2022年四川省成都市外國語學校高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在上都存在導函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．如圖所示，三國時代數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1083．已知，則（）A．5 B． C．13 D．4．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．5．秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．7．已知復數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣28．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．9．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．10．設復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．11．已知命題，那么為（）A． B．C． D．12．已知點，點在曲線上運動，點為拋物線的焦點，則的最小值為（）A． B． C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的常數(shù)項為______.14．函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.15．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為____．16．函數(shù)的定義域為_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列中，，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：.18．（12分）已知函數(shù).（1）若對任意x0，f（x）0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），證明：.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），點.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于，兩點，若，求的值.20．（12分）已知函數(shù)，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．21．（12分）為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況．現(xiàn)分別從、、三塊試驗田中各隨機抽取株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）：組組組假設所有植株的生長情況相互獨立．從、、三組各隨機選株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙．（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為．從、、三塊試驗田中分別再隨機抽取株該種植物，它們的高度依次是、、（單位：厘米）．這個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明）22．（10分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當時，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價于，因此選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.2．B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.3．C【解析】

先化簡復數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點睛】考查復數(shù)的運算，是基礎題.4．D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.5．C【解析】

由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當時，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運行過程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到，的值是解題的關鍵，屬于基礎題．6．B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數(shù)圖象；對于選項，與函數(shù)圖象不一致；選項符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.7．D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8．B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算，考查學生的運算能力，是一道中檔題.9．A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.10．B【解析】

根據(jù)共軛復數(shù)定義及復數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)對應點坐標的幾何意義，復數(shù)模的求法及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.11．B【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題，，那么是.故選：．【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.12．D【解析】

如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．160【解析】

先求的展開式中通項，令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解：因為的展開式的通項公式為：；令，可得；的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：160.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，關鍵是熟記二項展開式的通項，屬于基礎題．14．【解析】

設，，設，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，，.當時，易知不成立；當時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關鍵.15．【解析】，，所以，所以的解集為。點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數(shù)進行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數(shù)解析式，再解不等式即可。絕對值函數(shù)一般都去絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。16．【解析】

由題意可得，，解不等式可求．【詳解】解：由題意可得，，解可得，，故答案為．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過解關于導數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的最小值；（Ⅲ）先求出數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，，，問題轉(zhuǎn)化為證明：，通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（﹣1，+∞），，當時，f′（x）＜2，當時，f′（x）＞2，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（Ⅱ）設，則，因為x≥2，故，（?。┊攁≥1時，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，而g（2）＝2，所以對所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；（ⅱ）當1＜a＜1時，2＜1﹣a＜1，若，則g′（x）＞2，g（x）單調(diào)遞增，而g（2）＝2，所以當時，g（x）＞2，即f（x）＞ax；（ⅲ）當a≤1時，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，而g（2）＝2，所以對所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；綜上，a的最小值為1．（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an?an+1，由a1＝1得，an≠2，所以，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，，，?，由（Ⅱ）知a＝1時，，x＞2，即，x＞2．法一：令，得，即因為，所以，故．法二：?下面用數(shù)學歸納法證明．（1）當n＝1時，令x＝1代入，即得，不等式成立（1）假設n＝k（k∈N*，k≥1）時，不等式成立，即，則n＝k+1時，，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式對任何n∈N*都成立．故．考點：1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；1、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；3、數(shù)列的通項公式；4、數(shù)列的前項和；5、不等式的證明．18．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知，.對分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論．【詳解】（1）由，得.令.當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.對任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.若，則，令在上單調(diào)遞增，，.又，在上單調(diào)遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.19．（1），以為圓心，為半徑的圓；（2）【解析】

（1）根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，直接得到的直角坐標方程并判斷形狀；（2）聯(lián)立直線參數(shù)方程與的直角坐標方程，根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義結(jié)合求解出的值.【詳解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲線是以為圓心，為半徑的圓.（2）將代入，整理得.設點，所對應的參數(shù)分別為，，則，.，解得，則.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化以及根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義求值，難度一般.（1）極坐標與直角坐標的互化公式：；（2）若要使用直線參數(shù)方程中的幾何意義，要注意將直線的標準參數(shù)方程代入到對應曲線的直角坐標方程中，構(gòu)成關于的一元二次方程并結(jié)合韋達定理形式進行分析求解.20．（1）最小值為，此時；（2）見解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得；法二:運用基本不等式構(gòu)造，可得最值；法三：運用柯西不等式得：，可得最值；（2）由絕對值不等式得，，又，可得證.【詳解】（1），法一:，，的最小值為，此時；法二:，，即的最小值為，此時；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值為，此時；（2），，又，.【點睛】本題考查運用基本不等式，柯西不等式，絕對值不等式進行不等式的證明和求解函數(shù)的最值，屬于中檔題.21．（1）；（2）；（3）．【解析】

設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、、、，可得出.（1）設事件為“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果；（2）設事件為“甲的高度大于乙的高度”，列舉出符合題意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根據(jù)題意直接判斷和的大小即可.【詳解】設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、、、．由題意可知，、、、．（1）設事件為“丙的高度小于厘米”，由題意知，又與互斥，所以事件的概率；（2）設事件為“甲的高度大于乙的高度”．由題意知．所以事件的概率；（3）.【