考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共259題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共259題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、∫｜x｜dx等于()．A、｜x｜+cB、x｜x｜+cC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：關(guān)于求分段函數(shù)的原函數(shù)，分段求完后要利用連續(xù)性在分段點(diǎn)處粘合起來．2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題主要考查直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程及兩條直線的夾角的概念與求法．由于直線L1的方向向量為s1={1，一2，1}，直線L2的方向向量為S2=空間中兩條直線的夾角的余弦為其中(1)si={mi,ni,pi}是第i條直線Li的方向向量(i=1,2)；而向量a={m1,n1,p1}與b={m2,n2,p2}的夾角是a與b所夾不超過π的角，所以當(dāng)a．b≥0時，(2)直線L1與L2互相垂直的充分必要條件是m1m2+n1n2+p1p2=0；直線L1與L2互相平行(或重合)的充分必要條件是二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設(shè)f(x)連續(xù)，且當(dāng)x→0時，是與x3等價的無窮小量，則f(0)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：由等價無窮小量的定義及洛必塔法則，可得含參數(shù)的變限積分，不能直接求導(dǎo)，必須經(jīng)變量替換將參變量提至積分號外再求導(dǎo)．4、函數(shù)f(x)=sinx在[0，π]上的平均值為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：平均值為一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，6]上的平均值為5、標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：函數(shù)u(x，y，z)沿單位向量n=一{cosα，cosβ，cosγ}的方向?qū)?shù)為本題直接用上述公式即可．本題若，n={m，n，l)非單位向量，則應(yīng)先將其單位化，從而得方向余弦為6、設(shè)則其以2π為周期的傅里葉級數(shù)在點(diǎn)x=π收斂于______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：設(shè)S(x)為函數(shù)f(x)以2π為周期的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，根據(jù)狄利克雷收斂定理，有7、設(shè)二階線性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)有三個特解y1=ex，y3=ex+e－x，則該方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：本題主要考查線性微分方程解的結(jié)構(gòu)．因?yàn)閥2一y1，y3—y1，是對應(yīng)齊次方程的解，代入齊次方程可求得再將y1代入原方程可得f(x)=ex．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)8、設(shè)f(x)=nx(1－x)n(n=1，2，…)，Mn是f(x)在[0，1]上的最大值，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=n(1一x)n一n2x(1一x)n－1．令f’(x)=0，得n2x(1一x)n－1=n(1一x)n，即nx=1一x．于是得駐點(diǎn)又為f(x)在(0,1)內(nèi)的極大值．比較f(0)=0，f(1)=0和Mn可知，f(x)在[0，1]上的最大值為Mn=知識點(diǎn)解析：先求f(x)在[0，1]上的最大值Mn，再求極限．本題的極限是“1∞”型未定式，其一般形式為limf(x)g(x)，其中l(wèi)imf(x)=1，limg(x)=∞．為求極限，也可先將冪指函數(shù)f(x)g(x)化為指數(shù)型復(fù)合函數(shù)eg(x)lnf(x)，利用等價無窮小量替換定理：lnf(x)=ln[1+(f(x)－1)]～f(x)－1，可得：limf(x)g(x)=elimg(x)lnf(x)=elimg(x)[f(x)－1]．于是，將求冪指函數(shù)的極限limf(x)g(x)轉(zhuǎn)化為求積函數(shù)的極限limg(x)[f(x)－1]．9、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且(β≠0)，求α、β(其中β≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由0．所以α>0．又可得f(0)=0,f’(0)=0．(1)若0＜α＜1，則有與題設(shè)矛盾(2)α＞1，則有從而有與題設(shè)矛盾．(3)當(dāng)α=1時，滿足題設(shè)條件，故α=1，β=f’’(0)．知識點(diǎn)解析：含待定常數(shù)的極限問題，一般可在待定常數(shù)的取值范圍內(nèi)求出極限，再與題設(shè)條件對比，符合題設(shè)條件的參數(shù)值即為所求的參數(shù)值或取值范圍．10、設(shè)f(x)連續(xù)，且求φ’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x2一t=u，則知識點(diǎn)解析：含參變量的積分，先將參變量提至積分號外，再求導(dǎo)．(1)含參變量的變限積分∫axf(x,t)dt求導(dǎo)時，應(yīng)該先通過變量替換將參數(shù)提至積分號外再求導(dǎo)．(2)冪指函數(shù)f(x)g(x)(x∈dg且f(x)>0)在求導(dǎo)時，應(yīng)將它寫成指數(shù)型復(fù)合函數(shù)eg(x)lnf(x)，然后用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，即[f(x)g(x)]’=eg(x)lnf(x)[g(x)lnf(x)]’=f(x)g(x)[g’(x)lnf(x)+],這個公式稱為冪指函數(shù)求導(dǎo)公式．該公式也可以用對數(shù)求導(dǎo)法得到．11、已知y=y(x)由方程標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊對自變量x求導(dǎo)，得知識點(diǎn)解析：隱函數(shù)求導(dǎo)法的基礎(chǔ)是：若方程F(x，y)=0在區(qū)間I上確定隱函數(shù)y=y(x)，則恒等式F(z，y(x))≡0在區(qū)間I上成立．因此當(dāng)F(x，y)可微時，可由≡0解出y’(x)．12、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx=0，試證：存在點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：作輔助函數(shù)F(x)=∫0xf(t)dt，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，又0=∫xf(x)dx=∫01xdF(x)=xF(x)｜01—∫01F(x)dx=0，由積分中值定理，存在點(diǎn)η∈(0，1)，使得F(η)=0．于是，在[0，η]和[η，1]上分別對F(x)應(yīng)用洛爾定理，存在點(diǎn)ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．在[ξ1，ξ2]上對f(x)再應(yīng)用洛爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得f’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：證明存在點(diǎn)ξ，使得f’(ξ)=0，可對f(x)用一次洛爾定理，也可對f(x)的原函數(shù)∫axf(t)dt用兩次洛爾定理．13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=0，f(x)=1，試證：對任意給定的正數(shù)a，b，在(0，1)內(nèi)存在不同的點(diǎn)ξ，η，使標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閍>0，b>0，所以又f(x)在[0，1]上連續(xù)，由介值定理，存在點(diǎn)c∈(0，1)，使得將f(x)在[0，c]，[c，1]上分別用拉格朗日中值定理得f(c)一f(0)=f’(ξ)c，ξ∈(0，c)，f(1)一f(c)=f’(η)(1一c)，η∈(c，1)．由f(0)=0，f(1)=1，可得知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)連續(xù)，=∫0xf(x—t)costdt，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗詄2x=∫0xf(x—t)costdt∫0xf(u)cos(x—u)du=cosx∫0xf(u)cosudu+sinx∫0xf(u)sinudu，且2e2x=一sinx∫0xf(u)cosudu+f(x)cos2x+cosx∫0xf(u)sinudu+f(x)2sinx，4e2x=f’(x)一cosx∫0xf(u)cosudu一f(x)sinxcosx—sinx∫0xf(u)sinudu+f(x)sinxcosx=f’(x)一e2x，從而f’(x)=5e2x．于是，有∫01f(x)dx=xf(x)｜01一5∫01xe2xdx知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)φ(x)=∫0xf(t)g(x－t)dt，其中，f(x)=x，求φ(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：是分段函數(shù)的變限積分，在分段積分時，關(guān)鍵是看分段點(diǎn)是否在積分區(qū)間內(nèi)．分段函數(shù)的變限積分，關(guān)鍵是確定分段點(diǎn)x0是否在積分區(qū)間[a，x]內(nèi)．例如：在本題中，當(dāng)不在[0，x]內(nèi)，所以∫0x(x一u)g(u)du=∫0x(x一u)sinudu．16、求的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)x＞0時，y=x2x=e2xlnx，y’=e2xlnx(2lnx+2)．令y’=0，得(3)在x=0處，因?yàn)樗詅(x)在x=0處連續(xù)，且f(0)=1．又由知f(x)在x=0處不可導(dǎo)．但當(dāng)｜x｜很小時，對x<0有y’>0；對x>0有y’<0，故f(x)在x=0處取極大值1．知識點(diǎn)解析：先分段求極值，再討論分段點(diǎn)處的函數(shù)值．求極值的一般步驟為：第一步，求f(x)在[a，b]內(nèi)的駐點(diǎn)(f’(x)=0的點(diǎn))：和f’(x)不存在的點(diǎn)，設(shè)為x<i(i=1，2，…，k)．第二步，用充分條件判定點(diǎn)xi是否是極值點(diǎn)．第三步，若xi為極值點(diǎn)，則f(xi)即為極值．對于分段函數(shù)求極值問題，要分段求，當(dāng)函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)時，要判定分段點(diǎn)處的函數(shù)值是否是極值．17、設(shè)f(x)，g(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并有求f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由由題設(shè)可知，f’(x)=一2x2+∫0xg(u)du，f’’(x)=一4x+g(x)，f’’(0)=0．所以，當(dāng)x>0時，f’(x)<0；當(dāng)x<0時，f’’(x)>0，故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：求曲線y=f(x)拐點(diǎn)的步驟為：第一步：求f’’(x)=0的點(diǎn)和f’’(x)不存在的點(diǎn)x0．第二步：判定．若f’’(x)在x0左、右兩側(cè)異號，則(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．18、有一橢圓形薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直于水平面，而其短半軸與水平面相齊，求水對薄板的側(cè)壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：建立坐標(biāo)系，如圖1－5－6所示．橢圓方程為在[0,a]中任取一個小區(qū)間[x,x+dx]，對應(yīng)的小橫條薄板上水對它的壓力為dF=壓強(qiáng)×面積=rx．2ydx=其中r為水的比重，從0到a積分得橢圓形薄板所受的壓力知識點(diǎn)解析：本題也可用以下方法求解．如圖1－5－7所示，在[一b，b]中任取一小區(qū)間[y，y－dy]，對應(yīng)小豎條薄板上水對它的壓力為19、求直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面S的方程，并說明s為何種曲面．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)為M(x，y，z)，該點(diǎn)是曲線L上對應(yīng)點(diǎn)M0(z0，y0，z0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得，于是消去x0，y0,z0，得x2+y2=42+(2z)2，即這是單頁雙曲面方程．知識點(diǎn)解析：曲面上任意一點(diǎn)M(x，y，z)與曲線L上對應(yīng)點(diǎn)M0(z0，y0，z0)到z軸的距離相等．20、設(shè)函數(shù)其中函數(shù)f、φ具有連續(xù)的二階可導(dǎo)，求二階混合偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：常規(guī)求偏導(dǎo)數(shù)的方法．因?yàn)橹R點(diǎn)解析：這是一個半抽象函數(shù)的求二階混合偏導(dǎo)數(shù)的問題．21、一頁長方形白紙，要求印刷的面積為Dcm2，并使所留的頁邊距分別為：上部與下部的寬度之和為a+b=kcm，左部與右部的寬度之和為c+d=lcm(其中d、k、l均為已知常數(shù))．試確定該頁紙的長(y)和寬(x)，使得它的面積S為最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：如圖1—7—2所示，由題意知，其目標(biāo)函數(shù)為S=xy，且x>l，y>k，約束條件為(x—l)(y一k)=C不妨設(shè)拉格朗日函數(shù)為L(x，y，λ)=xy+λ(x—l)(y—k)一D](x>l，y>k)．代入到約束條件中，得Dλ2+2Dλ+(D—kl)=0．為了滿足條件x>l，y>k，則應(yīng)取由實(shí)際意義知，當(dāng)x→l+時，y→+∞；同理當(dāng)y→k+時，x→+∞．這都導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)為S=xy→+∞．所以，這個條件極值問題是不存在最大值的，故上述的駐點(diǎn)就是所求的解．知識點(diǎn)解析：本題是條件極值的問題，應(yīng)用拉格朗日乘子法求解．22、設(shè)分段函數(shù)其中積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≥2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題主要考查分段函數(shù)的二重積分．本題的關(guān)鍵在于確定積分區(qū)域的范圍．23、計算其中0＜a＜b．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題直接用常規(guī)的定積分去求解是無法進(jìn)行的．因此，需要考慮用二重積分的方法．本題的關(guān)鍵在于將被積分函數(shù)中的因子24、計算曲線積分其中L是以點(diǎn)(1，0)為中心，R為半徑的圓周(R>0，R≠1)，取逆時針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)R＞1時，點(diǎn)(0,0)∈D，為D的奇點(diǎn)．作足夠小的橢圓曲線當(dāng)ε＞0充分小時，C取逆時針方向，使得于是，由格林公式，有知識點(diǎn)解析：本題主要考查曲線積分與路徑無關(guān)的條件．因?yàn)楸绢}中的R(R>0，R≠1)是分段的，故應(yīng)分01兩種情形來討論．25、設(shè)空間區(qū)域Ω由曲面z=a2一x2一y2與平面z=0所圍成，其中a為正常數(shù)．記Ω表面的外側(cè)為∑，Ω的體積為V，證明：x2yz2dydz—xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=V．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣戈P(guān)于xOz坐標(biāo)平面對稱，xyz是區(qū)域Ω上關(guān)于y的奇函數(shù)，則故結(jié)論成立．知識點(diǎn)解析：因?yàn)榭臻g區(qū)域Ω是封閉的，故可用高斯公式證明．本題的證明用到了空間區(qū)域Ω的對稱性．26、討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)比值判斷法，因?yàn)樗援?dāng)｜a｜＜1時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)｜a｜＞1時，由于發(fā)散；當(dāng)a=1時，級數(shù)為由p一級數(shù)的斂散性知：由交錯級數(shù)的布萊尼茲判別法與取絕對值后的正項(xiàng)級數(shù)判斂法知：知識點(diǎn)解析：本題首先要討論常數(shù)a的取值情況．當(dāng)｜a｜=1時，還要進(jìn)一步討論p的取值情況．27、求解微分方程滿足條件y(0)=0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：很顯然，y=0是其一個特解．當(dāng)y＞0時，原微分方程為當(dāng)y＜0時，原微分方程為因此，滿足條件y(0)=0的特解為其中c1≥0，c2≤0為任意常數(shù)，原初值問題有無窮多的解．知識點(diǎn)解析：本題主要考查分段函數(shù)的微分方程的求解方法．本題的關(guān)鍵在于函數(shù)分段，并分別求其滿足條件的特解．28、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(t)為偶函數(shù)，故只需討論t≥0的情形．由于f(t)=2∫02πdθ∫0tr2f(r)．rdr+t4=4π∫0tr3f(r)dr+t4．在等式兩邊同時對變量t求導(dǎo)，得f’(t)=4πt3f(t)+4t3．且f(0)=0．這是一個一階線性微分方程．解此微分方程，得知識點(diǎn)解析：在已給出的積分方程中，因被積函數(shù)廠具有因子x2+y2，且積分區(qū)域?yàn)閳A域，故應(yīng)用極坐標(biāo)，將二重積分化為累次積分，再通過微分，即得關(guān)于變量t的一個微分方程．由一般的變限積分方程所得到的微分方程，均有一個隱含的初始條件f(x0)=0．29、已知函數(shù)y=e2x+(x+1)ex是線性微分方程y’’+ay’+by=cex的一個解，試確定常數(shù)a、b、c的值及該微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：先將函數(shù)y代入到微分方程中，比較等式兩端同類項(xiàng)前的系數(shù)，得a=一3，b=2，c=一1．先求齊次微分方程y’’一3y’+2y=0的通解，得由于非齊次微分方程y’’一3y’+2y=一ex有一個特解y*=e2x+(x+1)ex，于是，原微分方程的通解為y=c1’e2x+c2’ex+e2x+(1+x)ex=c1e2x+c2ex+xex，其中c1=(c1’+1)、c2=(c2’+1)為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：本題主要考查二階非齊次線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)．30、已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二階微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的兩個解，若u(—1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并寫出該微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：計算得y’2(x)=[u’(x)+u(x)]ex，y’’2(x)=[u’’(x)+2u’(x)+u(x)]ex，將y2(x)=u(x)ex代入方程(2x－1)y’’一(2x+1)y’+2y=0有(2x一1)u’’(x)+(2x一3)u’(x)=0，兩邊積分lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC1，即u’(x)=C1(2x—1)e－x．故u(x)=一C1(2x+1)e－x+C2由條件u(一1)=e，u(0)=一1，得C1=1，C2=0，即u(x)=一(2x+1)e－x．y1(x)，y2(x)是二階微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的兩個線性無關(guān)的解，所以通解為y(x)=C1e+C2(2x+1)．知識點(diǎn)解析：根據(jù)已知的關(guān)系式，變形得到關(guān)于u(x)的微分方程，解微分方程求得u(x)．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、方程y’sinx＝y(tǒng)lny滿足條件的特解是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：這是變量可分離的方程．2、設(shè)C，C1，C2，C3是任意常數(shù)，則以下函數(shù)可以看作某個二階微分方程的通解的是A、y＝C1x2＋C2x＋C3．B、x2＋y2＝C．C、y＝ln(C1x)＋ln(C1xsinx)．D、y＝C1xsin2x＋C2cos2x．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：僅有(D)含有兩個獨(dú)立的任意常數(shù)C1與C2，選(D)．3、方程y’’一2y’＋3y＝exsin的特解的形式為A、ex[Acos＋Bsin]B、xex[Acos＋Bsin]．C、Aexsin．D、Aexcos．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：關(guān)鍵是求特征根：由λ2—2λ＋3＝0非齊次項(xiàng)f(x)＝eαxsinβx，a±iβ＝1±是特征根．選(B)．4、設(shè)y1(x)，y2(x)為二階變系數(shù)齊次線性方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝0的兩個特解，則C1y1(x)＋C2y2(x)(C1，C2為任意常數(shù))是該方程通解的充分條件為A、y1(x)y2’(x)一y2(x)y1’(x)＝0．B、y1(x)y2’(x)一y2(x)y1’(x)≠0·C、y1(x)y2’(x)＋y2(x)y1’(x)＝0．D、y1(x)y2’(x)＋y2(x)y1’(x)≠0·標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：根據(jù)題目的要求，y1(x)與y2(x)應(yīng)該線性無關(guān)，即≠λ(常數(shù))．反之，若這個比值為常數(shù)，即y1(x)＝λy2(x)，那么y1’(x)＝λy2’(x)，利用線性代數(shù)的知識，就有y1(x)y2’(x)一y2(x)y1’(x)＝0．所以，(B)成立時，y1(x)，y2(x)一定線性無關(guān)，應(yīng)選(B)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)5、下列微分方程中(填序號)______是線性微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：②、③知識點(diǎn)解析：這四個方程中只有②、③對未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)作為總體是一次的，因而是線性的．6、已知(x一1)y’’一xy’＋y＝0的一個解是y1＝x，又知y＝ex一(x2＋x＋1)，y*＝一x2—1均是(x一1)y’’一xy’＋y＝(x一1)2的解，則此方程的通解是y＝______·標(biāo)準(zhǔn)答案：C1x＋C2ex一x2一1知識點(diǎn)解析：由非齊次方程(x一1)y’’一xy’＋y＝(x一1)2的兩個特解與y*可得它的相應(yīng)齊次方程的另一特解一y*＝ex一x，事實(shí)上y2＝(e2一x)＋x＝ex也是該齊次方程的解，又ex與x線性無關(guān)，因此該非齊次方程的通解是y＝C1x＋C2ex一x2一1，其中C1，C2為任意常數(shù)．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)7、求從點(diǎn)A(10，0)到拋物線y2＝4x的最短距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：拋物線上點(diǎn)P(，y)到A(10，0)的距離的平方(如圖4．4)為問題是求d(y)在[0，＋∞)上的最小值(d(y)在(一∞，＋∞)為偶函數(shù))．由于在(0，＋∞)解d’(y)＝0得y＝±．于是d(±)＝36，d(0)＝100．又d(y)＝＋∞d(y)在[0，＋∞)的最小值為36，即最短距離為6．知識點(diǎn)解析：暫無解析8、求圓x2＋y2＝1的一條切線，使此切線與拋物線y＝x2一2所圍面積取最小值，并求此最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖4．5，圓周的參數(shù)方程為x＝cosθ，y＝sinθ．圓周上點(diǎn)(cosθ，sinθ)處切線的斜率是，于是切線方程是它與y＝x2一2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)較小者為α，較大者為β，則α，β是方程x2＋xcotθ—2一＝0的根，并且切線與拋物線所圍面積為為求(β一α)3最小值，只要求(β一α)2最小值，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得所以，當(dāng)＋2＝0時取最小值3．由因此，所圍面積最小值為所求切線有兩條：知識點(diǎn)解析：暫無解析9、要建一個圓柱形無蓋水池，使其容積為V0m3．底的單位面積造價是周圍的兩倍，問底半徑r與高h(yuǎn)各是多少，才能使水池造價最低?標(biāo)準(zhǔn)答案：先求出水池總造價的表達(dá)式．設(shè)水池周圍單位面積造價為a元/m2，水池總造價為y，則y＝2πrha＋2aπr2．又知V0＝πr2h，代入上式得y＝2πa，0＜r＜＋∞．現(xiàn)求y(r)在(0．＋∞)上的最小值點(diǎn)．求y’(r)．因此，當(dāng)時，y取最小值，即水池造價最低．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)在[0，b]可導(dǎo)，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，問t取何值時，圖中陰影部分的面積最大?最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：由于在[0，b]可導(dǎo)，且S’(t)＝tf’(t)＋f(t)—f(t)—f(t)＋f(t)＋(t—b)f’(t)則S(t)在，因此t＝時，S(t)取最小值·S(t)在[0，b]連續(xù)，也一定有最大值，且只能在t＝0或t＝b處取得·S(0)＝∫0bf(x)dx—bf(0)，S(b)＝bf(b)—∫0bf(x)dx，不能肯定．即t取何值時S(t)最大不能確定，但只能在t＝0或t＝b處取得．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求下列函數(shù)的帶皮亞諾余項(xiàng)至括號內(nèi)所示階數(shù)的麥克勞林公式：(Ⅰ)f(x)＝excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)＝(Ⅲ)f(x)＝，其中a＞0(x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)相乘得(II)(Ⅲ)知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求下列函數(shù)的帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：(I)f(x)＝sinx3；(Ⅱ)f(x)＝xln(1一x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、確定下列無窮小量當(dāng)x→0時關(guān)于x的階數(shù)：(Ⅰ)f(x)＝ex—1—x—xsinx；(Ⅱ)f(x)＝cosx—1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)用泰勒公式確定無窮小的階。所以x→0時ex—1—x—sxinx是x的3階無窮?。?Ⅱ)用泰勒公式確定無窮小的階。所以x→0時cosx＋cosx—1是x的4階無窮小．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：用洛必達(dá)法則(I)(II)由于f(x)＝arctanx在點(diǎn)x＝0有如下導(dǎo)數(shù)因此當(dāng)x→0時于是原式＝知識點(diǎn)解析：暫無解析15、確定常數(shù)a和b的值，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：(用泰勒公式)因?yàn)橛纱思吹胊一2＝0，b＋1＝6，故a＝2，b＝5．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)＝x2sinx，求f(n)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在x＝0處二階可導(dǎo)，又，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：用洛必達(dá)法則(否則該極限為0)f’’(0)＝—1．因此f(0)＝0，f’(0)＝0，f’’(0)＝一1．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在x＝0處n(n≥2)階可導(dǎo)，且當(dāng)x→a時是x一a的n階無窮小，求證：f(x)的導(dǎo)函數(shù)f’(x)當(dāng)x→a時是x一a的n—1階無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)用n一2次洛必達(dá)法則知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在x＝a處四階可導(dǎo)，且f’(a)＝f’’(a)＝f’’’(a)＝0，但f(4)(a)≠0，求證：當(dāng)f(4)(a)＞O(＜0)時x＝a是f(x)的極小(大)值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)用三次洛必達(dá)法則，及f(4)(a)的定義得再由極限的不等式性質(zhì)δ＞0，當(dāng)0＜｜x一a｜＜δ時因此f(4)(a)＞0(＜0)時f(a)為極小(大)值．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)，g(x)在x＝x0某鄰域有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，曲線y＝f(x)和y＝g(x)有相同的凹凸性．求證：曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)(x0，y0)處相交、相切且有相同曲率的充要條件是：f(x)一g(x)＝o((x一x0)2)(x→x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：相交與相切即f(x0)＝g(x0)，f’(x0)＝g’(x0)．若又有曲率相同，即由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)＝g’’(x0)＝0或f’’(x0)與g’’(x0)同號，于是f’’(x0)＝g’’(x0)．因此，在所設(shè)條件下，曲線y＝f(x)，y＝g(x)在(x0，y0)處相交、相切且有相同曲率即當(dāng)x→x0時f(x)一g(x)是比(x一x0)2高階的無窮小．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求f(x)＝3x帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(m)(x)＝3x(ln3)m，f(m)(0)＝(ln3)m，得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：ξ∈(a，6)使得標(biāo)準(zhǔn)答案：在處展開成由導(dǎo)函數(shù)的中間值定理在η1，η2之間(ξ∈(a，b))，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)為n＋1階可導(dǎo)函數(shù)，求證：f(x)為n次多項(xiàng)式的充要條件是f(n＋1)(x)＝0，fn(x)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由帶拉格朗日余項(xiàng)的n階勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋若f(n＋1)(x)≡0，f(n＋1)(x)≠0，由上式f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋fn(0)xn是n次多項(xiàng)式．反之，若f(x)＝anxn＋an—1xn—1＋…＋a1x＋a0(an≠0)是n次多項(xiàng)式，顯然fn(x)＝ann!≠0，f(n＋1)(x)≡0．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在(0，＋∞)二階可導(dǎo)且f(x)，f’’(x)在(O，＋∞)上有界，求證：f’(x)在(0，＋∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：按條件，聯(lián)系f(x)，f’’(x)與f’(x)的是帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式．x＞0，h＞0有f(x＋h)＝f(x)＋f’(x)h＋f’’(ξ)h2，其中ξ∈(x，x＋h)．特別是，取h＝1，ξ∈(x，x＋1)，有f(x＋1)＝f(x)＋f’(x)＋f’’(ξ)，即f’(x)＝f(x＋1)—f(x)—f’’(ξ)由題設(shè)，｜f(x)｜≤M0，｜f’’(x)｜≤M2(x∈(0，＋∞))，M0，M2為常數(shù)，于是有即f’(x)在(0，＋∞)上有界．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[a，b]二階可導(dǎo)，f(x)>0，f’’(x)＜0((x∈(a，6))，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：聯(lián)系f(x)與f’’(x)的是泰勒公式．x0∈[a，b]，f(x0)＝f(x)．將f(x0)在x∈[a，b]展開，有f(x0)＝f(x)＋f’(x)(x0一x)＋f’’(ξ)(x0一x)2(ξ在x0與x之間)＜f(x)＋f’(x)(x0一x)(x∈[a，b]，x≠x0)．兩邊在[a，b]上積分得因此f(x0)(b一a)＜2f(x)dx，即知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、已知f(χ)＝，g(χ)＝∫01-cosχtantdt和h(χ)＝tanχ－sinχ當(dāng)χ→0時都是無窮小量，若按照它們關(guān)于χ的階數(shù)從低到高的順序排列起來，則是A、f(χ)，g(χ)，h(χ)．B、h(χ)，f(χ)，g(χ)．C、f(χ)，h(χ)，g(χ)．D、h(χ)，g(χ)，f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：利用當(dāng)χ→0時的等價無窮小關(guān)系：tanχ～χ，1－cosχ～和ln(1＋χ)～χ，不難得出當(dāng)χ→0時，f(χ)＝g(χ)＝∫01-cosχtantdt＝－ln(cost)｜01-cosχ＝－ln[cos(1－cosχ)]＝1－cos(1－cosχ)～(1－cosχ)2～，h(χ)＝tanχ－sinχ＝(1－cosχ)tanχ～．由此可知當(dāng)χ→0時，f(χ)是關(guān)于χ的二階無窮小，g(χ)是關(guān)于χ的四階無窮小，而h(χ)是關(guān)予χ的三階無窮小．故應(yīng)選C．2、f(χ)＝χ(2－cosχ)在(－∞，＋∞)上是A、有界的偶函數(shù)．B、無界的偶函數(shù)．C、有界的奇函數(shù)．D、無界的奇函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：在(－∞，＋∞)上，χ是奇函數(shù)，(2－cos)是偶函數(shù)，于是它們的乘積f(χ)在(－∞，＋∞)上是奇函數(shù)．又因?yàn)椋?－cosχ｜≤3，從而f(χ)，在(－∞，＋∞)是否有界取決于g(χ)＝χ在(－∞，＋)上是否有界．因g(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，且這表明g(χ)在(－∞，＋∞)上有界．綜合得f(χ)是(－∞，＋∞)上有界的奇函數(shù)，應(yīng)選C．3、設(shè)函數(shù)f(χ)＝，則函數(shù)f(χ)有A、兩個第一類間斷點(diǎn)．B、三個第一類間斷點(diǎn)．C、兩個第一類間斷點(diǎn)與一個第二類間斷點(diǎn)．D、一個第一類間斷點(diǎn)與一個第二類間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：利用當(dāng)｜χ｜＜1時，χ2n＝0，當(dāng)｜χ｜＞1時，χ2n＝＋∞，不難得出由此可見，χ＝－1與χ＝1都是f(χ)的第一類間斷點(diǎn)，而χ＝0是f(χ)的第二類間斷點(diǎn)．故應(yīng)選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-2知識點(diǎn)解析：求數(shù)列極限不可以直接用洛必達(dá)法則．為了應(yīng)用洛必達(dá)法則求本題中的極限，可引入函數(shù)極限，而所求的數(shù)列極限是這個函數(shù)極限中變量χ取數(shù)列的特例．引入函數(shù)f(χ)＝與數(shù)列χn＝(n＝1，2，3，…)，則＝f(χn)且χn＝0．由洛必達(dá)法則可得6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：先用等價無窮小因子替換：ln(1＋χ)＝lnχ＝(χ→＋∞)然后用分項(xiàng)求極限法可得7、若存在，則常數(shù)a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：注意｜χ｜是以χ＝0為分界點(diǎn)的分段函數(shù)，且＝0，可見應(yīng)分別求當(dāng)χ→0時的左、右極限．因?yàn)樗裕}中極限存在a＝3－aa＝．8、設(shè)＝0，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、已知＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－(ln2)2知識點(diǎn)解析：＝ln2．此時必有＝0利用當(dāng)χ→0時的等價無窮小關(guān)系ln(1＋χ)～z和1－cos～，把分子換為，把分母換為－，即得＝ln2．又4χ－1～χln4，從而三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)本題是求“”型未定式的極限，可先用等價無窮小因子替換：，然后利用洛必達(dá)法則，得(Ⅱ)本題也是求“”型未定式的極限．從分子和分母的表達(dá)式不難發(fā)現(xiàn)，若直接利用洛必達(dá)法則會碰到復(fù)雜的計算．為簡化計算過程，應(yīng)當(dāng)在分子和分母中分別利用等價無窮小因子代換．當(dāng)χ→0時，有eχ－esinχ＝esinχ(eχ－sinχ－1)．又因eχ－sinχ－1～χ－sinχ，esinχ＝1，于是，分子可用χ－sinχ代換．當(dāng)χ→0時，麗是無窮小量，于是分母可作等價無窮小因子代換，即知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求下列極限：(Ⅰ)(Ⅱ)，其中常數(shù)a≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)所求極限是“∞－∞”型未定式，但現(xiàn)在無法經(jīng)過通分化為“”或“”型的未定式這時可從括號內(nèi)提出無窮大因子χ，先化為“0.∞”型的未定式，最后再通過換元y＝化為“”型未定式求極限．(Ⅱ)所求極限也是“∞－∞”型未定式，首先應(yīng)通過變形化為“”型未定式后，再用洛必達(dá)法則求極限．令＝t，由以及洛必達(dá)法則可得知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因，又(Ⅱ)本題也是“00”型未定式．y＝，＝0(χχ－1～ln(1＋χχ－1)＝χlnχ(χ→0＋))其中于是所求極限為e0＝1．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：利用當(dāng)χ→0時的等價無窮小關(guān)系sinχ～χ與ln(1＋χ)～χ可知當(dāng)χ→0時ln(1＋sin2χ)～sin2χ～χ2，再利用極限的四則運(yùn)算法則即知其中I＝用洛必達(dá)法則可得I＝＝2．代入即知所求極限＝1＋2＝3．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、確定常數(shù)a與b的值，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：作換元t＝，并利用洛必達(dá)法則求極限，可得由此可見，符合題目要求的常數(shù)a和b是方程組的解，即b＝知識點(diǎn)解析：暫無解析15、已知常數(shù)a＞0，bc≠0，使得＝c，求a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：記I(a，b)＝由于b≠0，計算可得從而，當(dāng)a≠2時對任何b≠0以及當(dāng)a＝2且b≠1時都有，(a，b)＝∞．當(dāng)a＝2且b＝1時，I(a，b)＝I(2，1)是“∞.0”型未定式，化為型并作變量替換t＝，再利用洛必達(dá)法則可得故符合題目要求的常數(shù)a，b，c分別是a＝2，b＝1，c＝－．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、確定常數(shù)a和b＞0的值，使函數(shù)f(χ)＝，在(－∞，＋∞)上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ＜0時，f(χ)等于初等函數(shù)，由初等函數(shù)連續(xù)性知f(χ)在(－∞，0)連續(xù)，且當(dāng)χ＞0時f(χ)等于初等函數(shù)(eχlnb－1)，由初等函數(shù)的連續(xù)性知f(χ)在(0，＋∞)連續(xù)，且f(0＋0)＝＝ln6．從而，為使f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，必須且只需f(χ)還在點(diǎn)χ＝0處連續(xù)，即f(0－0)＝a＝f(0＋0)e＝a＝ln6．故當(dāng)a＝e且b＝ee時f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在χ＝1處連續(xù)，＝－3．證明：f(χ)在χ＝1處可導(dǎo)，并求f′(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，當(dāng)χ→1時，f(χ)＋χχ－3是χ－1的同階無窮小，從而0＝[f(χ)＋χχ－3]＝f(1)＋1－3＝f(1)f(1)＝2．又由極限的四則運(yùn)算法則，等價無窮小代換ey－1～y(y→0)和洛必達(dá)法則可得綜合即得即f(χ)在χ＝1處可導(dǎo)，且f′(1)＝－4．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)是周期為3的連續(xù)函數(shù)，f(χ)在點(diǎn)χ＝1處可導(dǎo)，且滿足恒等式f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)，其中g(shù)(χ)當(dāng)χ→0時是比χ高階的無窮小量．求曲線y＝f(χ)在點(diǎn)(4，f(4))處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y＝f(χ)在點(diǎn)(4，f(4))處的切線方程是y＝f(4)＋f′(4)(χ－4)．由f(χ)的周期性以及f(χ)在χ＝1處的可導(dǎo)性知f(4)＝f(1)，f′(4)：f′(1)，代入即得所求切線方程為y＝f(1)＋f′(1)(χ－4)．由f(χ)的連續(xù)性可知[f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)]＝[26χ＋g(χ)]f(1)－4f(1)＝0f(1)＝0．再由f(χ)在χ＝1處的可導(dǎo)性與f(1)＝0可得在①式左端中作換元tanχ＝t，則有而①式右端從而有f′(1)＝2．于是曲線y＝f(χ)在點(diǎn)(4，f(4))處的切線方程為y＝2(χ－4)，即y＝2χ－8．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)直角坐標(biāo)(χ，y)與極坐標(biāo)(r，θ)滿足χ＝rcosθ，y＝rsinθ．若曲線г的極坐標(biāo)方程是r＝3－2sin0，求г上對應(yīng)于θ＝處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線г的參數(shù)方程為，由θ＝可得切點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，1)．在點(diǎn)M處г的切線的斜率為故所求切線方程為y＝1－，即χ＋5y－8＝0．所求法線方程為y＝1＋，即5χ－＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，＋∞)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．若對任意的χ＞0，用函數(shù)u(χ)表示曲線在切點(diǎn)(χ，f(χ))處的切線在χ軸上的截距，如圖4—1．(Ⅰ)寫出函數(shù)u(χ)的表達(dá)式，并求u(χ)與u′(χ)；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)如圖4—2，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(χ，f(χ))，點(diǎn)Ⅳ的坐標(biāo)為(χ，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(u(χ)，0)．則MN的長度是f(χ)。NP的長度是χ－u(χ)。從而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知用洛必達(dá)法則可得又因u′(χ)＝1－，故(Ⅱ)由洛必達(dá)法則及(Ⅰ)可知知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)y＝χχ＋求y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣枝郑絜χkbχ，于是(χχ)′＝(eχlnχ)′＝eχlnχ(χlnχ)′＝χχ(1＋lnχ)．又因?yàn)?，于是所以y′＝χχ(1－lnχ)＋χχ(ln2χ＋lnχ＋)知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′≠1．求由方程χ2ey＝ef(y)，確定的隱函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)的一、二階導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程兩邊取對數(shù)，可得與原方程等價的方程2ln｜χ｜＋y＝f(y)．將新方程兩邊對χ求導(dǎo)數(shù)，得＋y′＝f′(y)y′．(*)可解出y′＝將(*)式兩邊再對χ求導(dǎo)數(shù)，又得－＝f〞(y)(y′)2＋f′(y)y〞．于是，可解出知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是由方程2χ－＝χy確定的隱函數(shù)，求y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程兩邊對χ求導(dǎo)數(shù)，利用變上限定積分求導(dǎo)公式得2－(1＋y′)＝χy′＋y．可解出y′＝知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求擺線的曲率半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：故擺線的曲率半徑知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：(Ⅰ)y＝ln(6χ2＋7χ－3)，(n≥1)；(Ⅱ)y＝sin2(2χ)，(n≥1)；(Ⅲ)y＝標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)?χ2＋7χ－3＝(3χ－1)(2χ＋3)，所以y＝ln(6χ2＋7χ－3)＝ln[(3χ－1)(2χ＋3)]＝ln｜3χ－1｜＋1nln｜2χ＋3｜．其中0!＝1．(Ⅱ)因?yàn)閥＝sin2(2χ)＝(1－cos4χ)，所以y(n)(n)＝．(Ⅲ)題目中的函數(shù)可分解為最簡分式之和：從而y(n)(n)＝(－1)(－1－1)…[－1－(n－1)](χ－4)－1－n－(－1－1)…[－1－(n－1)](χ＋1)－1－n＝(－1)n.n!(χ－4)－1－n－(－1)n.n!＋(χ＋1)－1－n＝知識點(diǎn)解析：暫無解析26、已知當(dāng)｜χ｜＜1．時函數(shù)f(χ)滿足f〞(χ)＋a[f′(χ)]2＝g(χ)，且f′(0)＝0，其中常數(shù)a＞0，函數(shù)g(χ)在｜χ｜＜1可導(dǎo)且g(0)＝0，g′(0)＞0．試問f(0)是不是函數(shù)的極值，點(diǎn)(0，f(0))是不是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知f〞(χ)＝g(χ)－a[f′(χ)]2當(dāng)｜χ｜＜1時成立，且f(3)(χ)在｜χ｜＜1存在，在上式中令χ＝0得f〞(0)＝0，將上式求導(dǎo)得f(3)＝g′(χ)＝2af′(χ)f〞(χ)令χ＝0得f(3)(0)＝g′(0)＞0，從而點(diǎn)(0，f(0))是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．又因f(3)(0)＝＞0，在0＜｜χ｜＜δ時＞0，即在(－δ，0)中f〞(χ)＜0，在(0，δ)中f〞(χ)＞0．利用f′(0)＝0即知f′(χ)在(－δ，0)與(0，δ)中都取正值，故f(0)不是函數(shù)f(χ)的極值．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)k為參數(shù)，試確定方程χ2＋4χ＝keχ的根的個數(shù)以及每個根所在的區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程F(χ)＝(χ2＋4χ＋1)e－χοk，為此需討論函數(shù)F(χ)的增減性，極值與值域．由F′(χ)＝(2χ＋4－χ2－4χ－1)e－χ＝(3－2χ－χ2)e－χ＝(3＋χ)(1－χ)e－χ可知，函數(shù)F(χ)有兩個駐點(diǎn)χ＝－3與χ＝1，結(jié)合F(χ)＝＋∞與F(χ)＝0可列表討論F(χ)的單調(diào)性與極值如下：函數(shù)F(χ)的示意圖如圖6—1．由此可得結(jié)論：(1)當(dāng)k＞時直線y＝k與曲線y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有一個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)χ1＜－3，即當(dāng)k＞時方程χ2＋4χ＋1＝keχ有唯一根，此根位于區(qū)間(－∞，－3)內(nèi)．(2)當(dāng)k＝時，直線y＝k與曲線y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有兩個交點(diǎn)，一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)χ1＜－3，而另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)χ2＝1，即當(dāng)k＝時，方程χ2＋4χ＋1＝keχ有兩個根，一個位于區(qū)間(－∞，－3)內(nèi)，另一個是χ2＝1．(3)當(dāng)0＜k＜時，直線y＝k與曲線y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有三個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為χ1＜－3，－3＜χ2＜1，χ3＞1，即當(dāng)0＜k＜時，方程χ2＋＋4χ＋1＝keχ有三個根，分別位于區(qū)間(－∞，－3)，(－3．1)．(1．＋∞)內(nèi)．(4)當(dāng)－2e3＜k≤0時，直線y＝k與曲線y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有兩個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為χ1＜－3，－3＜χ2＜0，即當(dāng)－2e3＜k≤0時方程χ2＋4χ＋1＝keχ有兩個根，分別位于區(qū)間(－∞，－3)，(－3，0)內(nèi)．(5)當(dāng)k＝－2e3時，直線y＝k與曲線y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有一個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為χ1＝－3，即這時方程χ2＋4χ＋1＝keχ有唯一根χ1＝－3．(6)當(dāng)k＜－2e3時，直線y＝k與曲線y＝(y2＋4χ＋1)e－χ無交點(diǎn)，即此時方程χ2＋4χ＋1＝keχ無根．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、如圖6—2，設(shè)曲線段L是拋物線y＝6－2χ2在第一象限內(nèi)的部分．在L上求一點(diǎn)M，使過M點(diǎn)L的切線AB與兩坐標(biāo)軸和L所圍圖形的面積為最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L上點(diǎn)M的坐標(biāo)為(χ，6－2χ2)，則L在該點(diǎn)的切線方程Y＝6－2χ2－4χ(X－χ)，令Y＝0，可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a＝，令X＝0可得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為b＝2(3＋χ)2，從而所求圖形的面積為S＝(6－2χ2)dχ由于(6－2χ2)dχ為一常數(shù)，可見S與ab將在同一點(diǎn)處取得最小值．記f(χ)＝ab＝，不難得出故當(dāng)χ＝1時面積S最小，即所求點(diǎn)M為(1，4)．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，＋∞)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足f(0)＝0，f〞(χ)＜0在(0，＋∞)成立，求證：對任何χ1＞χ2＞0有χ1f(χ2)＞χ2f(χ1)標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(χ)＝，于是g′(χ)＝g′(χ)與h(χ)χf′(χ)＝f(χ)同號．由h(χ)在[0，＋∞)連續(xù)，h′(χ)＝χf〞(χ)＜0(χ＞0)h(χ)在[0，＋∞)單調(diào)下降，h(χ)＜h(0)＝0(χ＞0)，即g′(χ)＜0當(dāng)χ＞0時成立．從而對χ1＞χ2＞0有g(shù)(χ2)＞g(χ1)，即原不等式成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、兩個無窮小比較的結(jié)果是()A、同階B、高階C、低階D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：如β(x)=x，當(dāng)x→0時，二者都是無窮?。淮嬖?，故α(x)和β(x)無法比較階的高低．2、設(shè)當(dāng)x→0時，etanx－ex與xn是同階無窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：則n=3，此時3、f(x)=xex的n階麥克勞林公式為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)=xex，f(0)=0，f’(x)=ex(1+x)，f’(0)=1，…，f(n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f(n+1)(x)=ex(n+1+x)，f(n+1)(θx)=eθx(n+1+θx)，依次代入到麥克勞林公式，即得B．4、設(shè)f(x)在x=a處連續(xù)且存在．則在x=a處()A、f(x)不可導(dǎo)，但｜f(x)｜可導(dǎo)B、f(x)不可導(dǎo)，且｜f(x)｜也不可導(dǎo)C、f(x)可導(dǎo)，且f’(a)=0D、f(x)可導(dǎo)，但對不同的f(x)，f’(a)可以等于0，也可以不等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由存在知所以再由f(x)在x=a處連續(xù)，故f(a)=0．于是以下證明在x=a的去心鄰域內(nèi)，即f’(a)=0．選C．5、設(shè)N=∫－aax2sin3xdx，P=∫－aa(x3ex2－1)dx，Q=∫－aacos2x3dx，a≥0，則()A、N≤P≤QB、N≤Q≤PC、Q≤P≤ND、P≤N≤Q標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：x2sin3x是(－a，a)上的奇函數(shù)，故N=0，x3ex2是(－a，a)上的奇函數(shù)，cos2x3是(－a，a)上的偶函數(shù)，故P=∫－aa(－1)dx=－2a≤0，Q=2∫0acos2x3dx≥0，所以P≤N≤Q．6、設(shè)f(x)=min{x2，－3x+10}，兩個結(jié)果中()A、①與②都錯B、①與②都對C、①錯②對D、①對②錯標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：第1步，寫出f(x)的分段表達(dá)式，由兩曲線y=x2與y=－3x+10拘圖形及交點(diǎn)知，第2步，由定積分的性質(zhì)∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，a＜c＜b，經(jīng)計算有∫－6－4f(x)dx=∫－6－5f(x)dx+∫－5－4f(x)dx=∫－6－5(－3x+10)dx+∫－5－4x2dx=∫－64f(x)dx=∫－6－5f(x)dx+∫－52f(x)dx+∫24f(x)dx，=∫－6－5(－3x+10)dx+∫－52x2dx+∫24(－3x+10)dx=①錯；②對．所以選C．7、函數(shù)f(x，y)=exy在點(diǎn)(0，1)處帶佩亞諾余項(xiàng)的二階泰勒公式是()A、1+x+[x2+2x(y－1)]B、1+x+[x2+2x(y－1)]+o(x2+(y－1)2)C、1+x+(x2+2xy)+o(x2+y2)D、1+(x－1)+[(2－1)2+2(x－1)y]+o((x－1)2+y2)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：直接套用二元函數(shù)的泰勒公式即知B正確．8、設(shè)∑：x2+y2+z2=a2(z≥0)，∑1為∑在第一卦限的部分，則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：∑關(guān)于yOz面，zOx面對稱，當(dāng)f(x，y，z)關(guān)于變量x或變量y是奇函數(shù)時，f(x，y，z)dS=0，但f(x，y，z)=z關(guān)于變量x，y都是偶函數(shù)，因此9、設(shè)D是由曲線y=x3與直線所圍成的有界閉區(qū)域，則[y2cos(xy)+sin(xy)]dσ=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：如圖1．6—3所示，作曲線y=－x3，連同x軸與y軸，將D分成4塊，按逆時針方向，這4塊分別記為D1，D2，D3與D4．故應(yīng)選D．10、當(dāng)級數(shù)()A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、可能收斂，也可能發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因級數(shù)都為正項(xiàng)級數(shù)，且收斂，又由比較審斂法知，絕對收斂．11、級數(shù)()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)a=0時，為交錯級數(shù)，當(dāng)n＞3時滿足萊布尼茨定理，所以收斂．當(dāng)a=1時，不趨于零，發(fā)散，所以斂散性與a有關(guān)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)12、定積分=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：x2sinx是上的定積分值為0．13、點(diǎn)(－1，2，0)在平面x+2y－z+1=0上的投影為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：過點(diǎn)(－1，2，0)且與平面x+2y－z+1=0垂直的直線為L：它和平面的交點(diǎn)應(yīng)滿足方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)為14、設(shè)x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y為鄰邊的平行四邊形面積為6，則k的值為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1或5知識點(diǎn)解析：以x，y為鄰邊的平行四邊形的面積其中｜x｜2=x.x=(2a+b).(2a+b)=4a｜2+b｜2=8，｜y｜2=y.y=(ka+b).(ka+b)=k2｜a｜2+｜b｜2=k2+4，x.y=(2a+b).(ka+b)=2k+4，所以由題設(shè)知2｜k－2｜=6，于是k=－1或5．15、設(shè)Ω為曲面z=1－x2－y2，z=0所圍的立體，如果將三重積分化為先對z再對y最后對x積分，則I=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：在直角坐標(biāo)系下先單積分后二重積分，最終化為三次單積分．Ω在xOy面上的投影域Dxy={(x，y)｜x2+y2≤1}，Ω的上、下邊界曲面方程為z=1－x2－y2，z=0．于是16、微分方程的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2=y(ln｜y｜+C)，其中C為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：將x看成未知函數(shù)，y看成自變量，問題就迎刃而解了．將x看成未知函數(shù)(實(shí)際上就是作反函數(shù)變換)，原方程改寫為這是一個伯努利方程，令z=x2，有17、微分方程(y2+1)dx=y(y－2x)dy的通解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：原方程寫為(y2+1)dx+(2x－y)ydy=0，是全微分方程，再改寫為(y2+1)dx+xd(y2+1)－y2dy=0，即d[x(y2+1)]=y2dy，積分得通解x(y2+1)=y3+c，或其中C為任意常數(shù)．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)18、求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷它們的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于函數(shù)F(x)的分段點(diǎn)x=0，因故x=0是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)．當(dāng)x＞0時，在x=1處沒有定義，且極限不存在，故x=1是函數(shù)F(x)的振蕩間斷點(diǎn)．當(dāng)x＜0時，k=0，1，2，…處沒有定義，則這些點(diǎn)都是函數(shù)F(x)的間斷點(diǎn)．特別對于點(diǎn)有故是函數(shù)F(x)的可去間斷點(diǎn)；而點(diǎn)k=1，2，…顯然是函數(shù)F(x)的無窮間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計算f(n)(2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)=ef(x)兩邊求導(dǎo)數(shù)得f’’(x)=ef(x).f’(x)=e2f(x)，兩邊再求導(dǎo)數(shù)得f’’’(x)=e2f(x).2f’(x)=2e3f(x)，兩邊再求導(dǎo)數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x).3f’(x)=3!e4f(x)，由以上導(dǎo)數(shù)規(guī)律可得n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)=(n－1)!enf(x)．所以f(n)(2)=(n－1)!en．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)F(x)=∫－11｜x－t｜e－t2dt－(e－1+1)，討論F(x)在區(qū)間[一1，1]上的零點(diǎn)個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=∫－1x(x－t)e－t2dt+∫x1(t－x)e－t2dt－(e－1+1)=x∫－1xe－t2dt－∫－1xte－t2dt+∫x1te－t2dt－x∫x1e－t2dt－1(e－1+1)，F(xiàn)’(x)=∫－1xe－t2dt+xe－x2xe－x2－xe－x2－∫x1e－t2dt+xe－x2=∫－1xe－t2dt－∫x1e－t2dt．對第二個積分作變量變換t=－u，有F’(x)=∫－11e－t2dt+∫－x－1e－u2du=∫－xxe－t2dt=∫0xe－t2dt．所以，當(dāng)0＜x≤1時，F(xiàn)’(x)＞0；當(dāng)－1≤x＜0時，F(xiàn)’(x)＜0．所以在區(qū)間[－1，0]內(nèi)F(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，在區(qū)間[0，1]內(nèi)F(x)嚴(yán)格單調(diào)增加．此外，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理知，f(x)在區(qū)間(－1，0)與(0，1)內(nèi)各至少有一個零點(diǎn)，再由單調(diào)性知，在這兩個區(qū)間內(nèi)正好各有一個零點(diǎn)，共有且僅有兩個零點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因此，當(dāng)時，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)＜f(0)=1，得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0，x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：V=π∫0π(sinx+1)2dx=知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、如圖1．3一1所示，設(shè)曲線方程為y=x2+，梯形OABC的面積為D，曲邊梯形OABC的面積為D1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，a＞0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知函數(shù)u=u(x，y)滿足方程試確定參數(shù)a，b，利用變換u(x，y)=v(x，y)eax+by將原方程變形，使新方程中不含有一階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式u(x，y)=V(x，y)eax+by兩邊同時對x，y求一階，二階偏導(dǎo)數(shù)，由題意可知，應(yīng)令2a+k=0，－26+k=0，解得則原方程變?yōu)橹R點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)D為xOy平面上由擺線與x軸所圍成的區(qū)域，求D的形心坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性知記擺線的縱坐標(biāo)為y(x)，于是其中y=y(x)是由擺線的參數(shù)式確定的y關(guān)于x的函數(shù)．作變量變換，令x=a(t－sint)，于是=∫02πadx∫0y(x)dy=∫02πay(x)dx=∫02πa(1－cost).a(1－cost)dt=a2∫02π(1－cost)2dt所以知識點(diǎn)解析：暫無解析27、計算∫г(x2+y2+z2)ds，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：先寫出參數(shù)式，故∫г(x2+y2+z2)ds=∫02π(a2+1)adt=2πa(a2+1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)(1)將f(x)展開為x的冪級數(shù)；(2)分別判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)把f(x)作初等變換，并利用幾何級數(shù)｜x｜＜1，得f(x)展開為x的冪級數(shù)(2)根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性得f(x)在x0t=0處的高階導(dǎo)數(shù)則所考慮的都為正項(xiàng)級數(shù)．故由比較審斂法的極限形式知，發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求解y’’=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p(y)，則代入方程，有pp’=e2y+ey，p2=e2y+2ey+C，即y’2=e2y+2ey+C．又y(0)=0，y’(0)=2，有C=1，所以y’2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，即y’=ey+1(y’(0)=2＞0)，則有則y－1n(ey+1)=x+C1，代入y(0)=0，得C1=－ln2，所以，該初值問題的解為y=ln(1+ey)=x－ln2．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、由曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸圍成平面圖形的面積為()．A、∫01x(x一1)(2—x)dx—∫12x(x一1)(2一x)dxB、－∫02x(x一1)(2—x)dxC、－∫01x(x一1)(2—x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2—x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸的交點(diǎn)是(0，0)，(1，0)，(2，0)且0＜x＜1時，y＜0；1＜x＜2時，y＞0．因此所求面積為一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx．故選C．2、當(dāng)u>0時f(u)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(1)=0，又二元函數(shù)z=f(ex—ey)，)滿足則f(u)=()．A、lnuB、一lnuC、lnu+1D、1一lnu標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)榧磃(u)=lnu+c，又f(1)=0，所以c=0．故f(u)=lnu．故選A．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)3、設(shè)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填1．知識點(diǎn)解析：4、設(shè)曲線y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在點(diǎn)(1，一1)處相切，則a=______，b=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填一1，一1．知識點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出公切線的斜率，又點(diǎn)(1，一1)在兩條曲線上，由y=x2+ax+b，得y’=2x+a．又由2y=一1+xy3，得由題設(shè)可知即2+a=1，得a=一1．又點(diǎn)(1，一1)在曲線y=x2+ax+b上，即一1=1+a+b，得b=一1．兩條曲線y=f(x)，y=g(x)在點(diǎn)(x0，y0)處有公切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程可得方程組解方程組可求出f(x)或g(x)中所含的兩個參數(shù)．當(dāng)曲線的方程不能解出y時，由隱函數(shù)求導(dǎo)法也可以解決這類問題．5、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填2π．知識點(diǎn)解析：4｜x｜—x2為偶函數(shù)，則是以(2，0)為圓心，2為半徑的上半圓周，由定積分的幾何意義，原式==2π．利用定積分的幾何意義，經(jīng)?？煞奖愕赜嬎阋恍┒ǚe分．6、交換累次積分的積分次序：=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)7、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件∫0xtf’(x－t)dt可化為f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．兩邊對x求導(dǎo)，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+xf’(x)－xf’(x)=1+f(x)－f(0)=1+f(x)(f(0)=0)于是，f(x)=ex一1．所以知識點(diǎn)解析：f(x)的表達(dá)式中含有參變量的積分，應(yīng)經(jīng)變量替換將參變量移至積分號外或積分限上，再求極限．∫0xtf’(x－t)dt∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du將參變量x提到積分號外后，已知條件可化為：f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．(1)本題的關(guān)鍵是求出f(x)的表達(dá)式．當(dāng)已知條件是由積分方程給出時，通過求導(dǎo)可得出f(x)所滿足的微分方程：f’(x)一f(x)=1，f(0)=0．由通解公式，可得通解為：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一階線性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解為：y=e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c](2)在計算含參變量的積分時，應(yīng)通過變量替換將參變量提至積分號外或積分限上，再作計算．8、設(shè)f(x)是滿足的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)x→0時，∫0xf(t)dt是與xn同階的無窮小量，求正整數(shù)n．標(biāo)準(zhǔn)答案：由可知：即當(dāng)x→0時，f(x)是x2的同階無窮?。畬>0，有由此可見，當(dāng)n=3時，就有所以，n=3．知識點(diǎn)解析：關(guān)于無窮小量的比較，有下面一般性的結(jié)論：(1)當(dāng)x→a時，若f(x)是g(x)的同階無窮小，g(x)是h(x)的同階無窮小，則當(dāng)x→a時，f(x)也是h(x)的同階無窮小．(2)當(dāng)x→a時，若連續(xù)函數(shù)f(x)是x－a的n階無窮小，則∫axf(t)dt必為(x－a)的n+1階無窮小．(3)當(dāng)x→a時，g(x)是(x一)的n階無窮小，當(dāng)u→a時，f(u)是u的m階無窮小，則f[g(x)]必是(x一a)的nm階無窮?。?、設(shè)求f(2010)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：直接用定義求f(2010)(0)很困難，若能把f(x)展開成麥克勞林級數(shù)，問題就迎刃而解．若10、設(shè)φ(x)=sinx2∫01f(tsinx2)dt，且存在，證明：當(dāng)x→0時，dφ是xsinx2dx的同階無窮小量．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以x→0時,dφ與xsinx2dx是同階無窮小量．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，試證：在(a，b)內(nèi)至多存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：假若f(x)在(a，b)內(nèi)有兩個零點(diǎn)x1，x2(不妨設(shè)x1＜x2)，即f(x1)=f(x2)=0．作輔助函數(shù)F(x)=f(x)－g(x)，則F(x)在[x1，x2]上滿足洛爾定理的全部條件，由洛爾定理，在(x1，x2)(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F’(ξ)=e－g(x)[f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)]=0，這與已知條件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，x∈(a，b)矛盾，故f(x)在(a，b)內(nèi)至多存在一個零點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：由已知條件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，可知f’(x)一f(x)g’(x)≠0，即e－g(x)[f’(x)一f(x)g’(x)]≠0，即F’(x)=[f(x)e－g(x)]’≠0，假若f(x)有兩個零點(diǎn)x1，x2，則有F(x1)=F(x2)=0．于是，由洛爾定理得出的結(jié)論與已知條件矛盾．可用反證法證明．在本題中，我們將已知條件的變形f’(x)一f(x)g’(x)≠0轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)=f(x)e－g(x)的導(dǎo)數(shù)沒有零點(diǎn)，從而得到應(yīng)用洛爾定理所需要的輔助函數(shù)，然后由洛爾定理得到與已知條件相矛盾的結(jié)論．12、試證明：方程有且只有一個實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=則F(x)在(－∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且由價值定理，至少存在一點(diǎn)所以，F(xiàn)(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，故F(x)=0的根存在并且唯一．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：求有理分式函數(shù)的不定積分，理論上總可用化為部分分式的方法去求，但有時會變得很繁雜，根據(jù)題目的特點(diǎn)作適當(dāng)?shù)淖冃魏?，再積分可能會更方便一些．14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：可得2∫xyf(t)dt=(y－x)[f(x)+f(y)]．令x=a,得2∫ayf(t)dt=(y－a)[f(a)+f(y)]．由變限積分的可導(dǎo)性知，f(y)可導(dǎo)，兩邊對y求導(dǎo)得2f(y)=f(a)+f(y)+(y－a)f’(y)．分離變量得積分得ln[f(y)－f(a)]=ln(y－a)+lnc，即f(y)－f(a)=c(y－a)．令y=b，得知識點(diǎn)解析：建立關(guān)于f(x)的微分方程，解方程可求出f(x)．15、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)且單調(diào)增加，試證：對任意的a、b>0，恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：作輔助函數(shù)F(x)=x∫0xf(t)dt，則F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)．于是，F(xiàn)(b)一F(a)=∫abF’(x)dx=∫ab[∫0xf(t)dt+xf(x)]dx≤∫ab[xf(x)+xf(x)]dx=2∫abxf(x)dx，即知識點(diǎn)解析：待證結(jié)論的右邊b∫0bf(x)dx－a∫0af(x)dx可看作是函數(shù)F(x)=x∫0xf(t)dx在a、b兩點(diǎn)函數(shù)的差，所以可考慮用積分基本公式進(jìn)行放縮．涉及某兩點(diǎn)函數(shù)值之差的問題，一般可考慮先用微分中值定理或牛頓一萊布尼茲公式處理．16、設(shè)由曲線線y=e－x(x≥0)，x軸，y軸和直線x=ξ(ξ>0)所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體圖形的體積為V(ξ)，求使標(biāo)準(zhǔn)答案：由旋轉(zhuǎn)體體積公式得知識點(diǎn)解析：先求旋轉(zhuǎn)體的體積V，再求極限以確定a．17、已知拋物線y=ax2+bx(其中a<0，b>0)在第一象限內(nèi)與直線x+y=5相切，且此拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S，問當(dāng)a，b為何值時，S最大?最大值是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程①代入方程②得ax2+(b+1)x－5=0．其判別式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0，得得b=3．因?yàn)?，?dāng)0＜b＜3時，S’(b)＞0；當(dāng)b＞3時，S’(b)＜0．所以，當(dāng)b=3時，S(b)取極大值，即最大值知識點(diǎn)解析：利用定積分求面積，容易得到其面積是a，b的函數(shù)S(a，b)，問題是如何求S(a，b)的最大值．因?yàn)閽佄锞€與固定直線相切，所以a與b并非獨(dú)立變量．利用相切的條件可求出它們之間的函數(shù)關(guān)系，于是將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值的問題．18、求平面x+2y一2z+6=0和平面4x—y+8z一8=0的交角的平分面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用點(diǎn)到平面的距離公式．設(shè)M(x，y，z)為所求平面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，點(diǎn)M到兩個已知平面的距離相等，則即3｜x+2y一2z+6｜=｜4x—y+8z—8｜．因此，3(x+2y一2z+6)=±(4x—y+8z一8)．于是，所求平面的方程為x一7y+14z一26=0，或7x+5y+2z+10=0．知識點(diǎn)解析：本題主要考查兩個平面的交角的平分面的概念以及點(diǎn)到平面的距離．兩平面的夾角(兩平面的法向量的夾角)的余弦為其中：(1)ni={Ai，Bi，Ci)是第i個平面πi的法向量(i=1，2)．(2)平面π1與π2互相垂直的充分必要條件是A1A2+B1B219、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)和z=z(x)分別由方程exy一y=0和ez一xz=0所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將上述結(jié)果分別代入①式中，得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求二重積分其中積分區(qū)域D是由曲線y=—a+和直線y=—x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題主要考查二重積分在極坐標(biāo)系下的計算方法．本題若用直角坐標(biāo)計算，則較為繁瑣．21、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，n>1為自然數(shù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：凡是遇到逐項(xiàng)積分，一般均應(yīng)先交換二重積分的次序．22、求由拋物面x2+y2=2az(a>0)及球面x2+y2+z2=3a2所圍成的均勻立體的重心．標(biāo)準(zhǔn)答案：由先用“先二后一”的方法計算下列積分：因?yàn)棣?Ω1+Ω2，其中Ω1={(x，y，z)｜x2+y2≤2az，0≤z≤a}再計算體積V．用三重積分計算．知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意，先求出兩個曲面的交線方程，再利用對稱性求出相應(yīng)的重心坐標(biāo)．為空間物體的質(zhì)量，ρ=ρ(x,y,z)為空間物體在點(diǎn)(x,y,z)處的密度．若空間物體是均勻的，則ρ=1．23、計算曲線積分標(biāo)準(zhǔn)答案：利用積分的輪換對稱性，有知識點(diǎn)解析：因?yàn)榍€г是一個圓，故可利用曲線積分的輪換對稱性進(jìn)行計算．利用曲線積分的輪換對稱性計算往往能達(dá)到事半功倍的效果．24、計算曲面積分的上側(cè)，a為大于0的常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用直接分塊法．設(shè)其中Dyz為yOz坐標(biāo)平面上的半圓其中Dxy為xOy坐標(biāo)平面上的圓域x2+y2≤a2．因此I=I1+I2=知識點(diǎn)解析：先將∑分片后，投影到相應(yīng)的坐標(biāo)平面上化成二重積分，再逐塊進(jìn)行計算．25、討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)且當(dāng)n→∞時，有cn=an－bn=(1)當(dāng)?shù)囊话沩?xiàng)所構(gòu)成的數(shù)列{bn}不單調(diào)，故級數(shù)可以發(fā)散．(2)當(dāng)絕對收斂，由an=bn+cn，得｜an｜≤｜bn｜+｜c(diǎn)n｜，則級數(shù)絕對收斂，與已知條件矛盾．(3)對于任意項(xiàng)級數(shù)，由收斂，推不出級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、已知a0=3，a1=5，對任意的n＞1，有證明：當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件知所以當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)則解此微分方程，得知識點(diǎn)解析：暫無解析2