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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.()A. B. C.1 D.2.在中,“”是“為鈍角三角形”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.已知命題:“關(guān)于的方程有實(shí)根”,若為真命題的充分不必要條件為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)()A.伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7.已知函數(shù),若有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,,,為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.39.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.10.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.411.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)位于第一象限),過點(diǎn),分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為點(diǎn),,拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.12.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,滿足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.14.已知集合,,則__________.15.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.16.已知,若,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)萬眾矚目的第14屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)運(yùn)會(huì)(簡(jiǎn)稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會(huì)對(duì)全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān);(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,再?gòu)倪@6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,19.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.20.(12分)已知橢圓,上、下頂點(diǎn)分別是、,上、下焦點(diǎn)分別是、,焦距為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn),過作與軸平行的直線,直線與交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),判斷是否為定值,說明理由.21.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值.22.(10分)唐詩是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為,,.已知,,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算,同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】分析:從兩個(gè)方向去判斷,先看能推出三角形的形狀是銳角三角形,而非鈍角三角形,從而得到充分性不成立,再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí),也推不出成立,從而必要性也不滿足,從而選出正確的結(jié)果.詳解:由題意可得,在中,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,,結(jié)合三角形內(nèi)角的條件,故A,B同為銳角,因?yàn)?,所以,即,所以,因此,所以是銳角三角形,不是鈍角三角形,所以充分性不滿足,反之,若是鈍角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以為既不充分也不必要條件,故選D.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問題,在解題的過程中,需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化,余弦的和角公式,誘導(dǎo)公式等,需要明確對(duì)應(yīng)此類問題的解題步驟,以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.3.A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.4.D【解析】
根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.5.B【解析】命題p:,為,又為真命題的充分不必要條件為,故6.B【解析】
分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),
得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.7.C【解析】
令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),,令,可得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,若直線和有兩個(gè)交點(diǎn),則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.8.C【解析】
若對(duì)任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個(gè)內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時(shí),取得最大值,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.9.A【解析】
先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.10.C【解析】
計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.11.C【解析】
根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.12.D【解析】
利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設(shè),由題,得,又,所以,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點(diǎn)為M,則,設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E,則的最小值是,因?yàn)?,又,所以的最小值?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問題,涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理,考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.14.【解析】
解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,再進(jìn)行集合的交運(yùn)算,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由題意可得,,解不等式可求.【詳解】解:由題意可得,,解可得,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.16.1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過給二項(xiàng)式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡(jiǎn)便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)的周長(zhǎng)為,結(jié)合離心率,求出,即可求出方程;(2)設(shè),則,求出直線方程,若斜率不存在,求出坐標(biāo),直接驗(yàn)證是否滿足題意,若斜率存在,求出其方程,與直線方程聯(lián)立,求出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)和三點(diǎn)共線,將點(diǎn)坐標(biāo)用表示,坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,的周長(zhǎng)為6,設(shè)橢圓的焦距為,則解得,,,所以橢圓方程為.(2)設(shè),則,且,所以的方程為①.若,則的方程為②,由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)在軸上方,則,,聯(lián)立①,②解得即.的方程為,代入橢圓方程得,整理得,或,.,不符合條件.若,則的方程為,即③.聯(lián)立①,③可解得所以.因?yàn)?,設(shè)所以,即.又因?yàn)槲挥谳S異側(cè),所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線,即應(yīng)與共線,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論思想和計(jì)算求解能力,屬于較難題.18.(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表,求出,從而有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,則抽中男教工:人,抽中女教工:人,從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由題意得下表:男女合計(jì)冰雪迷402060非冰雪迷202040合計(jì)6040100的觀測(cè)值為所以有的把握認(rèn)為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工,2名女職工,所以的可能取值為0,1,2.且,,,所以的分布列為012【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、排列組合、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19.(1)更適宜(2)(3)x為2時(shí),燒開一壺水最省煤氣【解析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(1)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,即時(shí),煤氣用量最小.故x為2時(shí),燒開一壺水最省煤氣.【點(diǎn)睛】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.20.(1);(2),理由見解析.【解析】
(1)求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可求得的值,由此可得出橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,求出直線的方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),由此計(jì)算出直線和的斜率,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可求得的值,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意可知,橢圓的上焦點(diǎn)為、,由橢圓的定義可得,可得,,因此,所求橢圓的方程為;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,得,直線的斜率為,所以,直線的方程為,聯(lián)立,解得,即點(diǎn),直線的斜率為,直線的斜率為,所以,,,因此,.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中定值問題的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21.(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
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