山東高考大題答

三角函數(shù)

2012(17)(本小題滿分12分)

已知向量m-(sinx,1),〃=(6Acosx,-cos2x)(A>0),函數(shù)f(x)-mn的最

大值

為6.

(I)求4；

(n)將函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移多個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮

短為原來(lái)的十倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，求g(x)在[0,費(fèi)

上的值域.

(17)解：(I)n

-6Asinxcosx+gcos2x

=A吟■sin2x+acos2x)

=4sin(2x+烏)

o

因?yàn)锳>0,

由題意知A=6.

(n)由(I)/(x)=6sin(2x+f)

o

將卜=/(X)的圖象向左平移多個(gè)單位后得到

y=6sin[2(x+多)+制=6sin(2x+1)的圖象；

再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的孑倍，縱坐標(biāo)不變，得到

y=6sin(4x+專)的圖象.

因此

g(x)=6sin(4x+多,

因?yàn)?/p>

所以

4x+[e號(hào),普],

所以

sin(4x+^)e[-1,1],

所以g(x)在[0,察]上的值域?yàn)長(zhǎng)-3,6].

201117.(本小題滿分12分)

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

cosA-2cosC2c-a

----------------=------.

cosBb

(I)求皿的值；

sinA

(II)若cosB,，b=2,2M8C的面積S。

4

17.解：

(I)由正弦定理，設(shè)，二=—也=」=左，

sinAsin3sinC

Ijllj2c-a_2ksinC-ksinA_2sinC-sin/

、hksinBsinB

所以cos/-2cosc_2sinC-sinJ

cos5sin5

B|J(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,

化簡(jiǎn)可得sin(4+3)=2sin(H+C).

34.A-\rB-VC—71,

所以sinC=2sinJ

因此包￡=2.

sin4

(II)由s'"C=2得c=2a.

sinA

由余弦定理

h1=a2+c2-2accos5及cosB=—,h=2,

4

得4=M4-4/-4/xL

4

解得a=l。

因此c=2

又因?yàn)閏os5=—,0<B<7V.

所以sin3=@5.

4

因此S=#sin*xlx2x哈乎.

2010

三、解答題：本大題共6小題，共74分.

（1T（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/(x)=￡sin2xsin0+cos2xcos1.（1+3（0</開(kāi)），其醒過(guò)點(diǎn)（

cp--sin).

2

（I）求0的值；

（U）將函數(shù)y=/（x）的嬲上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g,縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的嬲,

求函數(shù)g（x）在乩：：上的最大值和最小值.

JT1

【解析】（I）因?yàn)橐阎瘮?shù)圖鎏過(guò)點(diǎn)（Ft），所以有

62

11?.27T\.（n\所看

—=—sin2x—sm<p+cos—cossin—+<p開(kāi)），日N有

22662\2J

1=—sin<p+—cos<p-cos^(0<<z<7r)=sin(<p+—所以協(xié)?至=三，解得0=之.

226623

■Jr17r2汗1.

(II)由(I)知<P=—>所以/(x)=$sin2xsin—+cosxcos---sm(0<汨⑴

32

^sin2x+-213.cJ1+cos2x11.

cosx—=—sin2x+-x-=---—--s-i-n--Q---x-+5,

42442242

所以g（x）」sin（4x+為，因?yàn)閤e電所以4x+3e[T留],

264666

所以當(dāng)4x+j=至?xí)r，g（x）取最大值1；當(dāng)4x+^=至或至?xí)r，g（x）取最小值1.

6226664

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角等基本公式的靈活應(yīng)用、圖象變換以及三角函數(shù)的最

值問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

2009（17）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

設(shè)函數(shù)/(x)=cos(2x+y)4-sin2x。

(I)求函數(shù)/(x)的最大值和最小正周期;

(II)設(shè)A,B,C為A48C的三個(gè)內(nèi)角，若cos8=；,/(1)=-；,且C為銳角，求

sin4。

17.(1)f(x)=cos(2x+—)+sinx.=coszxcos---sin2xsin——I---------=------sin2x

333222

所以函數(shù)f(x)的最大值為匕正，最小正周期》.

2

(2)/(-)=--—sinC=--,所以sinC=立，因?yàn)镃為銳角，所以C=工,

222423

又因?yàn)樵贏ABC中，cosB=-,所以sin5=-V2,所以

33

2]]

sinA=sin(B4-C)=sinBcosC+cosSsinC=—V2x—+—x——=

32322

2008(17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)於)=6sin(m+夕)-cos(3+8)(0<(p<n,co>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)

7T

圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為一.

2

(I)求/(巴)的值；

8

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到

6

原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)歹=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

解：(I)/(x)=gsin(3+9)-cos(?+9)

=2——sin(3+o)——cos(6Z2t+(p)

=2sin(S+8——)

6

因?yàn)槿丝跒榕己瘮?shù)，

所以對(duì)x￡R,/(-x)4x)恒成立，

因此sin(-?+夕-%)=sin(3+。--).

66

nn7T7V7T7T

即-sinCf)xcos((p-—)+cosCf)xsin((p--)=sinCOXcos((p-—)+cosOJxsin((p-—),

6666

整理得sinmcos（夕-土）=0.因?yàn)?）>0,且xCR,所以cos((p)=0.

66

“冗

又因?yàn)镺VQCw,故9-友=%.所以fix)—2sin(COX+—)=2cosCOX.

62

2〃"—兀rlLI、I

一=2——,所以CD=2.

山題意得co2

故y（x）=2cos2x.

因?yàn)?（^）=2cos^=V2.

（H）將外）的圖象向右平移個(gè)27F個(gè)單位后，得到/（x-7生T）的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)

66

伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到/?（土X-生7T）的圖象.

,46

X7T

當(dāng)2k冗&-----<2左刀+冗（左BZ）,

23

即4%"+子（%GZ）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減.

因此g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為te+y,4^+y（A：ez）

2007（20）（本小題滿分12分）如圖,甲船以每小時(shí)300海里的速度向正北方向航行，乙

船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于4處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°的方向用處，此

時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)4處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的

B2處,此時(shí)兩船相距10&海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？

解：如圖，連結(jié)4名，A2B2=\Q41,x30V2=10V2,

~60

鳥(niǎo)是等邊三角形，/44為=105。-60。=45。，

在入41與4中，由余弦定理得

B[B；=A[B；+A]B；-2A[B1-432cos45。

/y

=202+(10V2)2-2x20xl0V2x^-=200

B[Bz=106.

因此乙船的速度的大小為U^2X60=30叵.

20

答：乙船每小時(shí)航行30旅海里.

二、數(shù)列

2012(20)(本小題滿分12分)

在等差數(shù)列｛4｝中，%+%+%=84,“9=73.

(I)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(n)對(duì)任意meN*,將數(shù)列①｝中落入?yún)^(qū)間(9加,92)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)

數(shù)記為｛〃｝,求數(shù)列也,｝

的前〃，項(xiàng)和S,”.

(20)解：(I)因?yàn)椋?｝是一個(gè)等差數(shù)列，

所以%+為+%=3%=84，艮P?4-28.

所以，數(shù)列｛%｝的公差d==%2s=9-

所以,a?=%+(〃—4)d=28+9(/7-4)=9〃—8N*)

(n)對(duì)/weN*,若9'"<a?<92m,

則9"'+8<9〃<92'"+8,因此9"，T+IW〃W92"I,

2mm

故得bm=9-'-9

于是S,?—bt+b2+b3+...+b,?

=(9+93+95+...+92m-')-(l+9+92+...+9m-')

=9x(1-81"')i-9-

=-1^81P9-

一92——ox*1

~80

201120.(本小題滿分12分)

等比數(shù)列｛《,｝中，外生嗎分別是下表第一、二、三行中的某

一個(gè)數(shù)，且生嗎中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列?

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列也｝滿足:6,=a“+(—l)lna,,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S”.

20.解：(I)當(dāng)q=3時(shí)，不合題意；

當(dāng)q=2時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?6M3=18時(shí),符合題意；

當(dāng)q=10時(shí)、不合題意。

因此.=2,出=6,q=18,

所以公式q=3,

故%=2-3”1

(II)因?yàn)?”=a”+(-1)"Inan

=2-3n-1+(-l)nln(2-3fl-|)

=2-3"T+(-l)"[ln2+(n-l)ln3]

=2-3"T+(-1)”(In2-ln3)+(-1)"nIn3,

所以

2n_12Bn

52?=2(l+3+---+3)+[-l+l-l+---+(-l)](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)/7]ln3,

所以

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S,,=2xT+21n3

1-32

n

=3"+-ln3-l;

2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S“=2x匕之一(ln2-ln3)+(七4一〃)ln3

1-32

=3"--In3-ln2-l.

2

綜上所述,

3"H—In3—1,〃為偶數(shù)

2

s,尸

3"-34n3Tn2-l,n為奇數(shù)

2

2010（18）（本小題滿分12分）

己知等差數(shù)列｛/｝滿足：?3=7,a5+a7=26,｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.

（I）求凡及；

（II）令6,產(chǎn)」一（neN*）,求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和Tn.

a：

【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,因?yàn)?=7，%+%=26,所以有

a.+2d=l

<，解得a,=3,d=2,

+104=261

所以q=3+2(〃一l)=2n+l；5?=3n+^|^x2=n2+2n。

(II)由(I)知a“=2n+l,所以仇產(chǎn)」一=——二一

"a?2-l(2n+l)2-l

所以T='-(i-L+_L-_L+...+1_L-1_L)=_1L.a__1L)=n

"4223nn+14n+14(n+l)

n

即數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和7；

4(n+l)

200920.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

等比數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S",已知對(duì)任意的〃eN,,點(diǎn)均在函數(shù)卜=bx+r（/>>0

且6W1,b,r均為常數(shù)）的圖象上。

（I）求r的值。

（II）當(dāng)b=2時(shí)，記a

證明：對(duì)任意的，不等式成立史［?小］?…砧］>必?工1

Ab2b?

20.解:因?yàn)閷?duì)任意的〃eN+,點(diǎn)（〃,S,,）,均在函數(shù)丁=6'+"6>0月出。1,6/均為常數(shù)的

圖像上.所以得S“=6"+r，當(dāng)〃=1時(shí)，a^St=b+r,當(dāng)〃22

時(shí),an=Sn-S,i=b"+r-(b"T+r)=b"-6"T=S-1)〃T,又因?yàn)椋鹮｝為等比數(shù)列，所以

r=一1,公比為6M=(b—l)6"T

n

(2)當(dāng)b=2時(shí)，q,=S-l)b"T=2"T,b?=2(log2an+1)=2(log22-'+1)=2?

n,6+12〃+l“-"+14+1bn+13572〃+l

bn2nb、b2bn2462n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式上也-叱1……4土1=2.^,1...也1＞而T成立.

b[b2bn2462n

①當(dāng)〃=i時(shí)，左邊=3，右邊=挺，因?yàn)椤唬綱2，所以不等式成立.

22

②假設(shè)當(dāng)—時(shí)不等式成立,即胃胃…牛小胃…筌〉?成立?

則當(dāng)〃=4+1時(shí)，左邊=叱、鄉(xiāng)土!?bk+lbk+l+i_3572左+12k+3

=-

bkbk+l24-6

b\b22k2k+2

＞標(biāo)2=、叵—+4(A”+L/)+】+」＞再而

2k+2N4()1+1)V4(%+l)V4(4+1)、

所以當(dāng)〃=左+1時(shí)，不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

2008(19)(本小題滿分12分)

將數(shù)列｛%｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：

ai

^2^3

a4a5a6

a728a9aio

記表中的第一列數(shù)ai，a2.a4.a7,…構(gòu)成的數(shù)列為｛?。κ?=1.S〃為數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)

2b

和，且滿足-----廠=1(〃》2).

b〃S"-S-"

(I)證明數(shù)列｛—｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式；

S”

(II)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公

4

比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)%?=一.時(shí)，求上表中第無(wú)伏》3)行所有項(xiàng)和的和.

(I)證明：由已知，

2b〃一

b凡-S；'

又=4+%+…+b,[,

23』)

所以=1,

(s”-s,i電-s)

20—S,Q

即=1,

-s*n

ii]_

所以

SnSi5'

又S]=/>I=?1=1.

1

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為項(xiàng)等差數(shù)列.

由上可知—=l+-(/7-l)=—

S.22

2

即S〃

w+1

222

所以當(dāng)心2懷bn=S「S,

n-l?+1nn{n+1).

n=\

b.n

2

〃22.

(II)解:設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為g,且g>0.

,c…12x13re

因?yàn)?+2+…+12=---------=78,

2

所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列｛?。那?8項(xiàng),

故彌在表中第13行第三列,

,4

因止匕%=%q-=-§]■.

2

又43

13x14,

所以q=2.

記表中第以人》3)行所有項(xiàng)的和為S,

2

(1—2")(欄3).

左(〃+1)

2007(17)(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q+3%+32%+…3"T/N*.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)；(H)設(shè)〃,=一,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S”.

11Ho1H—L

解:

:(I)(7(+3/+3~/+..?3"一,a1+3%+3~/+???3"??！ㄒ?—^―(/?>2),

3K"早4…%="(〃？2).

驗(yàn)證〃=1時(shí)也滿足上式，%=!(〃￡N、

(II)bn-n-3",

5?=l-3+2-32+3-33+...n-3n

35?=l-32+2-33+3-34+...?-3n+l

一2s“=3+32+33+3”-〃0向

O_ow+1

-2S=——-n-3"+i,

'1-3

S=-.3n+'---3n+'+--

n244

三、立體幾何

2012(18)(本小題滿分12分)

在如圖所示的幾何體中，四邊形N3C。是等腰梯形，

ABCD,ZDAB=60°,FC±平面ABCD,AE工BD,

CB=CD=CF.

(I)求證平面〃;

(n)求二面角F-BD-C的余弦值.

(18)(I)證明：因?yàn)樗倪呅?BCD為等腰梯形,4BCD,ZD/6=6(r,

所以NZOC=N6CO=120。.

又CB=CD,

所以ZCDB=30°

因此ZADB=90。，ADLBD,

又AELBD,且=N,NE,NOu平面/E。,

所以8。，平面NE。.

(n)解法一：

由(1)知/。，8。,所以/CJ.8C,又EC_L平面4SC。,

因此CA,CB,CF兩兩垂直.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA,CB,CF所在

的直

線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)C8=l,則，

C(0,0,0),5(0,1,0),0(孚,弓，0),尸(0,0,1),

因此麗=(冬今。),前=(0,-1，1).

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

貝?。輒-BD=0,m-BF=0,

所以x=Ky=y/3z，取z=1,

則/〃=(6,1,1).

又平面BDC的法向量可以取為〃=(0,0,1),

所以cos<m,n>=m'n'=-L=,

\m\\n\y/55

所以二面角尸-8。-。的余弦值為號(hào).

解法二：

取8。的中點(diǎn)G，連結(jié)CG,EG,由于C3=C。，

所以CG_L8。.

又平面/8CO,8。u平面/BCD,

所以EC，8。.

由于ECC|CG=C,尸C,CGu平面ECG,

所以8。_L平面ECG，故8。LEG.

所以ZFGC為二面角F-BD-C的平面角.

在等腰三角形88中，由于N8C0=12O。，

因止匕CG==C8,又CB=CF,

所以CF=JOG?+C產(chǎn)=辰:G,

故cosNFGC=等

因此二面角尸--C的余弦值為第.

2011

19.（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為

平行四邊形，ZACB=90°,EA,平面ABC

D,EF//AB,FG〃BC,EG〃AC.AB

=2EF.

（I）若M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM

〃平面ABFE;

(II)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

19.(I)證法一:

因?yàn)镋F〃AB,FG//BC,EG//AC,NACB=9

所以NEGF=90°,\ABCs莊FG.

由于AB=2EF,

因此，BC=2FC,

連接AF,由于FG〃BC,FG=-BC,

2

在/BCD中，M是線段AD的中點(diǎn),

貝（JAM//BC,^.AM=-BC,

2

因此FG//AM且FG=AM,

所以四邊形AFGM為平行四邊形，

因此GM//FAo

又R1U平面ABFE,GM(z平面ABFE,

因此，BC=2FC,

取BC的中點(diǎn)N,連接GN,

因此四邊形BNGF為平行四邊形，

所以GN//FB,

在中，M是線段AD的中點(diǎn)，連接MN,

則MN//AB,

因?yàn)镸NCGN=N,

所以平面GMN〃平面ABFEo

又G"u平面GMN,

所以GM〃平面ABFEo

(II)解法一：

因?yàn)閆JC8=90。,所以NCAD=90。，

又比1平面ABCD,

所以AC,AD,AE兩兩垂直，

分別以AC,AD,AE所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所法

的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AC=BC=2AE=2,

則由題意得A(0,0,0,),B(2,-2

C(2,0,0,),E(0,0,1),

所以方=(2,—2,0),元=(0,2,0),

又EF=MB,

2

所以尸(1,-1,1),旃

設(shè)平面BFC的法向量為加=(X]，M，Z|),

則m-BC=0,m-BF=0,

所以＜"取Z]=1得％=1,

g=4，

所以機(jī)=(1,0,1),

設(shè)平面ABF的法向量為”=(w，必,?2),

則〃了=0,〃^O,

所以仁〉取—

則〃=(1,1,0),

所以cos(m,n\--

因此二面角A—BF—C的大小為60。.

解法二：

由題意知，平面，8汽￡_1平面ABCD,

取AB的中點(diǎn)H,連接CH,

因?yàn)锳C=BC,

所以,

則CH_L平面ABFE,

過(guò)H向BF引垂線交BF于R,連接CR,

貝ljCR1BF.

所以為二面角A—BF—C的平面角。

由題意，不妨設(shè)AC=BC=2AE=2。

在直角梯形ABFE中，連接FH,

則又AB=26,

所以“尸=NE=1,8H=倉(cāng)

因此在Rt\BHF中，HR=—.

3

由于="

2

/y

所以在RtACHR中，tanZHRC="=瓜

V6

~T

因此二面角A—BF—C的大小為60。.

2010

(19)(本小題滿分12分)

如圖，在五棱錐PTBCOfi'中，R1_L平面A8CCE,AB//CD,AC//ED,

AE//BC,N/8C=45°,/3=2亞，BC=2AE=4,三角形以8是等腰三

角形.

(I)求證：平面PC。_L平面以C：

(II)求直線PB與平面PCD所成角的大??；

(III)求四棱錐尸一/8E的體積.

【解析】(1)證明：因?yàn)镹N2C=45°,AB=2y[2,BC=4,所以在AABC中，由余弦定理

得：AC2=(2V2)2+42-2x272x4cos45u=8,解得AC=2&,

所以AB?+AC2=8+8=16=BC2,即ABJ.AC,又總L平面Z8CDE,所以以，AB,

又PACAC=A,所以AB_L平面PAC,又AB〃CD,所以COJ?平面PAC,又因?yàn)?/p>

CDu平面PCD,所以平面PCDJ_平面以C；

(II)由(I)知平面PC0J_平面/MC,所以在平面RIC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AHJ.PC于H,

則

AH,平面PCD,又AB〃CD,Z8?平面PCD內(nèi)，所以4?平行于平面PCD,所以點(diǎn)A

到平面PCD的距離等于點(diǎn)B到平面PCD的距離，過(guò)點(diǎn)B作BOL平面PCD于點(diǎn)O,則

NBPO為所求角，且AH=BO,又容易求得AH=2,所以sin/BPO=—,即NBPO=30°,

2

所以直線PB與平面PCD所成角的大小為30°；

(III)由(I)知8J_平面PAC,所以CZ)J_AC,又AC"ED,所以四邊形ACDE是

直角梯形，又容易求得DE=挺，AC=2V2,所以四邊形ACDE的面積為

-(72+272)x72=3,所以四棱錐P—/8E的體積為』x2?x3=20。

23

2009

(18)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，AB//

CD,AB=4,BC=CD=2,Z4,AB的中點(diǎn)。

(1)證明：直線Eg〃平面/CG；

(II)求二面角8-尸G—C的弦值。

18.解法,：(1)在直四棱柱ABCD-A|B|C|D|

連接AQ,GF”CF”因?yàn)锳B=4,CD=2,且AB//CD,

所以CD2AB，ABCD為平行四邊形，所以CFJ/AQ,

又因?yàn)镋、E1分別是棱AD、AA1的中點(diǎn)，所以EEJ/AQ,

所以CFJ/EEi,又因?yàn)镋g(Z平面FCC],U平面FCC

所以直線EE/H湎FCC].

(2)因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點(diǎn)，所以BF=BC=CF,4BCF為正三角形，取CF

的中點(diǎn)0,則0BLCF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-A|B|C|D|中,CC|J_平面ABCD,所以CC」

B0,所以0BL平面CCF,過(guò)O在平面CC(F內(nèi)作0P_LGF,垂足為P,連接BP,則/0PB為二面

角B-FC「C的一個(gè)平面角，在4BCF為正三角形中,08=6,在RtZiCGF中，AOPF^A

OPOF1X2q

CC,F,V——=——OP=

CC,GF722+222

V2

在RtAOPFgBP=Sp2+OB2=J'+3=且,cosNOP8="=-^=E，所以

V225PV147

F

二面角B-FC,-C的余弦值為—.

解法二：(1)因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點(diǎn)，

所以BF=BC=CF,Z\BCF為正三角形，因?yàn)锳BCD為

等腰梯形，所以/BAC=NABC=60°,取AF的中點(diǎn)M,

連接DM,則DMJ_AB,所以DM1.CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

，則D(0,0,0),A(V3,-l,0),F(6,1,0),C(0,2,0),

Ci(0,2,2),E(----,----,0),E]

22

函=(苧-；,1),而=(6,一1,0),西=(0,0,2)西=(-舊,2)設(shè)平面€：5的法

向量為n=(x,y,z)則所以fAv-v=0取"=(1^50),則

'n-CC,=0[z=0

—一n「FB=0

(2)ES=(0,2,0),設(shè)平面BFG的法向量為％=a，%馬)，則—所以

[〃卡=0

，取成=(2,0,G)M/^=2xl-6x0+0xG=2,

+yt+24=0

不l=Jl+(百)2=2,l.l=j22+0+(G)2=幣,

所以cos&［〉=&L=—^=包，由圖可知二面角B-FC,-C為銳角，所以二面角

\n\\n,\2x<77

B-FC,-C的余弦值為

2008

(20)(本小題滿分12分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面

ABCD為菱形，平面ABCD,

ZABC=60°尸分別是BC,PC的

中點(diǎn).

(I)證明：AEA.PD;

(II)若，為PO上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平

面PAD所成最大角的正切值為—,

2

求二面角E—AF—C的余弦值.

(I)證明：由四邊形428為菱形,

ZABC=60°，可得△ZBC為正三角形.

因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，所以8c.

又BC//AD,因此

因?yàn)镽4L平面AEU平面所以以L4E.

而以U平面口Z),4JU平面以。且以0/0=4

所以NE_L平面為。，又PDU平面/MD

所以AE±PD.

(H)解：設(shè)/8=2,H為尸。上任意一點(diǎn)，連接加/,

EH.

由(I)知4E_L平面PAD,

則NE/"為E/7與平面以。所成的角.

在RtZiE4〃中，AE=43,

所以當(dāng)工，最短時(shí)，NEHA最大,

即當(dāng)AHA.PD時(shí)，NEHA最大.

?,AE6瓜

此時(shí)tanNEHA=----=----=---,

AHAH2

因此又AD=2,所以上45°,

所以PA=2.

解法一：因?yàn)橐訽1_平面/8CD,R1U平面P4C,

所以平面以C_L平面ABCD.

過(guò)E作EO_L/C于。，則EO_L平面/MC,

過(guò)。作OSL4尸于S,連接ES,則NES。為二面角E-/RC的平面角,

也3

在RtZXZOE中，EO=AE?sin30°=—,AO=AE?cos30°=-,

22

3B

又F是PC的中點(diǎn)，在RlA/SO中，SO=AO?sin45°=-―-

4

3A/2

SO~T~V15

在RtZkESO中,cosZESO=----=Z—=------,

SE55

4

即所求二面角的余弦值為」叵

5

解法二：由（I）知ZE,AD,4P兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

(

島=0,

因此V61_n

~x\+］必+Z|=0.

取Z]=-1,則機(jī)=(0,2,-1),

因?yàn)锽DLAC,BDLPA,PAQAC=A,

所以BDL平面月FC,

故而為平面4FC的一法向量.

又BD=(-73,3,0),

s,777；mBD2x3Vr5

所以cos</n,BD>==—j=—T==.

\m\\BD\J5XJ125

因?yàn)槎娼荅-4F-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為巫.

5

2007

19(本小題滿分12分)如圖，在直四棱柱/88-44GA中，已知

DC=DDi=2AD=2AB,ADLDC,ABDC.

⑴設(shè)E是。C的中點(diǎn)，求證：D.E平面NR。；

(H)求二面角A.-BD-C,的余弦值.

解：：⑴連結(jié)8E,則四邊形D48E為正方形,

BE=AD=4〃，且BEADAR,

???四邊形為平行四邊形，

DXE.

,/2E平面&BD,48u平面48￡),

/.D[E平面43D

(II)以D為原點(diǎn)，。4。。,。〃所在直線分別為》軸、J，軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)D4=1,則D(0,0,0),J(1,O,O),5(1,1,O),C,(0,2,2),A,(1,0,2).

.?.西=(1,0,2),麗=(1,1,0).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面AyBD的一個(gè)法向量，

,--------——，fx+2y=0

由得4，

x+y=0

取z=l,則3=(-2,—2,1).

設(shè)而=(4弘,馬)為平面G8。的一個(gè)法向量，

——.——f2y,+2z,=0

由機(jī)JLOC,機(jī)J.D8得4/1,

玉+必=0

取Z1=l,Mw=(l,-l,1).

--m-n-3V3

cos<m,n>—lie=—7=—T==——?

同“3

由于該二面角A}-BD-C,為銳角，

所以所求的二面角4-8。-。的余弦值為].

四、概率

2012

(19)(本小題滿分12分)

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為1,命中得1分，沒(méi)有命

中得

0分，?向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為力，每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分.該

射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.

(I)求該射手恰好命中一次的概率；

(n)求該射手的總得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

(19)解：(1)記"該射手恰好命中一次"為事件Z「該射手設(shè)計(jì)甲靶命中"為事件8;

"該射

手第一次射擊乙靶命中"為事件C；"該射手第二次射擊乙靶命中"為事件。.

由題意知，P(8)=V,P(C)=P(Z))=j,

由于/=BCD+BCD+BCD,根據(jù)事件的獨(dú)立性與互斥性得

P(A)=P(BCD+BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)

=J_

-36

(n)根據(jù)題意，X的所以可能取值為0,1,2,3,4,5.

根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得