2+o(x2)=－2x+x2+o(x2)，由此即得a－2=0，b+1=6，故a=2，b=5．知識點解析：暫無解析23、求方程y"+2my’+n2y=0的通解；又設y=y(x)是滿足y(0)=a，y’(0)=b的特解，求∫0+∞y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b為常數(shù)．標準答案：特征方程λ2+2mλ+n2=0，特征根λ=－m±，通解為注意：指數(shù)均為負的將方程兩邊積分y’|0+∞+2my|0+∞+n2∫0+∞y(x)dx=0，即－b－2ma+n2∫0+∞y(x)dx=0∫0+∞y(x)dx=知識點解析：暫無解析24、把直線L的方程化為對稱方程．標準答案：先求L的方向向量={－4，8，－4}=－4{1，－2，1}．再求一交點．令x=0得y=1，z=－2．因此直線L的方程為知識點解析：暫無解析25、與直線L1：及直線L2：都平行且經(jīng)過坐標原點的平面方程是_______．標準答案：直線L1，L2的方向向量分別是S1={0，1，1}與S2={1，2，1}，設P(x，y，z)是平面П上任一點，則，S1，S2共面，故混合積(，S1，S2)=0，即=－x+y－z=0，亦即x－y+z=0．知識點解析：暫無解析26、過球面x2+y2+z2=169上點M(3，4，12)分別作垂直于x軸與y軸的平面，求過這兩平面與球面的截線的公共點的兩截線的切線方程，并求通過這兩條切線的平面方程．標準答案：過M點分別與x、y軸垂直的平面是x=3與y=4，與球面的截線它們的交點是M1(3，4，12)，M2(3，4，－12)．Г1在M1的切向量={0，24，－8}=8{0，3，－1}，Г2在M1的切向量={－24，0，6}=6{－4，0，1}．Г1，Г2在M1點的切線方程分別為即3(x－3)+4(y－4)+12(z－12)=0．又Г1在M2的切向量={0，－24，－8}=8{0，－3，－1}，Г2在M2的切向量τ={－2z，0，2x={24，0，6}=6{4，0，1}，Г1，Г2在M2點的切線方程分別為過兩條切線的平面方程是即3(x－3)+4(y－4)－12(z+12)=0．知識點解析：暫無解析計算下列三重積分或將三重積分化成累次積分27、I=x2y2zdV，其中Ω是由x=1，x=2，y=0，y=x2，z=0及z=1／x所圍成的區(qū)域．標準答案：(Ⅰ)區(qū)域Ω由平面x=1，x=2，y=0，z=0及拋物柱面y=x2與雙曲柱面z=1／x圍成，易求出Ω在xy平面(或zx平面)上的投影區(qū)域Dxy(或Dzx)．Dxy由x=1，x=2，y=0，y=x2圍成，Dxy={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤x2}，見圖9．17—(a)．Dzx由x=1，x=2，z=0，z=1／x圍成，即Dzx={(z，x)|1≤x≤2，0≤z≤1／x}，見圖9．17—(b)．于是Ω={(x，y，z)|0≤z≤1／x，(x，y)∈Dxy}，或Ω={(x，y，z)|0≤y≤x2，(z，x)∈Dzx}．(Ⅱ)根據(jù)Ω的表示，宜選擇先對z(或y)積分后對xy(或zx)積分的順序．若先對z積分得若先對y積分得=1／3∫12dx∫01／xx9zdz=1／6∫12x7dx=85／16．知識點解析：暫無解析28、I=(lx2+my2+nz2)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤a2，l，m，n為常數(shù)．標準答案：由變量的輪換對稱性，可得用球坐標變換求I=(l+m+n)．1／3I’=4／15(l+m+n)πa5．知識點解析：暫無解析29、(Ⅰ)設L為拋物線y=x2上，從點A(－1，1)到B(1，1)的一段，求I=∫L(x2－2xy)dx+(y2－2xy)dy．(Ⅱ)求積分I=∫Cdy，其中C：y=1，x=4，y=逆時針一周．標準答案：(Ⅰ)L：y=x2，x∈[－1，1]．I=∫－11[(x2－2x3)+(x4－2x3)2x]dx=∫－11(x2－4x4)dx+0=2∫01(x2－4x4)dx=2()=－14／15．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、下列函數(shù)在點(0，0)處不連續(xù)的是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：直接證(C)中f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．當(x，y)沿直線y＝x趨于點(0，0)時因此f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．故選(C)．2、設z＝f(x，y)＝，則f(x，y)在點(0，0)處A、可微．B、偏導數(shù)存在，但不可微．C、連續(xù)，但偏導數(shù)不存在．D、偏導數(shù)存在，但不連續(xù)．標準答案：B知識點解析：設△z＝f(x，y)一f(0，0)，則可知△z＝，因此△z＝0·這表明f(x，y)＝在點(0，0)處連續(xù)．因f(x，0)＝0，所以f’x(0，0)＝f(x，0)｜x＝0，同理f’y(0，0)＝0令α＝Δz—f’x(0，0)Δx—f’y(0，0)，當(Δx，Δy)沿y＝x趨于點(0，0)時即α不是β的高階無窮小，因此f(x，y)在點(0，0)處不可微，故選(B)·3、設則f(x，y)在點(0，0)處A、偏導數(shù)存在且連續(xù)．B、偏導數(shù)不存在，但連續(xù)．C、偏導數(shù)存在，可微．D、偏導數(shù)存在，但不可微．標準答案：C知識點解析：由偏導數(shù)定義可知這說明f’x(0，0)存在且為0，同理f’y(0，0)存在且為0·所以f(x，y)在點(0，0)處可微分．故選(C)．4、設f(x，y)＝｜x一y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處連續(xù)且φ(0，0)＝0，則f(x，y)在點(0，0)處A、連續(xù)，但偏導數(shù)不存在．B、不連續(xù)，但偏導數(shù)存在．C、可微．D、不可微．標準答案：C知識點解析：逐項分析：(I)｜x一y｜在(0，0)連續(xù)，φ(x，y)在點(0，0)處連續(xù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．f(x，y)在點(0，0)處可微．選(C)．5、在下列二元函數(shù)中，f’’xy(0，0)≠f’’yx(0，0)的二元函數(shù)是A、f(x，y)＝x4＋2x22＋y10．B、f(x，y)＝ln(1＋x2＋y2)＋cosxy．C、D、標準答案：C知識點解析：對于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函數(shù)，均連續(xù)，所以．因而(C)，(D)中必有一個是f’’xy(0，0)＝f’’yx(0，0)，而另一個是f’’xy(0，0)≠f’’xy(0，0)．現(xiàn)考察(C)．(x，y)≠(0，0)時，(x，y)≠(0，0)時，f(x，y)＝利用對稱性(x，y)＝(0，0)時，因此，f’’xy(0，0)≠f’’yx(0，0)．選(C)．6、設u(x，y)在M0取極大值，且，則A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：偏導數(shù)實質(zhì)是一元函數(shù)的導數(shù)，把二元函數(shù)的極值轉化為一元函數(shù)的極值．由一元函數(shù)的極大值的必要條件可得相應結論．令f(x)＝u(x，y0)x＝x0是f(x)的極大值點(若＞0，則x＝x0是f(x)的極小值點，于是得矛盾)．同理，令g(y)＝u(x0，y)y＝y(tǒng)0是g(y)的極大值點二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、設f(x，y)在(x0，y0)鄰域存在偏導數(shù)且偏導數(shù)在點(x0，y0)處不連續(xù)，則下列結論中正確的是A、f(x，y)在點(x0，y0)處可微且B、f(x，y)在點(x0，y0)處不可微．C、f(x，y)在點(x0，y0)沿方向方向導數(shù)．D、曲線在點(x0，y0，f(x0，y0))處的切線的方向向量是標準答案：D知識點解析：當f(x，y)在(x0，y0)鄰域偏導數(shù)，而在(x0，y0)不連續(xù)時，不能確定f(x，y)在(x0，y0)是否可微，也不能確定它在(x0，y0)是否存在方向導數(shù)．故(A)，(B)，(C)不正確，只有(D)正確．或直接考察曲線參數(shù)方程為它在點(x0，y0，f(x0，y0))處的切向量是8、設，其中f是二元連續(xù)函數(shù)，則dz＝______．標準答案：f(x2y，ex2y)(2xydx＋x2dy)知識點解析：先求偏導數(shù)．9、設z＝z(x，y)滿足方程2z—ez＋2xy＝3且z(1，2)＝0，則＝______·標準答案：-4dx-2dy知識點解析：將方程分別對x，y求偏導數(shù)，得令x＝1，y＝2，z＝0得10、設z＝y(tǒng)f(x2—y2)，其中f(u)可微，則＝______．標準答案：知識點解析：11、設f(x，y)有連續(xù)偏導數(shù)，滿足f(1，2)＝1，f’x(1，2)＝2，f’y(1，2)＝3，(x)＝f(x，2f(x，2f(x，2x)))，則(1)＝______．標準答案：302知識點解析：Ф(x)＝f(x，u(x))，u(x)＝2f(x，v(x))，v(x)＝2f(x，2x)，v(1)＝2f(1，2)＝2，u(1)＝2f(1，v(1))＝2f(1，2)＝2，Ф’(1)＝f1’(1，2)＋f2’(1，2)u’(1)＝2＋3u’(1)，u’(1)＝2[f1’(1，2)＋f2’(1，2)v’(1)]＝2[2＋3v’(1)]v’(1)＝2[f1’(1，2)＋2f2’(1，2)]＝2(2＋2·3)＝16往回代u’(1)＝2(2＋3·16)＝100，Ф’(1)＝2＋3·100＝302．12、設x＝x(y，z)，y＝y(tǒng)(z，x)，z＝z(x，y)都是由方程F(x，y，z)＝0所確定的隱函數(shù)，并且F(x，y，z)滿足隱函數(shù)存在定理的條件，則＝______．標準答案：-1知識點解析：由隱函數(shù)求導法知(如，由F(x，y，z)＝0確定x＝x(y，z)，將方程對y求偏導數(shù)得其余類似)．將這三式相乘得13、函數(shù)z＝1—(x2＋2y2)在點處沿曲線C：x2＋2y2＝1在該點的內(nèi)法錢方向n的方向導數(shù)為______．標準答案：知識點解析：C在M0的內(nèi)法線方向n正是gradz｜M0，按梯度向量的性質(zhì)，Z沿梯度方向時方向導數(shù)取最大值，就是｜gradzM0｜．因此，14、過曲面z—ez＋2xy＝3上點M0(1，2，0)處的切平面方程為______·標準答案：0知識點解析：曲面方程F(x，y，z)＝0，F(xiàn)(x，y，z)＝z一ex＋2xy一3，gradF＝＝{2y，2x，1—ez}，gradF＝｛4，2，0｝＝2｛2，1，0｝.點M0的切平面方程為2(x一1)＋(y一2)＝0，即2x＋y一4＝0．15、過曲面z＝4一x2一y2上點P處的切平面平行于2x＋2y＋z一1＝0，則P點的坐標為______．標準答案：(1，1，2)知識點解析：P(x，y，z)處一個法向量n＝{2x，2y，1}，平面2x＋2y＋z一1＝0的法向量n0＝{2，2，1}，由n＝λn0x＝λ，y＝λ，λ＝1λ＝1，y＝1，z＝4—1—1＝2，因此P點是(1，1，2)．16、曲線在M0(1，1，2)處的切線方程為______，法平面方程為______．標準答案：0知識點解析：M0在曲線上，M0處的切向量M0處切線方程法平面方程一(x一1)＋(y一1)＝0，即y一x＝0．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)17、直線L1：x一1＝，L2：x＋l＝y(tǒng)一1＝z，(I)若L1⊥L2，求λ；(Ⅱ)若L1與L2相交，求λ．標準答案：(I)｛1，2，λ｝·｛1，1，1｝＝01＋2＋λ＝0λ＝一3．(II)L1通過點(1，1，1)，以(1，2，λ)為方向向量，L2通過點(一1，1，0)，以(1，1，1)為方向向量，則L1與L2共面此時L1與L2不平行．因此，．知識點解析：暫無解析18、與直線，及直線都平行且經(jīng)過坐標原點的平面方程是______．標準答案：同前，平面Ⅱ的法向量，n＝S1×S2，而用點法式，n·＝0，可得x一y＋z＝0．知識點解析：暫無解析19、設平面Ⅱ經(jīng)過平面Ⅱ1：3x一4y＋6＝0與Ⅱ2：2y＋z一11＝0的交線，且和Ⅱ1垂直，求Ⅱ的方程．標準答案：先求Ⅱ1與Ⅱ2交線的方向向量Ⅱ1的法向量為｛3，一4，0｝，Ⅱ過Ⅱ1與Ⅱ2交線上的點(一2，0，11)與向量｛一4，一3，6｝，｛3，一4，0｝平行Ⅱ的方程知識點解析：暫無解析20、已知平面Ⅱ：x一4y＋2z＋9＝0，直線，試求在平面Ⅱ內(nèi)，經(jīng)過L與Ⅱ的交點且與L垂直的直線方程．標準答案：(I)先求L的方向向量(Ⅱ)求L與Ⅱ的交點M0．由(Ⅲ)所求直線的方向向量所求直線方程為或求出過L與Ⅱ的交點M0且與L垂直的平面方程，它是2(x＋3)＋3(y＋1)＋2(z＋5)＝0，即2x＋3y＋2z＋19＝0于是，所求直線方程為知識點解析：暫無解析21、求點M1(1，2，3)到直線的距離．標準答案：直線L過M0點(0，4，3)，以l＝｛1，一3，一2｝為方向向量，則點M1到直線L的距離為其中＝｛1，一2，0｝，知識點解析：暫無解析22、求點M1(2，1，3)到平面Ⅱ：2x一2y＋z一3＝0的距離與投影．標準答案：點M1到平面Ⅱ的距離平面Ⅱ的法向量，n＝{2，一2，1}，過M1點以n為方向向量的直線L的方程為代入Ⅱ的方程2(2＋2t)一2(1—2t)＋(3＋t)一3＝0，解得，代入L的方程得L與Ⅱ的交點即點M1到平面Ⅱ的投影點．知識點解析：暫無解析23、求直線繞z軸旋轉一周所得旋轉面的方程．標準答案：先寫出L的參數(shù)方程，于是易得該旋轉面的參數(shù)方程，消去參數(shù)t與θ得x2＋y2＝4(1＋t2)，即知識點解析：暫無解析24、求以曲線為準線，｛l，m，n｝為母線方向的柱面方程．標準答案：曲線г的參數(shù)方程為以｛l，m，n｝為方向向量的直線方程為由③得，代入②得，最后代入①得該柱面方程知識點解析：暫無解析25、求曲線在yOz平面上的投影方程．標準答案：將方程組消去x．先化簡成代入原方程得即(x2＋y2)2＋32(y2—x2)＝0因此求得在yOz平面上的投影．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)1、求，其中D是由y=x3，y=1，x=一1所圍成的區(qū)域，f(u)是連續(xù)函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析2、設f(x，y)是定義在區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元連續(xù)函數(shù)，f(0，0)=-1，求極限標準答案：知識點解析：暫無解析3、設f(x，y)在單位圓x2+y2≤1上有連續(xù)的偏導數(shù)，且在邊界上取值為零，f(0，0)=2001，試求極限標準答案：2001知識點解析：暫無解析4、計算三重積分繞z軸旋轉一周的曲面與平面z=2，z=8所圍成的空間區(qū)域．標準答案：336π知識點解析：暫無解析5、求積分其中Ω為球面x2+y2+z2=z所圍的球體．標準答案：知識點解析：暫無解析6、計算其中Ω由不等式x2+y2+z2≥z和x2+y2+z2≤2z所確定．標準答案：知識點解析：暫無解析7、設f(x)連續(xù)，F(xiàn)(t)=[z2+f(x2+y2)]dxdydz，其中Ω由不等式0≤z≤h，x2+y2≤t2所確定．試求：標準答案：知識點解析：暫無解析8、計算dxdydz，其中Ω由平面z=0，z=1及曲面x2+y2=2圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析9、計算標準答案：2πa2知識點解析：暫無解析10、計算其中C為雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)標準答案：知識點解析：暫無解析11、計算(x2+y2+z2)dS，其中S為錐面z2=x2+y2介于z=0及z=1之間的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析12、計算其中S為上半球面標準答案：πa3知識點解析：暫無解析13、計算其中S為球面x2+y2+z2=R2．標準答案：知識點解析：暫無解析14、計算其中C為以A(1，0)，B(0，1)，C(一1，0)，D(0，-1)為頂點的正方形閉路．標準答案：0知識點解析：暫無解析15、計算曲線積分[(1—cosy)dx一(y—siny)dy]，其中L為區(qū)域0＜x＜π，0＜y＜sinx邊界的正方向圍線．標準答案：知識點解析：暫無解析16、計算(exsiny—y)dx+(excosy一1)dy，其中C為由點A(2a，0)到點B(0，0)的上半圓周(x一a)2+y2=a2(y≥0)．標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算其中C為從點A(一a，0)到點B(a，0)的上半橢圓(y≥0)．標準答案：一π知識點解析：暫無解析18、計算其中C為拋物線上從點A(1，π)到點B(2，π)的有向曲線段．標準答案：1+π知識點解析：暫無解析19、求曲線積分的值，其中L為(x一a)2+(y一b)2=1的正向．標準答案：當原點不包含在L所限定區(qū)域內(nèi)時，I=0；②當原點包含在L所限定區(qū)域內(nèi)時，I=π；③當原點在L上時，原積分無意義．知識點解析：暫無解析20、計算，若從x軸正向看去，C的方向為逆時針方向．標準答案：—4π知識點解析：暫無解析21、計算其中∑為球面x2+y2+z2=1的外側位于x≥0，y≥0的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑為半球面的內(nèi)側．標準答案：知識點解析：暫無解析23、計算其中∑為x2+y2+z2=1的外側．標準答案：12π知識點解析：暫無解析24、計算+8xydzdx一4xzdxdy，其中∑是由曲線x=ey(0≤y≤a)繞x軸旋轉而成的旋轉面外側．標準答案：知識點解析：暫無解析25、計算+y2dxdz+z2dxdy，其中∑為(x一a)2+(y一b)2+(z—c)2=R2的外側．標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算(1)∑為的上側．(2)∑為上半橢球面(z≥0)的上側．標準答案：(1)2π，(2)2π知識點解析：暫無解析27、計算其中∑為區(qū)域Ω的外側，Ω由不等式和x2+y2+z2≤4所確定，f(u)有連續(xù)一階導數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析28、求線密度為常數(shù)的擺線x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤π)的重心．標準答案：知識點解析：暫無解析29、求柱面x2+y2=ax(a＞0)位于球面x2+y2+z2=a內(nèi)的部分的面積．標準答案：4a2知識點解析：暫無解析30、求密度為常數(shù)ρ、半徑為R的球體對于它的一條切線的轉動慣量．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、在下列四個命題中正確的是A、設χ0∈(a，b)，函數(shù)f(χ)滿足f′(χ)＞0(a＜χ＜χ0)和f′(χ)＜0(χ0＜χ＜b)，則f(χ)在點χ＝χ0處取得它在(a，b)上的最大值．B、設f(χ)在點χ＝χ0取得極大值，則存在正數(shù)δ＞0，使函數(shù)f(χ)在(χ0－δ，χ0)內(nèi)單調(diào)增加，在(χ0，χ0＋δ)內(nèi)單調(diào)減少．C、設f(χ)在區(qū)間(－a，a)內(nèi)為偶函數(shù)(其中a＞0是一個常數(shù))，則χ＝0必是f(χ)的一個極值點．D、設f(χ)在區(qū)間(－a，a)內(nèi)可導且為偶函數(shù)(其中a＞0是一個常數(shù))，則f′(0)＝0．標準答案：D知識點解析：因為f(χ)在區(qū)間(－a，a)內(nèi)可導且為偶函數(shù)，故f′(χ)在(－a，a)內(nèi)必為奇函數(shù)，即χ∈(－a，a)有f′(－χ)＝－f′(χ)．特別對χ＝0有f′(0)＝－f′(0)f′(0)＝0．故應選D．2、設函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)連續(xù)，其導函數(shù)f′(χ)的圖形如圖(1)所示，則A、函數(shù)f(χ)有兩個極大值點與一個極小值點，曲線y＝f(χ)有一個拐點．B、函數(shù)f(χ)有一個極大值點與兩個極小值點，曲線y＝f(χ)有一個拐點．C、函數(shù)f(χ)有兩個極大值點與一個極小值點，曲線y＝f(χ)有兩個拐點．D、函數(shù)f(χ)有一個極大值點與兩個極小值點，曲線y＝f(χ)有兩個拐點．標準答案：C知識點解析：由圖(1)知函數(shù)f(χ)有三個駐點a，b，d，其導函數(shù)f′(χ)有一個駐點c，如圖(2)．列表討論函數(shù)f(χ)的單調(diào)性與極值，可得由此可見，函數(shù)f(χ)有兩個極大值點與一個極小值點，于是可排除選項B與選項D．又由導函數(shù)f′(χ)的圖形知，在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)f′(χ)單調(diào)減少，在區(qū)間(0，c]上f′(χ)單調(diào)增加，在區(qū)間[c，＋∞)上f′(χ)單調(diào)減少．由于曲線y＝f(χ)是連續(xù)曲線，故曲線y＝f(χ)在(－∞，0]是凸弧，在[0，c]是凹弧，在[c，＋∞)又是凸弧，這表明曲線y＝f(χ)有兩個拐點．綜合可知，應選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)3、＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析4、＝_______．標準答案：2ln2－1知識點解析：則不難發(fā)現(xiàn)Tn≤Sn≤Tn(n＝1，2，…)，其中Tn是把[0，1]n等分，且取ξk＝(k＝1，2，…，n)時f01ln(1＋χ)dχ對應的積分和，因函數(shù)ln(1＋χ)在[0，1]上連續(xù)，故在[0，1]上可積，則＝∫01ln(1＋χ)dχ＝∫01ln(1＋χ)d(1＋χ)＝(1＋χ)ln(1＋χ)｜01－∫01dχ＝2ln2－1．此外，還有＝2ln2＝1，從而由極限存在的夾逼準則得Sn＝2ln2－1．5、設f(χ)是滿足＝－1的連續(xù)函數(shù)，且當χ→0時f(t)dt是與Aχn等價無窮小，則A＝_______與n＝_______．標準答案：；6．知識點解析：首先，由題設可得現(xiàn)考察極限I＝，選取A，n使得極限I為1．由洛必達法則可得這表明f(t)dt當χ→0時是與－等價的無窮小，即A＝與n＝6．6、設f(χ)連續(xù)，且當χ→0時F(χ)＝∫0χ(χ2＋1－cost)f(t)dt是與χ3等價的無窮小，則f(0)＝_______．標準答案：知識點解析：由等價無窮小的定義及洛必達法則可得7、函數(shù)f(χ)＝的單調(diào)減少區(qū)間是_______．標準答案：(－1，＋∞)知識點解析：由f(χ)的分段表示知，f(χ)分別在(－1，0)和[0，＋∞)連續(xù)，又因f(χ)＝1＝f(0)，即f(χ)在f(χ)＝0也是左連續(xù)的，故f(χ)在(－1，＋∞)上連續(xù)．計算f(χ)的導函數(shù)，得引入函數(shù)g(χ)＝χ－(1＋χ)ln(1＋χ)，不難發(fā)現(xiàn)g(0)＝0，且g′(χ)＝－ln(1＋χ)＞0，當－1＜χ＜0時成立，這表明當－1＜χ＜0時g(χ)＜g(0)＝0成立，由此可得當－1＜χ＜0時f′(χ)＜0也成立．由f(χ)在(－1，0]連續(xù)，且f′(χ)＜0在(－1，0)成立知f(χ)在(－1，0]單調(diào)減少；同理，由f(χ)在[0，＋∞)連續(xù)，且f′(χ)＝－1＜0在(0，＋∞)成立知f(χ)在[0，＋∞)也單調(diào)減少．綜合即得f(χ)的單調(diào)減少區(qū)間為(－1，＋∞)．8、若方程χ3－6χ2－15χ＋a＝0恰有三個實根，則a的取值范圍是_______．標準答案：－8＜a＜100知識點解析：把方程改寫成f(χ)＝a的形式，其中函數(shù)f(χ)＝15χ＋6χ2－χ3．由于f′(χ)＝15＋12χ－3χ2＝3(5－χ)(1＋χ)，于是列表討論可得且f(χ)＝＋∞，f(χ)＝－∞．從而，僅當－8＜a＜100時直線y＝a與曲線y＝f(χ)恰有三個交點，即原方程恰有三個實根．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、設f〞(χ)＞0，求證：f(a＋h)＋f(a－h(huán))≥2f(a)．標準答案：依次對函數(shù)f(χ)及導函數(shù)f′(χ)利用拉格朗日中值定理就有f(a＋h)＋f(a－h(huán))－2f(a)＝f[(a＋h)－f(a)]＋f[(a－h(huán))－f(a)]＝f′(ξ2)h－f′(ξ1)h＝h[f′(ξ2)－f′(ξ1)]＝hf〞(ξ)(ξ2－ξ1)，其中a－h(huán)＜ξ1＜a，a＜ξ2＜a＋h，ξ1＜ξ＜ξ2．由題設f〞(ξ)＞0，又ξ2－ξ1＞0，因此當h＞0時原不等式成立．當h＜0時可類似證明．知識點解析：暫無解析10、求證：當χ＞0時，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．標準答案：令f(χ)＝ln(e2χ＋χ)－3χ＋χ2只需證明當χ＞0時f(χ)＞0成立．由于f(0)＝0，且在f′(χ)的分子中5χ2＋3χ(e2χ－1)＞0當χ＞0時成立，而分母e2χ＋χ＞0當χ＞0時也成立，故若g(χ)＝1＋2χe2χ－e2χ＞0當χ＞0時還成立，即得f′(χ)＞0當χ＞0時成立，于是f(χ)當χ≥0時單調(diào)增加當χ＞0時f(χ)＞f(0)＝0成立，即不等式成立得證．由于g(0)＝0，g′(χ)＝4χe2χ＞0對χ＞0成立，故g(χ)在χ≥0單調(diào)增加，即g(χ)＞g(0)＝0當χ＞0時成立．綜合即得原不等式在χ＞0成立．知識點解析：暫無解析11、證明當χ＞0時不等式e－χ(χ2－aχ＋1)＜1成立，其中常數(shù)a＞0．標準答案：由于結論χ＞0時e－χ(χ2－aχ＋1)＜1當χ＞0時函數(shù)F(χ)＝eχ＋aχ－χ2－1＞0．注意F′(χ)＝eχ－2χ＋a，F(xiàn)〞(χ)＝這表明導函數(shù)F′(χ)在χ＝ln2處取得它在區(qū)間[0，＋∞)上的最小值，即F′(χ)≥F′(ln2)＝2－2ln2＋a＞a＞0對χ＞0與a＞0成立．故F(χ)在[0，＋∞)上單調(diào)增加，即對χ＞0有F(χ)＞F(0)＝0成立，即要證明的不等式成立．知識點解析：暫無解析12、利用柯西中值定理證明不等式：1＋χln，－∞＜χ＜＋∞．標準答案：原不等式等價于≥1，－∞＜χ＜＋∞，χ≠0．對函數(shù)f(t)＝tln(t＋)，F(xiàn)(t)＝在[0，χ]上用柯西中值定理，得其中ξ介于0與χ之間．由由于當χ＞0時，ξ＞0，ln(ξ＋)＞0；當χ＜0時，ξ＜0，ln(ξ＋)＜0，因此總有＞1．于是縣當χ≠0時．右而當χ＝0時1＋χln，故1＋χln，－∞＜χ＜＋∞．知識點解析：暫無解析13、證明不等式(a＋b)ea+b＜ae2a＋be2b當b＞a＞0時成立．標準答案：不等式可改寫為aea(eb－ea)＜beb(eb－ea)，因b＞a＞0時eb＞ea，從而又可改寫為等價形式aea＜beb．把b改寫為χ，引入函數(shù)f(χ)＝χeχ，即需證f(χ)＞f(a)當χ＞a＞0時成立．因為f′(χ)＝(χ＋1)eχ＞0當χ＞0時成立，從而f(χ)在區(qū)間[a，＋∞)(a＞0)上單調(diào)增加，故當χ＞a時f(χ)＞f(a)成立，即原不等式成立．知識點解析：暫無解析14、設函數(shù)f(χ)在[0，＋∞)有連續(xù)的一階導數(shù)，在(0，＋∞)二階可導，且f(0)＝f′(0)＝0，又當χ＞0時滿足不等式χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)．求證：當χ＞0時f(χ)＜χ2成立．標準答案：由題設知，當χ＞0時χf〞(χ)＜χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)，即f〞(χ)＜＜2其中l(wèi)n(1＋χ)＜χ(χ＞0)，這是因為：記g(χ)=＝χ－ln(1＋χ)(χ≥0)，則g′(χ)＝1－＞0(χ＞0)，故g(χ)在[0，＋∞)單調(diào)增加，從而g(χ)＞g(0)＝0(χ＞0)．由麥克勞林公式可得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋f〞(ξ)χ2＝f〞(ξ)χ2＜χ2(χ＞0)．知識點解析：暫無解析15、設函數(shù)f(χ)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導，且f(0)＝f(1)＝1，．求證：對任何滿足0＜k＜1的常數(shù)k，存在ξ∈(0，1)，使f′(ξ)＝－k．標準答案：令F(χ)＝f(χ)＋kχ，則F(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且F′(χ)＝f′(χ)＋k，F(xiàn)(0)＝1，(1＋k)，F(xiàn)(1)＝1＋k，即F()＜(0)＜(1)．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的中間值定理知，存在c∈(，1)使F(c)＝F(0)，從而F(χ)在區(qū)間[0，c]上滿足羅爾定理的條件，于是，存在ξ∈(0，c)(0，1)使F′(ξ)＝f′(ξ)＋k＝0，即f′(ξ)＝－k．知識點解析：暫無解析16、設函數(shù)f(χ)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)二階可導，且f(a)＝f(c)＝f(b)，其中c是(a，b)內(nèi)的一點，且在[a，b]內(nèi)的任何區(qū)間I上f(χ)不恒等于常數(shù)．求證：在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f〞(ξ)＜0．標準答案：由題設知，可在[a，c]上和[c，b]上分別對f(χ)用羅爾定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f′(α)＝f′(β)＝0，但f(χ)在[α，β]上不恒等于常數(shù)，從而f′(χ)≠0．這表明g(χ)＝f′(χ)在[α，β]上可導，不恒等于常數(shù)且g(α)＝g(β)＝0．為證明本題的結論，只需證明在(α，β)內(nèi)至少存在一點ξ使g′(ξ)＜0即可．由題設知f(χ)在[a，c]上和[c，b]上分別滿足羅爾定理的條件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f′(α)＝f′(β)＝0．令g(χ)＝f′(χ)，由題設及上面所得結果知g(χ)是在[α，β]上可導但不恒等于常數(shù)的函數(shù)，且g(α)＝g(β)＝0．若∈(α，β)使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(χ)可得：ξ∈(γ，β)使否則，必η∈(α，β)使g(η)＜0，在[α，η]上把拉格朗日定理用于g(χ)也可得：ξ∈(0[α，η)使知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且f(1)＝0，求證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．標準答案：令F(χ)＝χe2χf(χ)，則由題設知F(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且F(0)＝0，F(xiàn)(1)＝e2f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上滿足羅爾定理的全部條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e2ξ＋2ξe2ξ)f(ξ)＋ξe2ξf′(ξ)＝e2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，從而(2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且滿足f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ(k＞1)，證明至少存在一點ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．標準答案：令φ(χ)＝χe1－χf(χ)，于是，φ(χ)在[0，1]上可導，且φ′(χ)＝e1－χ[f(χ)－χf(χ)＋χf′(χ)]＝χe1－χ[f′(χ)－(1－χ-1)f(χ)]，χ∈(0，1)．又由題設和積分中值定理知，存在η∈[0，]，使得φ(1)＝f(1)＝kφ(χ)dχ＝φ(η)，從而函數(shù)φ(χ)在[η，1]上滿足羅爾定理的全部條件，所以ξ∈(η，1)(0，1)，使得φ′(ξ)＝ξe1－ξ[f′(ξ)－(1－ξ－1)f(ξ)]＝0，即f′(ξ)＝(1－ξ-1)f(ξ)．知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，試證存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝eζ－ηf′(η)．標準答案：把要證的等式改寫成＝f′(ξ)現(xiàn)考察等式，令g(χ)＝eχ，則由題設可知g(χ)與f(χ)在[a，b]上滿足柯西中值定理條件，由此可知，必定存在η∈(a，b)，使得又f(χ)，eχ都在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理條件，由此可知必存在ξ∈(a，b)，ζ∈(a，b)，使得代入上述等式得eζ＝f′(ξ)故有f′(ξ)＝eζ－ηf′(η)．知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)f(χ)與g(χ)都在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．求證：存在ξ∈(0，)與η∈(，1)使得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．標準答案：把ξ與η分離至等式兩端可得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)f′(ξ)－g′(ξ)＝－f′(η)＋g′(η)[f(χ)－g(χ)]′｜χ＝ξ＝－[f(χ)－g(χ)]′｜χ＝η對函數(shù)F(χ)＝f(χ)－g(χ)應用拉格朗日中值定理，由于F(χ)在[0，]上連續(xù)，在(0，]內(nèi)可導，故存在ξ∈(0，)使得又由于F(χ)在[，1]上連續(xù)，在[，1)內(nèi)可導，故存在η∈(，1)使得將①式與②式相加，即知存在ξ∈(0，)與η∈(，1)使得0＝[f′(ξ)－g′(ξ)]＋[f′(η)－g′(η)]f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．知識點解析：暫無解析21、設函數(shù)f(χ)在[a，b]上一階可導，在(a，b)內(nèi)二階可導，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a)f′(b)＞0．求證：(Ⅰ)ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝f(ξ)；(Ⅱ)η∈(a，b)使得f〞(η)＝f(η)．標準答案：(Ⅰ)要證ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝f(ξ)f′(χ)－f(χ)在(a，b)零點[e－χf(χ)]′在(a，b)零點．引入輔助函數(shù)F(χ)＝e－χf(χ)，由題設知F(χ)在[a，b]上可導，且F(a)＝e－af(a)＝0，F(xiàn)(b)＝e－b(b)＝0，由羅爾定理即知ξ∈(a，b)使得F′(ξ)＝0，即f′(ξ)＝f(ξ)成立．(Ⅱ)要證η∈(a，b)使得f〞(η)＝f(η)f〞(χ)－f(χ)在(a，b)零點(f′(χ)－f(χ))′＋(f′(χ)－f(χ))在(a，b)零點{eχ[f′(χ)－f(χ)]}′在(a，b)零點．為證明上述結論，引入輔助函數(shù)G(χ)＝eχ[f′(χ)－f(χ)]，由題設可知G(a)＝ea[f′(a)－f(a)]＝eaf′(a)，G(b)＝eb[f′(b)－f(b)]＝ebf′(b)，于是G(a)G(b)＝ea+b(a)f′(b)＞0，即G(a)與G(b)必同時為正，或同時為負，而由(Ⅰ)知ξ∈(a，b)使G(ξ)＝eξ[f′(ξ)－f(ξ)]＝0．這樣一來，當G(a)與G(b)同為負數(shù)時，C(χ)在[a，b]上的最大值必在(a，b)內(nèi)某點處取得，記C(χ)在(a，b)內(nèi)的最大值點為χ＝η，則必有G′(η)＝0f〞(η)＝f(η)成立．反之，當G(a)與G(b)同為正數(shù)時，G(χ)在[a，b]上的最小值必在(a，b)內(nèi)某點處取得，記G(χ)在(a，b)內(nèi)的最小值點為χ＝η，則必有G′(η)＝0f〞(η)＝f(η)成立．知識點解析：暫無解析22、求ln(1＋χ－χ2)的帶皮亞諾余項的麥克勞林公式到χ4項．標準答案：把ln(1＋χ)的麥克勞林公式中的χ換為χ－χ2，可得ln(1＋χ－χ2)＝χ－χ2－(χ－χ2)2＋(χ－χ2)3－(χ－χ2)4＋o((χ－χ2)4)．注意(χ－χ2)2＝χ2－2χ3＋χ4，(χ－χ2)2＝χ3(1－χ)3＝χ3(1－3χ＋3χ2－χ3)＝χ3－3χ4＋o(χ4)，(χ－χ2)4＝χ4(1－χ)4＝χ4＋o(χ4)，o((χ－χ2)4)＝o((1－χ)4χ4)＝o(χ4)，代入即得ln(1＋χ－χ2)＝χ－χ2－(χ2－2χ3＋χ4)＋[χ3－3χ4＋o(χ4)]－[χ4＋o(χ4)]＋o(χ4)＝知識點解析：暫無解析23、求極限標準答案：先考察知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)f(χ)在χ＝0的某鄰域中二階可導，且＝0，求f(0)，f′(0)與f〞(0)之值．標準答案：利用sinχ和f(χ)的麥克勞林公式sinχ＝χ－＋o(χ3)，f(χ)＝f(0)＋f′(0)＋f〞(0)χ2＋o(χ2)，代入可得即f〞(0)＝．綜合得f(0)＝－2，f′(0)＝0，f〞(0)＝．知識點解析：暫無解析25、(Ⅰ)確定常數(shù)a，b，c的值，使得函數(shù)f(χ)＝χ＋aχ5＋(b＋cχ2)tanχ＝o(χ5)，其中o(χ5)是當χ→0時比χ5高階的無窮小量；(Ⅱ)確定常數(shù)a與b的值，使得函數(shù)f(χ)＝χ－(a＋bcosχ)sinχ當χ→0時成為盡可能高階的無窮小量．標準答案：(Ⅰ)用求極限的方法確定常數(shù)a，b，c的值．注意f(χ)＝o(χ5)即＝0，由此可得＝0．這樣就有故常數(shù)a，b，c的值分別是a＝－，b＝－1，c＝．(Ⅱ)先作恒等變形：f(χ)＝χ－asinχ－bsin2χ再利用泰勒展開式由sinχ＝χ－＋o(χ6)，sin2χ＝2χ－＋o(χ6)＝2χ－＋o(χ6)可得f(χ)＝(1－a－b)χ＋＋o(χ5)．欲使f(χ)當χ→0時是盡可能高階的無窮小量，應設上式中χ與χ3的系數(shù)為零，即1－a－b＝0，＝0．解之得a＝，b＝－，這時f(χ)＝＋o(χ)5即f(χ)為χ→0時關于χ的五階無窮小量．故當a＝，b＝時f(χ)是χ→0時最高階的無窮小量．知識點解析：暫無解析26、設f(a，b)在[a，b]上二階可導，f(a)＝f(b)＝0．證明至少存在一點ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜．標準答案：f(χ)在[a，b]上連續(xù)，｜f(χ)｜在[a，b]上亦連續(xù)，設c為｜f(χ)｜在[a，b]上的最大值點．若c＝a，則f(χ)＝0，結論顯然成立．故可設a＜c＜b，從而任給χ∈(a，b)，有｜f(χ)｜f≤｜f(c)｜，即－｜f(c)｜≤f(χ)≤｜f(c)｜．若f(c)＞0，則f(χ)≤f(c)，從而f(c)為f(χ)的最大值；若f(c)＜0，則有f(χ)≥f(c)，即f(c)為f(χ)的最小值，由此可知，總有f′(c)＝0．把函數(shù)f(χ)在χ＝c展開為泰勒公式，得f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋(χ－c)2＝f(c)＋(χ－c)2．(*)若a＜c≤，令χ＝a，則由(*)及題設有f(a)＝f(c)＋(a－c)2，即｜f(c)｜＝(a－c)2．由于a＜c≤，0＜c－a≤，因此｜f(c)｜＝于是｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜若＜c＜b，令χ＝b，則由(*)及題設有f(b)＝f(c)＋(b－c)2，即｜f(c)｜＝(b－c)2．由于＜c＜b，b－c＜b－，因此知識點解析：暫無解析27、設函數(shù)f(χ)在[0，1]上有連續(xù)的三階導數(shù)，且f(0)＝1，f(1)＝2，f′()＝0．證明在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使得｜f″′(ξ)｜≥24．標準答案：用泰勒公式．按題設條件，展開點取為χ0＝，被展開點分別取χ＝0，1．以上兩式相減，得f(1)－f(0)＝[f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)]．因f(0)＝1，f(1)＝2，f′()＝0，故有｜f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)｜＝1，即｜f″′(ξ1)｜＋｜f″′(ξ2)｜≥48．于是2max{｜f″′(ξ1)｜，｜f″′(ξ2)｜≥｜f″′(ξ1)｜＋｜f″′(ξ2)｜≥48，即max{｜f″′(ξ1)｜，｜f″′(ξ2)｜≥24．由于f〞(χ)在[ξ1，ξ2](0，1)上連續(xù)，所以，在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使得｜f″′(ξ)｜≥24．知識點解析：暫無解析28、設函數(shù)f(χ)和g(χ)在[0，1]上連續(xù)，且f(χ)＝3χ2＋1＋∫01g(χ)dχ，g(χ)＝－χ＋6χ2∫01f(χ)dχ．求f(χ)和g(χ)的表達式．標準答案：令∫01f(χ)dχ＝A，∫01g(χ)dχ＝B，于是f(χ)＝3χ2＋1＋B，g(χ)＝－χ＋6Aχ2．進而可得A＝∫01f(χ)dχ＝∫01＝∫01(3χ2＋1＋B)dχ＝2＋B，B＝∫01g(χ)dχ＝∫01(6Aχ2－χ)dχ＝2A－，解之得A＝－，B＝－．故f(χ)＝3χ2－，g(χ)＝－χ－9χ2．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設f(x)=則x=0是間斷點的函數(shù)是()A、max{f(x)，g(x)}．B、min{f(x)，g(x)}．C、f(x)-g(x)．D、f(x)+g(x)．標準答案：C知識點解析：寫出A、B、C、D選項中的表達式，即可知道正確選項．因為當x＞0時，故Amax{f(x)，g(x))=1，x∈(-∞，+∞)；Bmin{f(x)，g(x)}=由，則A、B、D都在x=0點連續(xù)，故應選C．事實上2、設f(x)=，討論f(x)的間斷點，其結論為()A、不存在間斷點．B、x=±1為其第一類間斷點．C、x=±1為其第二類間斷點．D、x=0為其第一類間斷點．標準答案：B知識點解析：當｜x｜＜1時，f(x)=當｜x｜=1時，f(x)=0；當｜x｜＞1時，所以f(x)=由x=-1是跳躍間斷點，即第一類間斷點；由x=1是跳躍間斷點，即第一類間斷點．3、設y=，則y(n)等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：先將