高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè)3

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1.已知全集。=11,集合A={x|0<x<2},B={X|X2-1>0},那么4。或，8=()

(A){x|0<x<l}(B){x|0<x<l}(C){x|1<x<2}(D)[x\1<x<2}

2.若復(fù)數(shù)安的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a=()

2i

(A)-1(B)1(C)-2(D)2

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖.若輸出y=-73,則輸入(開(kāi)始)

,1,

角6=()/輸入角，(⑹<f)/

(A、)-無(wú)

6

(B)---

611

,I,

(C)-/輸出」/

3T

,、n(僦)

(D)——

3

x+l>0,

4.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足條件L-y+l>0,

則y—4x的最大值是()

(A)-4(A)-4(A)-4(D)96種

5.某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正(主)視，」匚

圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該正三棱柱的表面積是(

(A)6+73h-1—Hv-1-H

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

A

(B)12+73

(C)12+2百

俯視困

(D)24+2百

6.等比數(shù)列{?！皚中，4>0,則"％"是"/<4”的()

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/(x)=log2x-21og2(x+c),其中c>0.若對(duì)于任意的xe(0,+8),都有

貝上的取值范圍是()

(B)耳,+00)(C)(0,1]

8.如圖，正方體A5CD-45G。中，P為底面ABC。

上的動(dòng)點(diǎn)，「七_(dá)14。于后，且E4=PE,則點(diǎn)P的

軌跡是()

(A)線段(B)圓弧

(C)橢圓的一部分(D)拋物線的一部分

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

log,x,x>0,1

9.已知函數(shù)/(x)=J2則/()+/(—2)=_____.

2,,x<0,4

10.設(shè)等差數(shù)列僅“}的公差不為0,其前〃項(xiàng)和是S”.若§2=S3，s*=o,則％=

11.如圖，正六邊形ABCDE尸的邊長(zhǎng)為1,則恁?麗=

12.某廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批元件

的長(zhǎng)度數(shù)據(jù)(單位：mm)全部介于93至105之間.

將長(zhǎng)度數(shù)據(jù)以2為組距分成以下6組：[93,95),

[95,97),[97,99),[99,101),[101,103),

[103,105],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若長(zhǎng)

度在[97,103)內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直

方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率是.

13.在直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(—1,0)關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱.點(diǎn)P(%,%)在拋物線y2=4x上,

且直線AP與B0的斜率之積等于2,則/=

14.記實(shí)數(shù)…,當(dāng)中的最大數(shù)為max{x”X2,…,X,』，最小數(shù)為minU,w，…,x.}.設(shè)△A3C

nhca

的三邊邊長(zhǎng)分別為c,且定義AABC的傾斜度為"max{—}?min{—,

bcab

bc

一,一}.(i)若△ABC為等腰三角形，貝i〃=；

ca

(ii)設(shè)a=l,則f的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=sinx-acosx的一個(gè)零點(diǎn)是四.

4

(I)求實(shí)數(shù)。的值；

(H)設(shè)g(x)=/(x)?/(-%)+26sinxcosx,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.(本小題滿分13分)

某商區(qū)停車(chē)場(chǎng)臨時(shí)停車(chē)按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車(chē)一次停車(chē)不超過(guò)1小時(shí)收費(fèi)6元，

超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時(shí)

停車(chē)，兩人停車(chē)都不超過(guò)4小時(shí).

(I)若甲停車(chē)1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為1，停車(chē)付費(fèi)多于14元的概率為工，求甲

312

停車(chē)付費(fèi)恰為6元的概率；

(11)若每人停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙二人停車(chē)付費(fèi)之和為36元的概率.

17.(本小題滿分14分)

在如圖所示的幾何體中，面CDE尸為正方形，面ABCO為等腰梯形，AB//CD,AB=2BC,

ZABC=60°,AC±FB.

(I)求證：AC_L平面F8C；

(II)求6C與平面E4C所成角的正弦值：

(III)線段E。上是否存在點(diǎn)Q,使平面EAC1平面Q6C?

證明你的結(jié)論.

18.(本小題滿分13分)

已知｛4｝為等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,，且S“=2〃+a(〃eN*).

(I)求。的值及數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式：

(II)若仇=(2/?-1)??,求數(shù)列仍“｝的前〃項(xiàng)和Tn.

19.（本小題滿分14分）

X2

如圖，橢圓。+y=1（。＞人＞0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).當(dāng)直

a

線AB經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60°.

（I）求該橢圓的離心率;

（H）設(shè)線段A8的中點(diǎn)為G,的中垂線與x軸和y軸分別交于2E兩點(diǎn).記△GFD的

面積為S「/XOED（。為原點(diǎn)）的面積為S?,求

20.(本小題滿分13分)

已知集合S"={X|X=(4々,…eN*,i=1,2,22).

對(duì)于A=…,4)，6=(4也，…也)eS”,定義君=(4-q也-a2，…也一4,)；

_n

2(al,a2,---,a?)=(/la!l,2a2,---,/l(7n)(2eR)；A與8之間的距離為d(A,8)=工|《一々|.

<=1

(I)當(dāng)〃=5時(shí)，設(shè)4=(1,2,1,2,%)，8=(2,4,2,1,3).若d(A,8)=7,求生;

(II)(i)證明：若AB,CeS,,且三%>0,使荏而,則d(A,B)+4(8,0=d(A,C);

(ii)設(shè)A,B,C&S?，且d(A,B)+d(B,C)=d(A,C).是否一定三丸>0,使麗=ABC?

說(shuō)明理由；

(HI)記/=…,l)eS〃.若A,BeSn,且d(/,A)=d(/,3)=p,求d(A,B)的最大值.

答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共4()分.

1.B；2.A；3.D；4.B；5.C；6.C；7.D；8.A.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共3()分.

73

9.——；10.5；11.——

42

12.80%；13.1+也;14.1,[1,^5).

2

三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.

15.(本小題滿分13分)

(I)解：依題意，得了(j)=0,...........1分

nn?兀無(wú)夜近a八。八

即sinacos-=---------=0,...........3分

4422

解得。=1............5分

(II)解：由(I)得/(x)=sinx-cosx............6分

g(x)=/(x>/(r)+2?sinxcosx

=(sinx-cosx)(-sinx-cosx)+^3sin2x...........7分

=(cos2x-sin2x)+sin2x...........8分

=cos2x+^3sin2x...........9分

7T

=2sin(2x+—)............10分

6

由2E—工<2x+—<2&兀+巴,

262

兀71

得kji——+—,keZ............12分

36

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［E—乙,而+乙］,ksZ............13分

36

16.(I)解：設(shè)“甲臨時(shí)停車(chē)付費(fèi)恰為6元”為事件A,...........1分

則P(A)=l-(-+—

所以甲臨時(shí)停車(chē)付費(fèi)恰為6元的概率是...........4分

4

(H)解:設(shè)甲停車(chē)付費(fèi)。元,乙停車(chē)付費(fèi)〃元，其中。,6=6,14,22,30............6分

則甲、乙二人的停車(chē)費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：

(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),

(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16種情形.10分

其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)這4種情形符合題意.............12分

41

故“甲、乙二人停車(chē)付費(fèi)之和為36元'’的概率為尸=一=一.............13分

164

17.(本小題滿分14分)

(I)證明：因?yàn)锳B=23C,ZABC=60°,

在△ABC中，由余弦定理可得

所以AC±BC.

又因?yàn)锳CLFB,

所以AC,平面F8C.

(II)解：因?yàn)锳C_L平面R8C,所以AC_LFC.

因?yàn)镃D_LFC,所以FC_L平面ABC。.5分

所以C4,b,C8兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C—孫z......................6分

在等腰梯形ABC。中，可得CB=CD.

設(shè)3c=I,所以C(0,0,0),A(G,0,0),3(0,1,0),￡>(—,--,0),￡(—,--,1).

2222

所以CE=(—,--,1),CA=(V3,0,0),CB=(0,1,0).

22

n-CE=0,

設(shè)平面E4c的法向量為〃=(x,y,z),則有｛一

n-CA=0.

731

__v___v+z=U

所以｛22'取z=l,得〃=(0,2,1).......................8分

—0.

設(shè)8c與平面E4c所成的角為氏貝ijsin6=|cos〈『反〃〉|J色?'"=拽,

\CB\\n\5

所以6C與平面E4C所成角的正弦值為手.............9分

(III)解：線段上不存在點(diǎn)。，使平面EAC，平面。BC.證明如下：............10分

V31—J31

假設(shè)線段ED上存在點(diǎn)Q,設(shè)。(券,—],7)(0<f<l),所以。。=(5,—金力).

f/n-CB=0,

設(shè)平面Q3C的法向量為機(jī)=(a,ac),則有《一

[inCQ^O.

仿=0,

2

所以<61取c=l,得機(jī)=(—關(guān)............12分

—a——b+tc-0.73

[22

要使平面￡AC_L平面Q8C,只需機(jī)?〃=(),............13分

2

即一~=/x0+0x2+lxl=0,此方程無(wú)解.

6

所以線段ED上不存在點(diǎn)Q,使平面EAC_L平面Q8C............14分

18.(本小題滿分13分)

解：(I)當(dāng)〃=1時(shí)，S]=4=2+Q.............................1分

當(dāng)〃22時(shí)，a“=S“-S,i=2"T.....................................3分

因?yàn)椋鹮｝是等比數(shù)列，

所以4=2+a==1,即4=1.a=-1..........................5分

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為an=2"T(“eN*)........................6分

(H)由(I)得么=(2〃-1)勺=(2〃-1>2")

則7；=1*1+3x2+5x22+7x23+…+(2〃-1>2"-[①

2(=lx2+3x22+5x23+---+(2n-3)-2n-|+(2?-l)-2n.②

①-②得-騫=1*1+2x2+2x22+…+2X2"T-(2"-1>2”............9分

=1+2(2+22+-.+2，1)-(2〃-1).2"

=1+4(2"-I-1)-(2/?-1)-2"

=—(2〃-3)-2”-3....................................12分

所以空=(2"-3>2"+3.13分

19.(本小題滿分14分)

(I)解：依題意，當(dāng)直線48經(jīng)過(guò)橢圓的頂點(diǎn)(0,加時(shí)，其傾斜角為60°............1分

設(shè)F(-c,0),

則—=tan60=x/3.?2分

c

將b=&代入a2

解得a=2c.,3分

所以橢圓的離心率為4分

a2

(H)解：由(I),橢圓的方程可設(shè)為=1.,5分

設(shè)A(x，x),B(x2,y2).

依題意，直線48不能與軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為y=A(x+c),將其代入

22222222

3%+4/=l2c,整理得(4k+3)x+8ckx+4kc-12c=0............7分

-8CE,._?,、6ckTck?3ck

則x+x-X+%=k?+x+2c)=4標(biāo)+3

}24r+32Ak2+3'4k2+3'

8分

因?yàn)镚D±AB,

3ck

2

日十xZ=T,x-ck

所以43D9分

-Ack1'4火2+3

4FZ3-%D

因?yàn)閄GFDS/\OED,

,—4ck——ck~2z3ck2

所以A(4>+3一記+3-+(47+3)-

分

2211

52\OD\-ck2

'止+3)

(3/y+(3以)、衛(wèi)+9吆與海

13分

(以)C2k4k2

q

所以」的取值范圍是(9,+0。).............14分

§2

20.(本小題滿分13分)

5

(I)解：當(dāng)〃=5時(shí)，由=1=7,

i=i

得|1—2|+|2—4|+|1—2|+|2-1|+|%—3|=7,即3|=2?

由內(nèi)￡N',得a5=1,或〃5=5.......................3分

(H)(i)證明:設(shè)4=3，生，…，4)，5=(4也,…也)，。=(缶,0，…，%)?

因?yàn)?^>0,使AB=ABC9

所以3/1>0,使得S|—〃［也—。2,=4(。1-"1'。2—”2,，

即3^>0,使得4-4二丸(。一々)，其中i=1,2,???,〃?

所以々一4與9一%(，=1,2,.??,〃)同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù).............5分

所以d(A,B)+d(民C)=￡|《?一2|+￡山一cj

i=l；=1

=￡(也一a/+匕一月I)

=^|c,-a,l=d(A,C).......................6分

i=l

(ii)解：設(shè)A,5,CGS”,且4(48)+4(8,。)=4(40,此時(shí)不一定”>0,使得

AB=ABC.......................7分

反例如下:取A=(l,l,l,…,1),3=(1,2,1,1，…』)，C(2,2,2,1,1,

則d(A,B)=1,d(B,C)=2,d(A,C)=3,顯然d(A,B)+d(B,。=d(A,。.

因?yàn)辂?(0,1,0,0,…,0),=(1,0,1,0,0,???,()),

所以不存在丸>0,使得通=/1沅.............8分

(III)解法一：因?yàn)榛?,3)=工也一61，

f=l

設(shè)4一q(i=1,2,???,〃)中有機(jī)(〃24〃)項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，及一機(jī)項(xiàng)為負(fù)數(shù).不妨設(shè)，=1,2,???,根時(shí)

Z?.-tz.>0；i=m+1,加+2,???，〃時(shí)，b.-<0.

所以d(A,B)=^\bj-ai\

i=\

=[(Z>)+b2+---+bm)-(ai+/+…+a,”)]+l(a,"+i+冊(cè)+2+…+%)一(〃"+1+〃”+2+…+〃,)]

因?yàn)閐(l,A)=d(I,B)=p,

所以Z(